最新高考数学总复习直通车课-基本初等函数(ⅱ)课件ppt
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第五节初等函数23页PPT
偶 (奇 )数时 x为 ， (奇 偶 )函. 数
当 为负x 整 的数 定 ( 时 义 ,0 )和 ， (0 域 ,) .为
23
当为分数时，情杂 况， 比 x3如 ,较 x5的复定义域
为(,)；x72,x53的定义(域,0为 )和(0,)；x12的定 义域[0为 ,).
当 为无理数x时 的， 定规 义 (0,定 域 ). 为
(三 )指数 ya x 函 (a0 ,a 数 1 ,a 是)常数 指数函数 a x 的定义域为(,).当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何 的a , a x 的值域都是(0,)，函数的图形都过(0,1)点.
以e为底的两个常用函数
(1)： y = e x (2): y=logex=lnx
这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数
(五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与y=cos x 的定义域均为(,)，它们 都是以2π为周期的函数，都是有界函数.
反余切函数 y ac rc x o ,y t(0 ,π )定 , 义 (, 域 ) . 为
二、初等函数
定义 由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限 次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
不是初等函数的函数叫作非初等函数.
初等函数都可以用公一式个表.达
例如，函数yax2 bxc，y3x2，
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、隐函数
一、基本初等函数
(一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为(,)，无论x取何值，y都
取值常数C.
当 为负x 整 的数 定 ( 时 义 ,0 )和 ， (0 域 ,) .为
23
当为分数时，情杂 况， 比 x3如 ,较 x5的复定义域
为(,)；x72,x53的定义(域,0为 )和(0,)；x12的定 义域[0为 ,).
当 为无理数x时 的， 定规 义 (0,定 域 ). 为
(三 )指数 ya x 函 (a0 ,a 数 1 ,a 是)常数 指数函数 a x 的定义域为(,).当a>1时，它严
格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何 的a , a x 的值域都是(0,)，函数的图形都过(0,1)点.
以e为底的两个常用函数
(1)： y = e x (2): y=logex=lnx
这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数
(五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x;
余弦函数 y=cos x;
y=sin x与y=cos x 的定义域均为(,)，它们 都是以2π为周期的函数，都是有界函数.
反余切函数 y ac rc x o ,y t(0 ,π )定 , 义 (, 域 ) . 为
二、初等函数
定义 由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限 次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.
不是初等函数的函数叫作非初等函数.
初等函数都可以用公一式个表.达
例如，函数yax2 bxc，y3x2，
第五节 初等函数
一、基本初等函数 二、初等函数 三、隐函数
一、基本初等函数
(一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为(,)，无论x取何值，y都
取值常数C.
最新-高考数学总复习系列 第一章基本初等函数II 必修4
第一章 基本初等函数II一、基础知识（理解去记）定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x,y ），到原点的距离为r,则正弦函数sin α=r y ,余弦函数cos α=r x ,正切函数tan α=x y，余切函数cot α=y x ，正割函数sec α=x r ,余割函数csc α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式：倒数关系：tan α=αcot 1,sin α=αcsc 1，cos α=αsec 1； 商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×cos α=sin α,cot α×sin α=cos α；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sin α, cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α, cot(π+α)=cot α;（Ⅱ）sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α, cot(-α)=cot α; （Ⅲ）sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α, tan=(π-α)=-tan α, cot(π-α)=-cot α;（Ⅳ）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=cos α, cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=sin α, tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=cot α（记法：奇变偶不变，符号看象限）。
高中数学课件-专题二 基本初等函数
主要有列表法、解析法、图象法．
• 两种类型非空数集上的对应是函数，一种是一对一型；
一种是多对一型．f：A→B中，B中可有多余元素，即 {f(x)|x∈A}⊆B；A中没有多余元素．
• 函数的三要素是定义域、对应关系、值域；其 中对应关系是核心；定义域与对应关系确定值 域，若定义域和对应关系完全相同，则两个函 数是相同的函数．
• 奇函数的反函数是奇函数，奇函数的定义域包含0，则F(0)＝0. • (3)图象特征：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于Y轴
对称；反之亦然． • (4)判定方法：首先看函数的定义域是否关于原点对称，若对称，
再看：
考点陪练
1.(安徽涡阳二中模拟)函数 f(x)＝ 13－x2 x2＋lg(3x＋1)的定义域是
C．c>b>a
D．b>a>c
，13c＝log3c，
• 答案：C
9．(2012·河南高三调研)若函数
函数，则 a 的取值范围是( )
A.0，12 C.12，＋∞
B.12，1 D.－∞，12
在 R 上为增
• 答案：A
10 ． (2012·河 北 衡 水 一 模 ) 设 函 数
f(x)
＝
lg|x|，x<0， 2x－1，x≥0，
的值是( )
A．－31
1 B.3
1 C.2
D．－12ຫໍສະໝຸດ 解析：∵函数 f(x)＝ax2＋bx 在 x∈[a－1,2a]上为偶函数，
∴b＝0，且 a－1＋2a＝0，即 b＝0，a＝13.
∴a＋b＝13.
• 答案：B
8.(2012·石家庄质检一)若3 a＝log2sin13，3b＝
则( )
A．a>b>c
• 两种类型非空数集上的对应是函数，一种是一对一型；
一种是多对一型．f：A→B中，B中可有多余元素，即 {f(x)|x∈A}⊆B；A中没有多余元素．
• 函数的三要素是定义域、对应关系、值域；其 中对应关系是核心；定义域与对应关系确定值 域，若定义域和对应关系完全相同，则两个函 数是相同的函数．
• 奇函数的反函数是奇函数，奇函数的定义域包含0，则F(0)＝0. • (3)图象特征：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于Y轴
对称；反之亦然． • (4)判定方法：首先看函数的定义域是否关于原点对称，若对称，
再看：
考点陪练
1.(安徽涡阳二中模拟)函数 f(x)＝ 13－x2 x2＋lg(3x＋1)的定义域是
C．c>b>a
D．b>a>c
，13c＝log3c，
• 答案：C
9．(2012·河南高三调研)若函数
函数，则 a 的取值范围是( )
A.0，12 C.12，＋∞
B.12，1 D.－∞，12
在 R 上为增
• 答案：A
10 ． (2012·河 北 衡 水 一 模 ) 设 函 数
f(x)
＝
lg|x|，x<0， 2x－1，x≥0，
的值是( )
A．－31
1 B.3
1 C.2
D．－12ຫໍສະໝຸດ 解析：∵函数 f(x)＝ax2＋bx 在 x∈[a－1,2a]上为偶函数，
∴b＝0，且 a－1＋2a＝0，即 b＝0，a＝13.
∴a＋b＝13.
• 答案：B
8.(2012·石家庄质检一)若3 a＝log2sin13，3b＝
则( )
A．a>b>c
高考数学总复习直通车课基本初等函数Ⅱ
（n∈Z）,则 是第四象限角.
3
综合①、②、③可知，3是第一、第二或第四象限角.
（3）2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z）. 故2α是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上.
学 限 等 在等后分各分反（等法思若分得区是知到域则道，标三α下上所等面数3在分以字的，1象为 ，…限例2…，，2说，3则明），.从4如, 2，x，图轴13…所，正所示2向，在，起3的将按，象每逆4限；一时也个针可象方由限向象二
2
2
综上可知: sin＜2 0.
cos 2
(7n∈Z),此时 在第 四象限，
4 sin
2
＜0.
cos
2
2
题型二 扇形弧长、面积公式的应用
【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.
分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性 质来解决最值问题.
3
3
S弓= S扇-S△=
×12
π1×0 10-
3
×
×1 sin102
2
3
=5（0 3( ）c)m. 2
32
(2)方法一：∵扇形周长C=2r+l=2r+αr,∴r= ,C
2a
∴ S=扇
1 r2 1 ( C )2 C2 1 C2 ,
2
2 2
2 4 4 16
∴当且仅当α= ,4即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积有最大值.
举一反三
2. 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径为r. （1）若α=60°，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值C（C ＞0），当α为多少弧度时，该扇 形有最大面积？
3
综合①、②、③可知，3是第一、第二或第四象限角.
（3）2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z）. 故2α是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上.
学 限 等 在等后分各分反（等法思若分得区是知到域则道，标三α下上所等面数3在分以字的，1象为 ，…限例2…，，2说，3则明），.从4如, 2，x，图轴13…所，正所示2向，在，起3的将按，象每逆4限；一时也个针可象方由限向象二
2
2
综上可知: sin＜2 0.
cos 2
(7n∈Z),此时 在第 四象限，
4 sin
2
＜0.
cos
2
2
题型二 扇形弧长、面积公式的应用
【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.
分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性 质来解决最值问题.
3
3
S弓= S扇-S△=
×12
π1×0 10-
3
×
×1 sin102
2
3
=5（0 3( ）c)m. 2
32
(2)方法一：∵扇形周长C=2r+l=2r+αr,∴r= ,C
2a
∴ S=扇
1 r2 1 ( C )2 C2 1 C2 ,
2
2 2
2 4 4 16
∴当且仅当α= ,4即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积有最大值.
举一反三
2. 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径为r. （1）若α=60°，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值C（C ＞0），当α为多少弧度时，该扇 形有最大面积？
高等数学初等函数ppt课件
无限地接近,向右与x轴无限地接近.
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
•当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,
幂函数为偶函数.
•当 0 时, 函数为常数函数 y 1
5
指数函数
定义:函数 y a x 叫做指数函数, a 其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函
数的定义域是R.
y a x (a 0,a 1) x R
2
ymin= 1
f(x)= 0 x k (k Z )
R [1,1]
x 2k (k Z ) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
x k (k Z ) 11
2
f(x)=sinx
f(x)= cosx
图象
x
x
周期性 奇偶性
在 (0,) 上是减函数 在 (0,) 上是增函数 9
三角函数
三角函数常用公式
10
f(x)=sinx
f(x)= cosx
y
y
图1
1
象
0
-1 -
2
3
2 x 0
2
-1
2
3
2 x
2
定义域 值域
最值
R
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
商 f: g
( f )(x) f (x) , x D \{x | g(x) 0, x D}Biblioteka gg(x)29
三. 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
基本初等函数图示.ppt
y
1
y sin x
2
3 2
2
O
1
3 2
2
x
2
定义域为 ( , ), 值域为 [ 1 , 1 ].
映射与函数
余弦函数
y cos x
y
1
y cos x
3 2
2
O
1
3 2
2
5 2
x
2
定义域为 ( , ), 值域为 [ 1 , 1 ].
映射与函数
正切函数 y tan x
y
余切函数 y cot x
y
y tan x
y cot x
3 2
2
O
2
3 2
x
2
O
2
3 2
2
x
定义域 x 值域
2 n 1
2
,n Z
定义域
x n ,
n Z
( , ).
值域 ( , ).
y log a x
y
(a 0, a 1)
y log a x
(a 1)
y ln x
(1 ,0 )
O
y log 1 x
a
x
定义域为 ( 0 , ), 值域为 ( , ).
映射与函数
1
y sin x
2
3 2
2
O
1
3 2
2
x
2
定义域为 ( , ), 值域为 [ 1 , 1 ].
映射与函数
余弦函数
y cos x
y
1
y cos x
3 2
2
O
1
3 2
2
5 2
x
2
定义域为 ( , ), 值域为 [ 1 , 1 ].
映射与函数
正切函数 y tan x
y
余切函数 y cot x
y
y tan x
y cot x
3 2
2
O
2
3 2
x
2
O
2
3 2
2
x
定义域 x 值域
2 n 1
2
,n Z
定义域
x n ,
n Z
( , ).
值域 ( , ).
y log a x
y
(a 0, a 1)
y log a x
(a 1)
y ln x
(1 ,0 )
O
y log 1 x
a
x
定义域为 ( 0 , ), 值域为 ( , ).
映射与函数
基本初等函数ⅡPPT优秀课件(精讲课件强化练习角的概念的推广等24份) 4
第一章 1.2 1.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
[解析] (1)解法一：由 tanα＝csoinsαα＝－13得 cosα＝－3sinα， 代入所求式得45s－inα3－sin2α－ ＋33ssininαα＝－101s2isninαα＝－56.
解法二：45scionsαα－＋23csoinsαα＝45t＋an3αt－anα2＝45× ＋3－×13－－132＝－56.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
三角函数式的化简及证明 化简下列各式： (1) 1－sin240°；(2)sin11－0°－2sin110－°csoins12100°° . [分析] 本题是化简二次根式，应将被开方式化为完全平 方式，从二次根号下移出来，同时要注意移出后的符号．
第一章 1.2 1.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
2．(2014·陕西咸阳市三源县北城中学高一月考)已知 tanα
＝2，那么3ssiinnαα－ ＋c5ocsoαsα的值为(
)
A．－2
B．2
C．－111
D．111
[答案] D
[解析] ∵tanα＝2，∴3ssiinnαα－＋c5ocsoαsα＝3ttaannαα－＋15＝3×2－2＋1 5
第一章 1.2 1.2.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
6．求证：sin2α·tanα＋cos2α·cotα＋2sinα·cosα＝tanα＋cotα.
[解析] 左边＝sin2α·csoinsαα＋cos2α·ta1nα＋2sinα·cosα ＝scions3αα＋csoins3αα＋2sinα·cosα＝sin4α＋cosisn4αα＋·co2ssαin2αcos2α ＝sins2iαn＋α·ccoossα2α2＝sinα1cosα， 右边＝tanα＋ta1nα＝csoinsαα＋csoinsαα ＝sins2inαα＋cocsoαs2α＝sinα1cosα，∴原式成立．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
[解析] (1)解法一：由 tanα＝csoinsαα＝－13得 cosα＝－3sinα， 代入所求式得45s－inα3－sin2α－ ＋33ssininαα＝－101s2isninαα＝－56.
解法二：45scionsαα－＋23csoinsαα＝45t＋an3αt－anα2＝45× ＋3－×13－－132＝－56.
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三角函数式的化简及证明 化简下列各式： (1) 1－sin240°；(2)sin11－0°－2sin110－°csoins12100°° . [分析] 本题是化简二次根式，应将被开方式化为完全平 方式，从二次根号下移出来，同时要注意移出后的符号．
第一章 1.2 1.2.3
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2．(2014·陕西咸阳市三源县北城中学高一月考)已知 tanα
＝2，那么3ssiinnαα－ ＋c5ocsoαsα的值为(
)
A．－2
B．2
C．－111
D．111
[答案] D
[解析] ∵tanα＝2，∴3ssiinnαα－＋c5ocsoαsα＝3ttaannαα－＋15＝3×2－2＋1 5
第一章 1.2 1.2.3
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6．求证：sin2α·tanα＋cos2α·cotα＋2sinα·cosα＝tanα＋cotα.
[解析] 左边＝sin2α·csoinsαα＋cos2α·ta1nα＋2sinα·cosα ＝scions3αα＋csoins3αα＋2sinα·cosα＝sin4α＋cosisn4αα＋·co2ssαin2αcos2α ＝sins2iαn＋α·ccoossα2α2＝sinα1cosα， 右边＝tanα＋ta1nα＝csoinsαα＋csoinsαα ＝sins2inαα＋cocsoαs2α＝sinα1cosα，∴原式成立．
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
例2：求下面对数式中x 的取值范围.
lo2g x1x2
2x 1 0 解： 2 x 1 1
x 2 0
x 1 2
x1
x 2
x
x
1,且x 2
1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
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例3：解方程.
lo2lgo4xg 0
解 所l： 以 to 4 x 2 0g t ,则 1,设 即 llo 2 ot4 gx0 g 1注 验 大意 证 于0： 真，一 数底定 是数要 否是
思考：你发现了什么？
lo a a g 1 a 0 ,且 a 1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
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4.求下列各式的值：
12log28
2 3log327
3
1
log
18
2
2
猜想： a lo a N g ? a 0 ,且 a 1
赋予它的含义就是：1.2的多少次幂等于2.
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
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对数的定义：
若ax N（a0,a1） ,则数 x叫做
以a为底 N的对数，x记 lo作 ga N,
其中 a为底数N为 ，真.数loga N
指数
对数
幂
真
ax N
数 loga Nx
ax N
xloga N
等函数》PPT完美课件1
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对数的性质：
1零和负数没有对数
2 lo a 1 0 g a 0 ,且 a 1 3 lo a a 1 g a 0 ,且 a 1
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高中数学PPT课件-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
解：由导数的基本公式得：
y' (4x)(3x 2) (2x2 3) 3 12x2 8x 6x2 9 18x3 8x 9
新知探究
3.商的导数 法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分
母的平方,即
f(x) [g(x)]' |xx0
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人： 时间：2020.6.1
u'(x) v'(x)
新知探究
例2
x 求y= 3 + sin x的导数.
解：由导数的基本公式得：
y' 3x2 cos x
新知探究
例3
求 y = x4 - x2 - x + 3 的导数.
解：由导数的基本公式得：
y' 4x3 2x' 1
新知探究
2.积的导数 法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函 数的导数,即
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
求函数的导数的方法是: （1）求增量
（2）算比值 （3）求极限
y' (4x)(3x 2) (2x2 3) 3 12x2 8x 6x2 9 18x3 8x 9
新知探究
3.商的导数 法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分
母的平方,即
f(x) [g(x)]' |xx0
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人： 时间：2020.6.1
u'(x) v'(x)
新知探究
例2
x 求y= 3 + sin x的导数.
解：由导数的基本公式得：
y' 3x2 cos x
新知探究
例3
求 y = x4 - x2 - x + 3 的导数.
解：由导数的基本公式得：
y' 4x3 2x' 1
新知探究
2.积的导数 法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函 数的导数,即
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
求函数的导数的方法是: （1）求增量
（2）算比值 （3）求极限
2011届高考数学总复习直通车课-基本初等函数(Ⅱ)
cos
＜0.
2
2 2
＜0.
题型二
扇形弧长、面积公式的应用
【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积. 分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性 质来解决最值问题. 解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积： 1 10 S= 2 (20-2r)r=- (r 5)2+25.当r=5时，l=10，α= 5 =2(弧度),S取到 2 最大值，此时最大值为25 cm .故当扇形的圆心角α=2弧度时，这个 扇形的面积最大，最大面积是25 cm2 . 学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转 化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外， 也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.
5. 三角函数值在各象限的符号 象限 函数 符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
sinα
cosα
+
+
+
-
-
+
tanα
+
-
+
-
典例分析
题型一 象限角问题
【例1】若α是第二象限的角，则 2 是第几象限的角? 3 是第几象限 的角?2α是第几象限的角?
分析 由于α是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表 示出α的范围，进而求得 , ,2α的范围，判定其所在的象限.
2 3
,k∈Z}.
图1
1
图2
(2)作直线x=- 2 交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成 的区域（图2中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α 集合为{α|2kπ+ 3 ≤α≤2kπ+
专题6基本初等函数、函数与方程-2021届高三高考数学二轮复习ppt课件
()
● A．上午10：00
● B．中午12：00
● C．下午4：00
C
● D．下午6：00
【解析】 (1)由题意，可知 当声音强度的等级为 90dB 时，有 10×lg1×1x0－12＝90， 即 lg1×1x0－12＝9， 则1×1x0－12＝109， 此时对应的强度 x＝109×10－12＝10－3，
，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为
( )1
1
画出函数f(x)与g(x)＝logax的图象如图所示；
(2)(2020·辽宁省沈阳市一模)已知 a＝3 ，b＝2 ，c＝log 2，则 a， 2 考点分类 ·析重点
3
2
若函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的图象有且仅有4个交点，则函数g(x)＝logax的图象过(5,1)点，即a＝5．
解不等式(1－loga2)(1－loga3)≤0 可得 2≤a≤3． 当 a＝3 时，函数 f(x)＝(6x－1)2－log3(3x＋2)，区间为0，13 且满足 f(0)＝1－log32>0，f16＝0－log34<0，f13＝1－log33＝0 所以在0，16内有一个零点，x＝31为一个零点．故由题意可知，不符 合要求 综上可知，a 的取值范围为[2,3)，故选 D．
指数函数与对数函数的图象与性质
当0＜x＜1时，y＜0
4．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.
数 y＝2 的图象关于 x 轴对称，则 f(x)＝ C．c＜a＜b
x D．b＜c＜a
4．(2020·怀柔区一模)某网店“五一”期间搞促销活动，规定：如果顾客选购商品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；
● (理科)
高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第2节-课件
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
课堂典例讲练
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
求函数的单调区间 (文)求出下列函数的单调区间： (1)f(x)＝|x2－4x＋3|； (2)f(x)＝log2(x2－1)． [思路分析] 注意(1)函数含有绝对值，故可将其转化为分 段函数并作出图像求解；(2)中的函数为函数y＝log2u， u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
2．函数的最值
前 提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条 对于任意x∈I，都有
对于任意x∈I，都有
件 _f_(_x)_≤_M___；
f_(x_)_≥_M__；
存在x0∈I，使得f_(_x0_)_＝__M 存在x0∈I，使得f_(_x_0)_＝__M
6．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|1x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是________．
[答案] (－1,0)∪(0,1) [解析] 由函数 f(x)为 R 上的减函数且 f(|1x|)<f(1)，
得|1x|>1， x≠0，
即x|x≠|<10，. ∴0<x<1 或－1<x<0.
3 课堂典例讲练
2 课前自主导学
4 课时作业
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
高考目标导航
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
考纲要求
1.理解函数 的单调性、最大 值、最小值及其 几何意义．
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（n∈Z）,则 是第四象限角.
3
综合①、②、③可知，3 是第一、第二或第四象限角.
（3）2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z）. 故2α是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上.
学 限 等 各等分后等分（反分法 若思区得是域知到标道则，上三α下数所等面字3在分1以的，，象为 …2，限…例3，，2 说，）则明4从，.如, 2x1，轴图，3…正所2所，向示在3起，，的按将4象；逆每限时一也针个可方象由向限象在二
解 r= 4a2 =35a|a2 |……………………………………2′
若a＞0，r=5a,α角在第二象限，sin α=
y 3a 3 , r 5a 5
cos α=
x r
54aatan54α, =
；y …3…a … …3 ……….6′
x 4a 4
若a＜0,r=-5a,α角在第四象限，………………………….8′
综上可知:
s
i
n
＜2 0.
co s 2
(7n ∈Z),此时 在第 四象限，
4 sin
2
＜0.
cos
2
2
题型二 扇形弧长、面积公式的应用
【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.
分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性 质来解决最值问题.
22
4
当k=2n(n∈Z)时，
2nπ+ ＜ ＜2nπ+ （3 n∈Z）,此时 在第二象限，
22
4
∴sin ＞2 0,cos ＜2 0,∴
sin
＜0c ；o s 2
2
2
当k=2n+1(n∈Z)时，
(2n+1)π+
2
＜
＜2 (2n+1)π+
(3 4n ∈Z),
即2nπ+
3
2
＜
＜2 2nπ+
∴sin ＜2 0,cos ＞2 0,∴
2011届高考数学总复习直通 车课-基本初等函数(Ⅱ)
第一节 任意角与弧度制及任意角的三角函数
基础梳理
1. 弧度制 (1)弧AB的长= ∠AOB=1弧度.
2 rad=360°,1 rad≈ =5 7 01.8 ' 5 7 .3 0 0
(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是α,
则这个扇形的弧长l=|α|r,面积S= |α1 | , r 2
(4)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成角的集合是 {β|β=k·360°+α,k∈Z}.
3. 任意角的三角函数 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与
原点的距离为r(r= x2 )y,2那么sin α=
，coy s α= ,
r
x r
tan α= y(x≠0).
x
（2）k ·360°+30°＜ ＜ ·3k60°+60°（k∈Z）
sin α= ,3cos α= ,tan4 α=
5
5
……… 34 ………………12′
学后反思 （1）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问 题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论. （2）熟记几组常用的勾股数组，如 (3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等，会给我们解题带来 很多方便. （3）若角α已经给定，不论点P选择在α的终边上的什么位置，角α的 三角函数值都是确定的；另一方面，如果角α终边上一点坐标已经确定， 那么根据三角函数定义，角α的三角函数值也都是确定的.
若α是第一象限角，则 在2 标有数字1的区域内; 若α是第二象限角，则 在2 标有数字2的区域内， 以此类推，则很容易确定 所在的象限.
2
举一反三
1. 设θ为第三象限角，试判断
sin
c 的o s 2符号.
2
解析: ∵θ为第三象限角，∴2kπ+π＜θ＜2kπ+ (k∈3 Z), 2
kπ+ ＜ ＜ kπ+ (3k ∈Z).
学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转 化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外， 也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.
举一反三
2. 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径为r. （1）若α=60°，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值C（C ＞0），当α为多少弧度时，该扇 形有最大面积？
解析：（1）设弧长为l，弓形面积为 S 弓 ， 扇形面积为S 扇
∵α=60°= ,r=10,∴l= π(1 c0 m),
3
3
S 弓 = S 扇-S△=
×12
π1 ×0 10-
3
×
×1 sin1 0 2
2
3
=5（0 3(） c)m. 2
32
(2)方法一：∵扇形周长C=2r+l=2r+αr,∴r= ,C
解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积： S= 1 (20-2r)r=- (r +5)22 5.当r=5时，l=10，α= =1 20 (弧度),S取到最大 值，2 此时最大值为25 .故c当m 2 扇形的圆心角α=2弧5度时，这个扇形的 面积最大，最大面积是25 . c m 2
周长=|α|r+2r.
2
2. 角的概念的推广
(1)任意角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋所转到另一个位置
成的图形.
(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转
形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角.
(3)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.
2
S m ax,此 C1时62 , α=
C
l r
C
2 C
2.
2
2
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.
题型三 利用三角函数的定义求三角函数值
【例3】(12分)已知角α的终边经过点P（-4a,3a）(a≠0), 求sin α、cos α、tan α的值.
分析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r， 由于含有参数a,要注意分类讨论.
3
33
①当k=3n（n∈Z时）,n·360°+30°＜ ＜n·360°+60°（n∈Z）,
3
则 是第一象限角;
3
②当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜ ＜n·360°+180°
3
（n∈Z）,则 是第二象限角；
③当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜3 ＜n·360°+300°
2a
∴ S =扇
1 2r21 2(2C )2C 2241 4C 162,
∴当且仅当α= ,4即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积有最大值.
a
方法二：由已知2r+l=C,∴r= C (l＜l C),
2
∴S= 1rl1Cll1(Cll2)
2 22 4
= 1 (l C)2 C2 , 4 2 16
∴当l= C时,
3
综合①、②、③可知，3 是第一、第二或第四象限角.
（3）2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z）. 故2α是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上.
学 限 等 各等分后等分（反分法 若思区得是域知到标道则，上三α下数所等面字3在分1以的，，象为 …2，限…例3，，2 说，）则明4从，.如, 2x1，轴图，3…正所2所，向示在3起，，的按将4象；逆每限时一也针个可方象由向限象在二
解 r= 4a2 =35a|a2 |……………………………………2′
若a＞0，r=5a,α角在第二象限，sin α=
y 3a 3 , r 5a 5
cos α=
x r
54aatan54α, =
；y …3…a … …3 ……….6′
x 4a 4
若a＜0,r=-5a,α角在第四象限，………………………….8′
综上可知:
s
i
n
＜2 0.
co s 2
(7n ∈Z),此时 在第 四象限，
4 sin
2
＜0.
cos
2
2
题型二 扇形弧长、面积公式的应用
【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.
分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性 质来解决最值问题.
22
4
当k=2n(n∈Z)时，
2nπ+ ＜ ＜2nπ+ （3 n∈Z）,此时 在第二象限，
22
4
∴sin ＞2 0,cos ＜2 0,∴
sin
＜0c ；o s 2
2
2
当k=2n+1(n∈Z)时，
(2n+1)π+
2
＜
＜2 (2n+1)π+
(3 4n ∈Z),
即2nπ+
3
2
＜
＜2 2nπ+
∴sin ＜2 0,cos ＞2 0,∴
2011届高考数学总复习直通 车课-基本初等函数(Ⅱ)
第一节 任意角与弧度制及任意角的三角函数
基础梳理
1. 弧度制 (1)弧AB的长= ∠AOB=1弧度.
2 rad=360°,1 rad≈ =5 7 01.8 ' 5 7 .3 0 0
(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是α,
则这个扇形的弧长l=|α|r,面积S= |α1 | , r 2
(4)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成角的集合是 {β|β=k·360°+α,k∈Z}.
3. 任意角的三角函数 设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与
原点的距离为r(r= x2 )y,2那么sin α=
，coy s α= ,
r
x r
tan α= y(x≠0).
x
（2）k ·360°+30°＜ ＜ ·3k60°+60°（k∈Z）
sin α= ,3cos α= ,tan4 α=
5
5
……… 34 ………………12′
学后反思 （1）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问 题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论. （2）熟记几组常用的勾股数组，如 (3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等，会给我们解题带来 很多方便. （3）若角α已经给定，不论点P选择在α的终边上的什么位置，角α的 三角函数值都是确定的；另一方面，如果角α终边上一点坐标已经确定， 那么根据三角函数定义，角α的三角函数值也都是确定的.
若α是第一象限角，则 在2 标有数字1的区域内; 若α是第二象限角，则 在2 标有数字2的区域内， 以此类推，则很容易确定 所在的象限.
2
举一反三
1. 设θ为第三象限角，试判断
sin
c 的o s 2符号.
2
解析: ∵θ为第三象限角，∴2kπ+π＜θ＜2kπ+ (k∈3 Z), 2
kπ+ ＜ ＜ kπ+ (3k ∈Z).
学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转 化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外， 也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.
举一反三
2. 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径为r. （1）若α=60°，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值C（C ＞0），当α为多少弧度时，该扇 形有最大面积？
解析：（1）设弧长为l，弓形面积为 S 弓 ， 扇形面积为S 扇
∵α=60°= ,r=10,∴l= π(1 c0 m),
3
3
S 弓 = S 扇-S△=
×12
π1 ×0 10-
3
×
×1 sin1 0 2
2
3
=5（0 3(） c)m. 2
32
(2)方法一：∵扇形周长C=2r+l=2r+αr,∴r= ,C
解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积： S= 1 (20-2r)r=- (r +5)22 5.当r=5时，l=10，α= =1 20 (弧度),S取到最大 值，2 此时最大值为25 .故c当m 2 扇形的圆心角α=2弧5度时，这个扇形的 面积最大，最大面积是25 . c m 2
周长=|α|r+2r.
2
2. 角的概念的推广
(1)任意角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋所转到另一个位置
成的图形.
(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转
形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角.
(3)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合， 那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.
2
S m ax,此 C1时62 , α=
C
l r
C
2 C
2.
2
2
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.
题型三 利用三角函数的定义求三角函数值
【例3】(12分)已知角α的终边经过点P（-4a,3a）(a≠0), 求sin α、cos α、tan α的值.
分析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r， 由于含有参数a,要注意分类讨论.
3
33
①当k=3n（n∈Z时）,n·360°+30°＜ ＜n·360°+60°（n∈Z）,
3
则 是第一象限角;
3
②当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜ ＜n·360°+180°
3
（n∈Z）,则 是第二象限角；
③当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜3 ＜n·360°+300°
2a
∴ S =扇
1 2r21 2(2C )2C 2241 4C 162,
∴当且仅当α= ,4即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积有最大值.
a
方法二：由已知2r+l=C,∴r= C (l＜l C),
2
∴S= 1rl1Cll1(Cll2)
2 22 4
= 1 (l C)2 C2 , 4 2 16
∴当l= C时,