[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷128.doc
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（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵
（C）正定矩阵
（D）正交矩阵
6设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．
（A）A，B合同
（B）A，B相似
（C）方程组AX=0与BX=0同解
（D）r(A)=r(B)
7设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
（A）r(A)=r(B)
15设二次型f(x1，x2，x3)一XT．AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
16求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
17求矩阵A．
17设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又 且AB=O．
18求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY，下二次型化为标准形．
19求矩阵A．
23二次型XTAX的标准形；
24 |E+A+A2+…+An|的值．
24设A为n阶实对称可逆矩阵，
25记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；
26二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
26设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=O，r(A)=2．
（B）|A|=|B|
（C）A～B
（D）A，B与同一个实对称矩阵合同
8设 则A与B( )．
（A）相似且合同
（B）相似不合同
（C）合同不相似
（D）不合同也不相似
9设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：
(1)A～B；
(2)A，B合同；
(3)A，B等价；
(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )．
[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷128
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
二、填空题
10二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．
11设 则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为___________．
12设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=___________．
（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
4设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
（A）规范形与标准形都不一定相同
（B）规范形相同但标准形不一定相同
（C）标准形相同但规范形不一定相同
（D）规范形和标准形都相同
5设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
13设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是__________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3为标准二次型．
15用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3一4x32为标准形．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A-1是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
27求A的全部特征值；
28当k为何值时，A+kE为正定矩阵?
29设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3为正定二次型，求t的范围．
30设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．
31用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3．
35求PTCP；
36证明：D—BA-1BT为正定矩阵．
32用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．
32二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2一8x1x3一4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22一4y32，求：
33常数a，b；
34正交变换的矩阵Q．
34设 为正定矩阵，令
20用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3一4x2x3为标准二次型．
20设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩为
பைடு நூலகம்21求a；
22用正交变换法化二次型为标准形．
22设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：
（B）实对称矩阵
（C）正定矩阵
（D）正交矩阵
6设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．
（A）A，B合同
（B）A，B相似
（C）方程组AX=0与BX=0同解
（D）r(A)=r(B)
7设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
（A）r(A)=r(B)
15设二次型f(x1，x2，x3)一XT．AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中
16求正交变换X=QY将二次型化为标准形；
17求矩阵A．
17设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又 且AB=O．
18求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY，下二次型化为标准形．
19求矩阵A．
23二次型XTAX的标准形；
24 |E+A+A2+…+An|的值．
24设A为n阶实对称可逆矩阵，
25记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；
26二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
26设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=O，r(A)=2．
（B）|A|=|B|
（C）A～B
（D）A，B与同一个实对称矩阵合同
8设 则A与B( )．
（A）相似且合同
（B）相似不合同
（C）合同不相似
（D）不合同也不相似
9设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：
(1)A～B；
(2)A，B合同；
(3)A，B等价；
(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )．
[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷128
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
二、填空题
10二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．
11设 则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为___________．
12设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=___________．
（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
4设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
（A）规范形与标准形都不一定相同
（B）规范形相同但标准形不一定相同
（C）标准形相同但规范形不一定相同
（D）规范形和标准形都相同
5设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
13设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是__________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3为标准二次型．
15用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3一4x32为标准形．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A-1是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
27求A的全部特征值；
28当k为何值时，A+kE为正定矩阵?
29设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3为正定二次型，求t的范围．
30设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．
31用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3．
35求PTCP；
36证明：D—BA-1BT为正定矩阵．
32用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．
32二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2一8x1x3一4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22一4y32，求：
33常数a，b；
34正交变换的矩阵Q．
34设 为正定矩阵，令
20用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3一4x2x3为标准二次型．
20设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩为
பைடு நூலகம்21求a；
22用正交变换法化二次型为标准形．
22设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：