高中数学导数题型总结

导数

经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 。

考点二：导数的几何意义。

例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =

+，则(1)(1)f f '+= 。

例3.曲线3

2

242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C ：x x x y 232

3

+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点

()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知()132

3

+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。

例6. 设函数3

2

()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值；

（2）若对于任意的[03]x ∈，

，都有2

()f x c <成立，求c 的取值围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()()

()a x x x f --=42

。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()

x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。

解析：（1）()a x ax x x f 442

3

+--=，∴ ()423'2

--=ax x x f 。

（2）()04231'=-+=-a f ，2

1=

∴a 。()()()14343'2

+-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3

4

=x ， 则()x f 和()x f '在区间[]

2,2-

()2

91=

-f ，275034-=⎪⎭⎫

⎝⎛f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为

275034-=⎪⎭

⎫

⎝⎛f ，最

小值为()2

9

1=

-f 。 答案：（1）()423'2

--=ax x x f ；（2）最大值为275034-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛f ，最小值为()2

91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数3

()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线

670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；

（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

解析： （1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即3

3

ax bx c ax bx c --+=---

∴0c =，∵2

'()3f x ax b =+的最小值为12-，∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为

1

6

，因此，'(1)36f a b =+=-，∴2a =，12b =-，0c =．

（2）3

()212f x x x =-。 2'()6126(f x x x x =-=，列表如下：

所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞，∵(1)10f -=，

f =-，(3)18f =，∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是

f =-

答案：（1）2a =，12b =-，0c =；（2）最大值是(3)18f =，最小值是f =- 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。

导数强化训练 （一） 选择题

1. 已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1

2

，则切点的横坐标为（ A ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2. 曲线132

3

+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为 （ B ）

A ．43-=x y

B ．23+-=x y

C ．34+-=x y

D ．54-=x y

3. 函数)1()1(2

-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ D ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4. 已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为 （ A ）

A ．)1(3)1()(2

-+-=x x x f

B ．)1(2)(-=x x f

C ．2)1(2)(-=x x f

D ．1)(-=x x f

5. 函数93)(23

-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ D ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

6. 函数3

2

()31f x x x =-+是减函数的区间为( D ) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2)

7. 若函数()c bx x x f ++=2的图象的顶点在第四象限，则函数()x f '的图象是（ A ）

8. 函数23

1

()23

f x x x

=-在区间[0,6]上的最大值是（ A ）

A ．

323

B ．

163

C ．12

D ．9

9. 函数x x y 33

-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为 （ A ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

10. 三次函数()x ax x f +=3

在()+∞∞-∈,x 是增函数，则 （ A ）

A ． 0>a

B ．0

C ．1=a

D ．3

1=

a 11. 在函数x x y 83

-=的图象上，其切线的倾斜角小于4

π

的点中，坐标为整数的点的个数是

（ D ） A ．3 B ．2

C ．1

D ．0

A x

D

C

x

B