计算物理学 第1章_引论
计算物理_第6章_第一原理
Electron-ion (Coulomb)
Pseudopotential approximation
Ion-ion
Hartree
Madelung Energy
9
Total energy calculation
• Five parts consists of total energy Total energy
Technique: constructing a Hamiltonian
• kinetic energy of particles • Coulomb interactions between all the particles
Total-energy calculations: simplifications and approximations needed
• exchange: energy reduction due to a spatial separation between the electrons with the same spin • correlation: energy reduction due to a spatial separation between the electrons with the opposite spin Density Functional Theory (DFT) • strongly interacting electron gas a single particle moving in an effective potential • (one-electron or mean-field approximation) • Hohenberg and Kohn (1964), Kohn and Sham (1965)
第一章：引论
操作系统的定义
操作系统是一组有效的管理和控制计算机系统 中的各种资源，协调计算机各部件的工作，合 理的组织计算机的工作流程，提供友好的用户 界面以方便用户使用计算机的一种系统软件 1、操作系统是软件 2、基本职能是控制管理系统内各种资源，有效地组 织多道程序的运行（统筹安排）。 3、操作系统位于计算机硬件和计算机用户之间，是 用户与计算机硬件系统之间的接口
操作系统的类型
1、无操作系统时期 程序员首先将穿孔的纸带装入纸带输入机，把程 序和数据输入给计算机，然后让计算机运行，运 行后将结果取走后，再执行下一个程序 缺点：资源独占：每次只有一个程序使用计算 机， 该程序完全占有计算机的所有资源 CPU等待人工操作降低了资源的利用 率 （人机矛盾） 高速的cpu和低速的i/o设备之间的矛盾
多道程序设计技术在内存中同时存放几道 相互独立的程序，这几道程序都处于运行 过程中。 从宏观看，多道程序是并行执行的 从微观上看，多道程序在某个部件上是串 行 多道程序轮流使用部件，交替执行。 多道程序在计算机的各部件上并行执行。
批处理系统
对I/O设备采用非抢占方式，一旦将该I/O设 备分配给某进程，那就要等该程序的Ｉ／ Ｏ完成后再进行分配 ＣＰＵ调度采用两种方式：非抢占方式和 强占方式 若采用强占方式，当一个优先级更高的程 序要使用cpu时，就要停止当前cpu正在运 行的优先级较低的程序，让优先级高的程 序运行完毕后再运行原程序．
当q增大到q=t第3种情况，由于t是进程发出 I/O请求前的平均执行时间，t>>s，系统给 每一个交互进程执行的时间片足以让该进 程产生一个输入输出要求，这样可使用户 进程工作在最高速度上，并且也减少了不 必要的进程间转接处理机时的开销，提高 了输入输出设备的利用率，同时也能提供 较好的周转时间。这时如适当选择用户数n 使响应时间T控制在1秒内，则此时时间片q 选择最佳。
计算机科学导论第一章绪 论ppt课件
Wilkes 制造产生.
28
国内第一台模拟电子计算机 1956年，东北大学教授李华天带领工作人员开发 研制出国内第一台模拟电子计算机。 全套设备占地面积 40 平方米，拥有 5 个 2.3 米高的
1930 普林斯顿大学客座教授， 1931 年他成
为美国普林斯顿大学的第一批终身教授
1933 年转到该校的高级研究所，成为最初 六位教授之一，并在那里工作了一生．
14
四个子系统 Four subsystems
基于冯诺依曼模型的计算机分为四个子系统: 存储器memory 、算术逻辑单元 arithmetic logic unit, 控制单元control unit、输入输出单元 input/output
17世纪，法国Blaise Pascal发明了 Pascaline. 一个用来进行加减运算的计算 机器。20世纪，尼克劳斯.澳思发明了一种结构化程序设计语言Pascal 17世纪后期，德国数学家Gottfried Leibnitz 发明了既能进行乘除又能加减 的更复杂的机器，该机器称为莱布尼茨之轮 Leibnitz’ wheel.
Figure 1.2 基于图灵模型的计算机：可编程数据处理器
9
Figure 1.3 相同的程序，不同的数据
10
Figure 1.4 相同的数据，不同的程序
11
通用图灵机 The universal Turing machine
通用图灵机是对现代计算机的首次描述， 该机器只要提供了合适的程序就能做任何计算。
第一章 引论.ppt
4
第一章 引论
1.1 通信系统模型 1.2 信息论研究的中心问题及发展
2019-10-13
感谢你的欣赏
5
1.1 通信系统模型
2019-10-13
感谢你的欣赏
6
通信系统模型
信源
编码器
信道
译码器
干扰源
信宿
2019-10-13
感谢你的欣赏
7
通信系统模型进一步细分
信源
等效离散信 源
信宿 等效信宿
2019-10-13
感谢你的欣赏
24
信息论发展简史
Claude. E. Shannon的两篇论文– Shannon 信 息论
1948年----信息时代的里程碑!
“A Mathematical Theory in Communication” –Shannon第一、二定理 1959年“Coding theorems for a discrete
检测、估值、滤波理论
最佳信息处理理论、方法与算法；
均衡、模式识别、人工智能、随机控制
……
2019-10-13
感谢你的欣赏
21
狭义信息论体系结构
Shannon信息论
压缩理论
传输理论
无失真编码
有失真编码
信道编码定理
网络信息理论
等长编码 定理
Shannon 1948
McMillan 1953
第一章 引论
2019-10-13
感谢你的欣赏
1
课程概况
目的：
了解学习信息论的作用、方法与意义，对信息论的 研究方法和成果有广泛的基本认识，学会应用，为 进一步研究打下基础
特点：
第1章计算方法引论
掌握常用的科学与工程计算的基本方法
能用所学方法在计算机上算出正确结果
计算方法
第一章
引 论
本章内容
引言
误差的来源及分类
误差的度量
误差的传播
减少运算误差的原则
计算方法
第一章
引 论
要求掌握的内容
概念
包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误
差、相对误差限等
误差
截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等 分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则
∴
e
*
r
1 10 m n 1 ( n 1) 2 10 2 x1 x1 10 m 1
er
1 10 ( n 1) 2 x1
计算方法
第一章
引 论
一般应用中可以取r*=1/2x1 10-(n-1),n越 大,r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7 取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其 相对误差 解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2*3 10-2=17%
(n) f (0) f (0) 2 f (0) n pn(x) f(0) x x x 1! 2! n!
则数值方法的截断误差是
f ( n1) ( ) n1 Rn ( x) f ( x) p n ( x) x (n 1)!
（介于0与x之间）
截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差
可见研究和选择好的算法是非常重要的。
计算方法
第一章
引 论
算法(数值算法):是指有步骤地完成解数值问题的过程。 数值算法的特点
第1章 引论
计算机科学与技术学院
《大学计算机——计算思维导论》
第 1章
引论
1.1 什么是计算
上述计算问题，促进了计算机科学和计算科学的 诞生和发展，促进了人们的思考：
什么能够被有效地自动计算？
计算及计算复杂性问题：哪些问题是可以在有限时间有限空间内自动计算的？ 算法及算法设计与分析问题：以现实世界的各种思维模式为启发，寻找求解复杂问题
《大学计算机——计算思维导论》
第 1章
引论
计算X学的主要成果体现—计算工具
The tools we use have a profound influence on our thinking habits, and therefore, on our thinking abilities. ---from Edsger Dijkstra, 1972 Turing Awards receiver. • ―我们所使用的工具影响着我们的思维方式和思维习惯，从而 也将深刻地影响着我们的思维能力‖。——Edsger Dijkstra
求解问题、设计系统和理解人类行为，其本质是抽象和自动化----from 周以真。
思维是创新的源头，技术与知识是创新的支撑。
训练与实践 不断训练，不断理解，才能 找出本质，才能创新 “看山联想与贯通
浮想联翩，由此 及彼，才能发现
贯通，看得远， “看山不是山，看水不是水” 才能认识准确 “衣带渐宽终不悔，为伊销得人憔悴” 概念与知识 “看山是山，看水是水”
《大学计算机——计算思维导论》
第 1章
引论
为什么要学…?
马克安德森
---前Netscape公司创始人，现风险投资人
计算思维导论
第1章引论本章要点：1.什么是计算；2.计算机科学与计算科学的区别；3.来自计算机发展史的启示；4.计算机应用；5.计算机发展趋势。
1.1 什么是计算？简单计算，如我们从幼儿就开始学习和训练的算术运算，如“3 + 2 = 5”“3 2 = 6”等，是指“数据”在“运算符”的操作下，按“规则”进行的数据变换。
我们不断学习和训练的是各种运算符的“规则”及其组合应用，目的是通过计算得到正确的结果。
广义地讲，一个函数如“”把x变成了f(x)就可认为是一次计算，在高中及大学阶段我们不断学习各种计算“规则”并应用这些规则来求解各种问题，得到正确的计算结果。
如对数与指数、微分与积分等。
“规则”可以学习与掌握，但应用“规则”进行计算则可能超出了人的计算能力，即人知道规则但却没有办法得到计算结果。
如何解决呢？一种办法是研究复杂计算的各种简化的等效计算方法(数学)使人可以计算，另一种办法是设计一些简单的规则，让机械来重复的执行完成计算，即考虑能否用机械来代替人按照“规则”自动计算。
例如：能否机械地判断方程“a1x1b1+a2x2b2+…+a n x n b n = c”是否有整数解?”，即机械地证明一个命题是否有解? 是否正确?类似的上述问题，促进了计算机科学和计算科学的诞生和发展，促进了人们思考：◆什么能够被有效地自动计算？现实世界需要计算的问题是很多的，哪些问题是可以自动计算的，哪些问题是可以在有限时间有限空间内自动计算的？这就出现了计算及计算复杂性问题。
以现实世界的各种思维模式为启发，寻找求解复杂问题的有效规则，就出现了算法及算法设计与分析问题。
例如观察人的思维模式而提出的遗传算法、观察蚂蚁行动的规律而提出的蚁群算法等。
◆如何低成本、高效地实现自动计算？如何构建一个高效的计算系统：计算机器的构建问题和软件系统的构建问题。
◆如何方便有效地利用计算系统进行计算？利用已有计算系统，面向各行各业的计算问题求解。
什么能、且如何被有效地自动计算问题就是计算学科的科学家不断在研究和解决的问题。
第一章 引论.ppt
2019-8-26
谢谢观赏
26
信息论发展简史
1950年汉明码，1960年卷积码的概率译码， Viterbi译码，1982年Ungerboeck编码调制技术， 1993年Turbo编译码技术
第一章 引论
2019-8-26
谢谢观赏
1
课程概况
目的：
了解学习信息论的作用、方法与意义，对信息论的 研究方法和成果有广泛的基本认识，学会应用，为 进一步研究打下基础
特点：
以信息理论为中心，区别与“信源编码”、“信道 编码”
以概念和物理意义为主 结合通信系统实际应用
2019-8-26
2019-8-26
谢谢观赏
19
信息论的研究内容
统计信息论—Shannon信息论—本课程的主要内容
主要研究通信系统的数学描述与定量分析，研究系统的最优状态与优化理论， 即研究通信系统
理论上的潜在能力与数学上的极限情况。它是以存在性研究为主体，又称它 为数学信息论。
研究内容：
1) 信源的描述，信息的定量度量、分析与计算。
谢谢观赏
3
其它有关事项
讲课:（概念、方法） 自学:（数学推导、定理证明） 考试：基本概念，基本计算。 微课：分组进行微课制作，上传至网络，评分
联系方式： email: rsun@
2019-8欢-26 迎提出各种问题、谢意谢观赏见和建议
4
第一章 引论
信道 编码器
信道编码器
调制器
信 道
计算物理学_李禄
x1m m x A 2 xm n
x1m 1 x1 1 m 1 x 2 1 xn m 1 x n 1 xn
y1 y2 和 b y n
则拟合曲线 p m x 的系数 a m , a m 1 , , a1 , a 0 所满足的方程组可以改写为
( )
n=min(length(x1),length(y1)); n=n-1; m=100; h=(max(x1)-min(x1))/m; for i=1:m+1 x(i)=min(x1)+(i-1)*h; phin(i)=interpolyp(x1,y1,x(i),n); end n interpolyp(x1,y1,2.25,n) plot(x,phin) hold on plot(x1,y1,'bo') 该程序的运行结果不仅可以显示出 t = 2.25 秒处的光强度为 0.7781，同时可以画出光强度随时间的演 化（即插值函数）的图象，并描绘出它与原始数据之间的位置关系，如下图所示．
我们可以将该方程改写为如下的矩阵形式
y1 y2 和 b y n
a1 T AT A a A b 0
由此我们就可以得到拟合直线的系数为
a1 1 T T a A A A b ． 0
下面是为求拟合直线的系数 a1 和 a 0 所编写的 MatLab 函数文件 (\chap1\fitlinec.m) function yy=fitlinec(x,y) nx=length(x);ny=length(y); if nx~=ny warning('The lengths of x and y should be same'); return; end n=min(nx,ny); if n<2 error('The number of the DATA should be greater than 1'); return; end x=x(1:n);y=y(1:n); x=reshape(x,n,1);y=reshape(y,n,1); A=[x ones(n,1)]; b=y; B=A'*A; b=A'*b; yy=B\b; yy=yy'; 和函数文件 (\chap1\fitlinep.m) function p1=fitlinep(x,y,t) a=fitlinec(x,y); p1=a*[t;1]; 一般地，我们引入矩阵
计算物理：chapter1 绪论
计算物理·绪论
2011-2-23
小测验(3分钟)
写一个程序(C或FORTRAN)完成如下任务：
1. 建立(打开)一个数据文件 2. 将下列信息写入文件
a. 姓名、学号、班级等信息 b. 对开好这门课的一些建议及期望 c. 其它
3. 关闭文件
计算物理
➢说文解字
核物理、天体物理、生物物理… 理论物理、统计物理...
Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV)方程
dP(r) dr
G
m(r ) (r )
r2
[1
P(r) ][1
c2 (r)
4r 3P(r)][1
c 2 m(r )
2Gm(r c2r
)
]1
dm(r) 4r 2 (r)
dr
m(0) 0, P(R) Psurf
一般来说，Psurf=0或Psurf=P(ρFe)，ρFe =7.86 g/cm3
GM
e
arth
M |
sun (Rearth Rsun
Rearth
Rsun
|3
)
M
moon (Rearth Rmoon | Rearth Rmoon|3
)
M moon
d 2 Rmoon dt 2
GM
moon
M |
run (Rmoon Rrun Rmoon Rsun |3
)
M
earth (Rmoon Rearth | Rmoon Rearth |3
计算物理是伴随着计算机软件与硬件的发展而发展的。
早期 (1950s-1960s) –计算机非常昂贵， (>$1000/hour ) –机器庞大，对操作者要求高 –软件有限(FORTRAN) –只用于特殊的用途
计算物理学chapter1
第一章 引 言“Computational Physics”“Computer Physics”计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂物理问题的一门应用科学。
1．1计算物理的起源和发展电子计算机的发明和应用。
学科之间的交叉渗透，使计算物理学得以蓬勃的发展。
计算物理学对解决复杂物理问题的巨大能力，使它成为物理学的第三支柱，并在物理学研究中占有重要的位置。
计算物理学与理论物理和实验物理有着密切的联系。
计算物理学的研究内容涉及到物理学的各个领域。
1． 2计算物理学在物理学研究中的应用 计算机在物理学中的应用可以大致分为四类:（1）计算机数值分析计算机是物理学研究的数值分析的工具。
（2）计算机符号处理计算机在物理学中应用的另一个重要方面是利用计算机的符号处理系统进行解析计算、公式的推导和高精度的数值计算。
这在理论物理研究领域的意义就特别重大。
（3）计算机模拟为物理学家提供了“计算机模拟实验”这个新的研究手段。
通过计算机模拟实验会给物理学家带来新的物理概念，发现新的物理现象。
当前计算模拟已经成为继理论和实验研究方法外，物理学研究的第三种手段。
（4）计算机实时控制物理实验中的计算机控制也是十分重要的。
现在几乎所有的大型实验中，它的大多数实验设备都通过接口与控制计算机相连接，并结合在线数据获取和分析程序就可以对实验装置的整个实验进程做实时控制，使物理实验可以在没有人在场的情况下自己监测设备的正常运行，自动采集和分析实验数据。
计算机在物理实验中的应用大致可以分为两个部分，即计算机的在线分析和离线分析。
在实验装置运行过程中由计算机实现数据获取和数据分析就称为实验的在线分析。
以粒子物理实验为例，在线分析的任务包括四个方面：（a）控制系统运行。
（b）采集实验数据。
（c）监视仪器状态。
（d）数据在线分析。
离线分析是将实验数据送到计算中心作进一步的浓缩、过滤和理论分析工作。
粒子物理的离线分析还包括对物理过程的理论模拟、探测器模拟、本底分析、理论和实验事例的分析对照等。
第一章引论(2011版)
第一章引论1.1 机械振动所谓机械振动．．．．，是指物体在平衡位置(或平均位置)附近来回往复的运动。
它在日常生活中是经常遇到的，例如心胜的跳动，钟摆的摆动，琴弦的振动，车厢的晃动，大海的波涛等等。
在工程技术中，机械振动也是非常普遍的，桥梁与房屋的振动，飞行器与船舶的振动，机床与刀具的振动，各种动力机械的振动等等，都是机械振动。
在机械与土建工程中，振动通常被认为是有害的，它影响精密仪器设备的功能；降低机械加工的精度和光洁度；加剧构件的疲劳和磨损，从而缩短机器和结构物的使用寿命；振动甚至使结构发生大变形破坏，有的桥梁就由于振动而全部坍毁；机翼的颤振，机轮的摆振和航空发动机的异常振动，曾多次造成飞行事故；飞机和车船的振动恶化了乘载条件；强烈的振动噪声还可以形成严重的公害。
但是，机械振动也有有利的一面。
没有机械振动就没有各种发声器(包括人的声带)以及计时的钟表。
近三十年来，陆续出现了许多种利用机械振动的生产装备：振动传输、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。
它们极大地改善了劳动条件，成十、百倍地提高了劳动生产率。
可以预期，随着生产实践和科学研究的不断进展，人们对振动过程的认识将愈益深化，机械振动的利用将会愈益广泛。
因此，我们研究机械振动的目的，就是为了了解各种机械振动现象的机理，掌握振动的基本规律，从而能有效地设法消除或隔离振动，防止或限制振动所可能产生的危害，同时尽量利用机械振动积极的一面。
1.2 振动系统模型和其他工程学科一样，机械振动也是借助于模型进行研究的。
模型．．就是将实际事物抽象化而得的东西。
例如，力学中的质点、刚体、梁、板、壳、弹簧一质量系统等等都是模型。
科学的抽象并不脱离实标，而是在一定条件下更深刻、更正确、更完全地反映实际。
任何机器、结构或它们的零部件，由于具有弹性与质量，都可能发生振动，它们都是振动系统．．．．，简称振系．．．．（或称分布参数系统．．．．．．）与连续系统．．．．．．）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算物理学Computational Physics刘金远大连理工大学物理学院2009.6第1章引论计算物理学的英译文为“Computational Physics”。
通常人们也把它等同于计算机物理学（computer physics）。
在过去半个多世纪以来，计算物理学渗透到物理科学和工程学的各个研究方面，成为一门新兴的交叉科学。
它是物理学、计算数学、计算机科学三者相结合的产物。
计算物理学也是物理学的一个分支，它与理论物理、实验物理有着密切的联系，但又保持着自己相对的独立性。
如果要给计算物理学做一个定义的话，我们可以采用下面这个有代表性的概括：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂物理问题的一门应用科学。
计算物理学已经对复杂体系的物理规律、物理性质的研究提供了重要手段，对物理学的发展起着极大的推动作用。
1.1计算物理学的起源和发展19世纪中叶以前，可以说物理学还基本上是一门基于实验的科学。
1862年麦克斯韦（Maxwell）将电磁规律总结为麦克斯韦方程，进而在理论上预言了电磁波的存在。
这使人们看到了物理理论思维的巨大威力。
从此理论物理开始成为了一门相对独立的物理学分支。
以后到了20世纪初，物理学理论经历了两次重大的突破，相继诞生了量子力学和相对论。
理论物理开始成为一门成熟的学科。
传统意义上的物理学便具有了理论物理和实验物理两大支柱，物理学便成为实验物理和理论物理密切结合的学科。
正是物理学这样的“理论与实践相结合”的探索方式，大大促进了该学科的发展，并引发了20世纪科学技术的重大革命。
这个革命对人类的社会生活产生了重大影响。
其中一个重要的方面就是电子计算机的发明和应用。
物理学研究与计算机和计算机技术紧密结合起始于20世纪40年代。
当时正值第二次世界大战时期，美国在研制核武器的工作中，要求准确地计算出与热核爆炸有关的一切数据，迫切需要解决在瞬时间内发生的复杂的物理过程的数值计算问题。
然而，采用传统的解析方法求解或手工数值计算是根本办不到的。
这样，计算机在物理学研究中的应用就成为不可避免的事了，计算物理学因此得以产生。
第二次世界大战之后，计算机技术的迅速发展又为计算物理学的发展打下了坚实的基础，大大增强了人们从事科学研究的能力，促进了各个学科之间的交叉渗透，使计算物理学得以蓬勃的发展。
理论物理是从一系列的基本物理原理出发，列出数学方程，再用传统的数学分析方法求出解析解。
通过这些解析解所得到的结论与实验观测结果进行对比分析，从而解释已知的实验现象并预测未来的发展。
实验物理是以实验和观测为基本手段来揭示新的物理现象，奠定理论物理对物理现象作进一步研究的基础，从而为发现新的理论提供依据，或者检验理论物理推论的正确性及应用范围。
计算物理则是计算机科学、数学和物理学三者间新兴的交叉学科，是物理计算科学的基础，是研究物理学中与数学求解相关的基本计算问题的学科。
它研究的主要内容是如何应用高速计算机作为工具，去解决物理学研究中极其复杂的计算问题。
计算物理学对解决复杂物理问题的巨大能力，使它成为物理学的第三支柱，并在物理学研究中占有重要的位置。
计算物理学与理论物理和实验物理有着密切的联系。
计算物理学的研究内容涉及物理学的各个领域。
一方面，计算物理学所依据的理论原理和数学方程是由理论物理提供的，其结论还需要理论物理来分析检验；另一方面，计算物理学所依赖的数据是由实验物理提供的，其结果还要由实验来检验。
对实验物理而言，计算物理学可以帮助解决实验数据的分析、控制实验设备、自动化数据获取以及模拟实验过程等问题；对理论物理而言，计算物理学可以为理论物理研究提供计算数据，为理论计算提供进行复杂的数值和解析运算的方法和手段。
总之，计算物理学是与理论物理、实验物理互相联系、互相依赖、相辅相成的。
它为理论物理研究开辟了一个新的途径，也对实验物理研究的发展起了巨大的推动作用。
1.2 误差分析1.2.1 基本定义：1. 误差误差是近似值与准确值之差，即：=*（1-1）E-ZZ式中：E表示误差；*Z表示准确值，又称精确值、真值；Z表示近似值。
2.误差限若存在一个小正数ε，使不等式ε≤-*Z Z （1-2）成立，则称ε为近似值Z 的绝对误差限，简称误差限。
由此可得到下面几个结果εε+≤≤-Z Z Z *， ε≤E3.相对误差相对误差定义为：*Z E E r = （1-3） 通常准确值*Z 是无法求得的，而用其近似值代替：Z E E r /=。
（试证这种近似的误差与2*)/(Z E 值同一数量级）。
4.有效数字如果近似值Z 的误差限不超过某一位上的半个单位，该位到Z 的第一个非零数字共有n 位，我们说，Z 有n 位有效数字。
或者Z 准确到该位。
例如： 3.1415926π=，取3.14做为近似值有3位有效数字（误差为0.00159<0.005）；取3.141做为近似值仍然是3位有效数字（误差为0.000590.0005>）；取3.142做为近似值有4位有效数字（误差为-0.000410.0005<）。
1.2.2 误差来源1. 模型误差（Modeling Error ）：对实际物理问题做了某些近似假设后抽象出数学模型带来的误差。
2. 观测误差（Measurement Error ）：实验测量得到测量值带来的误差。
3. 截断误差（Truncation Error ）：近似求解的方法误差。
例如，在计算机计算函数值时，通常按泰勒展开式进行计算。
实际计算时，只能取有限项计算，后面各项被截去了，产生截断误差。
【例题1.1】已知函数x e y =，且1≤x ，若要求截断误差的误差限为0.005，那么需要计算到多少项才能满足要求？解：由于1≤x ，)(!!212x R n x x x e n nx+++++≈ ，)10( ,)!1()(1<<+=+θθx n n e n x x R 由于1≤x ，)10(<<θ，可以估计：3<<e e x θ，则得：005.0)!1(3)(≤+≤n x R n ，解不等式得5≥n ，由此取5=n ，当1=x 时，计算得716667.2≈e ，较准确的近似值为71828.2=e ，误差为：005.00016148.0716667.271828.2<=-=E ，有3位有效数字。
4. 舍入误差（Roundoff Error ）计算时由于机器字长有限，对其小数指定位进行四舍五入而引起的误差。
一般而言，一次舍入不会产生很大误差，但随着多次舍入运算，误差会积累放大。
例如：∑∑==k k k k k k z Z z Z ** ,λλ，∑∑-≤-=-=kk k k k k k k z z z z Z Z E ***)(λλ 设每次舍入计算时舍入误差为ε，则ε<-=k k k z z E *，由此有∑∑≤-≤-=kk k k k k z z Z Z E ελλ** 其中∑kk λ是舍入误差的放大系数。
一个实际计算的物理问题往往会涉及多种近似。
例如，计算地球的表面积采用的公式：24S r π=，其中涉及模型误差：近似认为地球是球形的；测量误差：近似认为地球半径6370r km ≈；舍入误差：近似取π的近似值。
计算物理中关心的是截断误差和舍入误差。
1.3 数值计算应注意的问题1.3.1 避免相近二数相减两个相近数的前几位有效数字是相同的，相减后有效数字位会大大减少。
例如：64.311001≈，62.311000≈，求)10001001(-的值。
可以看到，直接相减结果为0.02，只有1位有效数字。
计算中损失了3位有效数字。
为了避免两个相近的近似值相减，可改变计算方式，如因式分解，分母有理化，三角公式变换，泰勒展开等。
01581.062.3164.311)10001001(1)10001001()10001001)(10001001()10001001(≈+=+=++-=- 另外还有其他一些方法，例如当1x 接近2x 时：)lg(lg lg 2121x x x x =-；当)(1x f 与)(2x f 很接近，计算，)()(12x f x f -，可采用泰勒展开 +-+-=-212112112))((''21))((')()(x x x f x x x f x f x f 1.3.2 防止大数吃掉小数计算机的位数有限，进行加减法运算时要对阶和规格化。
例如在四位浮点机上做运算：53104506.0107315.0-⨯+⨯，对阶是：33100000.0107315.0⨯+⨯，规格化是3107315.0⨯，结果是大数吃掉了小数。
再例如11111113.090112859999999998321011111112.0897874523999989999910S A S B =++++++==++++++=将很多较小的数加和而成较大的数后，再加之较大的数。
故A S 的值比较准确。
所以要注意运算次序，避免大数吃掉了小数。
1.3.3 避免小分母溢出1.3.4 减少运算次数求解一个给定问题，减少运算次数，能够节省机器时间，减少舍入误差传播放大。
例如: 求多项式的值()2012n n n P x a a x a x a x =+⋅+⋅++⋅直接按上式顺序计算:乘法次数为(1)/2n n +,加法次数为n ；改为下列计算顺序1, n i ndo i n s a x send s doa -=+←←⋅ 乘法次数为n,加法次数为n 。
1.3.5 正负交替级数累和计算中的问题对正负项交替级数的累和问题需要特别注意。
若某些项的数量级远大于结果数量级，则可能隐含着数值相近两数求差运算。
可采用其他方法，例如231x e x x x -=-+-+可变为 23111x x e e x x x -==++++1.4 计算机编程语言1.4.1 FORTRAN 语言Fortran语言是世界上广泛流行的、最适于数值计算的一种计算机语言，是世界上最早出现的高级程序设计语言。
从1954年第一个Fortran语言版本问世至今，已有50多年的历史，但它并不因为古老而显得过时，随着时间的推移它也在不断发展，现已出现Fortran 95语言版本。
另一方面，这么多年来，在各个领域，特别是在科学工程计算领域，积累了大量成熟可靠的Fortran语言代码。
因此在未来相当长的一段时间里，使用Fortran语言进行复杂科学工程计算与分析的程序设计和软件开发，仍然有着其独特的优势。
现在许多过程模拟计算、有限元分析、分子模拟等大型软件程序，都以FORTRAN 语言编写的程序作为软件的核心程序。
现在常用的FORTRAN语言的编译版本是Fortran Powerstation 4.0或已Compaq Visual Fortran 6.5.它们与各FORTRAN语言版本的兼容性好，有IMSL数学和统计库可供直接调用，为开发和处理大型复杂计算提供了便利的手段。