全等三角形与坐标系

全等三角形与坐标系

1.如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足(a−t)2+|b−t|=0(t>0)．（1）证明：OB=OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN 交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标

2.如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；

（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；

（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．

3.平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且

m、n满足√m+2+(n−2)2=0．

（1）求点A、C的坐标；

（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD 之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），OM+AN

的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．

BN

4.已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点．

（1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长；

（2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG与∠FCA 之间有和数量关系？并证明你的结论；

（3）如图3，A（-3，0），B（0，-4），点E（-6，4）在射线BA上，以BC为边向下构成等边△BCM，

以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证:AN

MN =1

2

5.已知，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作

AC⊥BQ交y轴于点D．

（1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变．（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明．

6.如图，A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC，垂足分别为M、N．

(1)求证：CM+CN=AB;

(2)过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．

图①图②

7.如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0).

(1)如图①，求BD的长；

(2)如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA;

(3)如图③，若点P为OB上一个动点（不与0、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N.当P在OB上运动时，

下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.

图①图② 图③

8.如图，已知B（-1，O），D(O，2)，经过点C(3，0)的直线EC交直线BD于A，交y轴于E，使AD=AE．

(1)求证：AB=AC；

(2)△ABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D，直线DF交AC延长线于F，交x轴于G且BD=CF，

求证：OG长度不变．

图①图②