北师大版八年级下册数学《角平分线(1)》课件

∴ DE ＝ DF(角平分线的性质) E O
F
∠DAE=∠DAF
∵∠DEB=∠CFD=90°
B
D
C
∴ ∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分线
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线
∴AD垂直平分EF.(三线合一）
巩固提高 已知：在等腰Rt△ABC中，AC ＝ BC
∠C＝90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB于点E。
BE=CF （已证）
E
F
BD=CD（已知）
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
B
∴DE ＝ DF(全等三角形对应边相等)
D
C
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分
线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. A 求: AD与EF关系？
证明:∵AD平分∠CAB DE⊥AB，DF⊥AC
在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE
1
O
2
PC
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
E B
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) ∴点P在∠AOB的角平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论： 判定定理： 在一个角的内部,且到角的两 边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且
为什么？
B
C
，
2、如图,OC是∠AOB 的平分线,点P
在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 A
C
是 D 、 E,PD=4cm, 则 （ 1 ） D P
B
PE=_____cm.
E
（2）P点到OB的距离_____cm. O
反过来，到一个角的两边的距离相等的
点是否一定在这个角的平分线上呢？
（前提条件）
2
又∵OP=OP
PC
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
E B
定理：角平分线上的点到这 个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点
，
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足
分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
距离相等).
DA
1
O
2
PC
E B
判断
1. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
A
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
D
点D、E为垂足，PD＝PE． 1
求证：点P在∠AOB的平分线
O
2
PC
上．
E
B
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、
E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°
A D
形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两 次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
同学甲、乙谁的画法是正确的?
C
C
按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的 垂线段PE、PF ，并度量所画PE、PF是否等长？
议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？
F
BD=CD（已知）
B
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
D
C
∴ BE=CF （全等三角形对应边相等）
已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF
求证:AD是∠BAC的角平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
A
∴ ∠DEB=∠CFD=90°
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,
PD=PE,
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内
O
部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平
分线上).
A D
1P
2
C
E B
要在Ｓ区建一个集贸市场
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？ （2）它到公路，铁路距离相等且离公路, Ｏ
铁路的交叉处4００米，应建在何处？ 公路铁路ຫໍສະໝຸດ （比例尺 1：20 000）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
（×）
B
A
D
C
不必再证全等
2. ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
√ ∴
DB = DC
，（
在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等。
）
B
A D
C
知识应用
A E
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，
D
DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？
Ｓ
B
A
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60° 点D在BC上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂 足分别是E,F,且DE=DF,求DE的长.
证明：∵D小E组⊥合A作B完，成D。F⊥AC DE ＝DF
∴AD平分∠BAC
E
又∵∠BAC=60°
A F
∴∠BAD=30,
B
在Ｒt△ADE中，∵∠AED=90°，AD=10 D
A
（对折） 再打开纸片 ，看看折痕 与这个角有何关系？
C
O
B
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1 ＭＮ的长为
2
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
活 动 2 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角
角平分线上的点到角的两边的 距离相等．
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D、E． 求证：PD=PE．
A D
证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， 1
∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90° O
PE⊥AB，PF⊥AC，则PE___=____PF.
2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接
AP，则∠BAP___=__∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=
，则PE=__1__.
下课了!
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
1.4 角平分线
第一课时
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
Ｏ
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路,
铁路的交叉处4００米，应建在何处？ 公路
铁路
（比例尺 1：20 000）
Ｓ
活动 1
1.什么是角平分线？怎样画角平分线？
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。 你有什么办法？
证明的规范性在于：条理清晰， 因果相应,言必有据.这是初学 证明者谨记和遵循的原则.
求证：BD＋DE ＝AC
A
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1.用尺规作角平分线 2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 3.角平分线的判定定理：
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在 这个角的平分线上.
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若
C
∴DE= ½ AD= ½ ×10=5
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,
且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是
E,F.
证求明：证∵:DABDEE⊥平=A分CB∠，FC.DAFB⊥AC
A
∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)
在Ｒt△BDE和Rt△CDF中, DE=DF （已证）
E