《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的应用

2、第二类拉格朗日方程

的应用

例1质量为m 1的物块C 以细绳跨过定滑轮B 联于点A, A ，B 两轮皆为均质圆盘，半径为R ，质量为m 2, 弹簧刚度为k ，质量不计

。

A

C

O

x

A

O

C

x

例2已知：如图所示的运动系统中，重物M 1的质量为m 1，可沿光滑水平面移动。摆锤M 2的质量为m 2，两个物体用长为l 的无重杆连接

。M 1

M 2

φ

C 求：此系统的运动微分方程。

2、第二类拉格朗日方程的应用

解：系统有两个自由度，选M 1的水平坐标x 1和φ为广

义坐标, 并将质点位置用广义坐标表示：

111212,0;sin ,cos x x y x x l y l j j

===-=将上式两端对时间t 求导数得：

111212,0;cos sin x x y

x x l y l j j j j ===-=-&&&&&&&&，系统的动能为:222122211()22T m x m x y =++&&&2

2212111()(2cos )22

m l m m x l x j j j =++-&&&&选质点M 2在最低处时的位置为系统的零势能位置，则系统的势能为：

)

cos 1(2j -=gl m V 系统的主动力为有势力，此为保守系统，可写出系统的动势，运用保守系统的拉格朗日方程求解，此处我们运用一般形式的第二类拉格朗日方程求解。

d 0(12)d k T T

Q k N t q q æö¶¶--==ç÷¶¶L &，，，注意：零势能位置的选取不是唯一的。选取原则：计算方便

代入拉格朗日方程得到：

1212110()cos T T

m m x

m l x x

j j ¶¶==+-¶¶&&&，2

121221d ()()cos sin d T m m x m l m l t x j j j j

¶=+-+׶&&&&&&1

0x V Q x ¶=-=¶先计算)cos 1(2j -=gl m V 22

212111()(2cos )22

m l T m m x l x

j j j =++-&&&&2

21221sin cos T T m lx m l m

lx j j j

j j j

¶¶==-¶¶&&&&&，2

22121d ()cos sin d T m l m lx m lx t j

j j j j ¶=-+׶&&&&&&&2sin V Q m gl j j j

¶=-=-¶2

12122()cos sin 0m m x

m l m l j j j j +-+×=&&&&&(cos sin )sin 0m l l x x m gl j

j j j j -+×+=&&&&&&2、第二类拉格朗日方程的应用

x 1φ

再计算

如果质点M 2摆动很小，可以近似地认为1cos sin »»j j j ，

且可以忽略含和的高阶小量，2

j &1x

j &&微分方程可改写为:

1212()0m m x

m l j +-=&&&&1l x g j

j -=-&&

&&从以上两式中消去，得到1x

&&1210m m g

m l

j j ++=&&这是自由振动的微分方程，其通解为:)

sin(0q w j +=t A 固有角频率:

l

g

m m m 1210+=

w 摆动周期

:如果2

1m m >>则质点M 1的位移x 1将很小，

质点M 2的摆动周期将趋于普通单摆的周期

:

1lim 2m T ®¥=也可以从微分方程中消去，得到:j

&&可见质点M 1沿x 方向也作自由振动。

2、第二类拉格朗日方程的应用

这种机构又被称为椭圆摆，原因是M 1永远做水平运动，而M 1和M 2的质心C 点只能做

例3已知：均质圆轮半径为r 质量为m ，受到轻微扰动后，在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示. 设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:质心C 的运动规律

.

C

解：系统只有一个自由度，选θ为广义坐标。

系统的动能为:22

1122C T mv J w

=+2

222

111()()222R r m R r mr r q q æö-=-+×ç÷èø&&223

()4

m R r q =-&选圆弧轨道的圆心A 为零势能位置，则系统的势能为：()cos V mg R r q =--此为保守系统，系统的拉格朗日函数为：

22

3()()cos 4

L T V m R r mg R r q q

=-=-+-&代入保守系统的拉格朗日方程：d ()0d L L

t q

q ¶¶-=¶¶&得

3()2sin 0R r g q

q -+=&&与列刚体平面运动微分方程计算结果相同，

但显然此处更加简洁方便！

2、第二类拉格朗日方程的应用

利用拉格朗日方程解题的步骤及注意事项

步骤：

1、确定系统的自由度并选择合适的广义坐标；

2、利用广义坐标表示出系统的动能；

3、确定每个质点上的主动力，判断是否是保守系统；

4、对于保守系统，利用广义坐标表示系统的势能，写出系统的动势；

5、对于非保守系统，计算每个广义坐标所对应的广义力；

6、将动势或者是动能和广义力分别代入保守系统的拉格朗日方程或一般

形式的拉格朗日方程进行计算。

注意：

1、表示系统的势能时，需要选取系统的零势能位置，这个位置选取是灵

活的，需要表示的是系统相对该位置的相对势能，选取的原则是：相

对势能表示越方便、越简单越好。

2、涉及广义力的计算时，可以利用广义力的定义计算，也可以利用广义

虚位移的任意性进行计算，保守系统还可以通过势能函数对广义坐标

的偏导数来计算。