现代控制理论的能控性和能观性分析

rank(Γc [ A, B]) = rank [ B
(
AB L An−1B] = n
)
Γc [ A, B ] 能控性检验矩阵。
特点：只依赖状态矩阵A和输入矩阵B，和时间长短无关
Γc [ A, B ]
是否满秩的方法：
SISO：计算 Γc [ A, B ] 的行列式 MIMO：计算行列式 (Γc [ A, B])(Γc [ A, B])T MATLAB命令：ctrb(A,B) SISO：det(ctrb(A,B)) MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’)
k k =0Βιβλιοθήκη 0n −1则x0 = −∑ A B ∫ ak (τ )u (τ )dτ
k T k =0 0
n −1
= ∑ Ak B β k = ⎡ ⎣B
k =0
n −1
⎡ β0 ⎤ ⎢β ⎥ ⎢ 1 ⎥ AB L An −1 B ⎤ ⎦⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ β ⎣ n −1 ⎦
其中的 β k
= − ∫ ak (τ )u (τ )dτ
例3.1.1 检验由以下状态方程描述的系统的能控性：
&1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡x ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u ⎢& ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣0⎦
解 能控性检验矩阵
Γc [ A, B] = [ B ⎡ ⎡1⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡1⎤ ⎤ ⎡1 1⎤ AB] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 0 1 0 0 0 − ⎦ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎣
u
θ
M
l
能控性检验矩阵
Γc [ A, B ] = [ B
AB
A2 B
det(Γ c [ A, B ]) = 100 ≠ 0
1 0 1⎤ ⎡ 0 ⎢ 1 0 ⎥ 1 0 ⎥ A3 B ] = ⎢ ⎢ 0 −1 0 − 11⎥ ⎢ ⎥ − 1 0 − 11 0 ⎣ ⎦
故系统是能控的。
&] T & θ θ 解释！系统的状态 x = [ y y
现代控制理论
Modern Control Theory
能控性和能观性分析
能控性和能观性分析
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。
u x y
& = Ax + Bu 状态方程反映控制输入对状态的影响；x
输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。
y (t ) = Cx (t ) + Du(t )
3.1 系统的能控性
系统模型
& = Ax + Bu x
定义 对系统的一个状态x0，存在某个时间段[0, T] 上定义的控制信号u，使得在该控制信号的作用下， 系统状态从x0转移到x(T)=0， 则称状态x0是能控的。 若系统的所有状态都是能控的， 则称系统是完全能控的,
O x
x0
也简称为能控的。有时也称矩阵对
AT o
T
e
AT
x0 = − ∫ e A(T −τ ) Bu (τ )dτ
o
T
⇒
e
− Aτ n−1 k =0
x0 = − ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ
0
k
T
= ∑ α k (τ ) A
⇒
x0 = − ∫
T n −1
0
k a ( τ ) A Bu (τ )dτ ∑ k k =0
T
= −∑ A B ∫ ak (τ )u (τ )dτ
0 T − At T − ATt
BB e
dt
是非奇异的。 构造控制律
u(t ) = − B e
AT T 0
T − ATt
Wc−1 (0, T ) x 0
x (T ) = e x0 + ∫ e A(T −τ ) Bu(τ )dτ
= e x0 − ∫ e
运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响 问题：希望系统有期望的运行，能否通过适当的外部输 入来实现呢？
有两个问题：系统是否有这样的能力？ 如何来设计相应的控制器？ 前一个问题是分析，提出了能控性概念！ 后一个问题是设计，需要有各种设计方法！ 能控性是系统的一种能力，状态能控性和输出能控； 卡尔曼提出了能控性概念，奠定了现代控制理论基础。 作业：查阅能控性的原始文章 报告文章中的原始思想
0
T
即：如果系统能控，则线性方程组 [ B AB L A n −1 B] β = x 0 一定有解。 理论上可以证明：以上结果的逆也是成立的。 从而，能控性问题转化为线性方程组的可解性问题！ 线性方程组 Ax = b 对所有的b有解的充分必要条件是系数 矩阵A 满秩。
定理3.1.1 系统完全能控的充分必要条件是
( A, B) 是能控的。
T
t
问题：如何来判断能控性呢？
能控性判据 根据定义，能控性判断要求找到到使得闭环系统状态从 初始状态转移到零状态的一个控制律。 由运动分析：x (T ) = e AT x0 + ∫0 e A(T −τ ) Bu (τ )dτ
x (T ) = 0
T
⇒ ⇒
0 = e x0 + ∫ e A(T −τ ) Bu (τ )dτ
⇒
0 ⎡0 1 Γc [ A, B ] = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1 − a 2
1 ⎤ − a2 ⎥ ⎥ 2 − a1 + a 2 ⎥ ⎦
能控性检验矩阵总是非奇异的。 故系统是能控的。 能控标准形：能控的； 特殊的结构。
定理 系统完全能控的充分必要条件是存在常数T > 0， 使得n 维矩阵
Wc (0, T ) = ∫ e
⎛ ⎡1 1⎤ ⎞ ⎟ det(Γc [ A, B ]) = det⎜ ⎜ ⎢0 0 ⎥ ⎟ = 0 ⎦⎠ ⎝⎣
⇒
Γc [ A, B ]
不是满秩的
故系统不能控。
例3.1.2 考虑倒立摆系统
y
m mg
线性化状态空间模型的 系数矩阵是
⎡0 ⎢0 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 0 0⎤ 0 −1 0 ⎥ ⎥, 0 0 1⎥ ⎥ 0 11 0 ⎦ ⎡ 0⎤ ⎢ 1⎥ B=⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦
例3.1.4 考虑能控标准型
&1 ⎤ ⎡ 0 ⎡x ⎢x &2 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ &3 ⎥ ⎢ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ −a0 1 0 −a1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥ u 1 ⎥ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ − a2 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎥, 2 ⎢ −a ⎥ 1 AB = ⎢ ( ) = = A B A AB 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎢ ⎣ − a2 ⎥ ⎦ ⎣ −a1 + a2 ⎥ ⎦