第六章 概率论初步 (上)
七年级数学第六章概率初步
随机事件与概率【学习目标】1、感受生活中的随机现象，并体会不确定事件发生的可能性大小；2、通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性，理解概率的意义.【要点梳理】要点一、确定事件与不确定事件1.确定事件在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件.2.不确定事件也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.要点进阶：要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.要点二、频率与概率1.频率与概率的定义频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值mn称为事件A发生的频率.无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A 的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点进阶：①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.【典型例题】类型一、确定事件与不确定事件例1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.举一反三【变式1】下列事件中不是随机事件的是（）A．打开电视机正好在播放广告B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书D．明天太阳会从西方升起【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生；B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件；C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生；D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.例2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.类型二、频率与概率例3.为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．例4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？例5. 某篮球运动员在近几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7m进球频率n(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 9 19 44 91 178 451击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【巩固练习】一、选择题1. 下列说法正确的是( )．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等2.一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球3.下列说法正确的是( )A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生D.不可能事件在一次试验中也可能发生4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( )A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率C．相等D．不能确定5.下列说法正确的是( )A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面.6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二. 填空题7. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩 ____________（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀．8. 判断下列事件的类型：(必然事件，随机事件，不可能事件)(1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．_____________(2)抽签试验中，抽到的序号大于0．_____________(3)抽签试验中，抽到的序号是0．____________(4)掷骰子试验，出现的点数是7．_____________(5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．_____________(6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”．__________(7)度量五边形外角和，结果是720度．________________9. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个．10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100 400 800 1 000 2 000 5 000发芽种子85 398 652 793 1 604 4 005粒数发芽频率0.850 0.745 0.851 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．11. 掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．12. 下面4个说法中，正确的个数为_______．(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．三.综合题13. 下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率抛掷结果5次50次300次800次3200次6000次9999次出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率20% 62% 45% 51% 49.4% 49.7% 50.1%(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______.(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出现的频率是_____；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，反面出现的频率是______(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.14. 如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10个有理数．（1）求转得正数的概率．（2）求转得偶数的概率．（3）求转得绝对值小于6的数的概率．15. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．(1)求摸出1个球是白球的概率；(2)现在再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值．。
第六章 概率论基础知识
• 事实上，若事件A相对于事件B是独立的，即P(A｜B)=P(A),那么,当
P(A)>0时,有P(B｜A)= 独立的。
P( AB) P( A)
=
P( A) P( B) =P(B)即事件B相对于事件A也是 P( A)
• 若两事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立。若四对事件
{A,B},{ A ,B},{A, B },{ A , B }中有一对是相互独立的,则另外三对 也是相互独立的。任意两个事件A、B，满足下列条件之一，就称为相 互独立的随机事件： ⑴P(A｜B)=P(A)且P(B)>0； ⑵P(B︱A)=P(B)且P(A)>0。 对任意两个相互独立的事件A、B,有 P(AB)=P(AB)=P(A｜B)P(B)=P(A)P(B)
P A 乙 P 乙
0.08 0.5714 0.14
• 4.随机事件的独立性
设A,B是两个事件,一般而言P(A)P(A｜B),这表示事件B的发生对事件 A的发生的概率有影响,只有当P(A)=P(A｜B)时才可以认为B的发生与 否对A的发生毫无影响,就称两事件是独立的.其直观意义也比较明确: 若无论事件B的发生与否,对事件A的概率都没有影响,那么,事件A对于 事件B是独立的。由于从“A相对于B独立”，推导出“B相对于A独 立”，所以，只要P(A｜B)= P(A)成立,我们就说,A与B是相互独立的。
表6-2 分布计算表
离散型随机变量
X的取值
－1
2
3
X的概率 1／6
1／2
1／3
2.离散随机变量的累积概率
P(X≤x)的概率，称为随机变量X(小于等于x)的累积概率，在例1中，随机 变量X≤2的累积概率为P(X≤2)=2／3。
概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案1．已知总体X ～),(2σµN ，其中2σ已知，⽽µ未知，设1X ，2X ，3X 是取⾃总体X 的样本．试问下⾯哪些是统计量？(1)321X X X ++；(2)µ31-X ；(3)222σ+X ；(4)21σµ++X ；(5)},,max{321X X X ；(6)σ221++X X ；(7)∑=3122i i X σ；(8)2µ-X ．解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是．2．求下列各组样本值的平均值和样本差．(1)18，20，19，22，20，21，19，19，20，21；(2)54，67，68，78，70，66，67，70．解：(1)9.19)21201919212022192018(101101101=+++++++++==∑=i i x x ；43.1)(9110122=-=∑=i i x x s ．(2)5.67)7067667078686754(1018181=+++++++==∑=i i x x ；018.292)(718122=-=∑=i i x x s ．3．(1)设总体X ～)1,0(N ，则2X ～)1(2χ．(2)设随机变量F ～),(21n n F ，则F1～),(12n n F ．(3)设总体X ～),(2σµN ，则X ～),(2n N σµ，22)1(S n σ-～)1(2-n χ，nS X /µ-～)1(-n t ．(4)设总体X ～)10(2χ，Y ～)15(2χ，且X 与Y 相互独⽴，则=+)(Y X E 25，=+)(Y X D 50．4．设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布，则(C)A ．Y X +服从正态分布B ．22Y X +服从2χ分布C ．2X 与2Y 均服从2χ分布D ．22YX 服从F 分布5．在总体X ～)3.6,52(2N 中随机抽取⼀容量为36的样本，求样本平均值X 落在8.50到8.53之间的概率．解：因为X ～)3.6,52(2N ，即52=µ，223.6=σ，因为36=n ，22205.1363.6==n σ，所以X ～)05.1,52(2N ．由此可得)8.538.50(≤≤X P 05.1528.50()05.1528.53(-Φ--Φ=8302.0)1429.1()7143.1(=-Φ-Φ=．6．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，10X 为总体的⼀个样本，求：(1))99.15(1012>∑=i i X P ；(2)写出1X ，2X ，…，10X 的联合概率密度函数；(3)写出X 的概率密度．解：(1)由题可知∑==1012i i X X ～)10(2χ，查2χ分布表有99.15)10(210.0=χ，可得10.0=α，即10.0)99.15(1012=>∑=i i X P ．(2)1X ，2X ，…，10X 相互独⽴，则联合概率密度函数为}exp{321}21exp{21),,,(1012510121021∑∏==-=-=i i i i x x x x x f ππ．(3)X Y =～)1.0,0(N ，所以有2251.02)0(e 5e1.021)(y y y f -?--==ππ．7．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，5X 为总体的⼀个样本．确定常数c ，使25242321)(XX X X X c Y +++=～)3(t ．解：因为i X ～)1,0(N ，5,,2,1 =i ，所以21X X +～)2,0(N ，)(2121X X +～)1,0(N ，252423X X X ++～)3(2χ，因为25242321252423212632XX X X X X X X X X +++=+++～)3(t ，所以有23=c ．8．设1X ，2X ，3X ，4X 是来⾃正态总体)4,0(N 的样本．已知243221)43()2(X X b X X a Y -+-=为服从⾃由度为2的2χ分布，求a ，b 的值．解：由题可知i X ～)4,0(N ，4,3,2,1=i ，故有0)2(21=-X X E ，20)2(21=-X X D ，所以212X X -～)20,0(N ．同理4343X X -～)100,0(N ．⽽20)2(221X X -～)1(2χ，100)43(221X X -～)1(2χ，故有100)43(20)2(243221X X X X -+-～)2(2χ，⽐较可知201=a ，1001=b ．9．设总体X ～)3.0,(2µN ，1X ，2X ，…，n X 为总体的⼀个样本，X 是样本均值，问样本容量n ⾄少应取多⼤，才能使95.0)1.0(≥<-µX P ．解：易知X ～)3.0,(2nN µ，由题意有95.013(2/3.01.0/3.0()1.0(≥-Φ=<-=<-nnnX P X P µµ，即应有975.0)3(≥Φn，查正态分布表知975.0)96.1(=Φ，所以取96.13≥n，即5744.34≥n ，取35=n ．10．设总体X ～)16,(µN ，1X ，2X ，…，10X 为总体的⼀个样本，2S 为样本⽅差，已知1.0)(2=>αS P ，求α的值．解：由抽样分布定理知22)1(σS n -～)1(2-n χ，因为10=n ，故有2249S ～)9(2χ，得1.0)169169()(22=>=>ααS P S P ，查2χ分布表得684.14)9(21.0=χ，即684.14169=α，解得105.26=α．11．设(1X ，2X ，…，1+n X )为来⾃总体X ～),(2σµN 的⼀个样本，记∑==n i i n X n X 11，∑=--=n i in X X n S 122(11，求证：nn n S X X n n T -?+=+11～)1(-n t ．证：由题可知n X ～),(2nN σµ，n n X X -+1～))11(,0(2σn N +，标准化得σnX X nn 111+-+～)1,0(N ．⼜因为∑=-=-ni inX XS n 1222)(1)1(σσ～)1(2-n χ，从⽽有nn nnn S XX n n n S n n X X -+=--+-++122111)1(11σσ～)1(-n t ，即nnn S X X n n T -?+=+11～)1(-n t ．。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
概率论第六章
P( X1 = x1 , X2 = x2 ,, Xn = xn )记作 f ( x1 , x2 ,, xn ) = P( X1 = x1 ) P( X2 = x2 )P( Xn = xn ) = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) = ∏ f ( xi )
i =1 n
(1)
(2)当总体 X是连续型随机变量 且具有概率 当总体 是连续型随机变量,且具有概率 密度函数 f ( x) 时 ,则样本 ( X1 , X2 ,, Xn ) 的联 则样本 合概率密度为
的分布函数为F(x)，则称总体的分布函数为 若X的分布函数为 的分布函数为 ，则称总体的分布函数为F(x) 。
对总体进行研究时， 对总体进行研究时，对总体中每个个体逐一 进行考察，这在实际中往往是行不通的， 进行考察，这在实际中往往是行不通的，一是试 验具有破坏性，二是需花费大量的人力物力； 验具有破坏性，二是需花费大量的人力物力； 常用的方法是： 常用的方法是：从总体中随机地抽取若干个 个体， 个体，根据对这部分个体的研究结果推判总体某 方面的特征。 方面的特征。 二、样本 从总体X中随机地抽取 个个体， 中随机地抽取n个个体 定义 从总体 中随机地抽取 个个体，称之为 的样本。 总体X的一个样本容量为 的样本 的一个样本容量 总体 的一个样本容量为n的样本。
解 总体 X 的分布律为 P{ X = k } = p k (1 p )1 k
所以 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的分布律为
f ( x1 , x 2 , , x n ) = ∏ f ( x i ) =
n i =1
( k = 0, 1)
= p i =1 (1 p )
∑ xi
n
n
i =1
概率初步全章教案
概率初步全章教案第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义引入概率的概念，让学生理解概率是衡量事件发生可能性大小的数学量。
解释概率的取值范围，即0到1之间。
1.2 必然事件和不可能事件讲解必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
通过实例让学生区分必然事件和不可能事件。
1.3 随机事件介绍随机事件的定义，让学生理解随机事件是既不是必然事件也不是不可能事件的事件。
解释随机事件的概率大于0且小于1。
第二章：概率的计算方法2.1 古典概型讲解古典概型的定义，即试验结果有限且等可能发生。
介绍古典概型的概率计算公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)为事件A的发生次数，n(S)为样本空间的大小。
2.2 列举法讲解列举法的概念，即通过列举所有可能的结果来计算概率。
示范使用列举法计算概率的步骤。
第三章：条件概率和独立事件3.1 条件概率引入条件概率的概念，解释条件概率是在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率。
讲解条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)为事件A和B 发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
3.2 独立事件解释独立事件的定义，即两个事件的发生互不影响。
讲解独立事件的概率计算公式：P(A∩B) = P(A)P(B)，其中P(A)为事件A发生的概率，P(B)为事件B发生的概率。
第四章：全概率公式和贝叶斯公式4.1 全概率公式讲解全概率公式的概念，即在多个互斥事件的情况下，事件A发生的概率可以通过各事件发生的概率乘以对应事件的条件概率之和来计算。
解释全概率公式的计算步骤。
4.2 贝叶斯公式引入贝叶斯公式的概念，解释贝叶斯公式是通过已知条件来推算事件发生的概率。
讲解贝叶斯公式的计算步骤。
第五章：随机变量及其分布5.1 随机变量的定义讲解随机变量的概念，即随机试验结果的量化描述。
解释随机变量的取值可以是具体的数值，也可以是其他类型的值。
5.2 离散型随机变量讲解离散型随机变量的定义，即随机变量取值有限或可数。
(完整版)概率论第六章答案
习题6-11. 若总体(2,9)X N :, 从总体X 中抽出样本X 1, X 2, 问3X 1-2X 2服从什么分布?解 3X 1-2X 2～N(2, 117).2. 设X 1, X 2, …, X n 是取自参数为p 的两点分布的总体X 的样本, 问X 1, X 2, …, X n 的联合分布是什么?解 因为总体X 的分布律为P {X =k }= p k (1-p )1-k , k =0,1,…,所以样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布为11221111111{,}(1)(1)(1)(1).n nnniii i x x x x x x n n X n X P X x X x p p p p p p p p ==----==⋅-⋅-⋅⋅-∑∑=⋅-…,=…习题6-21. 选择题(1) 下面关于统计量的说法不正确的是( ).(A) 统计量与总体同分布. (B) 统计量是随机变量. (C) 统计量是样本的函数. (D) 统计量不含未知参数.解 选(A).(2) 已知X 1,X 2,…,X n 是来自总体2(,)X N μσ:的样本, 则下列关系中正确的是( ).(A) ().E X n μ= (B) 2().D X σ=(C)22().E S σ= (D) 22().E B σ=解 选(C).(3) 设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 则( ).(A) X +Y 服从正态分布.(B) X 2+Y 2服从2χ分布.(C)X 2和Y 2都服从2χ分布. (D)22X Y服从F 分布.解因为随机变量X 与Y 都服从标准正态分布, 但X 与Y 不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).2. 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的样本, 总体X 的均值μ已知,方差σ2未知. 在样本函数1nii X=∑,1nii Xμσ=-∑,1nii XSμ=-∑, n μ(21X +22X +…+2n X )中, 哪些不是统计量?解1nii Xμσ=-∑不是统计量.3. 设总体X 服从正态分布21(,)N μσ, 总体Y 服从正态分布22(,)N μσ,112,,,n X X X L 和 212,,,n Y Y Y L 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 求12221112()()2.n n i j i j X X Y Y E n n ==-+-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑解 因为 122111[()]1ni i E X X n σ=-=-∑, 222121[()]1n j j E Y Y n σ=-=-∑ 习题6-31．填空题 (1) 设总体~(2,25)XN ,12100,,,X X X L 是从该总体中抽取的容量为n 的样本, 则()E X = ; ()D X = ; 统计量~X .解 因为总体~(2,25)X N , 而12100,,,X X X L 是从该总体中抽出的简单随机样本, 由正态分布的性质知, 样本均值也服从正态分布, 又因为1001111(()22100)nii i E E X nX =====∑∑,而1002111125(()251001)1004ni i i D D X nX ======∑∑. 所以1~(2,)4N X .(2) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,12,,,n X X X L 是来自X 的简单随机样本, 则统计量服从 分布;服从 分布;222=12(1)()nii n SXX σσ--=∑服从 分布;212()nii Xμσ=-∑服从 分布.解 由抽样分布定理知,2~(,)X N nσμ. 再由正态分布的标准化公式,服从标准正态分布.由抽样分布定理知,服从自由度为n -1的t 分布.由抽样分布定理知,22(1)n S σ-服从自由度为n -1的2χ分布.由题设, 2~(,),1,2,,i X N i μσ=L 所以~(0,1),1,2,.i X N i μσ-=L再由2χ分布的定义知, 212()nii Xμσ=-∑服从自由度为n 的2χ分布.(3) 设12,,,n X X X L,1,,n n m X X ++L 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n +m 的样本, 则统计量2121ni i n mi i n m X n X =+=+∑∑服从的分布是 .解 因为2121nii n mii n m Xn X=+=+∑∑=2121nii n mii n XnXm=+=+∑∑, 而2212~()nii Xn χσ=∑,2212~()n mii n Xm χσ+=+∑.由F 分布的定义, 得到2121~(,)ni i n mi i n m X F n m n X =+=+∑∑.2. 选择题(1) 设随机变量21~()(1),X t n n Y X >=, 则下列关系中正确的是( ).(A) 2~()Y n χ. (B) 2~(1)Y n χ-. (C) ~(,1)Y F n . (D) ~(1,)Y F n解 由题设知,X =, 其中2~(0,1),~()U N V n χ, 于是21Y X ==221UV V n n U =,这里22~(1)Uχ, 根据F 分布的定义知21~(,1).Y F n X=故应选(C).(2) 设z α,2αχ(n ),()t n α,12(,)F n n α分别是标准正态分布N (0,1)、2χ(n )分布、t 分布和F 分布的上α分位点, 在下列结论中错误的是( ).(A)1z z αα-=-. (B) 2αχ(n )=1-21αχ-(n ).(C) 1()()t n t n αα-=-. (D) 121211(,)(,)F n n F n n αα-=.解 应选(B).3. 在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一个容量为36的样本, 求样本均值X落在50.8到53.8 之间的概率.解 因为2~(,)X N n σμ,所以26.3~(52,)36X N .于是, 标准化随机变量52~(0,1)6.3X N -.因此(50.852)6(52)6(53.852)6{50.853.8}{}6.3 6.36.3X P X P -⨯-⨯-⨯=≤≤剟10.87.2()()0.82936.36.3ΦΦ-=-=.4. 已知1210,,,X X X L 是来自正态总体2(0,)X N σ:的样本, 求概率{<2.82}P X S .解 由定理1知,2229(0,1),(9),XS N χσσ::因此(9)XXt S=:, 所以 { 2.82}{2.82}1{ 2.82}10.010.99.X XP XS P P S S<=<=->=-=。
概率论与数理统计第6章
第六章6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超 过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？ 解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|-Φ≈<-=<-n nnX P X P σσμμ依题意有,95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆， 标准差σ=10 欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.（1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; （2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率. 解:由抽样分布定理，知nX /σμ-近似服从标准正态分布N （0，1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()255100()5100(≤=≤=≤X P X P X n P 9772.0)2()25/10200204(=Φ=-Φ≈6。
8 设总体X ~N （150,252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤。
解： 已知150=μ，25=σ，25=n ，)25/25150140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ= 2857.09615.09772.0=-=第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：。
人教版数学《概率初步》_上课课件1
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信息交流， 揭示规律
-4-
⑵如果两种球都有可能被摸出，那么“摸出黑球” 和“摸出白球”的可能性一样大吗？各小组动手 试试看。
球的颜色
黑球
白球
摸取次数
5
3
结论：由于两种球的数量不等，所以“摸 出黑球”和“摸出白球”的可能性的大小 是不一样的，且“摸出黑球”的可能性大 于“摸出白球”的可能性。
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信息交流， 揭示规律
-5-
通过以上从袋中摸球的试验，你能得到什么启示？
一般地， 1.随机事件发生的可能性是有大小的； 2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
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-9-
师生共进， 课堂小结
确定性事
事件 件
必然事件 不可能事件
随机事件
定义：在一定条件下，有可能发生也有可能不发生的事件称为随 机事件。
特征：事先不能预料事件是否发生，即事件的发生具有不确定 性。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。
解：落在海洋里的可能性大一些；
2.一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页， 我们能否说翻到偶数页的可能性大？
解：不能。例如：共100页的一本书，翻到奇 数页与偶数页的可能性一样大。
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概率论与数理统计第六章总结
概率论与数理统计第六章总结一、概述在概率论与数理统计的第六章中，主要介绍了随机变量的概率分布以及常见的概率分布模型。
本章内容是概率论与数理统计的重点和难点之一，对于理解和应用概率统计的基本理论和方法具有重要意义。
二、随机变量的概率分布1. 随机变量及其概率分布的概念•随机变量是对随机试验结果的数值化描述，它的取值不仅依赖于随机试验的结果，还受到机会因素的影响。
•概率分布描述了随机变量可能取值的概率大小。
常用的概率分布有离散型和连续型两种。
2. 离散型随机变量及其概率分布•离散型随机变量的取值是有限或可列的，它的概率分布可以用概率质量函数来描述。
•常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项分布、泊松分布等。
3. 连续型随机变量及其概率分布•连续型随机变量的取值是无限的，它的概率分布可以用概率密度函数来描述。
•常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
三、常见概率分布模型1. 二项分布•二项分布是指在 n 重伯努利试验中，成功的次数服从的概率分布。
其概率质量函数为二项式系数与成功概率的乘积。
•二项分布在实际应用中常用于描述成功次数的分布情况，如抽样调查中的样本中某一特征出现的次数。
2. 泊松分布•泊松分布是定义在非负整数集上的概率分布，它描述了在一段时间或空间内事件发生的次数。
其概率质量函数为事件发生率与时间（或空间）长度的乘积。
•泊松分布常用于描述罕见事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、一段时间内事故发生次数等。
3. 正态分布•正态分布是最重要的连续型概率分布模型之一，也称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值。
•正态分布在实际应用中广泛存在，如身高体重、测量误差、考试成绩等符合正态分布的情况较多。
4. 指数分布•指数分布是定义在非负实数集上的连续型概率分布，它描述了连续时间间隔或空间间隔内事件发生的情况。
其概率密度函数呈指数下降曲线。
•指数分布在实际应用中常用于描述无记忆性随机事件的发生情况，如设备失效时间、极端天气事件的间隔等。
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
概率初步全章教案
概率初步全章教案第一章：概率的定义与基础1.1 概率的定义引入概率的概念，让学生了解概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
解释概率的取值范围，即0到1之间，0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生。
1.2 样本空间与事件介绍样本空间的概念，即所有可能结果的集合。
解释事件的定义，即样本空间的一个子集，表示某种结果的发生。
1.3 概率的基本性质介绍概率的基本性质，包括非负性、归一性和可加性。
通过实例让学生理解这些性质的应用。
第二章：概率的计算2.1 古典概率计算引入古典概率的定义，即在试验中所有可能结果都是等可能的。
教授如何计算古典概率，即事件发生的次数除以所有可能结果的个数。
2.2 条件概率与独立事件解释条件概率的概念，即在给定另一个事件发生的情况下，某个事件发生的概率。
介绍独立事件的定义，即两个事件的发生互不影响。
教授如何计算条件概率和独立事件的概率。
2.3 概率的乘法规则介绍概率的乘法规则，即两个独立事件发生的概率等于各自概率的乘积。
通过实例让学生理解并应用概率的乘法规则。
第三章：随机变量与概率分布3.1 随机变量的定义引入随机变量的概念，即一个随机试验的结果的实数值。
解释离散随机变量和连续随机变量的区别。
3.2 概率分布的定义介绍概率分布的概念，即随机变量取每个可能值的概率。
解释概率分布的性质，包括非负性和归一性。
3.3 概率分布的图形表示教授如何绘制概率分布的图形，如概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。
通过实例让学生理解并绘制概率分布的图形。
第四章：期望与方差4.1 期望的定义与计算引入期望的概念，即随机变量的平均值。
教授如何计算离散随机变量的期望，即每个可能值乘以其概率的和。
4.2 方差的定义与计算解释方差的概念，即随机变量与其期望值的偏差的平方的平均值。
教授如何计算离散随机变量的方差，即每个可能值与期望值的偏差的平方乘以其概率的和。
4.3 期望与方差的应用介绍期望和方差在实际问题中的应用，如估计总体的均值和方差。
概率论第六章
对有限总体，采用放回抽样所得到的样本为简单随 机样本。
当样本容量 n 与总体容量N 相比很小时, 可将无放 回抽样近似地看作放回抽样.(n/N<1/10)
对于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布， 所以总是用不放回抽样。
(X 1,X 2, ,X n)是 来 自 总 体 的 样 本 ,求 样 本 (X 1,X 2, ,X n)的 分 布 律 .
解 总体X的分布律P 为 {X x}px(1p )1 (x x 0, 1)
因 X 1 ,为 X 2 , ,X n 相互 ,且与X独 有相立 同的分 , 布
所 (X 以 1,X 2, ,X n)的分布律为
X 1 k ,X 2 k , ,X n k 独立 X k 同 且 分 与 布
E ( X 1 k ) E ( X 2 k ) E ( X n k ) k
由辛钦定理
A
k
1 n
n i 1
X
k i
P k , k
1, 2,
,
说明2
依概率收敛的序列性质知道 g为连续函数
g( A1, A2 ,, Ak ) P g(1, 2 ,, k )
10 i 1
( xi
x )2
390.0
9 10
s2
21
3. 经验分布函数(与总体分布函数F(x)相对应的统计量)
设 X 1 ,X 2 , ,X n 是 总 体 X 的 一 个 样 本 , 用 s (x ) , x 表 示 X 1 ,X 2 , ,X n 中 不 大 于 x 的 随 机 变 量 的 个 数 ,
基本概念: 个体 总体无有限限总总体体 样本 样本值 总体的分布 样本的分布
概率论与数理统计第六章
Ch 6 数理统计的基本概念§6.1 基本概念 一、总体与样本1、总体——研究对象的全体，记为X 。
2、个体——构成总体的每一个对象，记为i X 。
3、总体容量——总体中包含的个体的个数。
有限总体——容量有限；无限总体——容量无限。
为推断总体X 的分布，从总体中抽取n 个个体，则对应n 个r.v.n X X X .....2,1——来自于总体X 的一个样本。
n X X X ......,21的取值（（n x x x ,.....,21）--观测结果）称为样本的观测值，简称为样本值，整个抽取过程称之为抽样。
抽取的目的是根据样本的取值情况推断总体情况，因此应尽可能的使抽取的样本能反映总体的状况，故要求抽取的样本具有以下性质：文档收集自网络，仅用于个人学习⑴ 代表性：样本中每个r.v.i X 与总体X 具有相同的分布。
文档收集自网络，仅用于个人学习⑵ 独立性：n X X X ......,21相互独立。
——简单的随机抽样所得的样本称为简单的随机样本；若总体X 的分布函数为F （x ），则样本n X X X .....2,1的联合分布函数)().....,(121*i ni n x F x x x F =∏=。
文档收集自网络，仅用于个人学习若X 为连续型，且d.f 为f(x),且联合p.d.f 为：)()....,(121*i ni n x f x x x f =∏= 若X 为离散型，且分布律为：....2,1,)(===k p x X P k k 则联合分布律：in i i in n i i p p p x X x X x X P ....).....,(212211⋅⋅====。
...2,1.....3,2,1=in i i i 二、统计量Def:不含有任何未知数的关于样本空本空间的函数称为统计量。
e.g.1 设总体X~),(2σμN ，其中2,σμ未知，（n X X X .....2,1）为取自总体X 的一个样本，则：∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1均为统计量。
第六章 概率初步
新课标北师版·数学 七年级下
第六章 概率初步
1 感受可能性
知识点 确定事件与随机事件的概念及分类
“心想事成”意指“心里想到的,都பைடு நூலகம்成功”,该词多用于祝福 语,可是我们知道心里想的有时能够成功,有时不能成功,所以心 想事成是一个随机事件.
知识点 确定事件与随机事件的概念及分类
确定事件不仅仅是必然事件,一个事件只要能确定发生或确定不 发生,都是确定事件.
3 等可能事件的概率
知识点 计算等可能事件发生的概率
学校操场有8条跑道,小明参加初三男子组800米预赛,他抽到4号 跑道的概率是 1 .
8
知识点 游戏的公平性
小颖和妈妈去赶早市,发现有人在设摊“摸彩”.他手里拿一个 盒子,盒子中装有5个形状、大小完全相同的乒乓球,其中4个红 球,1个白球,每次从中摸1个球,如果摸到白球,则可赢10元钱,否 则就要输掉10元钱.这个游戏是不公平的,同学们不要上当.
知识点 按要求设计游戏
今年暑假,小丽爸爸的同事送给她爸爸一张北京故宫的门票,她和哥 哥两人都很想去参观,可门票只有一张.爸爸用了一枚硬币,把硬币抛 出,硬币落地后正面朝上,哥哥去,否则小丽去.这样问题就解决啦!
知识点 几何概率
一只小狗在如图所示的地板上走来走去,地板砖共有15块,而粉色方砖有 5块,所以小狗最终停在粉色方砖上的概率为 1 .
知识点 利用频率估算概率
篮球运动员在最近几场大赛中投篮的结果如下表所示:
投篮次数
20 18 16 17 16 18
进球次数
12 12 10 13 12 14
进球频率
0.6 0.67 0.625 0.765 0.75 0.78
根据其进球频率,可以估计该运动员进球的概率约为0.70.
概率论第六章习题解答
概率论第六章习题解答1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在与之间的概率。
解 因为2(52,6.3)N ，所以{50.853.8}P X P <<=<<10.87.2()()6.3 6.3-=Φ-Φ(1.71)( 1.14)=Φ-Φ- 0.956410.87290.8293=-+=2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5114(12,)55ii X X N ==∑—所求概率为{|12|1}1{|12|1}P X P X ->=--≤1{1121}P X =--≤-≤1X P =-≤≤1(()22=-Φ+Φ- 22(1.12)=-Φ2(10.8686)0.2628=-= （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 123451{15,15,15,15,15}P X X X X X =-≤≤≤≤≤ 511{15}i i P X ==-≤∏511215121{}22i i X P =--=-≤∏ 51((1.5))=-Φ51(0.9332)0.2923=-=.（（3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <123451{min{(,,,,)10}P X X X X X =-≥123451{10,10,10,10,10}P X X X X X =-≥≥≥≥≥511{10}i i P X ==-≥∏511(1{10})i i P X ==--<∏511210121(1{})22i i X P =--=--<∏ 511(1(1))i ==--Φ-∏511(1)i ==-Φ∏51(0.8413)1042150.5285=-=-=3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过的概率。
北师大版初中数学七年级上册 第6章 第01讲_概率初步
D． 13 16
随练 1.1 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6 个球，其中 4 个黑球、2 个白球，从 袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是 3 个白球
B．摸出的是 3 个黑球
C．摸出的是 2 个白球、1 个黑球
D．摸出的是 2 个黑球、1 个白球
随练 1.2 下列事件属于必然事件的是（ ）
B．随机事件
C．确定事件
D．不可能事件
第2页
题模二：概率的概念
例 1.2.1 下列说法正确的是（）
A．“明天降雨的概率是 80% ”表示明天有 80% 的时间都在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为 1 ”表示每抛 2 次就有一次正面朝上
2 C．“彩票中奖的概率为1% ”表示买 100 张彩票肯定会中奖 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为 2 的概率为 1 ”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数
即时训练 3：在下列事件中，随机事件是（ ）
A．通常温度降到 0℃以下，纯净的水会结冰
B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．明天的太阳从东方升起
D．在一个不透明的袋子里装有完全相同的 6 个红色小球，随机抽取一个白球
即时训练 4： “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）
A．必然事件
6 为 2 ”这一事件发生的频率稳定在 1 附近
6
例 1.2.2 一个袋子中装有 6 个红球 3 个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．在
看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到红球的概率为（）
A． 1 2
B． 1 9
C． 1 3
D． 2 3
例 1.2.3 掷一枚质地均匀的硬币一次，反面朝上的概率是（）
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了解即可 在每次试验中它总是发生
第
事件A发生必然导致事件B发生，称为事
六
件B包含事件A，或称事件A包含事件B
章
第
一
事件包含与相等
了解即可
概
节
率
随
论
机 事
初
件
和事件 事件“A、B中至少有一个发生”为事件A 与事件B的和事件，也称A与B的并，记作
了解即可
步
积事件 事件“A，B同时发生”为事件A与事
(上)
随机试验和 样本空间 样本空间 了解即可 样本点的全体构成的集合
随机事件 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，记作
了解即可
பைடு நூலகம்
事件
随机 了解即可 试验E所对应的样本空间Ω的子集 事件 基本事件 的概 了解即可 样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}也是一种随机事件
念 必然事件 样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，
2016填13
交换律
运算律
了解即可
结合律 分配律
对偶律
关系 图形
了解即可
件B的积事件，也称A与B的交，记作
了解即可
差事件 事件“A发生而B不发生”为 了解即可 事件A与事件B的差事件，记作
互不相容（或互斥）
了解即可
事件A与事件B不能同时发生，即
事件“B不发生”
随机 对立事件 为事件B的对立事件
事件
（或余事件/逆事
了解即可
的关
件），记作
系与
运算
A∪B=Ω，A∩B=Φ，则A与B 互为对立事件