(完整版)无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量
2
lim ( x + 3 x)
2
0 正解：∵ lim 正解 = = =0 ， x→2 x 2 + 3 x lim ( x 2 + 3 x) 10
x →2 x →2
x−2
lim ( x − 2)
x + 3x ∴ lim =∞ 。 x→2 x − 2
2
例.求下列极限
3x − 4 x + 2 ∞ （1） lim ( 型 ) 3 x→∞ 7 x + 5 x − 3 ∞ 3 4 2 − + 2 x x 2 x3 3x − 4 x + 2 解：※ 若 a0 ⋅b0 ≠ 0 ， m, n∈N + ，则 = 0 ； lim = lim 5 3 x→∞ 7 x 3 + 5 x − 3 x→∞ 7+ − 2 3 x ax 0 3 b , 当 m = n, 7 x + 5 x n−1 ∞ −3 （2） lim x n + a x +L型 0 ( + a) a0 2 1 x→ lim ∞ 3x − 4 xm−1 ∞ n = ∞, 当 m < n, +2 m x →∞ b x + b x +L+ bm 0 1 0, 当 m > n. 3 7 x +5x −3 解： lim =∞ 。 2 x→∞ 3 x − 4 x + 2
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 1.无穷小量
定义 1
若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 tan x 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
无穷小量与无穷大量
定理11. 若在同一极限过程中, α, β, γ 均为无穷小
量, 则
(1). α ~ α;
(反身性)
(2).若α ~ β; 则 β ~ α;
(对称性)
(3).若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性)
(4).若α ~ β; 则 αγ ~ γ β .
9
定理12. (等价代换原理)设α, α１, β, β１, 为同一极限
过程中无穷小量且 α～α１,β～β１, 若 lim 1 存在,则
1
lim lim 1 .
1
注1:由此定理可知, 求两个无穷小量商的极限时, 如果 分子, 分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的 等价无穷小量来代换原来的分子, 分母, 使计算简化. 请记住以下几个常用的等价无穷小量:
10
当x 0 时
因 ( x) 为无穷小量,
则 0, 某个时刻，在此时刻后, ( x)
f
M ( x)( x)
M
.
M, f ( x)( x)为无穷小量.
M
例 lim x sin 1 0, 但 lim x sin 1 1.
x0
x
x
x
sin x
(1)n
lim
0; lim
0.
x x
n n
3
定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和.
不是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值
绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量).
记为 lim f ( x) （或）lim f ( x)
注2.通常 lim f ( x) 是极限不存在的记号; 但它又
无穷大量与无穷小量
例1 证明 : 当x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
性质2 有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 性质 ： 有限个无穷小量之积仍为无穷小量 注:无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量. 无穷多个无穷小量之积不一定是无穷小量.
性质3： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量. 性质 ： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 证 设函数 u( x )在0 < x − x 0 < δ 1内有界， 内有界，
2 2
, .
趋
零的 快
度
定义: 定义:
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且β ≠ 0.
α (1) 如果 lim = 0, 就说α是比β 高阶的无穷小, β 记作 α = o( β );
(2) 如果 lim
记作α 记作α=O(β)或 β=O(α) β)或 α α 特别地： 如果 lim = 1, 称α与β是等价的无穷小; β 记作 α ~ β ; α 此外， 如果 lim k = A ( A ≠ 0, k > 0), 称α是β的k阶无穷小. β α (3) 如果 lim = ∞, 称α是比β低阶的无穷小. β
π 无界， y( xn ) = 2nπ + , 当n充分大时, y( xn ) > M . 无界， 2 1 ′ ( 2) 取 x n = ( n = 0,1,2,3,L) 2 nπ
当n充分大时 , x ′ 可以任意小 , n
第一章无穷小量与无穷大量
α ( x) 的同阶无穷小， （3）如果 lim = A ≠ 0，则称 α ( x )是β ( x )的同阶无穷小， β ( x)
α ( x) 是等阶无穷小量， 当A = 1，即 lim = 1，则称 α ( x )与β ( x )是等阶无穷小量， β ( x)
记作α(x) ～ β(x) 记作
α ( x) 的同阶无穷小， （3）如果 lim = A ≠ 0，则称 α ( x )是β ( x )的同阶无穷小， β ( x)
x →0
x
1 sin ≤ 1， 解：因为 lin x = 0，即x是x → 0时的无穷小量。 x →0 x 1 1 即 sin 是有界变量 ， 由推论 2知x sin 为x → 0时的无穷 x x 1 小量， 即 lim x. sin = 0 x →0 x
三、无穷小的比较
x， x，x 2都是无穷小， 都是无穷小， 我们知道， 我们知道，当 x → 0时， 3
x2 lim = 0， x →0 3 x 3x lim 2 = ∞， x →0 x 3x lim = 3， x况， 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反 映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度． 映了不同的无穷小趋向于零的快慢程度．所以无 穷小量的比较是指这种趋向于0的 穷小量的比较是指这种趋向于 的“快”与“慢” 的比较， 的比较，可以用它们在同一变化过程中的比值的 极限来衡量． 极限来衡量．
即 lim ( x 2 − 2 x + k ) = 0
x→3
所以， 所以，k=3
例4、 x3 1)、lim = 0， 则 x 3是 x的高阶无穷小 x→0 x
x = ∞ ， 则 x是 x 3的低阶无穷小 x→0 x 3 tan 2 x 3)、lim = 2， 则 tan 2 x是 x的同阶无穷小 x→0 x 2)、lim
无穷小量和无穷大量wuqiongdahewuqiongxia
•
f xogx
(4) 如果
lim
f g
xx ，则称f是比g低阶的无穷小量。
例如 lim xsinx2lim0
xsinx2与x 为同阶无穷小量。
时x 0
limtanxlimsinx 1 1， 所以，当 x 0 x x 0 x cosx
x 时0
tanx x
无穷小量的性质
•性质１ 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 •性质２ 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 •性质３ 常数乘以无穷小量仍是无穷小量。 •性质４ 有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。
例如 由性质4可得
cos x lim 0 x x
二、无穷大量
定义 若 x x0 时，函数 | f x |，则称函数f(x)
2、limxsin11 1、limsin x 0
x x
x x
填空题
x 为曲x 0 线y＝f(x)的垂直渐
三、无穷小量与无穷大量的关系
定理 如果当 x x0 或 x 时，f(x)为无穷大量, 则
为无 且
穷1小量；反之，如果当
f x
为无穷大f 量x。
0,则
时x ， f(xx)0为或 无x 穷 小量，
1
f x
说明 据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。
第四节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量
定义 若 x x0或x时 ，函数 f x则称0函, 数 f(x)为 x x0 或x 时的无穷小量。
例如： limx20 ，函数 x2当x2 时为无穷小 x2
li m 1 0 ，函数 x x
1 当 x时为无穷小。
x
说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。
例11 求
无穷小量无穷大量
正无穷大量 : lim f ( x)
负无穷大量 : lim f ( x)
1 例 证明 lim 1 . x 1 x 1
1 证 : 设 G是任意给定的正数 , 要使 G, x 1 1 只要 | x 1| . G y 1 1 取 , 则当 0 | x 1| 时 , 0 G
错！ 错！
1 1 1 （1）错解： lim lim x lim x lim sin 1 ， ； 正解： ∵ x sin 0 ，而 sin 0 x0x0 x x0 x0x x
1 ∴ lim x sin 0 。 x x0
1 （2） 解： ∵ lim 0 ，而 arctan x ， 2 x x
(3)若lim X ， limY , 则lim(X Y) (4) 若lim X ， Y, 则limY X (5)若lim X ，则lim （ X )
1 (6) 若lim X ，则lim 0; X 1 反之，若lim X 0，且X 0, 则lim X
5
1 就有 G. x 1 1 所以 lim . x 1 x 1
-4
-2
-5 -10
2
4
6
x
又如 用无穷大的定义可以证明 :
当x 时, e x 是无穷大量,即 lim e x
x
当x 0 时, e 是无穷大量,即 lim e
x 0
1 x
1 x
在下面的定义和定理中, 总设 及 是在同一 个自变量的变化过程中的 无穷小 , 且 0 .
定义 3 设 lim X lim Y 0
X （1）若 lim 0 , 则称 X 是比 Y 高阶的无穷小 , Y 而称 Y 是 X 的低阶无穷小 ; 记为X o(Y );
大学数学-1-5-无穷小与无穷大无穷小的比较精选全文完整版
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x 5x, tan 6x 6x,所以
lim sin 5x lim 5x 5 . x0 tan 6x x0 6x 6
例 5 求lim (x 3) tan x . x0 arcsin 4x
第五节 无穷小与无穷大 无穷小的比较
一、无穷小
在讨论变量的极限时，经常遇到以变量零为极限的变量.
例如，数列(
1 2
)n
，当n
时，极限为
0；
函数 1 x2
，当n
时，极限也为
0；
函数（ x 2），当x 2时，极限为 0，等等.
这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称
为无穷小量（简称为无穷小）.
注意 这里lim X 只是沿用了极限符号，并不意 味着变量 x 的存在极限；无穷大()不是数，不可与绝 对值很大的常数(如107 108等)混为一谈；无穷大是指绝 对值可以任意变大的一个变量.
例 3 下列变量中，哪个是无穷大，哪个是无穷小，
为什么？
（1）1 (x 0) ；（2） tan x (x 0) ；（3） 1 (x 2) ；
比较两个无穷小在自变量同一变化过程中趋于零的“速
度”是很有意义的，并能为处理未定式极限问题带来一些具
体方法.
三、无穷小的比较
设 lim 0,lim 0, 且lim 也是在该变化过程中的
极限问题.
1. 如果lim 0, 就说 是比 高阶无穷小，记作
( );当 0时，也说 是比 低阶的无穷小.
无穷小量与无穷大量
当
x
0
x 时，ln
x
是负无穷大，记作
lim
ln x 。
x ，1 就不是无穷大，而是无穷小x了0。 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不
能与任何一个绝对值很大的常数如101000 ，
10001000 等混为一谈。
问：两个无穷大量的和是否是无穷大量？
答：不一定。
例如： f (x) 2x 1 ， g(x) 2x ，
2x
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim 1 0 是无穷小量。
x
x 2x
又如： f (x) 2x cosx ， g(x) 2x ，
lim f (x) ， lim g(x) ，它们都是无穷大量，
x
x
但 lim [ f (x) g(x)] lim cosx 不存在。
例．求下列极限
（1） lim xsin 1 ； （2） lim arctanx 。
x0 x
x x
错！
错！
（1）错正解： li∵m lximsinx10 l，im而x sliimn 1sin11， 0 ； x0x0 x x0 x0x x ∴ lim xsin 1 0 。 x0 x
（2） 解： ∵ lim 1 0 ，而arctan x ，
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量； 当 x x时，xx 是无穷小量；
当x 时， ax (a 1) 是无穷小量；
当 x 时， 1 是无穷小量。 x2
无穷小与无穷大无穷小的比较【可编辑全文】
lim f (x) A f (x) A 其中 lim 0．
2.4.2 无穷大
定义1.10 如果 x x0(或 x )时， 相应的函数值的绝对值 f (x) 无限增大，则称 f (x) 当 x x0(或 x )时为无穷大量无穷
大量，简称无穷大.
如果函数 f (x)当 x x0 (x )时为无
' '
'
20
在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因 子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种 方法称为等价无穷小替换法．
常用的无穷小替换有：(x 0)
sin x ~ x tan x ~ x ex 1~ x
arcsin x ~ x arctan x ~ x ln(1 x) ~ x
1 cos x ~ x2 2
(1)当x 时，y x2
(2)当x 时，y
1 x2
(3)当x 1时，y 1 x 1
(4)当x 1时，y x 1
是无穷大 是无穷小 是无穷大 是无穷小
9
(5)当x 0时，y 3 1 x
(6)当x
时，y
2 x2 2
(7)当x 时，y 3 x
(8)当x
时，y
1 3x
是无穷大 是无穷小 是无穷小 是无穷大
性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然 是无穷小量．
性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷 小量．
性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量． 性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷 小量．
例2 求 lim x sin 1 ．
x0
x
解 量；
因为
sin 1 1，所以 x
sin
1 x
是有界变
当 x 0 时，x 是无穷小量．
无穷小量和无穷大量
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( x ) ~ x， 1
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
x
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
任何无穷小量都是有界量。
类似可定义x→x0+, x→x0-,x→+∞, x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。
例1 (1) lim sin x 0， x 0
sinx是当x 0时的无穷小， sin x o(1) ( x 0 )； 即
lim sin x 1 0， sin x o(1) ( x
三、无穷小量的性质
性质1 有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是 无穷小量. 性质2 （同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是 无穷小，即 O(1)· o(1)=o(1).
证法1： 用迫敛性可以证明。
性质2 （同一过程中的） O(1)· o(1)=o(1). 证法2 仅对 x x0 这种自变量的变化过程 来证。
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0). （1）若 lim f ( x )h( x ) A, 则 lim g( x )h( x ) A,
x x0 x x0
h( x ) h( x ) （2）若 lim B, 则 lim B x x0 f ( x ) x x0 g ( x ) h( x ) h( x ) f ( x ) h( x ) f ( x) lim lim lim 证（2） lim x x0 g ( x ) x x0 f ( x ) g ( x ) x x0 f ( x ) x x0 g ( x )
第三节无穷小和无穷大
例. 求 解:
tan x − sin x lim . 3 x→0 x
原式
x−x 原 = lim 3 式 x→0 x
= lim x⋅ 1 x2 2 x3
x→ x→0
说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→∞ )
( f (x) < −M ),
( lim f (x) = −∞)
概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数， 概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变 化过程中的无穷大量 非正常极限). 无穷大量.(非正常极限 化过程中的无穷大量 非正常极限
limsin x = 1.
x→
π
因此， 因此，它不是x → 时的无穷小量. 2
(3)关于有界量. 关于有界量 关于有界量
π
2
2.无穷小量的运算性质 无穷小量的运算性质
定理1. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
∀ε > 0,
当 当
时,有 时,有
取 δ = min{ δ1 , δ2 }, 则当 0 < x − x0 < δ 时, 有
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 例如 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
第四节 无穷小量与无穷大量
0 解： （1）∵ lim 0 ， 2 2 x2 x 3 x lim( x 3 x ) 10
x2
x2
lim( x 2)
x2 3x . ∴ lim x2 x 2 3 1 2 x x2 （2） lim ( ) lim 3 x 1 1 x x 1 1 x 3 1 x
（3）负无穷大量的定义
G 0, 0, 0 x x0 , 恒有 f ( x ) G lim f ( x ) .
xx0
例如：
当 x 时， tan x 是无穷大，记作 limtanx ； 2 x
2
当 x时， e x 是正无穷大，记作
x
b f ( x) 而 lim 0 ，∴ lim[ a ] 0 ， x x x x
x x x
则直线 y b 叫做曲线 y f ( x ) 的水平渐近线.
设直线 y ax b 是曲线 y f ( x ) 的斜渐近线， 问 a 和 b 如何确定？
曲线 y f ( x ) 上任意一点 P ( x , y )
到直线 y ax b 的距离为
PM f ( x ) ax b a 2 1
li m 1 ]11 0 ， [ 证： （1）∵ li m
∴ o( ) （同理可证得 o( ) ）. 在乘积的极限运算中等价的无穷小因子可以 , 互相代换.
（2） lim lim lim lim lim l i m .
1 2 x 1 1 2 lim . 2 x0 1 2 2 x ( x ) 2
1 1 k 例 4．当 x 时 ，若 ( 1 x x )～ ( ) ，求 k. 2 x
无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，在研究极限和无穷时经常出现。
本文将介绍无穷小量和无穷大量的定义、性质以及它们在计算极限过程中的应用。
一、无穷小量的定义与性质无穷小量通常用符号“Δx”或者“dx”表示，表示趋于零的一个量。
严格的定义是：如果函数f(x)在某一点a处的极限为零，那么称Δx为函数f(x)在点a处的一个无穷小量。
无穷小量的性质如下：1. 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。
2. 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量。
3. 无穷小量与有限数的和为无穷小量。
4. 无穷小量与有限数的积为无穷小量。
二、无穷大量的定义与性质无穷大量通常用符号“∞”表示，表示趋于无穷大的一个量。
严格的定义是：如果对于任意的正数M，总存在正数N，使得当x>N时，有|f(x)|>M，那么称f(x)为一个无穷大量。
无穷大量的性质如下：1. 有限数与无穷大量的和为无穷大量。
2. 有限数与无穷大量的差为无穷大量。
3. 有限数乘以无穷大量为无穷大量。
4. 无穷大量与零的积为无穷小量。
三、无穷小量与无穷大量的关系在极限计算中，无穷小量和无穷大量是密切相关的。
当x趋于某一特定值时，如果Δx是一个无穷小量，那么f(x)就是一个无穷大量。
根据无穷小量和无穷大量的性质，可以得到一些重要的极限计算法则。
1. 极限的四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规则。
2. 极限的夹逼定理：如果对于x处于某一邻域内的所有值，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))也等于L。
四、无穷小量和无穷大量的应用1. 在微分学中，无穷小量被用来定义导数。
导数表示函数变化率的大小，而无穷小量则表示极小的自变量变化量，二者的关系可以通过极限的定义来推导。
2. 在积分学中，无穷小量被用来定义微积分的基本概念。
无穷小及无穷大
1.4 无穷小与无穷大无穷小1．无穷小量的定义定义：如果* →*0〔或* → ∞ 〕时, 函数f (*) 的极限为零 ,则把f (*) 叫做当* →*0〔或* → ∞ 〕时的无穷小量，简称无穷小。
例如：因为0)1(lim 1=-→x x ，所以函数*-1是*→1时的无穷小。
因为01lim =∞→xx ，所以函数x 1是当*→1时的无穷小。
因为011lim =--∞→x x ，所以函数x-11是当*→－∞时的无穷小。
以零为极限的数列｛*n ｝，称为当n →∞时的无穷小，n 1，n 32 都是n →∞时的无穷小。
注：⑴不能笼统的说*函数是无穷小，说一个函数f(*)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在*→*0〔或*→∞〕时，极限仍为常数本身，并不是零。
⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在*→*0〔或*→∞〕时，极限是零。
2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小〔无穷多个无穷小之和不一定是无穷小〕。
⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
〔常数与无穷小的乘积仍是无穷小〕。
⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
例1．求x x x sin lim ∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim =∞→x x∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
∴x x x sin lim ∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是该函数的极限。
4．无穷小的比拟例：当*→0时，*, 3*， *2, sin*, xx 1sin 2都是无穷小。
观察各极限：0320lim =→xx x *2比3*要快得多 1sin lim 0=→x x x sin* 与*大致一样 ∞=⋅=→→x x xx x x x sin 1sin lim lim 020sin*比*2慢的多 x x x x x x 1sin 1sin lim lim 0220→→= 不存在 不可比 极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度〞是多样的。
微积分 第二章 第三节 无穷小量和无穷大量
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 说明：
1.称一个变量为高阶或同阶无穷小量，是没有意义
的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小量比较时，
才能说它们阶的高低或是否同阶.
2.在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能
比较阶的高低的.
3. 如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0), 则称是x的k阶
无穷小量.
4. 利用等价无穷小量，可简化某些极限的求解过程.
M
即证得 lim f (x)g(x) 0 . x x0 3
例1 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小, x
而sin x是有界函数.
y sin x x
lim sin x 0. x x
错误解法: lim x sin 1 lim x limsin 1 0 .
3. lim f (x) A _______ f (x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4.在同一过程中,若 f (x) 是无穷大,
则 ______是无穷小.
17
二、根据定义证明:当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 . 三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当
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五、小结 思考题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1. 主要内容: 三个定义;一个定理;三个性质. 2. 几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是 无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
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无穷大量和无穷小量
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小量. x
lim (1)n 0, 数列{(1)n }是当n 时的无穷小量.
nHale Waihona Puke nn关于无穷小量之注
不要把无穷小量与任何一个很小的数混为一谈. 无穷小量为变量,任何一个很小的数为常量.
无穷小量是对于某个变化过程而言的,同一个 变量在一个变化过程中为无穷小量,在另一变 化过程中不一定为无穷小量.
y M, 则 称 在 过 程p中，变 量y为 无 穷 大 量，记 作
lim y . p
无穷大量的例子
因为lim 1 ,故当x 0时， y 1 是无穷大量.
x0 x
x
因为lim ln x ,故当x 0时，y ln x是无穷大量. x0
因为lim e x ,故当x 时，y e x是无穷大量. x
证 设及是当x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N2 0,使得
当
x
N
时恒有
1
; 2
当
x
N
时恒有
2
; 2
取 N max{N1 , N2 }, 当 x N时, 恒有
, 0 (x )
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定理3： 有界变量与无穷小量的乘积是无穷 小量.
性质2之证明
证 设函数u在U 0 ( x0 , 1 )内有界，
无穷大量为无界变量, 但无界变量不一定为无 穷大量.
无界变量而非无穷大量的例
例 如, 当x 0时, y 1 sin 1 是一个
xx 无 界 变 量, 但 不 是 无 穷 大 量.
x 1 k
k
无穷小量与无穷大量的关系
定理: 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷
小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.
111无穷大与无穷小、无穷小的比较精选全文完整版
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小. 例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
例4 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
关于1∞型极限的求法
n n2 1 n2 2
n2 n
2. 有界量与无穷小量之积为无穷小量.
例如 lim x sin 1 .
x0
x
3.有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量。
二、无穷大量
定义 2 如果函数 f ( x)当 x x0(或 x )时无限增
大,则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大量,
lim[ f ( x)]g( x) lim f ( x) 1, lim g( x)
lim[ f ( x)]g( x) lime g( x)ln f ( x) elim g( x)ln f ( x)
lim
g(
x ) ln
f
(
x
)
lim
ln[1
(
f( 1
x)
1)]
g( x)
lim
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第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量
定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()
y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为
∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞
→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函
数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作
∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞
→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有
|f (x )|>M .
正无穷大与负无穷大:
+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )
( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1
1lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=
δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|
, 所以∞=-→1
1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|
1|1|11|
, 只要M x 1|1|<-.
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:
如果∞=→)(lim 0
x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.
例如, 直线x =1是函数1
1-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)
在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,
则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.
简要证明:
如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当
0<|x -0x |<δ时,
有M x f 1|)(|=
<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|
, 所以)
(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε
1
=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)
(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:
如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,
当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,
有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).
1.3.3无穷小量的性质
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，
性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，
性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
例：求01lim sin x x x
→ 1.3.4无穷小量的阶（阶：理解为无穷小量趋近于零的速度） 定义1.14：设,αβ是同一变化过程中的两个无穷小量
如果lim 0βα
=，就说β是比α高阶的无穷小量，记作0()βα=
如果lim
βα
=∞，就说β是比α低阶的无穷小量， 如果lim 0c βα
=≠，就说β是比α同阶的无穷小量， 如果lim 0,0k c k βα
=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小量， 如果lim 1βα=，就说β是比α等价无穷小量，记作αβ:
补充：常见的等价无穷小量 当0x →时
sin ~x x sin ~arc x x tan ~x x tan ~arc x x
(1)~lin x x + -1~x
e x 21(1cos )~2x x - 11(1)~n x x n +
第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第周第学时教案授课教师：贾其鑫。