(完整版)无穷小量与无穷大量

第周第学时教案授课教师：贾其鑫

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第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量

定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()

y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为

∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞

→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函

数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作

∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞

→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有

|f (x )|>M .

正无穷大与负无穷大:

+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )

( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1

1lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=

δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|

, 所以∞=-→1

1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|

1|1|11|

, 只要M x 1|1|<-.

第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:

如果∞=→)(lim 0

x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.

例如, 直线x =1是函数1

1-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)

在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,

则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.

简要证明:

如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当

0<|x -0x |<δ时,

有M x f 1|)(|=

<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|

, 所以)

(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε

1

=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)

(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:

如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,

当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,

有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).

1.3.3无穷小量的性质

第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，

性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，

性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，

性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。

例：求01lim sin x x x

→ 1.3.4无穷小量的阶（阶：理解为无穷小量趋近于零的速度） 定义1.14：设,αβ是同一变化过程中的两个无穷小量

如果lim 0βα

=，就说β是比α高阶的无穷小量，记作0()βα=

如果lim

βα

=∞，就说β是比α低阶的无穷小量， 如果lim 0c βα

=≠，就说β是比α同阶的无穷小量， 如果lim 0,0k c k βα

=≠>，就说β是关于α的k 阶无穷小量， 如果lim 1βα=，就说β是比α等价无穷小量，记作αβ:

补充：常见的等价无穷小量 当0x →时

sin ~x x sin ~arc x x tan ~x x tan ~arc x x

(1)~lin x x + -1~x

e x 21(1cos )~2x x - 11(1)~n x x n +

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