第6讲 不定方程解应用题
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
不定方程解应用题
不定方程解应用题(二)采购员用一张1万元支票去购物。
购单价590元的A 种物若干，又买单价670元的B 种物若干，其中B 种个数多于A 种个数，找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张)。
如把购A 种物品和B 种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反。
问购A 物几个，B 物几个？解：设购A 种物x 个，购B 种物为x ＋y 个，并设第一次购物找回r 张100元，s 张10元，则这是4个未知数，2个方程的不定方程组。
解方程时，方程变形的一些法则(方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变)仍适用。
先将(1) (2)两边约去10，得⎩⎨⎧=++++=++++(4) 100010675959)3(100010676759r s x y x s r y x x 由于(3) (4)式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得 8y ＋9r －9s ＝0，再在方程两边同时加上9s －9r ，得：8y ＝9(s －r )由于y 是大于0的整数，所以s －r 也是整数＞0。
因此8｜9·(s －r )，9｜8y 。
应有⎩⎨⎧•=-•=k r s k y 89，k 为大于0的整数。
但是s 是10元钱的张数，s ≤9，r 是100元钱的张数，所以k ＝1，因此y ＝9，s －r ＝8。
显然s ＝9，r ＝1。
代回(3)式：得到x ＝3。
所以：x ＝3，x ＋y ＝3＋9＝12，r ＝1，s ＝9。
采购员购A 物3件，B 物12件，找回1张100元，9张10元。
⎩⎨⎧=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯++⨯(2)1000010100670590)((1) 1000010100670)(590r s x y x s r y x x1、有一捆树苗，每人种6棵还余4棵，每人种5棵还余3棵，这捆树苗最少多少棵？2、李家和王家共养521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有113是母牛，李家和王家各养多少头牛？3、一名学生去商店买足球，足球23元钱一只，若该生身上的钞票都是2元一张的，而商店的钞票都是5元一张的，试问学生应该怎么付钱？4、A、B、C三个微型机器人围绕一个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时同地出发后，A在2秒钟时追上B，2.5秒钟时追上C，当c追上B时，C和B的运动路程之比是3：2，问第一分钟时，A围绕这个圆形轨道运动了多少圈？5、设有一框苹果，把它们三等分后还剩1个苹果，取出其中两份后，将它们五等分后还剩4个苹果，然后再取出其中三份，将它们四等分后还剩2个苹果，问这框苹果至少有几个？6、某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数韩信点兵和不定方程和书的作者不详，但后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。
小学数学列不定方程解应用题(含答案)
列不定方程解应用题知识框架一、知识点说明 历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
重难点（1） 根据题目叙述找到等量关系列出方程 （2） 根据解不定方程方法解方程 （3） 找到符合条件的解例题精讲一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x 取最小值，y 取最大值． 可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x+是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12． 6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。
华罗庚学校数学教材(五年级下)第06讲 不定方程解应用题
本系列共15讲第六讲不定方程解应用题.文档贡献者：与你的缘大家已经学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。
如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。
小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解，试看一些例子。
例1有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内。
把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙一人。
每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23。
请问这三张牌的数字是什么？分析设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）。
再设共发牌n轮（每轮发3张）。
记作x＋y＋z=S.n·S=13＋15＋23=51由于n和S都是整数，51=3×17，只有n=3，S=17。
现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下：x＋y＋z=17求整数解。
由于x、y、z 均为整数，其最大整数x＞，即x≥6。
X 1217533×=+可能值为6、7、8、9。
第一种情况，x=6＞y＞z，而y＋z=17－6=11，而此时y＋z 最多为5＋4，所以x≠6。
第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17－7=10，只有y=6，z=4。
但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可以重复的，下同）数之和。
所以，第二种情况x=7亦被排除。
第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z=17－8=9，(y ,z)可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。
而13（甲三次牌数字之）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。
第四种情况，x=9＞y＞z，y+z=17－9=8，观察知y=5,z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝）综上所述，三张牌为3、5、9。
例2采购员用一张1万元支票去购物。
初一升初二衔接预科班-第六讲：不定方程的求解
第六讲：不定方程的解法1.某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今有甲乙丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道，他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工，若干天后的零时甲完成任务，几天后的18时乙完成任务；自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别是300米，240米，180米，问这段路面的长为3300 米．2.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树8棵，6棵，10棵．若乙在A地植树10小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A 地比B地早9小时完成，则乙应在A地植树18 小时后立即转到B地．3.我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校．初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元；初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献了168 本书．4.某校初三在综合实践活动中举行了“应用数字”智能比赛，按分数高低取前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，现调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，则调整后一等奖比二等奖平均分数多 5 分．5.分别将标号为1到25的25个玻璃球放在两个盒子A和B中，其中标号为15的玻璃球被放在B盒子中．把这个玻璃球从B盒子移到A盒子中，此时A盒子中的玻璃球号码数的平均数等于原平均数加，B盒子中的玻璃球号码数的平均数也等于原平均数加，则原来在A 盒子中放有14 个玻璃球．6.有三位学生利用暑期参加勤工俭学活动，一天他们分别带着西瓜到农贸市场去卖：第一人带了10个，第二人带了16个，第三人带了26个，上午他们按同一价格卖出了若干个西瓜（按西瓜个数出售），过了中午，怕卖不完，他们跌价把所剩的西瓜按同一价格全部卖掉了．回家后，他们清点了卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的款一样多，每人都卖得42元，则他们的西瓜上、下午卖出的价格分别是 4.5 元、 1.5 元．7.随着电影《流浪地球》的热映，科幻大神刘慈欣的著作受到广大书迷的追捧，《流浪地球》、《球状闪电》、《三体》、《超新星纪元》四部小说在某网上书城热销。
小学奥数五年级奥数(下册)-第六讲-不定方程
同类巩固
• 课本183例4、 • 185页习题六1、2、3、5 • 练习册 第93页，2、3、4、5、6
两个未知数，一个方程 解不唯一 • 像7x+5y=50这样，未知数的个数多于方程
个数的方程就叫做不定方程。
不定方程的解题思路和方法
• 我们再来看一个问题： • 小明为校兵乓球队买50个兵乓球，超市里
的兵乓球有两种包装，甲种每盒6个，乙种 每盒8个，请你帮小明出个主意，怎样拿才 能不拆毁包装又恰好拿够50个兵乓球？ • 解：设每盒6个兵乓球的拿x和盒，每盒8个 兵乓球的拿y盒， • 根据题意得 6x+8y=50 • 你认为方程中的x、y应满足什么条件？
• 得 y= 25 3x
4
• 因为x、y都是整数， 所以4︱(25-3x)
• 即3x≡25≡1(mod4) • 经试验可知 • x=3或x=7
所以有两种取法：
同余法：我们利用等式 的性质把方程变形 得 x= 25 4y 因为x、y都3 是整数，所 以3︱(25-4y) 即4y≡y≡25≡1(mod3) 经试验可知 y=1或y=4
• 1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙 种本子，那么张明买了几本乙种本子？
• 数量关系是： • 甲种本子的钱+乙种本子的钱=50 （角） • 设乙种本子买了x本 • 根据题意得 7×5+5x=50
• 2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明恰好花完5元钱买两种本子
第六讲 不定方程解应用题
如果方程中未知数的个数多于方程 的个数，这个方程就叫做不定面两个问题吗？ • 1、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。
张明花完5元钱买了5本甲种本子和一些乙 种本子，如果张明买了几本乙种本子？ • 2、甲种本子每本7角，乙种本子每本5角。 张明准备恰好花完5元钱买两种本子。有几 种购买方案？
小学数学列不定方程解应用题(含答案)
列不定方程解应用题知识框架一、知识点说明 历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
重难点（1） 根据题目叙述找到等量关系列出方程 （2） 根据解不定方程方法解方程 （3） 找到符合条件的解例题精讲一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x 取最小值，y 取最大值． 可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x+是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12． 6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。
不定方程解应用题
3.培养学生分析问题以及灵活运用数学 知识解决实际问题的能力
认真看例题，思考： 怎样找等量关系并列出不定方程？
例：在停车场有一些车，其中汽车有4个轮子，摩 托车有3个轮子，这些车共有20个轮子，那么三轮 摩托车有多少辆？
分析：根据题中条件得到等量关系式： 所有汽车的轮子+所有摩托车的轮子＝20个 解：设三轮摩托车有X辆，汽车有y辆 3x+4y=20 解得
解：设23元一枝的钢笔卖出x枝，16元一枝的 钢笔卖出y枝
23x+16y=500 解得
X=12 y=14
12+14＝26
答：这两种钢笔共卖出26枝。
2.大盒子每盒装11粒玻璃球，小盒子每盒装8粒玻璃球。 要把89个玻璃球装入盒内，要求每个盒子恰好装满， 需要大、小盒子各多少个？
解：设需要大盒x个，小盒子y个 11x+8y=89
提解：设这个学生出生那一年的年份末两位数字分别为x、y
升
98－（10x+y）=x+y
解得
x=8 y=5 x+y＝13
答：这个学生1998年13岁。
学会了“不定方程解应用题”，知道了解答这 类应用题的关键是找题中的等量关系，然后根 据等量关系列不定方程,解答并检验。
课本186页练习八第4、6、8题
解得
x=3 y=7
答：需要大盒子3个，小盒子7个。
小结
今天我们学习了“不定方程解 应用题”，知道了解答这类应用 题的关键是找题中的等量关系， 然后根据等量关系列不定方程,解 答并检验。
当堂训练
1.工人叔叔为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8 米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根 （不截断）正好铺满158米的地段？（列式并说出计算过程）
用不定方程解应用题
用不定方程解应用题知识要点在应用题中出现了两个(甚至更多)未知量，而数量关系却少于未知量的个数，我们列出的就是不定方程。
不定方程一般是指未知数的个数通常多于方程个数的方程。
这样的方程的解通常不止一个。
列方程解应用题时,出现未知数的个数多于所列方程的个数,这样的方程叫做不定方程.不定方程往往有无数解,因而这种方程解得个数由题目中关于未知数的限制条件来决定,因在解题过程中要特别注重对所设未知数的限制条件(有时是隐蔽的)的分析.解不定方程是可以用以下原则来缩小范围。
[原则一]：系数大的开始讨论[原则二]：奇偶性讨论[原则三]：倍数原理[原则四]：尾数原理（运用条件：出现5的倍数）例1 求不定方程5x+3y=22的解，这里x,y 为自然数。
解析 由5x+3y=22可知x≤4，这样可以依次试出方程的解：当x=l 时，3y=17，y=317与y 为自然数矛盾。
当x=2时，3y=l2，y=4。
当x=3时，3y=7，y=37，与y 为自然数矛盾。
当x=4时, 3y=2，y=32，与y 为自然数矛盾。
先确定一个未知数的取值范围，再依次试出这些未知数的值。
练一练1求不定方程5x+9y=104的整数解。
答案：X=19,Y=1; X=10,Y=6; X=1,Y=11例2 一个工人将99颗弹子装人两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，这两种盒于各有多少个?解析设大盒子有x个，小盒子有y个，x与y为自然数，x+y>10，所以列不定方程如下：12x+5y=995y=99-12x因为99-12x≥0，所以x≤8，又99-12x是5的倍数，个位数字只能为0或5，那么12x的个位数字只能为4,x可取2或7。
当x=2时，y=15；当x=7时，y=3，但7+3=10，不符合题意。
大盒子有2个、小盒子有15个。
本题关键是先列出相应的不定方程，再判断x的范围。
练一练2装水瓶的盒子有大小两种，打得能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。
然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法 1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。
当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。
……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。
∵ 98﹢97﹢96﹢……﹢1= 29998⨯= 4851∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。
解：× × × × √ √ ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x=2 t则 y=22738t⨯-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x=2×2=4 x=4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x=2×1=2 x=2y=19-7×1=12 y=12第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定⽅程和解不定⽅程应⽤题经典不定⽅程———研究其解法⽅程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很⼤的⼀个板块，许多题⽬都可以通过⽅程来得到答案，那么⾃然⽽然，它的解法就尤为重要了。
然⽽，我今天想为⼤家介绍的是⼀种特殊的⽅程——不定⽅程，因为它往往有多个或⽆数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定⽅程的⼀些问题。
⼀、不定⽅程是指未知数的个数多于⽅程个数的⽅程，其特点是往往有不唯⼀的解。
⼆、不定⽅程的解法 1、筛选试验法根据⽅程特点，确定满⾜⽅程整数的取值范围，对此范围内的整数⼀⼀加以试验，筛去不合理的值。
如：⽅程x ﹢y ﹢z = 100共有⼏组正整数解？解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。
当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。
……当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有⼀个解。
∵ 98﹢97﹢96﹢ (1)29998?= 4851 ∴⽅程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：⽅程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。
解：∴⽅程4x ﹢7 y =55的正整数解有x = 5x = 12y = 5 y = 1 3、分离系数法如：求7x ﹢2 y =38的整数解解： y =2738X -=19-3x-21x令 t=21x x =2 t则 y=22738t-=19-7t2t ＞019-7t ＞0 （t 为整）→ 275＞t ＞0 t=2，1当 t=2时， x =2×2=4 x =4y=19-7×2=5 y =5当 t=1时， x =2×1=2 x =2y=19-7×1=12 y=12第四⼗周不定⽅程专题简析：当⽅程的个数⽐⽅程中未知数的个数少时，我们就称这样的⽅程为不定⽅程。
小升初数学综合素质训练(6) 不定方程解应用题
小升初数学综合素质训练（6）
第六讲：不定方程解应用题
重点研究列出方程的个数少于未知数的个数，并且方程的解是不定的（不确定），这类方程称为不定方程。
利用简单的不定方程的解答可以解答一些实际问题。
【探究过程】
1、用100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐。
问大、中、小各有多少匹？
2、一个两位数除以7，所得的商和余数相等。
求适合条件的这些两位数。
3、房间里有凳子和椅子若干，每张凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当他们都被人坐下后，共有35条腿（包括人腿在内）。
问房间里有凳子、椅子、人各多少？
4、一个学生发现自己1998年的年龄正好等于他出生那一年的年份的末两位数字之和。
问这个学生1998年是多少岁？
5、在一个盒子里装有蟋蟀和蜘蛛若干只，共有46只脚，问盒子里蟋蟀和蜘蛛各有多少只？（蟋蟀6只脚，蜘蛛8只脚）
6、小王若用10元钱买油菜籽，芥菜籽和萝卜籽100包。
油菜籽3角钱一包，芥菜
籽4角钱一包，萝卜籽1角钱7包。
问小王能买三种菜籽各多少包？
7、10元钱买15张邮票，其中有4角、8角、1角的三种。
问各买了几张？
【练习】8、大塑料桶可以装油5千克，小塑料桶可以装油3千克。
问装油50千克需要大、小塑料桶各多少个？
9、有5元一张和10元一张的人民币各若干张，共计50元。
问每种人民币各多少元？
10、有5元一张和10元一张的人民币各若干张，共计160元。
已知5元币的张数比10元币的多，而10元币的张数的2倍比5元币多。
问两种人民币各有多少张？。
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第6讲不定方程解应用题
解题思路：把不定方程化为某个未知数的表达式，根据整除性等求解。
例1有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？
例2采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？
例3 现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接用最省料？
例4 55人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要使船正好坐满，租大、小船各多少只？
例5王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？
例6 100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐.问大、中、小马各多少？
习题
1.小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”
2.李明带6元钱到花店买花.如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？
3.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？
4.李大伯下山去小商店买东西.下午1时离开家，先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店.半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午3时半到家.已知平地每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米.请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？
5.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？
第六讲不定方程解应用题
大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。
如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。
小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。
例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？
分析设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）.再设共发牌n轮（每轮发3张）.记作x+y＋z＝S。
n·S＝13＋15＋23=51。
由于n和S都是整数，51＝3×17.只有n=3，S=17.现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≣1的条件下：
x+y＋z＝17
求整数解。
即x≣6.x可能值为6、7、8、9。
第一种情况，x=6＞y＞z，而y+z=17-6=11，而此时y+z最多为5+4.所以x≠6。
第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17-7=10，只有y=6，z=4.但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可以重复的，下同）数之和。
第二种情况x=7亦被排除。
第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z＝17-8=9，（y，z）可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。
而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。
第四种情况，x=9＞y＞z，y＋z=17-9=8，观察知y=5，z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝.）
综上所述，三张牌为3、5、9。
例2 采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？
解：设购A种物x个，购B种物为x+y个，并设第一次购物找回r
张100元，s张10元，则
这是4个未知数，2个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一些法则（方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用.先将（1）（2）两边约去10，得
由于（3）（4）式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得8y ＋9r-9s=0，
再在方程两边同时加上9s-9r，得：
8y＝9（s-r）（5）
由于y是大于0的整数，所以s-r也是整数＞0。
因此8｜9·（s-r），9｜8y。
但是s是10元钱的张数，s≢9，r是100元钱的张数，所以k=1，因此y=9，s-r=8.显然s=9，r=1。
代回（3）式：得到x=3。
所以：x=3，x+y=3+9＝12，r＝1，s=9.采购员购A物3件，B物12件，找回1张100元，9张10元。
这两个例题已综合地体现了不定方程的“风味”。
例3 现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，问怎样接用最省料？
解：设3米长用x根，5米长用y根，列成不定方程：
3x＋5y=31.分两种思路求解
答：用3米长的2根，5米长的5根。
用同余的知识解不定方程时，可以表达得简明清楚些。
例4 55人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要租大、小船各多少只？
解：列不定方程，设大船x只，小船y只。
7x＋4y=55。
55-7x≡0（mod 4）；
因此 7x≡55（mod 4）≡3（mod 4），
但7≡3（mod 4），所以x≡1（mod 4），
因此x＝1，或x=5。
所以有 x=1，y=12以及x=5，y＝5两组解。
例5 王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？
解：设买油菜籽x包，西红柿种子y包，则萝卜籽（100-x-y）包，列
28y+100-x-y＝700，也即20x+27y＝600。
因此y≢22.由于600≡0（mod 20），所以27y≡0（mod 20）；但（27，20）=1，所以y≡0（mod 20）。
因此y＝20，x=3，100-x-y＝77。
答：购油菜籽3包，西红柿种子20包，萝卜籽77包。
例6 100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐.问大、中、小马各多少？
解：设大、中、小马的匹数依次为x、y、z，由题意，列不定方程为：
因此y≢33.由于5|100，所以5|3y.y＝0，5，10，…，30.相应地可以得到x和z.但（3，5）=1，所以5|y.因此把结果列出：
以上讲了6个例子，解不定方程（组）的一般思路和步骤都体现在其中了.这讲介绍的是最基本的整系数整式不定方程求整数解.总之，它要调用解方程时的常用的方程变形公共原则，又时时巧用未知数是整数这一“约定”.当然还有许多其他技巧.至于其他形式的不定方程，如x2＋
y2=25；奇质数p，
习题六
1.小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”
2.李明带6元钱到花店买花.如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？
3.甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？
4.李大伯下山去小商店买东西.下午1时离开家，先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店.半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午3时半到家.已知平地每小时走4千米，上山每小时走3
千米，下山每小时走6千米.请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？
5.大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？
习题六解答
1.提示：鸡有2条腿，兔有4条腿。
答：兔有5只，鸡有2只。
2.买月季花2盆，茉莉花5盆或只买6盆月季花.
3.共16支或12支。
4.分析
解：设平路有x千米，山路有y千米.由题意得：3小时30分钟-30分钟-1小时=2小时，
经整理得：x+y=4，
即平路段+山路段=4千米，
∴往返路段为4×2=8（千米）。
∴只可取x=1，3，5，7。
①只需7辆大车即可。
②需5辆大车，3辆小车。
③需3辆大车，6辆小车。
④需1辆大车，9辆小车.。