八年级数学上册 难点探究专题 动态变化中的三角形全等习题讲评课件 新人教版
新人教版八年级上册数学知识点精讲课程课件-3.动态变化中的全等三角形
即∠QAB＝∠PAC
另由旋转得AQ＝AP
变式题
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
Q A
证明： ∵∠QAP＝∠BAC
在△AQB和△APC中 AQ＝AP ∠QAB＝∠PAC AB＝AC ∴△AQB≌△APC ∴BQ＝CP
P B
∴∠QAP＋∠BAP
C
＝2×30°＝60°.
课堂小结
平移、翻折、旋转全等三角形中的一个，所得三角形与另一个三角形 仍然全等.
＝∠BAC＋∠BAP 即∠QAB＝∠PAC
另由旋转得AQ＝AP
典例精解
三、翻折 如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
若∠BAC＝150°，则∠θ的度数是_________.
D F A θ E
B
C
如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
E A B C D
典例精解
类型一：动点变化 已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足 BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.
E A B C D
解：AC＝CE，理由如下：
∵AB⊥BD，ED⊥BD ∴∠B＝∠D＝90° 在△ABC和△CDE中
动态变化中的全等三角形⑵
我们将全等三角形中的某个三角形进行平移、翻折、旋转等 变换，所得三角形还会全等吗？
典例精解
类型二：图形变换 一、平移 如图1，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，
⑴求证：△AFC≌△DEB．⑵如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，B
最新人教版数学八年级上册课件 .动态变化中的全等三角形
Q ⑴若A 点P在△证AB明C：内部，求证BQ＝在CP△；AQB和△APC
P
∵∠QAP＝∠BAC 中
B
C
图⑴
∴∠QAP－∠BAP AQ＝AP
＝∠BAC－∠BAP ∠QAB＝∠PAC
即∠QAB＝∠PAC AB＝AC
另由旋转得AQ＝AP ∴△AQB≌△APC
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
Q
A
B
CD
类型一：动点变化
已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD
上一动点且满足BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE得数量
关系，并证E明解你：得A结C论＝.CE，理由如 BC＝DE，
A
下：
∠B＝∠D
B C D ∵AB⊥BD，ED⊥BD
AB＝CD
∴∠B＝∠D＝90°
∴△ABC≌△CDE
类型二：图形变换
一、平移 如图1，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，
且DE＝AF，⑴求证：△AFC≌△DEB．⑵如果将BD沿着AD边得
方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结
E
E
论是否仍成立，如果成立，请A 予B证明；如果A 不成立，B 请说明
理由.
CD
C
D
F
F
如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，
二、旋转
已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺
Q
时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
A
A
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；Q
P
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成B立吗？
人教版初中数学八年级上册4.难点探究专题：动态变化中的三角形全等
人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗类型一 动点变化◆1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP 全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC ＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．类型二 图形变换◆4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6 解析：∵△ABC 和△APQ 全等，AB ＝PQ ，∴有△ABC ≌△QPA 或△ABC ≌△PQA .当△ABC ≌△QPA 时，则有AP ＝BC ＝3；当△ABC ≌△PQA 时，则有AP ＝AC ＝6，∴当AP ＝3或6时，△ABC 和△APQ 全等，故答案为3或6.2．2或3 解析：当BD ＝PC 时，△BPD 与△CQP 全等．∵点D 为AB 的中点，∴BD ＝AB ＝6cm ，∴PC ＝6cm ，12∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF (2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下： ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△FAC 中，{AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，)∴△DAB ≌△FAC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，{AB ＝CD ，AF ＝CE ，)∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，{∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，)∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，{CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，)∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
502.八年级新人教版数学上册4.难点探究专题：动态变化中的三角形全等(解题技巧)
难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP ＝BC ＝3；当△ABC ≌△PQA 时，则有AP ＝AC ＝6，∴当AP ＝3或6时，△ABC 和△APQ 全等，故答案为3或6.2．2或3 解析：当BD ＝PC 时，△BPD 与△CQP 全等．∵点D 为AB 的中点，∴BD ＝12AB ＝6cm ，∴PC ＝6cm ，∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF (2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下： ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。