物理第3章以后试题及解析程书第三期第2天试题解析

3-10 【题目】一质子在某区域中做直线运动，该区域中有互相垂直的匀强电场和匀强磁场： E 4.0kV/m 和 B 50mT ．质子的轨迹在 xz 平面内，且与 x 轴成 30 角，如图所示．求
撤去电场后，质子做螺旋运动的螺距（单位： cm ）．
【难度】 0 【分析】 先考虑粒子做匀速运动的状态，需要让洛仑兹力平衡电场力，这样计算出速度。去掉电场后， 在沿着磁场方向粒子做匀速运动，在垂直于磁场方向做圆周运动。 【解答】
（4） E B
3-14 【题目】
带电量为 q q 0 的点电荷和细长磁棒的其中一个磁极处于同一位置，在它们所生成的电
磁场中，有一个质量为 m 、带电量为 q 的质点，沿圆轨道运动．圆轨道直径的视角为 2 角——从产生电磁场的电荷和磁极所在处的点看．假定磁极产生磁场的磁感应强度
B
a r2
r r
解得 B 1 2meV ed
【答案】
1 2meU ed
（3）轨迹上的邻近两点间的一段长度，在这两点处，粒子的速度为零．
（4）粒子的速度矢量在 x 轴上的投影的平均值(即漂移速度) vx ．
【难度】 1 【分析】 因为洛仑兹力垂直于磁场，所以粒子会在 xy 平面中运动。假设粒子以速度 v0 向右匀速运动 时，洛仑兹力和电场力可以平衡。将粒子的速度分解为 v(t) v0xˆ v '(t) ，做牛顿第二定律化
qB m
为角速度的匀速圆周运动的速度。由初始条件
u
t0
v0
，解得
ux
E B
cos t ,
uy
E B
sin t
，故有 vx
E B
1 cost ,
vy
E B
sin t
，积分得到
x
mE qB2
t
sint
,
y
mE qB2
1
cost
其中 qB m
（3）粒子速度为零，即 vx 0 vy ，由此解得t 2n , n 0,1, 2... ，相邻的t 2 ，
ma qE
得 a Eq 。 m
在 xz 平面内的投影是一个经过原点的圆，圆心在 z 轴上。故 t nT n 2m 时，粒子第 n 次
qB
穿过 y 轴，有
yn
at 2 2
n2
22mE qB2
（2）此时 vy
ta
n
2E B
而在垂直于磁场方向速度分量为 vxoz v0
得 arctan vxoz arctan v0B
因为 E 垂直于 xz 平面而质子轨迹在 xz 平面内，所以质子的动能守恒。因为洛伦兹力也垂直 于 xz 平面，所以粒子匀速运动，且洛伦兹力与电场力平衡：
qE qBv cos
解得 v E 。 B cos
撤去电场后，质子运动在垂直于平面内的投影是匀速圆周运动：
m2r qBr
解得T 2 2 m qB
式中 a 是已知常量，求轨道的半径．设不计重力．
【难度】
1 【分析】
粒子受到洛仑兹力和电场力的共同作用下做匀速圆周运动，这样需要在垂直于轨道面上合
外力为零，在轨道面内写牛顿第二定律
【解答】
设粒子距离磁极 r ，轨道半径为 R ，回旋角速度为 。
粒子受力如图
Fe
kq2 r2
,
Fm
qBR
其中
B
a r2
,
结合第二个方程解得 y mg
(qB m) 【答案】
mg (qB m)
3-16 【题目】 如图所示， A1 和 A2 是两块面积很大、互相平行又相距较近的带电金属板，相距为 d ，两板 间的电势差为U ．同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀磁 场．一束电子通过左侧带负电的板 A1 上的小孔，沿垂直于金属板的方向射入，为使该电子 束不碰到右侧带正电的板 A2 ，问所加磁场的磁感应强度至少要多大?设电子所受到的重力 及从小孔进入时的初速度均可不计．
圆心 O′的 y 坐标值．
【难度】
0 【分析】 在垂直于圆面方面合外力为零，在圆面内写牛顿第二定律。不知道的量统统设出来… 【解答】 设圆运动半径为 R
2 Rm
k
Qq R2 y2
R qRB R2 y2
mg k
Qq
y
R2 y2 R2 y2
由第一个方程得
k
Qq R2 y2
1 qB 2m R2 y2
恒，利用在临界的时候，电子恰好擦过右边版，此时 x d wk.baidu.com px 0 ，联立得到答案。 【解答】
法一：
建立空间直角坐标系如图。电子的动力学方程为
m dv q E v B dt
取 v0
E B
yˆ
U Bd
yˆ ，记 u
v v0 ，有
du e B u dt m
可见 u 是以 eB 为角速度的匀速圆周运动的速度。由初始条件 m
vy
2En
【答案】
(1)
n2
22mE qB2
(2) arctan v0B 2En
3-13 【题目】 一荷质比为 q / m 的粒子在互相垂直的匀强电场 E 和匀强磁场 B 中运动，如图所示．当 t 0 时，粒子位于 O 点且速度为零．求：
（1）粒子的运动规律 xt 的表达式．
（2）粒子的运动规律 y t 的表达式．
【难度】
1 【分析】 方法一，设一个速度 v0 使得洛仑兹力和电场力能平衡，把粒子运动速度分解为 v(t) v '(t) v0 ，则 v '(t) 圆周运动。方法二，体系在竖直方向具有平移不变性，于是可以可
以写 y 方向动量定理得到： py qvxBt qxB ，于是 py qxB 是不变量。结合能量守
0 【分析】
粒子能在垂直的电场和磁场中沿直线运动，说明粒子受到的洛仑兹力和电场力平衡。这样
能确定粒子在垂直于磁场方向的速度。已知电场和磁场都是横向的，即垂直于质子束的，
即可由动量定理求出作用力。
【解答】
如图，速度方向、电场方向和磁场方向两两垂直，洛伦
兹力与电场力平衡
qE qvB
得v E B
取一小段时间 dt ，这期间冲到靶上的粒子的电量为
R
r
sin
动力学方程可由力三角表示，以 Fe, Fm 为直角边的三角形，斜边为 m2R
解得 r a2 tan2 km
故有 R a2 sin3 km cos2
【答案】 a2 sin3 km cos2
m2R cos Fm Fm tan Fe
3-15
【题目】 如图所示的直角坐标系中，坐标原点 O 固定一个电量为 Q 的正点电荷，另有指向 y 轴正向 的匀强磁场，磁感应强度大小为 B ．若有一质量为 m 、电量为 q 的正点电荷微粒恰好能以 y 轴上的 O′点为圆心做匀速圆周运动，圆轨道平面与水平面 xOz 平行，角速度为 ．试求
（1）当粒子第 n 次穿过 y 轴时，它的坐标 yn （2）这时粒子的速度矢量和 y 轴的夹角 ．
【难度】 0 【分析】 沿磁场方向粒子做匀加速直线运动，在垂直于磁场方向粒子做匀速圆周运动。 【解答】 （1）在垂直于磁场方向粒子做匀速圆周运动，动力学方程
m2r qBr
解得 T 2m 。 qB
沿磁场方向粒子做匀加速直线运动，动力学方程
而在沿 B
方向匀速运动，故螺距为 h
Tv sin
2 mE tan qB2
6.1cm
【答案】
6.1
3-11 【题目】 一束质子流(不考虑相对论效应)，不偏离地通过某一区域后击中接地的靶子．这个区域中 有均匀的互相垂直的横向电场和磁场： E 120kV/m ， B 50mT ．如果质子束的电流强度 为 I 0.80mA ，求作用在靶子上的力（单位： μΝ ）． 【难度】
x
mE qB2
t
2 mE qB2
,
y
0
所以 s
x 2
y2
2 mE qB2
（4） u
是匀速圆周运动的速度，平均下来是 0
，故漂移速度就是 v0
E B
xˆ
。它的
x 投影 vx
为E B
【答案】
（1）
mE qB2
qB m
t
sin
qB m
t
（2）
mE qB2
1
cos
qB m
t
（3） 2 mE qB2
Idt 。这些粒子的质量为 m Idt 。由动量定理 e Fdt 0 v m Idt e
其中 F 是质子束受到的力。作用在靶上的力是它的反作用力
【答案】
F ' F mIv mIE 20μΝ e eB
20
3-12 【题目】一荷质比为 q / m 的粒子以初速 v0 从坐标的原点 O 沿 x 轴飞出，坐标所在区域有均 匀的电场 E 和磁场 B ，它们的方向都和 y 轴平行，如图所示．不考虑相对论效应，求：
简得到 m v '(t) qv '(t) B ，这样 v '(t) 做纯匀速圆周运动。于是粒子的速度可以表示成为匀 t
速运动和匀速圆周运动的叠加。
【解答】
（1）（2）动力学方程
取 v0
E B
xˆ ，记 u
v
v0
，有
m dv q E v B dt
du q B u dt m
可见
u
是以
u t 0
U Bd
yˆ 知圆运动这部分的半径 R
u
Um eB2d
，且与 y 轴相切，由几何关系临界是当
2R d 时。解得 B 1
ed 法二：
动力学方程的 y 分量
2meV
m dvy dt
q
0
vx
B
qB
dx dt
由此 mvy qBx 0 。
临界情况下电子到了正极板处速度沿 y 方向 v2 vy2 ，又能量关系 1 mv2 0 qU eU 2