全等三角形与坐标系

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易错04 三角形全等问题的分类讨论中漏解从而产生易错(解析版)-2021学年八上期末提优训练

12020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）易错04 三角形全等问题的分类讨论中漏解从而产生易错【典型例题】1．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB =AC ,BC =12厘米，点D 为AB 上一点且BD =8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，设运动时间为t ，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）用含t 的式子表示PC 的长为；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当2t =时，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，请求出点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？【答案】解:(1) 由题意得出：122BC BP t ==，122PC BC BP t -=-=，故答案为：()122cm t -(2)当2t =时，224BP CQ ==⨯=厘米，8BD =厘米．2又,12PC BC BP BC =-=厘米，1248PC ∴=-=厘米，PC BD ∴=，又AB AC =，B C ∴∠=∠，在BPD △和CQP 中，BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPD CQP SAS ∴≌;③P Q v v ≠，BP CQ ∴≠，又,BPD CPQ B C ∠=∠≌，6cm,8cm BP PC CQ BD ∴====，∴点P ，点Q 运动的时间6322PB t ===秒， 83Q CQ V t ∴==厘米/秒．即点Q 的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，题目比较好，但是有一定的难度．【专题训练】一、填空题1．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．34 【答案】8cm 或15cm解：①当P 运动到AP ＝BC 时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QP A 中，AB QPBC PA =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，5AB PQ AC PA=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 2．（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，ABC ∆中，90,6,8ACB ACcm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．【答案】如图1所示：PEC∆与QFC∆全等，PC QC，683∴-=-t t，解得:1t=；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或7 2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．3．（2020·宁波市曙光中学九年级月考）如图，已知点(44)A-，，一个以A为顶点的45︒角绕点A旋转，角的两边分别交x轴正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF直角三角形时，点E的坐标是________．67 【答案】(8)0，或(40)，①如图所示：90AFE ︒∠=，∴90AFD OFE ︒∠+∠=，∵90OFE OEF ︒∠+∠=，∴AFD OEF ∠=∠，∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，∴45AEF EAF ︒∠==∠，∴AF EF =，在△ADF 和FOE 中，ADE FOEAFD OEF AF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△FDE ，8∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，∴(40)E ，． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，∴(40)E ，，综上所述，满足条件的点E 坐标为(8,0)或(4,0)故答案为：(8,0)或(4,0)【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解． 4．（2020·常州市北郊初级中学八年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝8，D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC 上以每秒2 个单位的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上以每秒 x 个单位的速度由C 点向 A 点运动．当△BPD 与以 C 、Q 、P 为顶点的三角形全等时，x 的值为_____．【答案】2 或 3解：设经过 t 秒后，使△BPD 与△CQP 全等．∵AB ＝AC ＝12，点 D 为 AB 的中点．∴BD ＝6．∵∠ABC ＝∠ACB ．∴要使△BPD 与△CQP 全等，必须 BD ＝CP 或 BP ＝CP ．9即 6＝8﹣2t 或 2t ＝8﹣2t ．1t ＝1，2t ＝2．当t ＝1 时，BP ＝CQ ＝2，2÷1＝2．当t ＝2 时，BD ＝CQ ＝6，6÷2＝3．即点 Q 的运动速度是 2 或 3，故答案为：2 或 3．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程．5．（2020·铜陵市第二中学）如图，5AB cm =，4AC BD cm ==，60CAB DBA ∠=∠=︒．点E 沿线段AB 由点A 向点B 运动，点F 沿线段BD 由点B 向点D 运动，E 、F 同两点时出发，它们的运动时间记为t 秒．已知点E 的运动速度是1cm s ，如果顶点是A 、C 、E 的三角形与顶点是B 、E 、F 的三角形全等，那么点F 的运动速度为______cm s ．【答案】1或85解：根据题意，∵60CAB DBA ∠=∠=︒，当AE =BF ，AC =BE 时，△ACE ≌△BEF ，∵AE =t ，5BE t =-，AC =4，∴54t -=，∴1t =，∴BF=AE=1，∴点F的运动速度为1cm s；当AE=BE，AC=BF时，△ACE≌△BFE，∴1155222 AE BE AB===⨯=，∴52 t=；∴点F的速度为：584/25cm s ÷=；综合上述，点F的运动速度为1或85cm s．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，点的运动问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意运用分类讨论的思想，数形结合的思想进行解题．6．（2020·全国八年级单元测试）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E 为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】3或9 2解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∵B＝∵C，10∵∵当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，∵BPE与∵CQP全等，此时，6＝8﹣3t，解得t＝2 3，∵BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为2÷23＝3厘米/秒；∵当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，∵BPE与∵CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝4 3，∵点Q的运动速度为6÷43＝92厘米/秒；故答案为3或9 2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．7．（2020·河南商丘市·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（3，2），点P在坐标平面内，以A、O、P为顶点的三角形与∵AOB全等（点P与B不重合），写出符合条件的点P的坐标________________．【答案】（3，-2）或（1，2）或（1，-2）如图：11符合条件的点P有3个，（3，-2）或（1，2）或（1，-2）故答案为：（3，-2）或（1，2）或（1，-2）．【点睛】本题考查坐标与图形性质、全等三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2020·广西玉林市·八年级期中）已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标：_______________．【答案】（4，0）（0，6）（4，6）解：如图，符合条件的点P的坐标有三种情况，分别是：（4，0）、（0，6）、（4，6），故答案为：（4，0）、（0，6）、（4，6）．1213【点睛】本题考查三角形全等的判定与直角坐标系的综合运用，根据三角形全等的判定画出全等三角形后写出顶点坐标是解题关键． 9．（2020·江西省宜春实验中学八年级期中）如图，在△ABC 中，点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(0,4)，点C 的坐标为(4,3)，点D 在平面直角坐标系中且不与C 点重合，若ABD △与△ABC 全等，则点D 的坐标是_________．【答案】(4,2)或(4,2)-或(4,3)-解：当D 点与C 点关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵-4∵3∵；当点D 与点C 关于AB 的垂直平分线对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵4∵2∵；点D 点与∵4∵2∵关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵-4∵2∵；综上所述，D 点坐标为∵-4∵3∵∵∵4∵2∵∵∵-4∵2∵．故答案为：∵-4∵3∵∵∵4∵2∵∵∵-4∵2∵．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了坐标与图形性质．10．（2020·广州市第五中学八年级期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC=4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动_________秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．【答案】0或2或6或8△≌BDE，解：①当E在线段AB上，AB=BE时，ACB这时E在A点未动，因此时间为0秒；△≌BED，②当点E在线段AB上，AC=BE时，ACB∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB－BE=8－4=4cm，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；△≌BED，③当E在BN上，AC=BE时，ACB∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB+BE=8+4=12cm，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；14△≌BDE，④当E在BN上，AB=BE时，ACB∵AB=8cm，∴BE=8cm，∴AE=AB+BE=8+8=16cm，∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），综上所述，当点E运动0或2或6或8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．故答案为：0或2或6或8．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练的掌握直角三角形全等的判定定理．二、解答题11．（2020·兴化市乐吾实验学校八年级月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．Array（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】1516解：（1）当1t =时，1AP BQ ==，3BP AC ==，又90A B ∠=∠=︒，在ACP ∆和BPQ ∆中，AP BQA B AC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACP BPQ SAS ∴∆≅∆．ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠=︒．90CPQ ∴∠=︒，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若ACP BPC ∆≅∆，则AC BP =，AP BQ =，则34tt xt =-⎧⎨=⎩，解得：11t x =⎧⎨=⎩；②若ACP BQP ∆≅∆，则AC BQ =，AP BP =，则34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得：232 tx=⎧⎪⎨=⎪⎩；综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得ACP∆与BPQ∆全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．12．（2020·长春市第九十七中学校八年级期中）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB//DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【答案】（1）证明：在ABC 和EDC中，1718 AC ECACB ECD BC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵ABC ∵EDC （SAS ），∵∵A ＝∵E ，AB =DE =4∵AB //DE ．（2）解：当0≤t ≤43时，AP ＝3tcm ；当43＜t ≤83时，BP ＝（3t ﹣4）cm ，则AP ＝4﹣（3t ﹣4）＝（8﹣3t ）cm ；综上所述，线段AP 的长为3tcm 或（8﹣3t ）cm ；（3）解：由（1）得：∵A ＝∵E ，ED ＝AB ＝4cm ，在ACP 和ECQ 中，A EAC CE ACP ECO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵ACP ∵ECQ （ASA ），∵AP ＝EQ ，当0≤t ≤43时，3t ＝4﹣t ，解得：t ＝1；当43＜t ≤83时，8﹣3t ＝4﹣t ，解得：t ＝2；19综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为1s 或2s ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．13．（2020·湖南长沙市·八年级月考）如图，已知△ABC 中，20cm AB AC ==，16cm BC =，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【答案】（1）①因为t ＝1（秒），所以BP ＝CQ ＝6（厘米）∵AB ＝20，D 为AB 中点，20∴BD ＝10（厘米）又∵PC ＝BC −BP ＝16−6＝10（厘米）∴PC ＝BD ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 与△CQP 中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间t ＝84663BP ==（秒），此时V Q ＝1043CQ t =＝7.5（厘米/秒）；（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB ＋AC 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得152x＝6x＋2×20，解得x＝803（秒）此时P运动了803×6＝160（厘米）又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2＋48，所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．21。

初中数学_全等三角形AAS定理——一线三等角模型教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计全等三角形AAS定理一线三等角模型课程分析：本节课是在学生学完八年级直角坐标系和一次函数之后，全等三角形定理在函数中的应用过程，包括在坐标系中如何构造全等三角形，要求学生对AAS定理的熟练应用，能在直角坐标系中等腰直角三角形为模版，找出直角点的坐标来。

一线三等角模型在几何和函数中都有重要应用，包括两者结合的综合题，树立学生的一线三等角的数学模型思想，会让学生再解这类题时更加得心应手。

因此，本节课的复习目标是：复习目标：1.能熟练运用AAS定理证三角形全等体会“一线三等角”几何模型在解题中的作用.2.能构造出“一线三等角”模型，能提炼出“一线三等角”几何模型,提高解决问题的能力.学情分析：本班的学生学习数学的热情较高，基础挺好，思维比较活跃，研究的气氛比较浓，但需要进行适当的引导，一方面鼓励他们学习、提问的热情，一方面利用他们不同的见解，不同的看法，推进课堂进度，使问题回归知识本质从而使学生成为课堂的主人。

设计思路：本节课采用“诱思探究教学”，让学生在教师导向性信息的指引下，动用所有的感官，亲身体验，独立思考，自主探究，合作学习。

使本节课的教学任务得以顺利的完成。

充分体现“已诱达思，启智悟道”的教学精髓。

本节课采用学生动手和多媒体教学相结合的教学方法。

一方面增强了学生的动手能力，增加了学生的学习兴趣，另一方面通过演示使得导向性信息更加明确，有利于学生严密思维习惯的养成。

教学过程：导入：构造全等三角形时，技巧性不够，缺少数学模型思想，针对以上这个问题，引出复习目标。

一：归纳篇： 1.通过做习题1:已知：如图，AB=AD,∠C=∠BAD=∠E=90,点C 、A 、E 共线。

求证：（1）∠1=∠2 （2）△ABC ≌△DAE第一个结论是应用的同角的余角相等这个结论。

第二个全等的结论运用的是AAS 定理的，（让学生体会用AAS 定理证全等，关键是证角相等）从而让学生观察本题特点，引出一线三直角数学模型。

三角形全等模型详细专题初中数学

全等三角形中辅助线的添加主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。

（位置关系和数量关系）学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。

学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。

学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。

一、知识精讲1.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。

（三角形具有稳定性）2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

5.在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。

6.易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。

EDFCBADCB A二、典型例题：考点一倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等条件：△ABC 中AD 是BC 边中线方法一：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式方法二：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE方法三：延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN【例题1】已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.【例题2】如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.【变式训练】1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.【练习题】1、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．2、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。

专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型(专项练习)(培优篇)

C D E B A 专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型（专项练习）（培优篇）知识储备：1、模型一：三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA2、拓展：模型二：三等角全等模型图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA一、单选题1．如图，Rt△ABC 中，△C=90°，BC=6，DE 是△ABC 的中位线，点D 在AB 上，把点B 绕点D 按顺时针方向旋转α（0°<α<180°）角得到点F ，连接AF ，BF ．下列结论：△△ABF 是直角三角形；△若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ；△若α=90°，连接EF ，则S△DEF=4.5；其中正确的结论是（）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△二、填空题2．如图，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,1-，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰Rt OBF △，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于P 点，点P 的坐标是______．3．如图，AO△OM ，OA=7，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ，AB 为直角边，B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt△OBF 、等腰Rt△ABE ，连接EF 交OM 于P 点，当点B 在射线OM 上移动时，则PB 的长度____________．三、解答题4．在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图△，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图△，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图△，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，2OE =,求AC 的长．5．已知Rt△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE △AE ，过点B 作BD △AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求△EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG △FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，△EHB =△BHG ，求线段EH 的长．6．如图1，在Rt ACB ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，分别过B 、C 两点作过点A 的直线l 的垂线，垂足为D 、E ；（1）如图1，当D 、E 两点在直线BC 的同侧时，猜想，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（2）如图2，当D 、E 两点在直线BC 的两侧时，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（3）如图3，90BAC ∠=︒，22AB =，28AC =.点P 从B 点出发沿B A C →→路径向终点C 运动；点Q 从C 点出发沿C A B →→路径向终点B 运动.点P 和Q 分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P 和Q 作PF l ⊥于F ，QG l ⊥于G .问：点P 运动多少秒时，PFA ∆与QAG ∆全等？（直接写出结果即可）7．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC—CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE△l 于E ，QF△l 于F ．设点P 的运动时间为t （秒）：（1）当P 、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．8．（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：△CAE ABD ∠=∠；△DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．9．如图，A （-2，0），B （0，4）以B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC （1）求C 点的坐标；（2）如图2点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，过M 作MN△x 轴于N ，求OE -MN 的值．10．如图，OA OB =，OA OB ⊥，135ACO ∠=︒，求ACB ∠的度数.11．综合与实践．积累经验我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ⊥于点D ，BE DE ⊥于点E .求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB ∆∆≌，即可得到解决，（1）请写出证明过程；类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC ∆在平面直角坐标系中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，则点B 的坐标为____________．12．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD△直线m ，CE△直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA ＝△AEC ＝△BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．13．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点．（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则AG CG =______．（直接写出结果）14．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△；（2）求证：点G 是EF 的中点．15．如图，等腰Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A ，B 分别在坐标轴上．（1）如图1，若点C 的横坐标为5，直接写出点B 的坐标_______；图1（2）如图2，若点A 的坐标为()6,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB ，AB 为边在第一、第二象限作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴的正半轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变，求出PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．图216．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交边DC 与点E ，求证：PB=PE分析问题：学生甲：如图1，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N 通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP ，如图2，很容易证明PD=PB ，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD ，就可以证明PB=PE 了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交DC 的延长线于点E ，PB=PE 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，△BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则△1、△2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD △l 于点D ，CE △l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，△CAB 、△CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．△试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；△若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为18．如图，在平面直角坐标系中，点()()3,01,0B A --、分别是x 轴上两点，点()0,P h 是y 轴正半轴上的动点，过点P 作,DP PB CP PA ⊥⊥，且,PD PB PC AP ==．（1）如图1，连接AD BC 、相交于点E ，求证：PCB PAD ≌；（2）如图1，连接PE ，求证：PE 平分CED ∠；（3）如图2，连CD 与y 轴相交于点Q ，当动点P 在y 轴正半轴上运动时，线段PQ 的长度是否改变？如果不变，请求出其值；如果改变，请求出其变化范围．19．在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，AB AC =，点O 是BC 的中点，点P 是射线CB 上的一个动点（点P 不与点C 、O 、B 重合），过点C 作CE AP ⊥于点E ，过点B 作BF AP⊥于点F ，连接EO ，OF ．（问题探究）如图1，当P 点在线段CO 上运动时，延长EO 交BF 于点G ，（1）求证：AEC △BFA ；（2）BG 与AF 的数量关系为：______（直接写结论，不需说明理由）；（拓展延伸）（3）△如图2，当P 点在线段OB 上运动，EO 的延长线与BF 的延长线交于点G ，OFE ∠的大小是否变化？若不变，求出OFE ∠的度数；若变化，请说明理由；△当P 点在射线OB 上运动时，若2AE =，5CE =，直接写出OEF 的面积，不需证明． 20．如图，线段AB=4，射线BG△AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使△EAP=△BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：AEP△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）请直接写出AEF的周长．参考答案1．C【分析】△根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出AD BD DF ==，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；△分两种情况讨论：ABF ABC ∠=∠或ABF BAC ∠=∠，分别求α即可； △先根据题意画出图形，首先证明FDG ADE ≅ ，然后得出3FG DE ==，最后利用12DEF S DE FG =⋅即可求解．【详解】△△DE 是△ABC 的中位线，AD DB ∴=．由旋转可知DF DB =，AD BD DF ∴==，,DAF AFD DBF DFB ∴∠=∠∠=∠ ．180DAF AFB ABF ∠+∠+∠=︒ ，90AFD DFB ∴∠+∠=︒ ，即90AFB ∠=︒ ，△△ABF 是直角三角形，故△正确；90C ∠=︒ ，90BAC ABC ∴∠+∠=︒ ．若△ABF 和△ABC 全等，当ABF ABC ∠=∠时，180218022(90)2ABF ABC ABC BAC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠ ；当ABF BAC ∠=∠时，180218022(90)2ABF BAC BAC ABC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠，综上所述，若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ，故△正确；过点F 作FG DE ⊥交ED 的延长线于点G ，△DE 是ABC 的中位线，//DE BC ∴ ，90AED ACB ∴∠=∠=︒ ．FG DE ⊥，90FGE ∴∠=︒．90FDB ∠=︒，90ADF ∴∠=︒，90FDG ADE ∴∠+∠=︒．90DAE ADE ∠+∠=︒ ，FDG DAE ∴∠=∠．90AFB ∠=︒，D 为AB 中点，FD AD ∴=．在FDG △和ADE 中，FGD AED FDG DAE FD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FDG ADE AAS ∴≅3FG DE ∴==，1133 4.522DEF S DE FG ∴=⋅=⨯⨯=，故△正确；所以正确的有：△△△．故选：C ．【点拨】本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．2．()0,3-【分析】作EN y ⊥轴于N ，求出NBE BAO ∠=∠，证ABO BEN ≅△△，得BN =AO ，再由90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，证BFP NEP ≅△△，推出BP NP ==2，由点B 的坐标为()0,1-即可得出点P 的坐标为()0,3-．【详解】解：如图，作EN y ⊥轴于N ，90ENB BOA ABE ∠=∠=∠=︒，90OBA NBE ∴∠+∠=︒，90OBA OAB ∠+∠=︒，NBE BAO ∴∠=∠，在ABO 和BEN 中，AOB BNE BAO NBE AB BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABO BEN AAS ∴≅△△，OB NE BF ∴==，OA=BN90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，在BFP △和NEP △中，FPB EPN FBP ENP BF NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFP NEP AAS ∴≅△△，BP NP ∴=，又因为点A 的坐标为(4,0)，4OA BN ∴==，122BP NP BN ∴===，又△点B 的坐标为()0,1-，△点P 的坐标为()0,3-．故答案为：()0,3-．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．3．72【分析】根据题意过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，首先证明△ABO△△BEN ，得到BO=ME ；进而证明△BPF△△MPE 并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，△△AOB=△ABE=△BNE=90°，△△ABO+△BAO=△ABO+△NBE=90°，△△BAO=△NBE ，△△ABE 、△BFO 均为等腰直角三角形，△AB=BE ，BF=BO ；在△ABO 与△BEN 中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△ABO△△BEN （AAS ），△BO=NE ，BN=AO ；△BO=BF ，△BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△BPF△△NPE （AAS ）， △BP=NP=12BN ，BN=AO ， △BP= 12AO= 12×7=72．故答案为：72．【点拨】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．4．（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆△()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆△()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）△△BAC=△AOB=90°，△△BAO+△DAC=△BAO+△ABO=90°，△△DAC=△ABO ，△△ABC 是等腰直角三角形，△AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOB△△CDA （AAS ）（2）如图△，过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，△AC=BC ，BCM ∴∆△()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图△，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，△△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆△()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，△AOE=△COH ，OD AB ⊥，△AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，△BOH=△BOC -△COH=60°-45°=15°，154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，Rt△ADE 中，△DAE=45°-15°=30°，△AE=2DE ，设DE=x ，则AE=2x ，，△AD=OD ，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．5．（1）见解析；（2）△EDH＝45°；（3）EH＝【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE△△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH△△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M作MS△FH于点S，过点E作ER△FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET△BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）△CE△AE，BD△AE，△△AEC＝△ADB＝90°，△△BAC＝90°，△△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，△△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CAE △△ABD （AAS ），△AE ＝BD ；（2）连接AH△AB ＝AC ，BH ＝CH ，△△BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，△AHB ＝90°， △△ABH ＝△BAH ＝45°，△AH ＝BH ，△△EAH ＝△BAH ﹣△BAD ＝45°﹣△BAD ，△DBH ＝180°﹣△ADB ﹣△BAD ﹣△ABH ＝45°﹣△BAD ，△△EAH ＝△DBH ，在△AEH 与△BDH 中AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEH △△BDH （SAS ），△EH ＝DH ，△AHE ＝△BHD ，△△AHE +△EHB ＝△BHD +△EHB ＝90°即△EHD ＝90°，△△EDH ＝△DEH ＝18090452︒-︒=︒；（3）过点M 作MS △FH 于点S ，过点E 作ER △FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET △BC ，交HR 的延长线于点T ．△DG △FH ，ER △FH ，△△DGH ＝△ERH ＝90°，△△HDG +△DHG ＝90°△△DHE ＝90°，△△EHR +△DHG ＝90°，△△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DHG △△HER （AAS ），△HG ＝ER ，△ET △BC ，△△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，△△EHB ＝△BHG ，△△HET ＝△ETF ，△HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EFT △△MFH （AAS ），△HF ＝FT ， △22HF MS FT ER =， △ER ＝MS ，△HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k ==， k△FH ＝△HE ＝HT ＝2HF ＝【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．6．（1）+DE CE BD =（2）CE DE BD =+（3）当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等【分析】（1）根据题意首先证明()ABD ACE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明+DE CE BD =. （2）根据题意首先证明()ABD CAE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明CE BD DE =+.（3）根据PFA ∆与QAG ∆全等，列方程即可，注意要分类讨论.【详解】（1）+DE CE BD =.理由如下：△在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，又△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90BAD ABD ∠+∠=︒，△EAC ABD ∠=∠，△AB AC =，△()ABD ACE AAS ∆≅∆，△AD CE =，BD AE =，△DE AD AE CE BD =+=+.（2）CE DE BD =+..理由如下：△BD AE ⊥，CE AE ⊥，△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90ABD BAD ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，△ABD EAC ∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，△ABD CAE ∠=∠，ADB CEA ∠=∠，AB AC =，△()ABD CAE AAS ∆≅∆，△BD AE =，AD CE =，△AD AE DE =+，△AD BD DE =+，△CE BD DE =+；（3）解：△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222283t t -=-，解得6t =，△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222328t t -=-，解得10t =.△当点P 在AC 上，点Q 在AB 上时，（t>11）222328t t -=-解得：t=6(舍)△当点Q 运动到B 点，点P 在AC 上时，（11<t≤503） 22222t -=，解得22t =（舍）.所以当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等.【点拨】本题主要考查三角形的全等证明,关键在于第三问的分类讨论思想,这是数学的一个重要思想，应当熟练掌握.7．（1）t 的值为72秒；（2）CP 的长为6(6)6(614)t t t t -≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6【分析】（1）由题意得t+3t=6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；（2）根据题意即可得出CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．【详解】解：（1）由题意得t＋3t＝6＋8，解得：t＝72（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；（2）由题意可知AP＝t，则CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当P在AC上，Q在BC上时，△△ACB＝90，△△PCE＋△QCF＝90°，△PE△l于E，QF△l于F．△△EPC＋△PCE＝90°，△PEC＝△CFQ＝90°，△△EPC＝△QCF，△△PCE△△CQF，△PC＝CQ，△6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，△CQ＝8﹣3t＝5；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，△CQ＝3t﹣8＝2.5，当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．8．（1）△见解析；△见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）△根据平行线的判定与性质即可求解；△由条件可证明△ABD△△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知△BAD ＋△CAE ＝180°−α，且△DBA ＋△BAD ＝180°−α，可得△DBA ＝△CAE ，结合条件可证明△ABD△△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI△△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）△△BD△直线l ，CE△直线l△△BDA=△CEA=90°△△BAC=90°△△BAD+△CAE=90°△△BAD+△ABD=90°△△CAE=△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD ，AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：△△BDA=△BAC=α△△DBA+△BAD=△BAD+△CAE=180°﹣α△△DBA=△CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD 、AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM△HI 于M ，GN△HI 的延长线于N△△EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN△EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GNGHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△EMI△△GNI （AAS ）△EI=GI△I 是EG 的中点．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．9．（1）C （-4，6）；（2）OE －MN=2．【分析】（1）作CE△y 轴于E ，易证△CBE△△BAO ，即可得点C 的坐标；（2）作MF△y 轴于F ，易证△AOE△△EFM ，可得OE －MN=EF=OA 即可求得答案．【详解】（1）作CE△y 轴于E ，如图1，△A （-2，0），B （0，4），△OA=2，OB=4，△△CBA=90°，△△CEB=△AOB=△CBA=90°，△△ECB+△EBC=90°，△CBE+△ABO=90°，△△ECB=△ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CBE△△BAO ，△CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，△C （-4，6）．（2）如图2，作MF△y 轴于F ，则△AEM=△EFM=△AOE=90°，△△AEO+△MEF=90°，△MEF+△EMF=90°，△△AEO=△EMF ，在△AOE 和△EMF 中，AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEO△△EMF ，△EF=AO=2，MF=OE ，△MN△x 轴，MF△y 轴，△△MFO=△FON=△MNO=90°，△四边形FONM 是矩形，△MN=OF ，△OE -MN=OE -OF=EF=OA=2．考点：全等三角形的判定及性质．10．△ACB=90°.【分析】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．通过AAS 证明△AOM△△OBN ，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求得答案.【详解】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．△△ACO=135°，△△ACM=45°，△AM=CM ，在△AOM 与△OBN 中，90()AMO ONB AOM OBN BON OA OB ∠∠︒⎧⎪∠∠∠⎨⎪=⎩＝＝＝均为的余角，△△AOM△△OBN(AAS)，△OM=BN ，ON=AM=CM ，△NC=OM=BN ，又△BN△NS ．△△BCN=45°，△△ACB=△ACO -△BCN=90°.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，难点是作出辅助线．11．（1）见解析；（2）B 的坐标（3，1）；（3）（3，4）【分析】（1）根据AD△DE 、BE△DE 得到△D=△E=90°再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出△DAC=△BCE ，进而证明ADC CEB ≅，最后再根据全等三角形对应边相等得出AD=CE ，CD=BE ；（2）如图4，过点B 作BE△x 轴于点E ，通过证明AOC CEB ≅，进而得出AO=CE ，CO=BE ，再根据点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0），求得OE=3，最后得出B 的坐标（3，1）；（3）如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ，通过证明CDB AEC ≅，进而得出BD=CE=，AE=CD ，最后根据点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，得出B 坐标（3，4）.【详解】（1）证明：△AD△DE ，BE△DE△△D=△E=90°△△DAC+△ACD=90°又△△ACB=90°△△ACD+△BCE=90°△△DAC=△BCE在△ADC 和△CEB 中D E DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADC△△CEB△AD=CE ，CD=BE（2）解：如图，过点B 作BE△x 轴于点E△△AOC=90°△△OAC+△ACO=90°又△△ACB=90°△△ACO+△BCE=90°△△OAC=△BCE在△AOC 和△CEB 中90AOC CEB OAC ECBAC BC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOC△△CEB△AO=CE ，CO=BE又△点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0）△AO=2，CO=1△CE=2，BE=1△OE=3△B 的坐标（3，1）（3）（3，4）解：如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ， △AE△CF ，BD△CF△90AEC CDB ∠=∠=︒，△90ACE CAE ∠+∠=︒,又△90ACB ∠=︒，△90ACE BCD ∠+∠=︒，△CAE BCD ∠=∠,△在ACE △和BCD △中AEC CDB CAE BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACE BCD ≅（AAS ）△BD=CE ，AE=CD ，又△A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，△CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2设B 点坐标为（a ，b ），则a =4-1=3，b =2+2=4，△B 坐标（3，4）.【点拨】本题综合考查了全等三角形的证明以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题；通过构建“一线三等角”模型，再利用直角三角形的性质以及同角的余角相等解决角关系是本题的关键.12．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【分析】（1）证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明△ABD=△CAE ，证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC△△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：△BD△直线m ，CE△直线m ，△△ADB ＝△CEA ＝90°△△BAC ＝90°△△BAD ＋△CAE ＝90°△△BAD ＋△ABD ＝90°△△CAE ＝△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE ＝BD ，AD ＝CE△DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，△ABD=180°-△ADB -△BAD ，△△CAE=180°-△BAC -△BAD ，△BDA=△AEC ，△△ABD=△CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝△△ABD△△CAE （AAS ）△AE=BD ，AD=CE ，△DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE△x 轴于E ，BF△x 轴于F ，由（1）可知，△AEC△△CFB ，△CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，△OF=CF -OC=1，△点B 的坐标为B （1，4）．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【分析】（1）证明△AFD△△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF=AC ，等量代换证明结论；（2）作FD△AC 于D ，证明△FDG△△BCG ，得到DG=CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；（3）过F 作FD△AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG=GD ，AD=CE=7，代入计算即可．【详解】解：（1）证明：△FD△AC ，△△FDA=90°，△△DFA+△DAF=90°，同理，△CAE+△DAF=90°，△△DFA=△CAE ，在△AFD 和△EAC 中， AFD EAC ADF ECA AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AFD△△EAC （AAS ），△DF=AC ，△AC=BC ，△FD=BC ；（2）作FD△AC 于D ，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，90 FDG BCG FGD BGCFD BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△FDG△△BCG（AAS），△DG=CG=1，△AD=2，△CE=2，△BC=AC=AG+CG=4，△E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD△AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF△△ECA，△GDF△△GCB，△CG=GD，AD=CE=7，△CG=DG=1.5，△4 1.5111.53 AGCG+==，同理，当点E在线段BC上时，4 1.551.53 AGCG-==，故答案为：113或53.【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1） △FH AG ⊥，90AEH EAH ∴∠+∠=︒，90FAC ∠=︒，90FAH CAD ∴∠+∠=︒，AFH CAD ∴∠=∠，在AFH ∆和CAD ∆中，90AHF ADC AFH CADAF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，FH AD ∴=，作FK AG ⊥，交AG 延长线于点K ，如图；同理得到AEK ABD ∆≅∆，EK AD ∴=，FH EK ∴=，在EKG ∆和FHG ∆中，90EKG FHG EGK FGHEK FH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EKG FHG AAS ∴∆≅∆，EG FG ∴=．即点G 是EF 的中点．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K 字形全等进行证明是解本题的关键．15．（1）()05，；（2）不变，PB 的值为3【分析】（1）作CD△BO ，可证△ABO 全等于△BCD ，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；（2）作EG△y 轴，可证△BAO 全等于△EBG 全等于△EGP 全等于△FBP ，可得BG=OA 和PB=PG,即可求得PB 是AO 的2倍，即可得到结论．【详解】（1）如图，作CD△BO 于D ，△△CBD+△ABO=90°，△ABO+△BAO=90°，△△CBD=△BAO,在△ABO 和△BCD 中，90BOA BDC CBD BAOAB BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABO△△BCD,△CD=BO=5,△B 点的坐标（0,5）故答案为：()05，．（2）不发生改变，理由如下：作EG y ⊥轴于G ，90BAO OBA ∠+∠=︒，90OBA EBG ∠+∠=︒，BAO EBG ∴∠=∠．在BAO ∆和EBG ∆中，90AOB BGE BAO EBGAB BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAO EBG AAS ∴∆≅∆AO BG ∴=，OB EG =OB BF =，BF EG ∴=在EGP ∆和FBP ∆中，90EPG FPB EGP FBP EG FB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()EGP FBP AAS ∴∆≅∆PG PB ∴=．11322PB BG AO ∴===． △不变，PB 的值为3．【点拨】本题考查三角形全等、等腰直角三角形性质、勾股定理、角平分线性质，熟练掌握添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．16．解决问题：证明见解析；问题延伸：成立，证明见解析.【分析】解决问题：对于图1，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，则四边PMCN 为矩形，根据角平分线性质得PM=PN ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBM=△PEN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，则PB=PE ；对于图2，连结PD ，根据正方形的性质得CB=CD ，CA 平分△BCD ，根据角平分线的性质得△BCP=△DCP ，再根据“SAS”证明△CBP△△CDP ，则PB=PD ，△CBP=△CDP ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBC=△PED ，则△PED=△PDE ，所以PD=PE ，于是得到PB=PD ；问题延伸：对于图3，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，得到四边PMCN 为矩形，PM=PN ，则△MPN=90°，利用等角的余角相等得到△BPM=△EPN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，所以PB=PE ．【详解】解决问题：如图1，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBM=△PEN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE PBM PEN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ；如图2，连结PD ，△四边形ABCD 为正方形，△CB=CD ，CA 平分△BCD ，△△BCP=△DCP ，在△CBP 和△CDP 中CB CD BCP DCP CP CP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△CBP△△CDP （SAS ），△PB=PD ，△CBP=△CDP ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBC=△PED ，△△PED=△PDE ，△PD=PE ，△PB=PD ；问题延伸：如图3，PB=PE 还成立．理由如下：过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△MPN=90°，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△BPM+△MPE=90°，而△MEP+△EPN=90°，△△BPM=△EPN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE BPM EPN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ．17．提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：△EM FN AB +=，理由见解析；△492．【分析】提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：△如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；△如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：△EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；△如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN SS S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCDS S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+，则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大，设ABC 的BC 边上的高为h ，则122ABC S BC h h =⋅=，在ABC 中，CAB ∠、CBA ∠均为锐角，∴当90ACB ∠=︒时，h 取得最大值，最大值为3AC =，ABC ∴面积的最大值为236ABC S =⨯=，则五边形EMNFC 面积的最大值为25492622⨯+=，故答案为：492．【点拨】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，1．【分析】（1）根据题意直接证明即可；（2）作PM D A ⊥，PN BC ⊥，运用角平分线的判定定理证明；（3）通过“一线三垂直”模型，证得SDQ CTQ △△≌，进而结合边长数量关系求解．【详解】（1）90DPB APC ∠=∠=︒，DPA BAC ∴∠=∠，在PCB 与PAD △中，PD PB DPA BAC PC AP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩()PCB PAD SAS ∴△≌△（2）如图，作PM D A ⊥，PN BC ⊥，则90PMA PNC ∠=∠=︒，由PCB PAD ≌，得PCN PAM ∠=∠，在PMA △与PNC △中，PMA PNC PCN PAM PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA PNC AAS ∴△△≌，PM PN ∴=，PE ∴平分CED ∠（3）如图，作DS CT 、分别垂直于y 轴，垂足为S T 、，90APO TPC ∠+∠=︒，90TPC TCP ∠+∠=︒，APO PCT ∴∠=∠（余角的性质）在APO △与PCT △中，POA CTP APO PCT PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()APO PCT AAS ∴△△≌，1OA TP ∴==，PO CT =，同理可证：PBO DPS △△≌，3OB SP ∴==，4ST SP PT =+=，∴ PO SD =，CT SD =，在SDQ △与CTQ △中，CQT SQD CTQ DSQ CT SD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SDQ CTQ AAS ∴△△≌122SQ TQ ST ∴===， 1PQ QT PT ∴=-=．。

全等三角形复习资料(搜集整理版)

特别鸣谢资源原创者，本人仅仅便于自己的备课整理排版了一下。

第十一章全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性质(1)：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS")边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)）2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3）“有三个角对应相等"或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边"、“对顶角”第十二章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4。

轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线1。

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线.2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。

专题19 全等三角形(原卷版)

专题19全等三角形【考查题型】【知识要点】知识点1全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形。

全等图形的性质：①形状相同。

②大小相等。

③对应边相等、对应角相等。

④周长、面积相等。

全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。

书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。

全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。

变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

考查题型一全等三角形的性质典例1．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ，若65BCE ∠=︒，则CAF ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒变式1-1．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（）A ．AC ＝DEB ．∠BAD ＝∠CAEC ．AB ＝AED ．∠ABC ＝∠AED变式1-2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③变式1-3．（2020·天津·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（）A ．AC DE =B ．BC EF =C ．AEFD ∠=∠D ．AB DF⊥变式1-4．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，在ABC 和ADC △中，AB AD =，BC DC =，130B ︒∠=，则D ∠________º．知识点2：全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等、周长、面积相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等【备注】判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。

全等三角形复习专题

全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。

全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。

如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。

3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。

4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。

5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。

如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。

四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。

2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。

3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。

4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。

5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。

全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。

动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。

将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。

初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)

初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

八年级上册数学动点问题三角形全等

一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。

在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。

在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。

二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。

当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。

2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。

三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。

一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。

2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。

四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。

如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。

2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。

那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。

五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。

2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。

3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。

六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。

全等三角形考点汇总

全等三角形全等三角形的概念：经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形的性质：1. 对应边和对应角完全相等2. 能完全重合的顶点叫做对应顶点3. 全等三角形的周长和面积相等（反之不成立）4. 对应边上的高对应相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等三角形全等判定定理1. 三边对应相等的三角形是全等三角形（SSS 边边边）2. 两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形（SAS 边角边)3. 两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形（ASA 角边角)4. 两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形（AAS 角角边)5. 在一对直角三角形中，斜边及一条直角边对应相等是全等三角形（HL) 备注：1）判定三角形全等必须有一组对应边相等2）三角形全等中，两边对应相等，一角，必须是夹角才全等全等三角形的证明思路SAS HL SSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边专题一考点一全等图形识别略定义：经过翻转平移可以完全重合的图形才是全等图形考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题1：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．135°+= 2.（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ______度．3.（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．考点三全等三角形的概念略考点四全等三角形的性质1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-12，5），过点A作AB∠x轴于B，C是x轴负半轴上一动点，D是y轴正半轴上一动点，若始终保持CD=OA，且使∠ABO与∠OCD全等，则点D坐标为__________________．2.（2022·云南昭通·八年级期末）如图，把∠ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若∥，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）AC DEA．55°B．60°C．65°D．70°3.（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，△ABC∠∠ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________．4.（2022·辽宁·东北育才学校七年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE∠l于E，QF∠l于F．若要△PEC 与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．专题二全等三角形的判定（证明）考点一用SAS 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ．求证：∠ABE ∠∠DCF ．考点二用ASA 证明三角形全等1.（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ； (2)△ABC ∠∠DCB ．2.（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．考点三用AAS 证明三角形全等1.（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∠CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．考点四用SSS 证明三角形全等1.（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF ；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．2.（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．考点五用HL 证明三角形全等1.（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ∠BC 于E ，DF ∠BC 于F ，且BF =CE ．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．2.（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：∠ACB∠∠BDA；(2)若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．2.（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在∠ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F 为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．(1)求证：Rt∠ABE∠Rt∠CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．全等三角形综合和常见全等模型汇总1.全等三角形中的平移模型几种常见全等三角形基本图形（平移）1.如图所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证AB=DE.2.如图，点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC，已知∠ADO=34°，∠B=67°，求∠A的度数．2.全等三角形中的轴对称模型1.如图，过等边△ABC的顶点A作线段AD，若∠DAB=20°，则∠COD的度数是（）A,100°B,80°C,60°D,40°2.在等边△ABC,点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED。

第7讲全等三角形判定方法专题(三)

第7讲全等三角形判定方法专题（三）1．如图，点C ．E 分别为∆ABD 的边BD 、AB 上两点，且AE ＝AD ，CE ＝CD ．∠D ＝070，∠ECD ＝0150，求∠B 的度数．2．如图，∠1＝∠2, ∠3＝∠4，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，EF ⊥AD 于E ，(1) 求证：∠ADF ＝∠DAF ;(2) 求证：AE ＝DE .3．已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，CD ＝CE ，CD ⊥CE ，连AD 、BE ，求证：(1) AD ＝BE ：(2) AD ⊥BE .4．已知△ACB 和△CDE 都为等腰直角三角形，连AE 、BD ，求证：(1) AE ＝BD ;(2) AE ⊥BD .（一）作垂线构造直角全等三角形5.已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，过C 点任意作直线l ，过A 点、B 点分别作l 的垂线AM 、BN ，垂足为M 、N ．若AM ＝2，BN ＝4，求MN 的长．6.已知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，BD 为∠B 的平分线，AE ⊥BD ，垂足为E 点，求证：BD ＝2AE7.如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB ＝090，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC ，BD ⊥AE ，垂足为D 点．(1) 求证：CD ＝BD ；(2) 求∠CDA 的大小、8.如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB ＝090，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC ，∠CDA ＝045，求证：AD ⊥BD ．9.如图Rt △ACB 中，∠ACB ＝090，∠CAB ＝030，以AC 、AB 的边向外作等边三角形△ACE 和△ABD ，连DE 交AB 于M .求证：ME ＝DM .（二）利用直角坐标系构建全等的直角三角形10.如图△ACB 为等腰直兔三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A (0，3)，C (1，0)，求B 点的坐标．11.如图△ACB 为等腰直角三角形，A （－1，0），C (1，3)，求B 点坐标．12. 如图P (2，2)，BC ⊥AP .(1) 求OM ＋OC 的值；(2) 求OB －OA 的值．13.如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF＝∠AOF，FE⊥OF交OA于M点．求证：EM＝2OF90，AB＝AD，∠EAF＝α, ∠BAD＝2α.14.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝0求证：EF＝BE＋DF.45，交AC于E，交BC于F点，连EF.15.已知∆ACB为等腰直角三角形，D为BD的中点，∠EDF＝0(1) 求证：CD⊥AB；(2) 求证：CE＋EF＝BF．。

初二数学八上第十二章全等三角形知识点总结复习和常考题型练习(优选.)

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.证明两个三角形全等的基本思路：5.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。

专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(原卷版)

专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

苏科版八年级数学上册知识点总结归纳

苏科版八年级数学上册知识点总结归纳苏教版八年级数学上册(义务教育教科书)知识点总结第一章三角形全等一、全等三角形的定义1、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、理解：（1）全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；（2）一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；（3）三角形全等不因位置发生变化而改变。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：（1）长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；（2）对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

2、全等三角形的周长相等、面积相等。

3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

三、全等三角形的判定1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

3、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

4、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。

5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

四、证明两个三角形全等的基本思路1、已知两边：（1）找第三边（SSS）；（2）找夹角（SAS）；（3）找是否有直角（HL）。

2、已知一边一角：（1）找一角（AAS或ASA）；（2）找夹边（SAS）。

3、已知两角：（1）找夹边（ASA）；（2）找其它边（AAS）。

第二章轴对称一、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。

二、轴对称的性质1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。

三、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形、全等三角形及平面直角坐标系

等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、能证明全等三角形2、掌握等腰（等边）三角形的性质，会判定等腰（等边）三角形3、掌握平面直角坐标系及相关概念, 类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想．教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去2、一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）、（-2，-1）、（2，1），则第四个顶点的坐标为（）A．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3）3、判断题：① 两边和一角对应相等的两个三角形全等.（）② 两角和一边对应相等的两个三角形全等.（）③ 两条直角边对应相等的两个三角形全等. （）④ 腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等. （）⑤ 三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等.（）⑥两个等边三角形全等（）.⑦ 一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （）8 腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（）9 腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（）10 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）4、(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是(2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是5、点A（2，0），B（-3，0），C（0，2），则△ABC的面积为．6、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．7、如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，•图中有哪些与BD相等的线段？8、已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．求证：BD＝CE．9、如图，在△ABC中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG。

【期末培优讲义】专题全等三角形八大模型必考点(人教版)(含解析)

专题全等三角形八大模型必考点【考点1 一线三等角构造全等模型】方法点拨：“一线三等角模型”最关键的要点就是证明角相等，（1）三垂直：利用同角的余角相等（2）一般角：利用三角形的外角的性质1．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD△DE于D，BE△DE于E，求证：△ADC△△CEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD△CE于D，BE△CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，△ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.【分析】（1）证△DAC＝△ECB，再由AAS证△ADC△△CEB即可；（2）证△ADC△△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；（3）过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l于点F，交x轴于点H，证△AEC△△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．【解答】（1）证明：△AD△DE，BE△DE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△ECB＝90°，△DAC+△ACD＝90°，△△DAC＝△ECB，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS）；（2）解：△BE△CE，AD△CE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△CBE+△ECB＝90°，△△ACB＝90°，△△ECB+△ACD＝90°，△△ACD＝△CBE，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS），△AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，△BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的长为0.8cm；（3）解：如图3，过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l 于点F，交x轴于点H，则△AEC＝△CFB＝△ACB＝90°，△A（﹣1，0），C（1，3），△EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，△CE＝EG+CG＝2，△△ACE+△EAC＝90°，△ACE+△FCB＝90°，△△EAC＝△FCB，在△AEC和△CFB中，，△△AEC△△CFB（AAS），△AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，△FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，△B点坐标为（4，1）．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时△APB的度数及P点坐标．【分析】（1）作CH△y轴于H，证明△ABO△△BCH，根据全等三角形的性质得到BH＝OA ＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C点坐标；（2）证明△PBA△△QBC，根据全等三角形的性质即可得到P A＝CQ，P A△CQ；（3）根据C、P，Q三点共线，得到△BQC＝135°，根据全等三角形的性质得到△BP A＝△BQC ＝135°，根据等腰三角形的性质求出OP，即可得到P点坐标．【解答】解：（1）如图1，过C作CH△y轴于H，则△BCH+△CBH＝90°，△AB△BC，△△ABO+△CBH＝90°，△△ABO＝△BCH，在△ABO和△BCH中，，△△ABO△△BCH（AAS），△BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，△OH＝OB+BH＝4，△C点坐标为（1，﹣4）；（2）CQ＝AP，CQ△AP．证明：如图2，延长CQ交x轴于D，交AB于E，△△PBQ＝△ABC＝90°，△△PBQ﹣△ABQ＝△ABC﹣△ABQ，即△PBA＝△QBC，在△PBA和△QBC中，，△△PBA△△QBC（SAS），△P A＝CQ，△BAP＝△BCQ，又△△AED＝△CEB，△△ADE＝△CBE＝90°，即CD△AD，△CQ△AP；（3）△△BPQ是等腰直角三角形，△△BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，△BQC＝135°，由（2）可知，△PBA△△QBC，△△BP A＝△BQC＝135°，△△OPB＝180°﹣135°＝45°，△OP＝OB＝1，△P点坐标为（1，0）．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分△AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE△OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣12n+36+|n ﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DG＝DF，连接BG．△BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；△求OF的长；（3）如图2，若点F的坐标为（10，10），E是y轴的正半轴上一动点，P是直线AB上一点，且P点的坐标为（6，﹣6），是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）先利用非负数的性质求出m，n的值，即可得出结论；（2）△先判断出△BDG△△ADF，得出BG＝AF，△G＝△DF A，然后根据平行线的判定得出BG△AF，从而利用平行线的性质即可得出结论；△利用等腰三角形的性质，建立方程即可得出结论；（3）分析题意知要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，再过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N，然后利用全等三角形的判定证得△FME△△ENP，从而利用全等的性质求得ME的长，进而求出OE，即可得出结论．【解答】解：（1）由n2﹣12n+36+|n﹣2m|＝0，△（n﹣6）2+|n﹣2m|＝0，△n﹣6＝0，n﹣2m＝0，△n＝6，m＝3，△A（3，0），B（0，6）；（2）△BG△y轴．在△BDG与△ADF中，BD＝DA，△BDG＝△FDA，DG＝DF，△△BDG△△ADF（SAS），△BG△AF．△AF△y轴，△BG△y轴．△由△可知，BG＝F A，△BDE为等腰直角三角形．△BG＝BE．设OF＝x，则有OE＝x，△3+x＝6﹣x，△x＝1.5，即：OF＝1.5；（3）要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，如图，过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N．△△FEP═90°，△△FEM+△PEN＝90°，又△FEM+△MFE＝90°，△△PEN＝△MFE，△Rt△FME△Rt△ENP（HL），△ME＝NP＝6，△OE＝10﹣6＝4．即存在点E（0，4），使△EFP为等腰直角三角形．【点评】此题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．【考点2 手拉手模型-旋转模型】方法点拨：手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等（或者对应成比例），然后夹角相等。

全等三角形)

课题全等三角形教学目标 1. 系统复习全等三角形这一章节的内容，能熟练运用全等三角形的性质和判定重难点透视1．全等三角形的证明教学内容知识整理1、能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

(两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

)全等三角形的符号表示、读法：△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等，记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。

(两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角)。

例题：下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等2、全等三角形的性质——全等三角形的对应边相等，对应角相等。

例题：如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）3、三角形全等的判定（1）．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“ＳＳＳ”。

（2）．两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”。

（3）．两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ＡＳＡ”。

（4）．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ＡＡＳ”。

（5）．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”。

(特别注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

)直角三角形全等的判定：斜边及一条直角边对应相等。

常见的全等三角形：①有公共边：②有公共点：证明三角形全等寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

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全等三角形与坐标系
1.如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足(a−t)2+|b−t|=0(t>0)．（1）证明：OB=OC；
（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；
（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN 交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标
2.如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；
（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；
（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．
3.平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且
m、n满足√m+2+(n−2)2=0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），OM+AN
的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．
BN
4.已知点A与点C为x轴上关于y轴对称的两点，点B为y轴负半轴上一点．
（1）如图1，点E在BA延长线，连接EC交y轴于点D，若BE=8，EC=6，CB=4，求△ADE的周长；
（2）如图2，点G为第四象限内一点，BG=BA，连接GC并延长交y轴于F，试探究∠ABG与∠FCA 之间有和数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，A（-3，0），B（0，-4），点E（-6，4）在射线BA上，以BC为边向下构成等边△BCM，
以EC为边向上构造等腰△CNE，其中CN=EN，∠CNE=120°，连接AN，MN，求证:AN
MN =1
2
5.已知，在平面直角坐标系中，点A（-3，0），点B（0，3）．点Q为x轴正半轴上一动点，过点A作
AC⊥BQ交y轴于点D．
（1）若点Q在x轴正半轴上运动，且OQ＜3，其他条件不变，连OC，求证：∠OCQ的度数不变．（2）有一等腰直角三角形AMN绕A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连BN，点P为BN的中点，猜想OP与MP的数量和位置关系并证明．
6.如图，A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC，垂足分别为M、N．
(1)求证：CM+CN=AB;
(2)过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．
图①图②
7.如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0).
(1)如图①，求BD的长；
(2)如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA;
(3)如图③，若点P为OB上一个动点（不与0、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N.当P在OB上运动时，
下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.
图①图② 图③
8.如图，已知B（-1，O），D(O，2)，经过点C(3，0)的直线EC交直线BD于A，交y轴于E，使AD=AE．
(1)求证：AB=AC；
(2)△ABC沿x轴方向平行移动时，AB交y轴于D，直线DF交AC延长线于F，交x轴于G且BD=CF，
求证：OG长度不变．
图①图②。