全国市级联考江苏省苏北三市连云港、徐州、宿迁2017届高三年级第三次调研考试数学试题

连云港市2017届高三年级模拟考试

数学Ⅰ

第Ⅰ卷（共70分）

一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)

1.已知集合}211{，，-=A ,}7,210{，，=B ,则集合B A 中元素的个数为 ．

2.设a ,R b ∈，

bi a i

i

+=-+11(i 为虚数单位)，则b 的值为 ． 3.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线13

42

2=-y x 的离心率是 ． 4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ．

5.如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ．

6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ．

7.已知实数x ，y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+≤-≤,2,3,1y x x x y 则x y 的取值范围是 ．

8.若函数)2sin(2)(ϕ+=x x f )2

0(π

ϕ<<的图象过点)3,0(，则函数)(x f 在],0[π上的单调减区间

是 ．

9.在公比为q 且各项均为正数的等比数列}{n a 中，n S 为}{n a 的前n 项和.若2

11q a =，且225+=S S ，则q 的值为 ．

10.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知31==AA AB ，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1ABA P -的体积为 ．

11.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数x y a log 31=，

x y a log 22=和)1(log 3>=a x y a 的图象上，则实数a 的值为 ．

12.已知对于任意的),5()1,(+∞-∞∈ x ，都有0)2(22

>+--a x a x ，则实数a 的取值范围是 ． 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：3)()2(2

2

=-++m y x .若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且

GO AB 2=，则实数m 的取值范围是 ．

14.已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3

π

=C ，2=c ，当•取得最

大值时，

a

b

的值为 ． 第Ⅱ卷（共90分）

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.如图，在ABC ∆中，已知点D 在边AB 上，DB AD 3=，54cos =A ，13

5

cos =∠ACB ，13=BC . （1）求B cos 的值； （2）求CD 的长.

16.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点P ，C ），平面ABE 与棱PD 交于点F . （1）求证：EF AB //；

（2）若平面⊥PAD 平面ABCD ，求证：EF AE ⊥.

17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：13

42

2=+y x 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）.

（1）若FP QF 2=，求直线l 的方程；

（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F ，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，且2

1

≥AD AB ，设θ=∠EOF ，透光区域的面积为S . （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边AB 的长度. 19. 已知两个无穷数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11=a ，42=S ，对任意的*

∈N n ，都有

n n n n a S S S ++=++2123.

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）若}{n b 为等差数列，对任意的*

∈N n ，都有n n T S >.证明：n n b a >；

（3）若}{n b 为等比数列，11a b =，22a b =，求满足)(22*∈=++N k a S b T a k n

n n

n 的n 值.

20. 已知函数)0(ln )(>+=

m x x x

m

x f ，2ln )(-=x x g . （1）当1=m 时，求函数)(x f 的单调区间；

（2）设函数2)()()(--=x xg x f x h ，0>x .若函数))((x h h y =的最小值是

2

2

3，求m 的值； （3）若函数)(x f ，)(x g 的定义域都是],1[e ，对于函数)(x f 的图象上的任意一点A ，在函数)(x g 的图象上都存在一点B ，使得OB OA ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点，求m 的取值范围. 21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，

若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上，若ADB ACN ∠=∠3，求ADB ∠的度数. B.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d a A 23，若⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4821A ，求矩阵A 的特征值.

C.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点)2

,2(π

A ，点

B 在直线l ：)20(0sin cos πθθρθρ≤≤=+上，当线段AB 最短时，

求点B 的极坐标. D.选修4-5：不等式选讲

已知a ，b ，c 为正实数，且2

22333c b a c b a =++，求证：333≥++c b a .

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，点)0,1(F ，直线1-=x 与动直线n y =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线n y =的交点为P .

（1）求动点P 的轨迹E 的方程；

（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AMB ∠的大小为定值.