高一级数学兴趣小组选拔试题

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高一数学试卷附答案解析

高一数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是（） A ． B ． C ． D ．2.函数f (x )＝x 2＋2ax －b 在(－∞，1)上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1] 3.要得到的图象只需将y=3sin2x 的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A ．B ．C ．D ．5.奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，若f （﹣1）=0，则不等式f （x ）＜0的解集是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C ．（﹣1，0）∪（0，1） D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）6.对2×2数表定义平方运算如下：．则为（）A． B． C． D．7.（2014•南昌一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48.已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝CB．A CC．A∩C＝BD．B∪C⊆C9.已知函数①函数关于对称②函数关于对称③函数最小正周期为④函数向左平移个单位后的新函数为偶函数以上四个命题中，正确的命题的序号是：（）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①③④10.已知，，则（）A． B． C． D．11.（2014•珠海二模）通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：男女总计爱好104050不爱好203050总计3070100P （K2≥k ）0.100.050.025k 2.706 3.84150.24由K2=算得K2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（）A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”12.已知角的终边所在的直线过点P（4，－3），则的值为（）A．4 B．－3 C． D．13.现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样方法从中抽取6瓶检验，则所抽到的个体编号可能是（）A．5，10，15，20，25，30B．2，14，26，28，42，56C．5，8，31，36，48，54D．3，13，23，33，43，5314.下列结论正确的是（）A．若，则ac2>bc2B．若，则C．若，则D．若，则15.在中，有如下四个命题：①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角三角形．其中正确的命题序号是（）A．② ③ B．① ③ ④ C．① ② D．② ④16.在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是（）A．② B．③ C．②③ D．①②③17.下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在（0,1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定18.任取，且，若恒成立，则称为上的凸函数。

高一数学竞赛选拔试题

高一数学竞赛选拔试题
姓名_________班级__________
一：选 (log2x)]=log3[log (log3y)]=log5[log (log5z)]=0，那么( )
(A) z<x<y (B) x<y<z (C) y<z<x (D) z<y<x
2．由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是( )
（A）1（2）2（C）（D）4
3．设有三个函数，第一个是y=f(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是（）
（A）y=-f(x) (B) y=-f(-x) (C) y=-f-1(x) (D) y=-f-1(-x)
8．设函数f(x)满足关系式af(xn)+f(-xn)=bx,其中a2≠1,n为奇数,则f(x)__________,.
9．函数y=(Sinx+1)(Cosx+1)(- )的最小值为________,
10．y=( )lgcosx的单调递减区间是_________;
11．方程Sinx+Cosx=-k在区间[0,π]上有两个不相等实根,则实数k的取值范围是__________;
12．当时a∈_________,,关于x的方程|x|=ax+1无实数根
四:解答题(每小题20分,共60分)
13. .已知:f(x)=( )2(x≥1),f-1(x)为f(x)的反函数,又g(x)= + +2,求f-1(x)定义域,单调区间和g(x)的最小值;
14.已知方程:mx4-(m-3)x2+3m=0有一根小于-2,其余三根大于-1,求m的取值范围,

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第二卷（第二轮考试时间60分钟，满分100分）班级姓名得分一、选择题（每题６分，36分）1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是（）（A ）16 （B ）15 （C ）8 （D ）7 ２．乘积22221111(1)(1)(1)(1)23910---- 等于( ). (A)125 (B)21 (C)2011 (D)107 3 ．某公司从2001年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是（）（A ）2年（B ）3年（C ）4年（D ）5年4.若F(11x x-+)=x 则下列等式正确的是（）. （A ）F(-2-x)=-1-F(x)（B ）F(-x)=11x x+-（C ）F(x -1)=F(x)（D ）F （F （x ））=-x 5．已知c b a 、、是实数，条件0:=abc p ；条件0:=a q ，则p 是q 的（）(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件6．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。

四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于（）A ．9B ．26C ．34D ．6 二、填空题（每题5分，25分）7．如果}66{}42,3,2,1{}2,{22--=-a a a a ，则a 的值是。

8. Let f be a function such that 22))((2)()(y f x f y x f +=+ for any real numbers x and y , and 0)1(≠f , then (2005)f is equal to _____________.9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷

高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷（第一轮考试时间100分钟，满分100分）一．选择题：(每题6分，共36分)1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分）(A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．63．已知有理数x、y、z两两不等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.0个或2个4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘A．1 B.2 C.3 D.45．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4那么有（）种栽种方案.A.60B.68C. 78D.846.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必胜的策略A ．10 B.9 C.8 D.6二．填空题：（每小题6分，共42分）1．当整数m ＝_________时，代数式13m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________.3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是张.6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2-3x-a 2+2=0｝的子集的个数是三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程）1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？2、长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.参考解答一、选择题1．B 2.D 3. B 4.B 5.D 6. D二、填空题1．0或1 2.0 3.4 4. 由原不等式分解可得（|x|-3）(x 2+|x|-1)<0，由此得所求不等式的解集为5. 20 6.58 7. 4三、解答题：1、解：设每人购买了n 件商品，两人共购买了单价为8元的x 件，单价为9元的有y 件．则 ⎩⎨⎧=+=+.17298,2y x n y x 解之，得⎩⎨⎧-=-=.16172,17218n y n x 因为0,0≥≥y x ，所以4310959≤≤n ．所以整数10=n ．故⎩⎨⎧==.12,8y x2．解: 设长方形的边长为xcm 、ycm ，则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y ）=11（99x+x+y ） ∵N 是一个完全平方数，11为质数，∴x+y 能被11整除，又∵1≤x ≤9，1≤y ≤9 ∴2 ≤x+y ≤18，得x+y=11∴N=11（99x+x+y ）=112（9x+1） ∴9x+1是一个完全平方数，经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm 2.。

江苏省启东中学2019级高一实验班自主招生数学试题及答案【PDF版高清打印】

江苏省启东中学2019年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．把2232x y xy y -+分解因式正确的是 A ．()222y x xy y -+B ．()2y x y -C ．()22y x y -D ．()2y x y +2．已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为A ．﹣7B ．0C ．7D ．113．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 A ．r ≥1B ．1≤r ≤ 5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤44．如图，等边△ABC 中，AC ＝4，点D ，E ，F 分别在三边AB ，BC ，AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，且∠DFE ＝60°，则AD 的长为 A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25．如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4cm ，∠ABC ＝120°，点P 是射线AB 上的一个动点，∠MPN ＝∠ACP ，点Q 是射线PM 上的一个动点．则CQ 长的最小值为 AB ．2C．D ．4（第3题）B C（第4题）（第5题）NMQPCAB6．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x << 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．计算－82015×(－0.125)2016＝ ▲ ．8．市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ▲ ．9．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A (3，0)，B (8，0)，若点P 在y 轴上，且△P AB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．关于x 的方程2101x ax +-=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )，N (t ，8)分别是边AB ，BC 上的两个动点，且OM ⊥12．如图，△ABC 在第一象限，其面积为5．点P 从点A 出发，沿△ABC 的边从A —B —C —A运动一周，作点P 关于原点O 的对称点Q ，再以PQ 为边作等边三角形PQM ，点M 在第二象限，点M 随点P 的运动而运动，则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）图113．（本小题满分15分）阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于 A （1，3）和B （－3，－1①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或x 即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax b +>问题：求不等式32440x x x +-->的解集．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4（1）将不等式按条件进行转化当x ＝0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式可以转化为2441x x x +->；当x ＜0时，原不等式可以转化为2441x x x+-<．（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2画出抛物线．．．．．2341y x x =+-．（3）确定两个函数图象公共点的横坐标代入函数解析式验证可知满足34y y =所有x 的值为 ▲ ；（4）借助图象，写出解集结合（1可知不等式32440x x x +-->如图，“元旦”期间，学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30 o ，测得条幅端点B 的俯角为45o ；小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45o ，测得条幅端点B 的俯角为30 o ．若楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长．（结果保留根号）15．（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC =2BC ，BE ＝5，求⊙O 的半径．（第14题）（第15题）图1图2惠民超市试销一种进价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于进价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝70时，y ＝50；当x ＝80时，y ＝40．（1）求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设该超市获得的利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围．17．（本小题满分16分）如图，已知抛物线223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．（1）求直线B C 的解析式；（2）点M 在抛物线上，且△BMC 的面积与△BCD 的面积相等，求点M 的坐标；（3）若点P 在抛物线上，点Q 在y 轴上，以P ，Q ，B ，D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．（第如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA＝8，OB＝6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P，点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB 相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．数学答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1． B2． D3． C4． C5． A6． D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7．－0.1258． ()272156x -= 9．（0，4），（0，－4） 10． a ＜－1且a ≠－211． 1012． 15三、解答题（本大题共6小题，共90分） 13．（本小题满分15分）（2）抛物线如图所示； ……………………5分（3）x =4-，1-或1；……………………11分（4）41x -<<-或1x >．…………………15分14．（本小题满分12分）过D 作DM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥AE 于N ，则DM ＝CN ，MN ＝CD ＝3米，设AM ＝x ，则AN ＝x ＋3，由题意：∠ADM ＝30ｏ， ∴∠MAD ＝60ｏ．在Rt △ADM 中，DM ＝AM ·tan60ｏ．在Rt △ANC 中，CN ＝AN ＝x ＋3， ………6分＝x ＋3，解之得，)312x =，…………10分∵MB ＝MD ，∴AB ＝AM ＋MB ＝x＝6＋．……12分EF15．（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………2分 ∵AC 平分∠BAD ，∴点C 平分弧BD ．∴OC ⊥BD ……………………………4分 ∵BD ∥CE ． ………………………6分（2）∵BD ∥CE ，∴∠CBD ＝∠BCE ．∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠CAE ， ∴∠CAE ＝∠BCE ． ∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△CBE ． ………………10分 ∴AC AE CE CBCEBE==．∴25AE CE CE==．∴CE =10，AE =20， ………………………12分 ∴AB =15，⊙O 的半径为7.5． ………………………14分16．（1）根据题意得7050,8040.k b k b ì+=ïí+=ïî解得k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120． ………………………4分（2）()()60120W x x =--+21807200x x =-+-()290900x =--+．…………………8分抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大，而60≤x ≤84，∴当x ＝84时，()28490900864W =--+=．∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．……10分（3）由W ＝500，得500＝－x 2＋180x －7200，整理得，x 2－180x ＋7700＝0，解得，x 1＝70，x 2＝110． ……………………13分由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间．而60≤x ≤84，所以，销售单价x 的取值范围是70≤x ≤84．…………………15分17．（1）易得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3) ，D (1，4)，所以直线BC 的解析式为 y ＝－x ＋3 …………………4分（2）过点D 作直线BC 的平行线交y 轴于点E ，直线DE 与抛物线的交点即为所求的点M ．易得直线DE 的解析式为y ＝－x ＋5，所以点E 的坐标为（0，5）．解25,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî 得点M 的坐标为（2，3）． …………………6分在y 轴上取F (0，1)，则CE ＝CF ，所以过F 且平行于BC 的直线与抛物线的交点也是所要求的M 点．解21,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî得点M 的坐标为：． …………………………10分综合得点M 的坐标为：（2，3），．（3）符合要求的点P 有三个：（4，－5），（－2，－5），（2，3）． ……………16分（第17题）18．（1）由题意得OM ＝6－t ，OP ＝t ．若△POM ∽△AOB ，则624,867t tt -==解得； ……………3分若△POM ∽△BOA ，则618,687t tt -==解得． ……………6分（2）过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为易得1122OH OP t ==，QH ∴点Q （6,22t t-）．过点Q 作QG ⊥AC ，垂足为则182QG t =-,662t CG -=-∴CQ ∴当t =5时，CQ 有最小值2． ……… ……12分（3）不能．理由如下：设OD 与PM 相交于点E ，则OE ⊥PM ，OD ＝2OE ．在Rt △POM 中， PM 则OE ＝2OP OM PM ?当t ＝3时，2(3)9t --+有最大值9，所以，当t ＝3时，OE 所以OD 有最大值O 到AB 的最短距离为684.810´=．因为 4.8，所以，点D 不可能在AB 上． ……………18分。

高一数学上册竞赛选拔试题

高一数学上册竞赛选拔试题2009.10一、选择题（每小题5分）1．f 是集合{}d c b a M ,,,=到{}2,1,0=N 的映射，且4)()()()(=+++d f c f b f a f 则不同的映射有（）个A ．13B ．19C ．21D ．232．已知函数）（x f 满足：对任意R y x ∈、都有,0)1()(2)()(22≠+=+f y f x f y x f 且 )2007(f 则的值为（）A ．1002.5B ．1003C ．1003.5D ．1004 3．函数)1,(2)(2-∞+-=在区间a ax x x f 上有最小值，则函数在区xx f x g )()(=间），（∞+1上一定（）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 4．满足方程11610145=+-+++-+x x x x 的实数解x 的个数是（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．无数多5．将2008表示为)(+∈N k k 个互异的平方数之和，则K 的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．56．给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4)1(4)21()(x x f x x f x 则)(log 32f 等于（） A ．823- B ．111 C ．191 D ．241 7．已知999999⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=n 则n 的十进位制表示中，数码1有（）个 99个A ．50B ．99C ．90D ．100 8．已知1009921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于（）A ．2500B ．4950C ．5050D ．51509．如图：已知在ABC Rt ∆中，35=AB ，一个边长为12的正方形CDEF 内接于ABC ∆，则ABC ∆的周长为（）A ．35B ．40C ．81D ．8410．已知b a 、是方程34log log 32733-=+x x 的两个根，则b a +=（） A ．2710 B ．814 C ．8110 D ．812811．2ln --=x e y x 的图象大致是图（）A B C D12．满足20073+++=x x y 的正整数对)(y x 、（）A ．只有一对B ．恰有两对C ．至少有三对D ．不存在二、填空题，每小题4分13．1)12()12)(12)(12(3242+++⋅⋅⋅++++=___________.14．右以O 为圆心的两个同心圆中，MN 的大圆的直径，交小圆于点P 、Q ，大圆的弦MC 交小圆于点A 、B ，若BC AB MA OP OM ====,1,2，则MBQ ∆的面积为__________.15．已知1)2()()(≥-==x x f x f x f y 且满足时，=<=)(1,2)(x f x x f x 的则_______16．六位数81ab 93是99的倍数，则整数a 、b 为___________.三、解答题17.（10分）设S 为满足下列两个条件所构成的集合（i ）s ∉1 （ii ）s a s a ∈-∈11则证明：（1）当s a s a ∈-∈11则（2）若s ∈2，则在S 中必含有两个其他的数并写出这两个数。

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______．解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2．因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ，所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______．解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)．另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α．类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24．由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立．于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______．解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020．易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ．这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明：（1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ，过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°．由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)．又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。

高一数学竞赛班选拔考试试卷试题

智才艺州攀枝花市创界学校2021年上学期桂阳三中高一数学竞赛班选拔考试试卷一、选择题〔每一小题5分，45分〕1、.假设非空集合A={x |2a+1≤x ≤3a 5}，B={x|3≤x ≤22}，那么能使A 〔A B 〕成立的所有a 的集合是() (A){a|1≤a ≤9}(B){a|6≤a ≤9}(C){a|a ≤9}(D)Φ 2、定义A*B ，B*C ，C*D ，D*B 分别对应以下列图形那么以下列图形中可以表示A*D ，A*C 的分别是.A ．〔1〕、〔2〕B ．〔1〕、〔3〕C ．〔2〕、〔4〕D ．〔3〕、〔4〕3．有理数x 、y 、z 两两不等，那么,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是() 4．的解的个数为方程xx 22=() A.0B.1 C5.假设F(11xx -+)=x 那么以下等式正确的选项是〔〕.〔A 〕F(-2-x)=-1-F(x)〔B 〕F(-x)=11xx +-〔C 〕F(x-1)=F(x)〔D 〕F 〔F 〔x 〕〕=-x442+-=x x y 的定义域为[]b a ,(a<b),值域为[]b a ,,那么这样的闭区间[]b a ,是下面的()A.[]4,0 B.[]4,1 C.[]3,1 D.[]4,37、一椭圆形地块，打算分A 、B 、C 、D 四个区域栽种欣赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕A B CD同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有〔〕种栽种方案. A.60B.68 C8．四边形ABCD 在映射f：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。

四边形ABCD 的面积等于6，那么四边形D C B A ''''的面积等于〔〕A ．9B ．26C ．34D ．69.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定制止在黑板上写已经写过的数的数，最后不能写的为失败者，假设甲写第一个，那么，甲写数字〔〕时有必胜的策略 A ．10B.9 C二、填空题〔每一小题5分，一共25分〕10、函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，，为无理数.0,()x g x x ⎧=⎨⎩为有理数，1，为无理数.当x R∈时，()()_______,f g x =()()_______.g f x =11、甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A 、B 、C 、D 、E ，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A 、B 、C 、D 分别被读了1、1、2、4次。

2008年全国中学生数学能力竞赛决赛试题高一年级组

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高一年级数学竞赛队摸底测试题

高一年级数学竞赛队摸底测试题命题人：江西省万年中学汪振有班级姓名得分一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分。

）1、已知集合M ={x | x ∈N 且8－x ∈N }，则集合M 的元素个数为。

2．函数{}{}2,12,1:→f 满足 ()()()x f x f f=，则这样的函数个数共有。

3.设1()1x f x x -=+，记1()()f x f x =，若()(())n n f x f f x =，则2010()f x = 。

4.求函数y x=的值域为。

5. 已知函数,)10(1)01(1)(⎩⎨⎧≤<+-≤≤---=x x x x x f 则1)()(->--x f x f 的解集为 .6. 如图所示，将2n 个正整数1，2，3，…，2n 填入到n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方。

如右图就是一个3阶幻方。

定义)(n f 为n 阶幻方对角线上数的和。

例如15)3(=f ，那么)4(f = 。

7. 设多项式()f x 满足：对任意x R∈，都有2(1)(1)24,f x f x x x ++-=-则()f x 的最小值为。

8.已知集合{}1,2,3,...,2,21A n n =+的子集B 满足：对任意的,,,x y B x y B ∈+∉则集合B 中元素个数的最大值为二、（非选择题，共70分）9.（本小题20分）某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费（即电话费）与网络维护费两部分。

现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶（即超过30元则只需交30元），网络维护费1元/分钟，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时。

（Ⅰ）将该网民在某月内在家上网的费用y（元）表示为时间t（小时）的函数；（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜。

高中数学高一级第一学期数学竞赛试题(word文档有答案)

高中数学高一级第一学期数学竞赛试题班级姓名学号评分一．选择题（10*4=40）1.设},0)()({,}0)({,}0)({=⋅=Φ≠==Φ≠==x g x f x P x g x N x f x M 则集合P 恒满足的关系为( ) A.N M P ⋃= B.N M P ⋃⊆ C.Φ≠P D.N M P ⋂=2.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，==-=+B C A b c a 则,3,2π( )A.839arccos B.45 C.60 D.839arcsin3.设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数为有理数x x x f 01)( ，对于所有x 均满足)()(x g x xf ≤的函数)(x g 是( )A.x x g sin )(=B.x x g =)(C.2)(x x g =D.x x g =)(4.已知,都是长度小于1的向量，对于任意非负实数,,b a 下列结论正确的是( )A.b a u a +≤+B.b a u a +≥+C.b a u a +=+D.不能确定b a u a ++的大小关系5.设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin ,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 ( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 6.函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 的图象关于y 轴对称，则=θ( )A.)(6Z k k ∈-ππ B.)(3Z k k ∈-ππ C.)(62Z k k ∈-ππ D.)(32Z k k ∈-ππ7.数列}{n a 中，11=a 且411++=+n n n a a a ，则=99a ( ) A.412550 B.2500 C.412450 D.24018.设函数22)(2+-=x ax x f 对于满足41<<x 的一切0)(>x f ，则a 的取值范围是( )A.1>aB.1-<aC.11<<-aD.1-≥a9.设函数xxx y +-+=11arctan arctan ，则它的值域为( ) A.]4,43[ππ-- B.}43,4{ππ- C.)4,43(ππ-- D. )4,43(ππ-10.函数8422)(22+-++-=x x x x x f 的最小值是( )A.23B.15+C.10D.22+二．填空题（4*5=20）11.ABC ∆中，36=∠A ，F E ,分别在边AC AB ,上，且CF BE =，N M ,分别是线段CE BF ,的中点，则直线MN 与直线AB 所成的较小的角的大小为。

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案一、选择题（满分36分）1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是A. f(x)=x2B. f(x)=ax2+5C. f(x)=x2+xD. －x2+20042. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33. 恰有3个实数解，则a等于A. 0B. 0.5C. 1D.4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0B. f(a)+f(b)+f(c)<0C. f(a)+f(b)+f(c)>0D. f(a)+2f(b)+f(c)=20045. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c 被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是A. a、bB. b、cC. c、dD. d、a6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则A. a1，a3，a5成等比数列B. a1，a3，a5成等差数列C. a1，a3，a5的倒数成等差数列D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列二、填空题（满分64分）1. 已知，试确定的值。

2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。

3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。

4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。

安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高一下学期春季联赛数学试题含答案

安徽省示范高中培优联盟2024年春季联赛（高一）数学（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前、务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}2232A x x x =-≤，(){}2log31B y y =≥，则A B = （）A.{}02x x <≤ B.803x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C.223xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭D.∅【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法即可得到,A B ，再利用交集含义即可.【详解】由{}21232|22A xx x x x ⎧⎫=-≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣，(){}22log 31|3B y y y y ⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭，则223A B x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭，故选：C.2.不等式211x ≤-的解集为（）A.{|3x x ≥或1}x <B.{}13x x <≤ C.{|3x x ≥或1}x ≤ D.{}13x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可.【详解】不等式211x ≤-，即301xx -≤-，等价于()()31010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得3x ≥或1x <，所以原不等式的解集为{|3x x ≥或1}x <.故选：A3.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积”，如图所示，作“大斜”上的高，则2222222142ABC ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦大斜＋小斜－中斜的面积小斜大斜，现已知ABC 中，“小斜”1=，“中斜”=，“大斜”1=，则“高”=（）A.2174B.2172C.74D.74+【答案】A 【解析】【分析】设大斜边上的高为h ，根据题意给的面积公式和12ABC S h =⋅ 大斜，建立关于h 的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，ABC S =又小斜1=-，大斜1=+，中斜=，所以ABC S =，设大斜边上的高为h ，则12ABC S h =⋅ ，，解得h =，即大斜边上的高为4.故选：A4.设a 与b是两个向量，则()()a b a b +⊥- 是a b a b +=- 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据()()a b a b +⊥- ，得a b = ，根据a b a b +=- ，得a b ⊥ ，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由()()a b a b +⊥- 得()()220a b a b a b +⋅-=-= ，则a b = ，由a b a b +=-得()()22a ba b +=- ，则0a b ⋅=，则a b ⊥ ，故()()a b a b +⊥- 是a b a b +=-的既不充分也不必要条件，故选：D.5.已知341.3a =，341.6b =，431.6c =，则（）A.b a c <<B.a b c<< C.a c b<< D.b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据34y x =的单调性判断,a b ，根据 1.6x y =的单调性判断,b c ，进而得到答案.【详解】因为34y x =在第一象限为增函数，1.3 1.6<，所以a b <，因为 1.6x y =在第一象限为增函数，3443<，所以b c <，所以a b c <<，故选：B.6.定义在[]1,6-上的()f x 满足对()()22log 2,26(1),12x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨--≤≤⎪⎩，关于x 的方程()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A.(]1,2B.[]1,2 C.(]2,4 D.(]1,4【答案】A 【解析】【分析】依题意，对()()()210f x a f x a ⎡⎤-++=⎣⎦化简得()()10f x f x a ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，即()()1,f x f x a ==，画出()f x 图象，结合图象即可得到答案.【详解】关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤-++=⎣⎦可化简为()()10f x f x a ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦，即()()1,f x f x a ==有7个不同的根，画出()y f x =的图象，观察可以看出当()1f x =有4个不同的根，故只需()f x a =有3个不同的根即可，所以12a <≤.故选：A.7.设向量π1cos ,sin 262x x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，π1cos ,sin 226x x n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，若16m n ⋅= ，则πsin 26x ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.79-B.13-C.13D.79【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简得到π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由ππsin 2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦及二倍角公式计算可得.【详解】因为π1cos ,sin 262x x m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，π1cos ,sin 226x x n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以ππ1cos 1cos sin sin 226226x x x x m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-++-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，22π1cos sin 226x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭22πsin sin 226x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π1cos 1cos 322x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=-πcos cos 32x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=1ππcos cos sin sin cos 233x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭111π1sin cos sin 222266x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin 63x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππππsin 2sin 2cos 26626x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π1712sin 12639x ⎛⎫⎛⎫=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D8.已知函数()442x x f x --=的反函数为()1y f x -=，那么()()122g x f x -=-+在[]2,6-上的最大值与最小值之和为（）A.4B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】首先得到()f x 的单调性和奇偶性，从而得到其反函数的奇偶性和单调性，最后根据()g x 的单调性和对称性即可得到答案.【详解】因为()4444()22x x x xf x f x -----==-=-，且函数()f x 的定义域为R ，则()f x 为奇函数，因为4,4xxy y -==-均为R 上的单调增函数，则()442x xf x --=也为R 上的增函数，根据函数与反函数关于直线y x =对称，则函数44()2x xf x --=的反函数1()y f x -=也为定义域上的奇函数、增函数，故1()(2)2g x fx -=-+在[2,6]-上单调递增，且()g x 的关于点()2,2对称，因为2622-+=⨯，则(2)(6)224g g -+=⨯=，即其最大值与最小值之和为224+=.故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.以下运算中正确的有（）A.lg5lg21+=B.52a-=C.2log 30232-= D.8278log 9log 169⋅=【答案】ACD 【解析】【分析】根据对数运算判断A ；根据根式性质以及指数运算判断B ；指数和对数的运算判断C ；对数的运算性质和换底公式判断D.【详解】对于A ，()lg5lg2lg 52lg101+=⨯==，故A 正确；对于B ，0a ≠555552220221a a a a a --===⋅=，故B 错误；对于C ，2log 3023312-=-=，故C 正确；对于D ，3324827332224248log 9log 16log 3log 2log 3log 233339⋅=⋅=⋅=⨯=，故D 正确，故选：ACD.10.下面结论正确的有（）A.若A ，B 为锐角三角形的两内角，则有sin cos A B >B.1sin735cos45sin105sin1352︒︒+︒︒=C.,αβ∀∈R ，()()22sin sin sin sin αβαβαβ-=+-D.,a β∀∈R ，()()22cos cos cos sin αβαβαβ-=+-【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数单调性及诱导公式判断A ，利用诱导公式及两角和的正弦公式判断B ，利用和差角公式及同角三角函数的基本关系判断C 、D.【详解】对于A ：依题意可得π02π02ππ2A B A B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，则ππ022B A <-<<，又sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin 2B A ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即cos sin B A <，故A 正确；对于B ：sin735cos45sin105sin135︒︒+︒︒()()()sin 236015cos45sin 9015sin 18045=⨯︒+︒︒+︒+︒︒-︒sin15cos45cos15sin45=︒︒+︒︒()sin 15452=︒+︒=，故B 错误；对于C ：()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ+-=+-()()22sin cos cos sin αβαβ=-2222sin cos cos sin αβαβ=-()()2222sin 1sin 1sin sin αβαβ=---22222222sin s sin sin si in sin si n n sin ααββαβαβ=--+=-，故C 正确；对于D ：因为()()22sinsin sin sin αβαβαβ-=+-，又()2222sin sin cos cos 0αβαβ-+-=，所以()()22coscos sin sin αβαβαβ-=-+-，故D 错误.故选：AC11.若函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的()10m m>倍，得到函数()g x 的图象，则下列四个命题正确的是（）A.函数()y f x =-的单调递增区间是5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈B.直线5π3x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C.若当17π,6x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣，则29π,2π12t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦D.若()g x 在[]0,π上恰有3个零点，则17231212m ≤<【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象求出()f x 的解析式，求出()y f x =-，根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A ；5π3x =-代入()y f x =验证是否为对称轴判断B ；当17π,6x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用周期得π,3π6x t ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，结合图象得7π3ππ12t ≤+≤，求出t 的取值范围，判断C ；根据图象变换求出()g x ，根据在[]0,π上恰有3个零点，结合图象，得到m 取值范围，判断D.【详解】()f x 的最小正周期为T ，由题图可得π7πππ2212122,T A ω===-=，所以2ω=，ππ22π122k ϕ⨯+=+，Z k ∈，得π2π,Z 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，对于A ，()ππ2sin 22sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，Z k ∈，解得5π11ππ,π,Z 1212x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，当5π3x =-时，()5ππ2sin 22sin 3π033⎡⎤⎛⎫⨯-+=-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，故B 错误；对于C ，当17π,6x t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用周期得，π,3π6x t ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，结合函数()f x 图象，可知，若()f x ⎡∈-⎣，7π3ππ12t ≤+≤，解得29π,2π12t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故C 正确，对于D ，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1m 倍，得到()g x 的图象，故()π2sin 26g x mx ⎛⎫=+⎪⎝⎭.当[]0,πx ∈时，πππ2,2π666mx m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为()g x 在[]0,π上恰有3个零点，所以π3π2π4π6m ≤+<，得号17231212m ≤<，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++中参数的确定：由函数的最值可确定,A B 的值；由函数与x 轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期，进而可求得ω的值；由函数图象与x 轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得ϕ的值．函数的单调性利用换元法可解决.考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题为选考题，请考生任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）12.已知实数x +=，则x =______.【答案】7【解析】【分析】首先求出x =.【详解】21304x x ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，故212x ≤≤，方程化简得+=由基本不等式可知+≤当且仅当212x x -=-时，即7x =时等号成立；则方程的解为7x =.故答案为：7.13.在边长为2的正ABC 中，动点P 在以C 为圆心且与AB 边相切的圆上，满足AP AB AC λμ=+.则λμ+的取值范围是______.【答案】[]0,2【解析】【分析】建系设点(1,A -，(1,B ，()0,0C，)Pθθ，用坐标表示AP AB AC λμ=+，求出,λμ，借助三角函数求取值范围.【详解】如图，以C 为坐标原建立平面直角坐标系，不妨设点(1,A -，(1,B ，()0,0C，)Pθθ，因为AP AB AC λμ=+，所以12θλμθ+=+=，即)1sin 2sin 1λθθμθ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，1πcos sin 1sin 1223λμθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为π[0),2θ∈，所以λμ+的取值范围是[]0,2，故答案为：[]0,2.14.在四面体ABCD 中，2AD BC BD ===，AD ⊥面BCD ，底面三角形BCD 为直角三角形，90CBD ∠=︒.若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，M ，N 分别是AB 和BC 的中点，过M 、N 两点作球O 的截面，则面积的最小值为______.【答案】7π3##7π3【解析】【分析】依题意，该四面体为正方体的一部分，所以外接球为正方体的外接球，结合过M 、N 两点作球O 的截面为圆面，求出半径即得答案.【详解】由AD ⊥面BCD ，90CBD ∠=︒，所以该四面体四个面都是直角三角形，则球O 为该四面体还原成正方体的外接球，故球心O 为AC 的中点，且球的半径R ==过球心O 作OP MN ⊥，垂足为P ，其中MN =，ON ==1OM =，又OMN 为直角三角形，所以3OM ON OP MN ⋅==，经过,M N 两点的球的截面α面积的最小时，OP ⊥面α，又截面α为圆面，则圆面对应半径3r ===，此时截面的面积为27ππ33⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：7π3.15.某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为45，第二题答对的概率为12，第三题答对的概率为25，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为______.【答案】88625【解析】【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为：甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题，又每位顾客答对2题的概率为4134211211152555225525⨯⨯+⨯⨯+⨯=，每位顾客答对3题的概率为412452525⨯⨯=，所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为：1148822525625P =⨯⨯=.故答案为：88625四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.如图所示，在单位圆中，()1,0A ，已知角π02θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭的终边与单位圆交于点(),P x y ，作PM OA ⊥，垂足为点M ，作AT OA ⊥交角θ的终边于点T .（1）请根据正弦和余弦的二倍角公式推导正弦的三倍角公式sin 3θ（仅用含sin θ的式子表示）；（2）请根据三角形面积公式及扇形面积公式证明sin cos 1θθθ<<【答案】（1）3sin 33sin 4sin θθθ=-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角的余弦和正弦公式展开即可；（2）利用OAP OAT OAP S S S << 扇形即可证明.【小问1详解】()22sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin 2cos 12sin cos θθθθθθθθθθθ=+=+=-+()()223sin 4cos 1sin 34sin 3sin 4sin θθθθθθ=⋅-=⋅-=-【小问2详解】证明sin cos 1θθθ<<，即证sin tan <<θθθ,根据sin MP θ=，cos OM θ=， AP θ=，tan AT θ=，因为OAP OAT OAP S S S << 扇形，则1111sin tan 222θθθ⨯⨯<⋅<⋅，即sin tan <<θθθ，所以原不等式成立.17.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知：22cos a b C c -=，sin 2sin sin ab B A b A-=（1）求b 和角B ；（2）求22a b c b-+的取值范围.【答案】（1）2b =，π3B =（2）(13,⎤⎦【解析】【分析】（1）对22cos a b C c -=由正弦定理边化角，化简求出cos B ，即得角B ，对sin 2sin sin ab B A b A -=由正弦定理边化角，化简求得b ；（2）由（1）得221a b c a c b-+=+-，借助与正弦定理边化角以及三角恒等变换得22π14sin 16a b c a c A b -+⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，结合角A 的范围，求出22a b c b -+的取值范围.【小问1详解】由22cos a b C c -=得2sin 2sin cos sin A B C C -=，即2sin()2sin cos sin B C B C C +-=，2sin cos 2cos sin 2sin cos sin B C B C B C C +-=，即2cos sin sin B C C =，因为π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C ≠，解得1cos 2B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3B =，由sin 2sin sin ab B A b A -=得22ab a ab -=，即220b b --=，解得2b =或1b =-（舍），故2b =，π3B =.【小问2详解】221sin sin 1sin sin 1sin sin 33a b c b a c A C A C b B B b -+=+-=+-=+-2ππsin 12cos 14sin 13336A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+--=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02A C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，所以ππ2π363A <+<，则sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，解得14sin 136A π⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即22a b c b -+的取值范围为(1,3⎤-⎦18.如图，在矩形OACB 中，12DA AC = ，AE AO λ= ，BF BO λ= ，1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线CF 与DE 垂直，垂足为点P.（1）求AO BO的值；（2）若1OA = ，将OP 用基底{},OA OB 线性表示，并求出OP 的最大值.【答案】（1）2（2）()()()()22121111212OP OA OB λλλλλλ---+=+++，2【解析】【分析】（1）依题意0CF DE ⋅=，根据数量积的运算律计算可得；（2）根据C 、P 、F 三点共线，设()1OP xOF x OC =+- ，即可得到()()11OP x OA x OB λ=-+- ，同理可得()()1112OP y OA y OB λ=-+- ，根据平面向量基本定理得到方程组，求出x 、y ，即可得到OP ，再表示出2OP ，换元，利用函数的性质求出OP 的最大值.【小问1详解】因为直线CF 与DE 垂直，所以0CF DE ⋅= ，即()()CF DE CB BF DA AE ⋅=+⋅+ ()12OA OB OA OB λλ⎛⎫=--⋅-+ ⎪⎝⎭ 2202OA OB λλ=-= ，因为0λ≠，所以2212OA OB = ，则22AO BO= .【小问2详解】因为C 、P 、F 三点共线，设()1OP xOF x OC =+- ，即()()()()()111OP x OB OB x OA OB x OA x OB λλ=-+-+=-+- ，同理，因为D 、E 、P 三点共线，设()1OP yOE y OD =+- ，即()()()()1111122OP y OA OA y OA OB y OA y OB λλ⎛⎫=-+--=-+- ⎪⎝⎭ ，又OA 、OB不共线，所以()111112x y x y λλ-=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得22312312x y λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以()()()()22222212111123112121212OP OA OB OA OB λλλλλλλλλλλ---++--=+=+++++ ，又1OA =，2AO BO=，所以BO = 所以()()()()2222222121111212OP OA OB λλλλλλ---+⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦()()()()22221211121212λλλλλλ---+⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦()()()()222221212112λλλλ-⎡⎤=-++⎣⎦+()223112λλ-=+，设1t λ=-，因为1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2222233243121t t OP t t t ==-++- ，当0=t ，即1λ=时0OP = ，当0t ≠时22233431222333OP t t t ==⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭ ，所以当12t =，即12λ=时OP取得最大值2.（选考题）（17分）（请考生从18-1，18-2两题中任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分.）【选考人教版——立体几何】19.如下左图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒.过顶点C 作对角线BD 的垂线，交对角线BD 于点O ，交边AD 于点Q ，现将ABD △沿BD 翻折，形成四面体PBCD ，如下右图.（1）求四面体PBCD 外接球的体积；（2）求证：平面PBD ⊥平面OCQ ；（3）若点G 为棱BC 的中点，请判断在将ABD △沿BD 翻折过程中，直线PG 能否平行于面OCQ .若能请求出此时的二面角P BD C --的大小；若不能，请说明理由.【答案】（1）55π6（2）证明见解析（3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）取BD 的中点H ，连接PH 、CH ，根据矩形的性质可知四面体PBCD 外接球的半径52R PH ==，即可求出外接球的体积；（2）依题意CO BD ⊥，OQ BD ⊥，即可得到BD ⊥平面OCQ ，从而得证；（3）过点P 作PE BD ⊥交BD 于点E ，连接EG ，即可证明//PE 平面OCQ ，再假设//PG 平面OCQ ，即可得到平面//PGE 平面OCQ ，由面面平行的性质得到//EG OC ，推出矛盾，即可得解.【小问1详解】取BD 的中点H ，连接PH 、CH ，因为四边形ABCD 是矩形，所以2211512222PH HC HA HB BD =====+=，所以四面体PBCD 外接球的半径52R PH ==，所以四面体PBCD 外接球的体积334π4π555π3326V R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】因为CO BD ⊥，OQ BD ⊥，OC OQ O = ，,OC OQ ⊂平面OCQ ，所以BD ⊥平面OCQ ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面OCQ ；【小问3详解】因为CO BD ⊥，所以Rt Rt BCD BOC ∽，所以BC CO BD CD =即555BC CD CO BD ⋅===，在Rt COD 中55CO =，1CD =，所以2255OD CD CO =-=，过点P 作PE BD ⊥交BD 于点E ，连接EG ，易知255PE OC ==，且//PE OQ ，PE ⊄平面OCQ ，OQ ⊂平面OCQ ，所以//PE 平面OCQ ，假设//PG 平面OCQ ，又PG PE P = ，,PG PE ⊂平面PGE ，所以平面//PGE 平面OCQ ，因为平面PGE 平面BCD EG =，平面BCD 平面OCQ OC =，所以//EG OC ，又点G 为棱BC 的中点，所以点E 为线段BO 的中点，事实上55BE OD ==，而455BO DB OD =-=，所以12BE BO ≠，即点E 不是线段BO 的中点，故假设不成立，所以在将ABD △沿BD 翻折过程中，直线PG 不能平行于面OCQ .【选考北师大版——统计和概率】20.手机在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，但过度使用手机会对我们的身心健康造成诸多危害.一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩.为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：（1）请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替）；（2）请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[]40,60的概率；（3）现在要从[)20,30和[)70,80两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评.方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，获得好评的概率为1P ；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，获得好评的概率为2P ；假设获得好评的概率大的方案较好，请比较上述两种方案哪种更好，请说明理由.【答案】（1）48（2）0.43（3）方案一较好，理由见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）根据频率分布直方图求出年龄位于区间[]40,60的频率，即可得解；（3）首先求出年龄位于区间[)20,30和[)70,80中抽取的人数，再用列举法列出所有可能结果，由古典概型的概率公式求出概率，即可判断.【小问1详解】这100位市民的平均年龄为：50.01150.02250.12350.17450.23550.2650.17⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯750.06850.0247.948+⨯+⨯=≈，即这100位市民的平均年龄约为48；【小问2详解】这100位市民的年龄位于区间[]40,60的频率为()0.0230.02100.43+⨯=，故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间[]40,60的概率为0.43；【小问3详解】参与调查的100为市民中年龄在区间[)20,30内的人数为0.0121010012⨯⨯=，年龄在区间[)70,80内的人数为0.006101006⨯⨯=，按照分层抽样的方法抽取6人，则年龄在区间[)20,30内的应抽取1264126⨯=+人，设为1，2，3，4；年龄在区间[)70,80内的应抽取662126⨯=+人，设为a ，b ；方案一：从6人中按照不放回抽样抽取2人，所有可能出现的情况如下：{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}1,a ，{}1,b ，{}2,3，{}2,4，{}2,a ，{}2,b ，{}3,4，{}3,a ，{}3,b ，{}4,a ，{}4,b ，{},a b ，共15种；则2人的年龄差大于10的有{}1,a ，{}1,b ，{}2,a ，{}2,b ，{}3,a ，{}3,b ，{}4,a ，{}4,b ，共8种；故获得好评的概率为1815P =；方案二：从6人中按照有放回抽样抽取2人，所有可能出现的情况如下：{}1,1，{}1,2，{}1,3，{}1,4，{}1,a ，{}1,b ，{}2,1，{}2,2，{}2,3，{}2,4，{}2,a ，{}2,b ，{}3,1，{}3,2，{}3,3，{}3,4，{}3,a ，{}3,b ，{}4,1，{}4,2，{}4,3，{}4,4，{}4,a ，{}4,b ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},4a ，{},a a ，{},a b ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},4b ，{},b a ，{},b b ，共36种；则2人的年龄差大于10的有{}1,a ，{}1,b ，{}2,a ，{}2,b ，{}3,a ，{}3,b ，{}4,a ，{}4,b ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},4a ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},4b ，共16种；故获得好评的概率为2164369P ==；因为12P P >，因此方案一较好.21.已知函数()(),,0x x x f x a b c a b c =+->.（1）若1ab =，1c =，设函数()()12f x g x +=，请求出()2g x 的值域并求证：()()()2221g x g x =-；（2）若1x =，0c a >>，0c b >>，记()(),,h a b c f x =，且,,a b c 是一个三角形的三条边长，请写出方程()()(),,,,,,20h a b c h c a b h c b a ++=的所有正整数解的集合；（3）若,,a b c 是一个等腰钝角三角形的三条边长且c 为最长边，求证：()0f x <在[)2,x ∞∈+时恒成立.【答案】（1）当1a =时，()2g x 的值域是{}1；当0a >且1a ≠时，()2g x 的值域是[)1,+∞，()()()2221g x g x =-的证明见解析（2）()()()()()()()()(){}5,6,9,6,5,9,4,7,9,7,4,9,3,8,9,8,3,9,6,6,8,5,7,8,7,5,8（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接代入得()221122x x g x a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可求出值域，再结合完全平方式之间关系即可证明()()()2221g x g x =-；（2）首先计算出(,,),(,,),(,,)h a b c a b c h c a b c a b h c b a c b a =+-=+-=+-，再根据三角形特点得到不等式组，最后化简原方程得20a b c ++=，根据c 最大列举所有情况即可；（3）由已知有(),0,1a b c c ∈，且ππ2C <<，然后根据对数函数单调性并结合余弦定理即可.【小问1详解】由1ab =，1c =，知()11x x x x x f x a b c a a =+-=+-，故()()11122x x f x g x a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.从而()221122x x g x a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当1a =时，有()221111211221x x g x a a⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2g x 的值域是{}1；当0a >且1a ≠时，有()2211212x x g x a a ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，且对任意1t ≥有2log a g t ⎛⋅= ⎝，所以()2g x 的值域是[)1,+∞.最后由()()()22221111212122x x x x g x a a g x a a ⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭可得()()()2221g x g x =-.【小问2详解】据已知有(),,h a b c a b c =+-，(),,h c a b c a b =+-，(),,h c b a c b a =+-.因为,,a b c 是一个三角形的三条边长，所以000a b c c a b c b a +->⎧⎪+->⎨⎪+->⎩.故方程|(,,)||(,,)||(,,)|20h a b c h c a b h c b a ++=可化简得20a b c ++=.考虑到,,a b c 均为正整数，且是一个三角形的三条边长，且c 为最大边，故方程的所有正整数解(),,a b c 的集合为()()()()()()()()(){}5,6,9,6,5,9,4,7,9,7,4,9,3,8,9,8,3,9,6,6,8,5,7,8,7,5,8.【小问3详解】因为,,a b c 是一个钝角三角形的三条边长，且c 为最长边.所以(),0,1a b c c ∈，且ππ2C <<，故2222cos 0a b c ab C +-=<.当[)2,x ∞∈+时，由于(),0,1a b c c ∈，故有2x a a c c ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2x b b c c ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()222222110x x x x x xx x a b a b f x a b c c c c a b c c c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-≤+-=+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由已知得到(),0,1a b c c ∈，且ππ2C <<，然后根据对数函数单调性并结合余弦定理证明结论.。

山东省青岛市数学奥林匹克学校2024级入学选拔考试试题(高一卷)

山东省青岛市数学奥林匹克学校2024级入学选拔考试试题（高一卷）（限时100分钟，满分120分）一．选择题：(每题4分, 共40分)（请将答案写在本题后面的表格内） 1．设a ＋b ＋c=0, abc>0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是（）。

（A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或12．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为（） A . 1，-6 B. 2，-3 C.-2，-3 D. –1，6 3．下列说法正确的是（） A. 若a>b, 则ba 11< B. 若a<b,则a 2<b 2 C. 若b a >, c>d 则ac>bd D. 若,0<<b a 则ba 11> 4．代数式mx x +-212中无论x 取何实数时总有意义，则m 的取值范围是（） A m ≥1 B. m >1 C.m ≤ 1 D. m<15．若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，则x ，y 的大小关系是（）A.x y = . B x y < C.x y > D.不确定的6．已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A －B －C －D 运动，x 表示点P 由A 点动身所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则y 和x 函数关系的图像大致为7．设a 、b 、c 均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（）。

（A ）c<a<b （B ）b<c<a （C ）a<b<c （D ）c<b<a8．设实数a 、b 、c 满意a<b<c (ac<0)，且|c|<|b|<|a|，则|x －a|＋|x －b|＋|x ＋c|的最小值是（）。

高一数学湘教版试卷

高一数学湘教版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知函数，若正实数，互不相等，且，则的取值范围是（）A．（1,10） B．（5,6） C．（10,12） D．（20,24）2.数列的通项公式，其前项和为，则等于( )A．1006 B．2012 C．503 D．03.若，那么等于（）A． B． C．15 D．304.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是A．垂直相交B．相交但不垂直C．异面但不垂直D．异面且垂直5.函数的图象必经过点（）．A． B． C． D．6.一个棱柱为正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面B．底面是正方形，有两个侧面是矩形C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个底面是全等的矩形7.如果，那么正确的结论是．()A． B． C． D．8.若能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）A中的多个元素可以在B中有相同的像；（3）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（4）像的集合就是集合B.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9.式子sin3000的值等于（）A． B． C．- D．-10.集合,，则（）A．B．C．D．11.如果函数在区间上是递增的，那么实数的取值范围( )A．a≤－3 B．a≥－3 （ C．a≤5 D．a≥512.设A．0 B．1 C．2 D．313.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为A． B． C． D．14.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．15.集合A="{" x | y =" x," y∈R}，B={y|y=x2, x∈R} ，则A∩B=" " ( )A．{0 , 1} B．{(0 , 1)} C．{y|y≥0} D．16.已知函数，在区间内存在使，则的取值范围是( )A．B．C．D．17.下列函数在区间上为减函数的是( )A． B． C． D．18.sin(-)的值是（）A． B．- C． D．-19.如右程序框图，输出的结果是（）A． B． C． D．20.（2013•绍兴二模）盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是（）A． B． C． D．评卷人得分二、填空题21.已知函数满足，且，那么函数有个零点．22.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．23.如图，函数的图象是折线段，其中点的坐标分别为，则 ___.24.已知直线与平行，则的值为 .25.已知两直线与平行，则___________．26.设函数，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M⊆P，则实数a的取值范围是．27.若全集且，则集合的真子集共有__________个.28.将单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去四个角后得到一个四面体BDA 1C 1，则这个四面体的体积是__________.29.用另一种方法表示集合_______.30.已知函数，若，则的取值范围是。

高一数学竞赛选拔试卷试题

2021年地区高一数学竞赛选拔试卷一、制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

二、选择题〔每一小题5分，一共40分〕1、命题甲：αβ≠，命题乙sin sin αβ≠，那么甲是乙的〔〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、以上均不对2、sin sin αβ>，那么以下命题成立的是〔〕A 、假设,αβ是第一象限角，那么cos cos αβ>B 、假设,αβ是第二象限角，那么tan tan αβ>C 、假设,αβ是第三象限角，那么cos cos αβ>D 、假设,αβ是第四象限角，那么tan tan αβ>3、(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，那么在[)0,2π内α的取值范围是〔〕A 、35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 、5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 、353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 、3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、假设()0,2θπ∈，那么使sin cos cot tan θθθθ<<<成立的θ的取值范围是〔〕A 、,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、53,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、7,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭5、设θ为第二象限的角，那么必有〔〕 A 、tan cot 22θθ> B 、tan cot 22θθ< C 、sin cos 22θθ> D 、sin cos 22θθ<6、等比数列{}n a 的公比0q <，前n 项的和为n S ，那么4554S a S a 与的大小关系〔〕A 、4554S a S a ＝B 、4554S a S a >C 、4554S a S a <D 、不能确定7、数列{}n a 中，sin 4n n a π=，那么1232006a a a a ++++=……〔〕A 、0BC 、-D 、18、设函数2()21f x ax ax =+-对于满足13x <<的一切()0f x <，那么a 的取值范围是〔〕A 、10,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B 、(],0-∞C 、()1,00,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D 、1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题〔每一小题5分，一共30分〕1、将函数y kx b =+的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得图像与原图像重合，那么k 的值是_______________________2、时针在3时到5时40分这段时间是内，分针与时针所转过的弧度数之差是_____________3、等差数列{}n a 的各项均为正数，假设353851081064a a a a a a a a +++=，那么12S =__________4、满足52sin 23m x m-=-的实数m 的取值范围为____________________ 5、sin1,sin1,sin ,sin ππ︒︒的从大到小的顺序为______________________632x =+的解为_____________________三、解答题〔每一小题10分，一共30分〕1、集合|,42A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，|22,43B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭{}2|60C x x x =-->，求,,A B A C B C2、在某两个正数,x y 之间，假设插入一个数a ，使,,x a y 成等差数列；假设插入两个数,b c ，使,,,x b c y 成等比数列，求证：2(1)(1)(1)a b c +≥++3、对于函数()()y f x x D =∈，假设同时满足以下条件：〔1〕()f x 在D 内是单调函数：〔2〕存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么()y f x =叫做闭函数。

河南省2022学年高一数学上学期期末竞赛选拔考试试题

高一年级竞赛考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合{}{}332,6,4,2,0<∈==xN x B A ，则集合A B 的子集个数为( )A.4B. 6C. 7D. 8 2、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是（）A . (1,)B . [1,)C . (1,1)(1,)D . [1,1)(1,)-+∞-+∞-+∞-+∞3．已知直线a x y l 2:1+-=与直线2)2(:22+-=x a y l 平行，则a 的值为( ) A ．3± B. 1± C. 1 D. 1-4.设a ， b 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A. 若//αβ， a α⊂， b β⊂，则//a b B. 若//a α， b β⊥，且αβ⊥，则//a b C. 若a α⊥， //a b ， //b β，则αβ⊥ D. 若a b ⊥， a α⊂， b β⊂，则αβ⊥5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( )A ．4 cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 36．半径为R 的半圆做成一个圆锥面（无重叠），则由它围成的圆锥的体积为（） A 33R B 33R C 35R D 35R 7.已知⎩⎨⎧≥<+-=1log 14)13()(x xx a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（）A ．)1,0( B. )31,0( C.)31,71[ D.)1,71[ 8.圆心为)1 , 1(-M 且与直线027=+-y x 相切的圆的方程为( ) A ．2)1()1(22=++-y x B ．2)1()1(22=-++y x C ．100)1()1(22=++-y x D ．100)1()1(22=-++y x9. 已知三棱锥P ABC -的三条棱PA ,PB ,PC 长分别是3、4、5，三条棱PA ,PB ,PC 两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( ) A ．25π B.50π C. 125π D.都不对10.已知函数)(x f 的图象向右平移a (0>a )个单位后关于直线1+=a x 对称，当112>>x x 时，[]0)()()(1212<--x x x f x f 恒成立，设)21(-=f a ，)2(f b =)，)(e f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b a c >>B.c a b >>C.b c a >>D. a b c >>11. 四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（）A ．090B ．060C ．045D ．03012. 已知偶函数)(x f 的定义域为}{0≠∈x R x x 且， ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(1x x f x x f x ，则函数)1(log )(4)(7+-=x x f x g 的零点个数为（）．A. B. C. D. 二、填空题 (每小题5分，共20分)13.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x x =+,则当0x <时，()f x =14.光线由点P （2，3）射到直线1-=+y x 上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在的直线方程为15、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 16、在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．三、解答题（共70分。

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1
B
D
C
第7题
A
A B O
x
y
-1
2
2C
高一级数学兴趣小组选拔试题
一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．每小题仅有一个选择支正确） 1．设全集{1,3,5,7}U =，集合{3,5},A ={1,3,7}B =，则()U A
C B 等于（）
A.{5}
B. {3,5}
C. {1,5,7}
D. ∅
2．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}
|12x x -<≤
3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心.l 为平面1A MN 与平面1A MN 与平面1D BE 的交线，则直线l 与正方体底面ABCD 所成角的大小为（）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
4. 5
55的五次方根是（）
A.5(51)5-
B.545
C.4
55 D.5
55 5．已知1()bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且1ab ≠.若()f x 与1()f x 之积为一个常数，
则这个常数的值为（）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．14
二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 6.已知集合{}13579A =，
，，，，集合a B a A b A a b b ⎧⎫
=∈∈≠⎨⎬⎩⎭
，，且，则集合B 中元素的个数为
7．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，7BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为
8.在三棱锥S ABC -中，6SA SB AB BC CA =====，且侧面ASB ⊥底面ABC ，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为 9.某小学生练习将1,2,3,顺序相加，从1到n , 但是少加了一个数，所得的和是2008，则少加的那
个数是 10.化简:
+++
++
+3
44312
33211
2211…=
++
2016
2017201720161
三、解答题（本大题共3小题，共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分12分）
如图，ABC 为一直角三角形草坪，其中90,2C BC ∠==米，4AB =米，为了增大草坪的面积，现对草坪周围重新规划，进行改造建设，设计将其扩大为一个等边三角形DEF ，其中DE 过点B ，DF 过点A ，EF 过点C ．求三角形DEF 面积2S 的最大值．
12. （本小题满分13分）如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD ，沿着较短的
第11题
2
对角线BD 对折，使得AC ＝6，O 为BD 的中点. （Ⅰ）求证：；平面BCD AO ⊥ （Ⅱ）求二面角D BC A --的余弦值.
13．（本题满分20分）
设函数()(
1f x x k =++(
)g x =
k 是实数，且0k ≥．
（1）当0=k 时，求函数)()(x g x f y -=的零点；（2）求关于x 的方程()()f x x g x =⋅实根的个数．
O
B
C
D
A。