1、3、2三角函数的诱导公式(五、六)解读
1.3.2三角函数的诱导公式第二课时
高一数学必修四导学案课题：1．3.2 第二课时 三角函数的诱导公式五、六班级：_______姓名：_____________小组：_______教师评价：__________【教学目标】1．理解诱导公式五、六的推导过程．2．掌握六组诱导公式并能灵活运用【重点难点】公式五、六记准并能灵活运用公式【导学过程】问题一：给定一个角α，角π2－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？问题二：怎样求π2＋α的正弦、余弦值呢？【课前自主梳理】1．诱导公式(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ (2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝. 2．公式五和公式六的文字概括π2±α的-----------函数值，分别等于α的---------函数值，前面加上一个把α看成--------时原函数值的符号．【互动探究】1.给值求值例 1 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan(π－α)＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34【合作探究】(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α 的值．（3）已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223 C ．－13D ．－223【互动探究】2.利用诱导公式化简、求值例 2 化简下列各式．(1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π·sin 3π＋α．【合作探究】(2018高考改编)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π.【重点附加】【合作探究】已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值． 【互动探究】3、三角函数的证明例 3 求证：tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.【重点附加】已知f (cos x )＝cos17x ，证明：f (sin x )＝sin17x .。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是店铺整理的三角函数的诱导公式知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
三角函数的诱导公式诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈ztan(2kπ+α)=tanα k∈zcot(2kπ+α)=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数图表式教材解读：第六节：三角函数的八组诱导公式
（2）已知 是第四象限角，且 ，则
练习题精选及点拨：
1．若A，B，C分别为△ABC的内角，则下列关系中正确的是()
A．sin(A＋B)＝sinCB．cos(B＋C)＝cosA
C．tan(A＋B)＝tanCD．sin(B＋C)＝－sinA
解析：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故选A.
则原式＝
＝
＝ ＝ ＝－1.
综上所述，原式＝－1.
《三角函数》图表式教ຫໍສະໝຸດ 解读第六节三角函数的八组诱导公式
1、不变名的诱导公式
如下图，根据角的意义， 的终边分别与角 的终边关于 轴，关于原点，关于 轴对称，在单位圆中，根据三角函数的定义，可以写出 的坐标，由对称点的坐标的关系得到三组不变名的诱导公式，
口诀记忆：函数名不变，符号看象限．
即 （也包括 ）的三角函数值，等于 的同名三角函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．
答案：A
2. 等于()
A．sin2－cos2B．sin2＋cos2
C．±(sin2－cos2)D．cos2－sin2
答案：A
3.已知tanα＝m，求 ．
解： ＝ ＝ ＝ .
答案：
4．化简： (k∈Z)．
解：当k为偶数时，不妨设k＝2n(n∈Z)，
则原式＝
＝
＝
＝ ＝－1；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
二、变名的诱导公式
根据角的意义， 的终边与 角的终边关于直线 对称，
的终边与 角的终边关于 轴对称，
的终边与 角的终边关于 轴对称，
的终边与 角的终边关于 轴对称，
根据三角函数的定义，可以写出上图中 的坐标，由对称点的坐标的关系得到四组变名的诱导公式:
《三角函数诱导公式五、六》
第2课时 诱导公式五、六(教师独具内容)课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题．教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用． 教学难点：诱导公式五、六的推导过程.【知识导学】知识点 诱导公式五、六【新知拓展】(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角π2－α与角α的终边关于y 轴对称．( )(2)由诱导公式五、六，能够推导出tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α与tan α的关系．( )(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－sin α.( )答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15D.25(2)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．－45 B.35 C.45D ．－35(3)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.答案 (1)C (2)A (3)－cos α题型一 利用诱导公式五、六求值 例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin (π＋α).[解] 原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.金版点睛诱导公式应用中需注意的问题诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．[跟踪训练1] 已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角． ①若α为第一象限角， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. 综上，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝32或－32.题型二 化简三角函数式 例2 化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α).[解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos αsin α－cos α＋sin α·(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.金版点睛用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于k π±α(k ∈Z )和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．[跟踪训练2] (1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值等于________；(2)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos (2π＋α).答案 (1)912 (2)见解析解析 (1)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝912.(2)因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α， 所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.题型三 利用诱导公式证明三角恒等式 例3 求证：tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1.[证明] ∵左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边．∴原式成立．金版点睛三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[跟踪训练3] 求证：cos (π－θ)cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋cos (2π－θ)cos (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝2sin 2θ.证明 ∵左边＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝右边．∴原式成立．1．已知sin40°＝a ，则cos50°等于( ) A ．±a B ．－a C ．a D.1－a 2答案 C解析 cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α的值为( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24 D.24 答案 A解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－223，则tan α＝－2 2.3．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.答案 2解析 由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以 原式＝－sin α＋(－cos α)＋cos α－2(－sin α)sin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________.答案 －725解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，∴cos θ<0，即θ是第二或第三象限角．∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，∴sin θ>0.即θ是第一或第二象限角．综上θ是第二象限角．2．在△ABC 中，下列四个关系中正确的有( ) ①sin(A ＋B )＝sin C ；②cos(A ＋B )＝sin C ； ③sin A ＋B 2＝sin C 2；④cos A ＋B 2＝sin C 2. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 C解析 因为△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，故①正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，故②错误；sin A ＋B 2＝sin π－C 2＝cos C2，故③错误；cos A ＋B 2＝cos π－C 2＝sin C2，故④正确．综上，①④正确．故选C.3．下列与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2的值相等的式子为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θB ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θD ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ答案 D解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos θ，对于A ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ；对于B ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ；对于C ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－sin θ；对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－cos θ.4．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案 C解析 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x ，故选C.5．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32mC.23mD.32m 答案 B解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .二、填空题6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.答案 0解析 原式＝sin(90°－α)－sin α＋cos(90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.7．已知α是第三象限角，且cos(85°＋α)＝45，则sin(α－95°)＝________. 答案 35解析 ∵α是第三象限角，cos(85°＋α)＝45>0， ∴85°＋α是第四象限角．∴sin(85°＋α)＝－35，sin(α－95°)＝sin[(85°＋α)－180°]＝－sin[180°－(85°＋α)]＝－sin(85°＋α)＝35.8．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C＝________.答案 π2解析 ∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33，∴A ＝π6.又cos A ＝－3cos(π－B )， ∴cos A ＝3cos B ，即32＝3cos B ， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3， ∴C ＝π－π6－π3＝π2. 三、解答题9．求证：tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos (6π－α)tan (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝1. 证明 左边＝tan (－α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (－α)(－tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α(－tan α)(－cos α)sin α＝1＝右边． ∴原式成立． 10．若sin α＝55，求cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．解 cos (3π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－αcos (3π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋(π－α)]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α， 因为sin α＝55，所以2sin 2α＝10，即原式＝10.B 级：“四能”提升训练1．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值． 解 原式＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin αcos α·tan 2α ＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α.方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故原式＝－tan 2α＝－916.2．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件， 则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，由②，得cos β＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，但不适合①式，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
1.3.2三角函数的诱导公式(五、六)
1.3三角函数的诱导公式(五、六)一、学习目标：（1）借助单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式（五、六）（2）综合运用公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数并能解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。
2、教学重难点：诱导公式（五、六）的推导及三角函数求值、化简和恒等式证明二、教学内容分析〖 温故知新〗 直接写出下列三角函数值（1）sin 43π=_______ （2）cos 74π=_______ （3）tan （-1140°）=_______ 操作并思考：在单位圆中任意画出一个任意角α与2π-α的终边。
终边与单位圆的交点分别为（x,y ）与（y,x ）由任意角的三角函数定义可知：cos x= siny=cos （2π-α）= sin （2π-α）= 由此可知sin α与sin （2π-α）以及sin α与cos （2π-α）的值有何关系？ 公式五：（1）___________________________（2）____________________________（3）___________________________2、讨论：利用公式二和公式五研究sin （2π+α）与cos （2π+α）的值与sin α以及 cos α的关系？公式六：（1）___________________________（2）____________________________（3）___________________________例1、求证：sin （32π-α）=-cos α cos （32π-α）=-sin α练习：sin （32π+α）=_____________ cos （32π+α）=_____________ 例2〖 反思·小结〗（1）六个公式都可以化为2πk±α的形式，可以总结为一句话概括记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值。
三角函数的诱导公式五六
求证: 求证
例4
分层训练
必做题：Ｐ 必做题：Ｐ23 ：Ｐ 练习 3 4
8 = 思考题 ：设 tan(α + π） a 7 求证: 15 求证 13 sin( π + α） 3 cos(α − π ) + a+3 7 7 = 20 22 a +1 sin( π − α） cos(α + π ) − 7 7
y
角α的终 边 的终
Ｐ M’ Ｍ o
y = x
x Ｐ’ 角β的终 边 的终
由上述探究,可得 由上述探究 可得 (公式五 公式五) 公式五
sin( − α） cosα = 2
利用公式二和公式五,可得 利用公式二和公式五 可得
π
cos( − α） sinα = 2
π
sin( + α） sin( − ( −α )) = cos( −α ) = cosα = 2 2 π π cos( + α） cos( − ( −α )) = sin( −α ) = −sinα = 2 2
１．２．3三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式
学习目标
推导出诱导公式五及公式六 能熟练掌握诱导公式一至六， 能熟练掌握诱导公式一至六，并运用它们求任 意角的三角函数值，并能应用， 意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三 角函数式的化简及论证。 角函数式的化简及论证。
自学指导
诱导公式五及公式六是如何推导的？ 诱导公式五及公式六是如何推导的？ 你能找出诱导公式一至六的记忆方法吗? 你能找出诱导公式一至六的记忆方法吗
作业：Ｐ 习题1.2 15 作业：Ｐ24 习题 ：Ｐ
故有
π
π
sin( + α） cosα = 2
1.3.2诱导公式五、六
检测巩固
1已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，证明：sin＝cos.
2求证：＋＝.
3若f(cosx)＝3－sin2x，则f(sinx)＝()
A．3－cos2xB．3－sin2xC．3＋cos2xD．3＋sin2x
评ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提升
年级
高一
学科
数学
课题
1.3.2诱导公式五、六
编制人
谭金国
审定人
高一数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升
1.理解和掌握诱导公式五、六的内涵及结构特征，掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法．
2．会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.
自学质疑
1．对任意角α，－α与α的终边必
2．诱导公式五：；
诱导公式六：
3．由诱导公式可进一步推知
(1)sin＝，cos＝；
(2)sin＝，cos＝.
讨论领悟
1．你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
2．如何记忆诱导公式五、六？
展示分享
[例1]计算：
[例2]化简：
[例3](1)已知函数f(x)满足f(cosx)＝cos2x，求f(sin15°)的值；
高中三角函数诱导公式知识点总结
高中三角函数诱导公式知识点总结高中数学中，三角函数是非常重要的一部分。
在三角函数的学习中，诱导公式是一个非常重要的知识点。
通过学习诱导公式可以方便地求解各种三角函数的值，从而提高解题效率。
本文将对高中三角函数诱导公式的知识点进行总结。
一、诱导公式的基本概念1. 诱导公式的定义三角函数的诱导公式是指，用角度的倍角、半角等关系式，把一个三角函数表示成同一函数的其他角的三角函数的形式。
2. 诱导公式的意义在三角函数的求解中，有时候需要把一个角的三角函数转化成另一个角的三角函数，此时可以使用诱导公式。
通过诱导公式，可以把一个角的三角函数转化成同一函数的其他角的三角函数的形式，从而更方便求解。
二、诱导公式的具体形式下面我们将对三角函数的诱导公式进行分类介绍。
1. 倍角公式（1）正弦函数的倍角公式sin 2a = 2sin a cos a证明：sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a （2）余弦函数的倍角公式cos 2a = cos² a - sin² a证明：cos 2a = cos(a + a) = cos² a - sin² a（3）正切函数的倍角公式tan 2a = 2tan a / (1 - tan² a)证明：tan 2a = (2tan a) / (1 - tan² a)2. 半角公式（1）正弦函数的半角公式sin (a/2) = ±√[(1 - cos a)/2]证明：根据正弦函数的平方展开式，有sin² a = (1 - cos 2a) / 2当a=2t 时，有sin² t = (1 - cos 2t) / 2即，sin t = ±√[(1 - cos 2t) / 2]将t=a/2 代入上式，即可得到正弦函数的半角公式。
必修四1-3-2三角寒素诱导公式五、六
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 已知 sin
π ＋α＝ 6
π 3 ，求 cos 3－α的值． 3
π π π π π π 解 ∵ ＋α＋ －α＝ ，∴ －α＝ －6＋α. 6 3 2 3 2
∴cos ＝sin
π －α＝cos 3 π ＋α＝ 6
活页规范训练
自学导引 1．诱导公式五、六 公式五：sin 公式六：sin
π －α＝ cos 2 π ＋α＝ cos 2
α ，cos α ，cos
π －α＝ sin 2
α ；
π ＋α＝ －sin 2
α
.
公式五和公式六可以概括如下： π α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前 2± 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
α.
[ 思路探索 ] 解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行 化简推出右边．
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证明
tan －α· －sin α· cos －α 左边＝ π π sin 2π－2－α· cos2π－2－α
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2．六组诱导公式的记忆 (1)公式一～六形式虽然有所不同，但其作用是一样的，都能起 到化简、求值的作用． π (2)六组诱导公式可以统一概括为“k·± α(k∈Z)”的形式．当 k 2 为偶数时，得 α 的同名函数值；当 k 为奇数时，得 α 的异名函 数值，然后前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号． π (3)诱导公式统一成“k· α(k∈Z)”后，记忆口诀可记为“奇变 2± 偶不变，符号看象限”．
《诱导公式五、六》三角函数
诱导公式五、六的作用
诱导公式五、六是三角函数计算中的重要工具，它们可以帮 助我们将任意角度的正弦和余弦值转化为已知的角度。
在三角函数的应用中，例如在物理学、工程学、几何学等领 域，诱导公式五、六被广泛使用来解决各种问题。
02
诱导公式五、六在三角函 数中的应用
利用诱导公式五、六化简三角函数式
总结词
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导 公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全 正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个 口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问 题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差 倍角公式来解决。
《诱导公式五、六》三角函 数
2023-11-06
目录
• 诱导公式五、六的介绍 • 诱导公式五、六在三角函数中的应用 • 诱导公式五、六在实际问题中的应用 • 诱导公式五、六的扩展知识
01
诱导公式五、六的介绍
诱导公式五、六的来源
诱导公式五、六是三角函数中重要的恒等式，它们来源于三角函数的周期性和对 称性。
如何记忆诱导公式五、六
总结规律：诱导公式五、六属于三角函数的诱导公式之 一，其记忆规律可总结为“奇变偶不变，符号看象限” 。其中“奇变偶不变”指对于形如$90^\circ + a$或 $270^\circ - a$的角，在诱导公式中可直接把角看作 锐角或钝角，也可以把角看作是$90^\circ$的整数倍 加上一个任意角，此时奇变偶不变；“符号看象限”指 在把角看作锐角或钝角时，需要记忆一些特殊角的三角 函数值，以便在计算时能够快速判断正负号。
2020高中数学 第一章 三角函数 1..2 诱导公式(五)～(六)练习(含解析)4
第8课时诱导公式（五）、(六）1．已知cos（75°＋α）＝3，则sin(α－15°）＋cos(105°－α）的值是( )A．13B．错误!C．－错误!D．－错误!答案D解析sin(α－15°）＋cos（105°－α）＝sin［(75°＋α）－90°]＋cos[180°－（75°＋α）]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos（75°＋α）＝－cos（75°＋α）－cos（75°＋α)＝－2cos（75°＋α)＝－错误!．2．若sin（π＋α)＝错误!，且α是第三象限角，则错误!＝( )A．1 B．7 C．－7 D．－1答案B解析由sin（π＋α)＝错误!，则sinα＝－错误!．又α是第三象限角，所以cosα＝－错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝7，故选B．3．已知sinα－错误!＝错误!,则cos错误!＋α的值等于（)A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案D解析∵错误!＋α－α－错误!＝错误!,∴cos错误!＋α＝cos错误!＋α－错误!＝－sinα－错误!＝－错误!．故选D．4．已知cos错误!＋α＝2sinα－错误!，则错误!＝________．答案错误!解析∵cos π2＋α＝2sinα－错误!，∴sinα＝2cosα．原式＝错误!＝错误!＝错误!．5．已知cos错误!＋α＝错误!，且－π<α〈－错误!，则cos错误!－α＝________．答案－错误!解析因为－π〈α<－错误!，所以－错误!〈错误!＋α〈－错误!．又cos错误!＋α＝错误!>0，所以sin错误!＋α＝－错误!＝－错误!，由错误!－α＋错误!＋α＝错误!，得cos错误!－α＝cos错误!＝sin错误!＋α＝－错误!．6．设f(α）＝错误!,求f－错误!的值．解∵f(α)＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴f－错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．7求错误!的值．解∵角α的终边经过点P（－4，3），∴tanα＝－错误!，∴错误!＝错误!＝tanα＝－错误!．8．已知sin－错误!－α·cos－错误!－α＝错误!，且错误!<α<错误!,求sinα与cosα的值．解sin－错误!－α＝－cosα,cos－错误!－α＝cos2π＋错误!＋α＝－sinα．∴sinα·cosα＝错误!,即2sinα·cosα＝错误!．①又∵sin2α＋cos2α＝1，②由①＋②得（sinα＋cosα)2＝289 169,由②－①得(sinα－cosα)2＝错误!．又∵α∈错误!，错误!，∴sinα>cosα〉0，即sinα＋cosα>0,sinα－cosα>0，∴sinα＋cosα＝错误!，③sinα－cosα＝错误!,④由③＋④得sinα＝错误!，由③－④得cosα＝错误!．9．已知f(α）＝错误!．（1）化简f（α）；(2）若角A 是△ABC 的内角，且f (A ）＝错误!，求tan A －sin A 的值． 解 （1）f （α)＝错误!＝cos α．（2)由(1）知，cos A ＝35，因为A 是△ABC 的内角，所以0<A <π．所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin Acos A ＝错误!，所以tan A －sin A ＝43－错误!＝错误!．一、选择题1．如果｜sinα|＝错误!，且α是第二象限角，那么sinα－错误!＝（）A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!答案D解析∵α是第二象限角,∴sinα＝错误!，∴sin错误!＝－sin错误!＝－cosα＝1－sin2α＝错误!，故选D．2．已知cos错误!＋α＝－错误!，且α是第四象限角,则cos(－3π＋α)( )A．错误!B．－错误!C．±错误!D．错误!答案B解析∵cos错误!＋α＝－错误!，∴sinα＝－错误!，∴cos(－3π＋α）＝－cosα＝－错误!＝－错误!．3．设α是第二象限角,且cos α2＝－错误!，则错误!是( ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 α是第二象限角，错误!是第一或第三象限角．－错误!＝－错误!＝－错误!＝cos 错误!,∴错误!为第三象限角．4．已知cos θ－错误!＝错误!,且sin θ－cos θ>1，则sin θ－错误!sin(π－θ）＝( ）A ．－错误!B ．－错误!C ．－错误!D ．错误!答案 A解析 由sin θ－cos θ〉1，可知cos θ〈0．由cos θ－错误!＝错误!,得sin θ＝错误!，∴cosθ＝－错误!，∴sinθ－错误!sin(π－θ)＝cosθsinθ＝－错误!，故选A．5．已知f(x）＝sin x，下列式子成立的是( )A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x）＝sin xC．fx－错误!＝－cos x D．f(π－x）＝－f（x)答案C解析f（x＋π)＝sin(x＋π）＝－sin x;f（2π－x)＝sin（2π－x）＝sin(－x)＝－sin x；fx－错误!＝sin x－错误!＝－sin错误!－x＝－cos x；f（π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x）．二、填空题6．已知函数f（x）＝2cos错误!，若cosθ＝错误!，θ∈错误!，则f错误!＝________．答案－错误!解析f错误!＝错误!cos错误!＝错误!cosθ－错误!＝错误!cos错误!＝错误!sinθ．由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0，故sinθ＝－错误!＝－错误!,f错误!＝错误!sinθ＝错误!×错误!＝－错误!．7．已知α为锐角,且2tan（π－α）－3cos错误!＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是________．答案错误!解析由条件知错误!解得tanα＝3，又α为锐角，tanα＝错误!＝错误!＝3．解得sinα＝错误!．8．在△ABC中，sin错误!＝sin错误!,则△ABC的形状是________．答案等腰三角形解析∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．又∵sin错误!＝sin错误!，∴sin错误!＝sin错误!．∴sin错误!＝sin错误!．∴cos C＝cos B．又∵B，C为△ABC的内角,∴C＝B．∴△ABC为等腰三角形．三、解答题9．已知cos(15°＋α）＝错误!，α为锐角，求tan435°－α＋sinα－165°cos195°＋α·sin105°＋α的值．解原式＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!．因为α为锐角，所以15°〈α＋15°〈105°．又cos(15°＋α)＝错误!,所以sin（15°＋α)＝错误!，故原式＝－错误!＋错误!＝错误!．10．化简：sin错误!π－α＋cos错误!π－α(k∈Z）．解原式＝sin kπ－错误!＋α＋cos kπ＋错误!－α．当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z）,则原式＝sin(2n＋1)π－错误!＋α＋cos（2n＋1)π＋错误!－α＝sin错误!＋cos错误!＝sin错误!＋α＋－cos错误!－α＝sin错误!＋α－cos错误!－错误!＋α＝sin错误!＋α－sin错误!＋α＝0；当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z）,则原式＝sin错误!＋cos错误!＝－sin错误!＋α＋cos错误!－α＝－sin错误!＋α＋cos错误!－错误!＋α＝－sin错误!＋α＋sin错误!＋α＝0．综上所述，原式＝0．。
三角函数的诱导公式五、六
(2)ssiinn52απ－＋32απ··csions372ππ＋－αα. 【思路探索】 对于(1)注意到 1°＋89°＝2°＋88°＝…＝90°，
利用诱导公式求解；对于(2)需利用诱导公式转化为 α 的三角函数
再求解．
【解】 (1)∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，… ∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋ sin246°) ＋ sin245°＝ (sin21°＋ cos21°) ＋ (sin22°＋ cos22°) ＋ … ＋ (sin244°＋cos244°)＋sin245°＝1＋1＋…＋ 1＋12＝829. (2)原式＝－sinsiπ2n＋32πα－coαs32－π－sinαα ＝ccoossαα··－－ssiinnαα＝1.
(2)已知 sin6π－α＝45，求 cos56π＋α·sin3π＋α的值． 【思路探索】 要注意求值式子中的角与已知角的关系：56π ＋α＝π－π6－α，π6－α＋3π＋α＝π2，再利用诱导公式求解．
【解】 ∵cos56π＋α＝cosπ－π6－α ＝－cos6π－α， 又 sinπ3＋α＝sinπ2－6π－α＝cosπ6－α， ∴cos56π＋αsinπ3＋α＝－cos2π6－α ＝－1－sin2π6－α＝－1－1265 ＝－295.
D．－2 3 2
解析：sin51π2＋θ＝sinπ2－1π2＋θ＝
sinπ2－1π2－θ＝cos1π2－θ＝13.
答案：A
题型 2
利用诱导公式化简、求值源自例 2 化简下列各式． (1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°；
问题二：怎样求π2＋α 的正弦、余弦值呢？ 答：sinπ2＋α＝sinπ－2π－α ＝sinπ2－α＝cosα， cos2π＋α＝cosπ－π2－α ＝－cos2π－α＝－sinα， 于是，sinπ2＋α＝cosα， cos2π＋α＝－sinα.
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
高1数学-三角函数-诱导公式
高一数学诱导公式知识点1.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.2.诱导公式的记忆2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．3.诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 4.诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．题型一 给角求值【例1】求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]．【过关练习】1.求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)．2.sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.323.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A ．－1＋32B.1－32C.3－12 D.3＋12题型二 给值求值问题【例1】已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值．【过关练习】1.已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.253.若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－324.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．5.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值．题型三 三角函数式的化简【例1】化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【过关练习】1.化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).2.化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).题型四 利用诱导公式证明恒等式【例1】求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.【过关练习】1.求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.题型五 诱导公式的综合应用【例1】已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【过关练习】1.已知角α终边经过点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．2.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .【补救练习】1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－122.若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－323.化简下列各式．(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．4.已知sin(π＋α)＝－13.计算： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．1.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．22.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 3.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对4.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－136.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2237.已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .1.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 22.已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D.3 3.式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ . 4.若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．5.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．。
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(二)诱导公式五六教案
３ 三角函数的诱导公式（二）诱导公式五六一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,22ππαα-+与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。
教学目的：引导学生如何利用终边上点的坐标探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。
二、教学过程 １．理解,22ππαα-+与α的正弦、余弦、正切值的关系 ①2πα-与α终边的对称性；②观察终边与单位圆交点坐标关系； ③得出2πα-与α的关系式。
④πα+与α的关系式由推导得出。
④总结：2α±的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
⑤推论：总结：2α±的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
２．利用诱导公式一五六七八求值、化简例 已知33)6sin(=+απ，求)3cos(απ-的值。
33 例 11sin(2)cos()cos()29cos()sin(3)sin()sin()2ππαπααππαπαπαα-+-----+＝ ；1cos α 三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子 １．化简：sin(2)cos()55cos()sin()22παπαπαπα--=+-；１ ２．已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπ++--=x f ，求)331(πf 的值．21 ３．已知θθcos ,sin 是关于x 的方程02=+-a ax x 的两根， （１）求)2(sin )2(cos 33θπθπ++-的值；22- （２）求θθπtan 1)tan(--的值．12+ ４．已知α是第三象限角，且)sin()tan()23tan()2cos()sin()(απαπαπαπαπα-------=f ， （１）化简)(αf ；αcos - （２）若51)23cos(=-πα，求)(αf 的值；552 （３）若︒-=1920α，求)(αf ．21 五、课后作业 同步练习１．在ABC ∆中，已知512cos =+B A ，则2cos C （ Ｃ ） Ａ．51- Ｂ．51 Ｃ．562Ｄ．5- ２．已知31)2sin(=+πα，)0,2(πα-∈，则αtan 等于（ Ａ ） Ａ．22- Ｂ．22 Ｃ．42-Ｄ．42３．若73)2sin(=+θπ，则=-)2(cos 2θπ 4940 ． ４．设a =+)78tan(πα，则1513sin()3cos()772022sin()cos()77ππααππαα++-=--+ 13++a a ． ５．已知552sin =α，求)25cos()25sin()tan(απαππα-+++的值．25± ６．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆对应三个内角的正弦值． （１）111A B C ∆是锐角三角形吗？是（２）试借助诱导公式证明222A B C ∆必有一个内角为钝角．（用反证法） ７．已知)2cos(|)2cos(|απαπ+=-，求角α的取值集合． },222|{Z k k k ∈+≤≤+ππαππα。
1、3、2三角函数的诱导公式(五、六)
[学习重点]：公式五、六.[学习难点]：会运用公式一到六解决简单的三角函数求值、化简问题.<定向诱导>:见学习目标1、2.<自学探究>：阅读教材26—27页内容，回答问题<1>终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系.<2>理解并写出诱导公式五.<3>请你利用π/2+α=π-(π/2-α)，由公式四及公式五写出诱导公式六.结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x,y）,由于角π/2-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π/2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于的坐标是（y,x）.直线y=x对称，因此点P2结论：根据问题<1>，我们有：sinα=y，cosα=x，tanα=y/x；sin(π/2-α)=x,cos(π/2-α)=y，tan(π/2-α)=x/y.从而得到诱导公式五：cos(π/2-α)= sinα，sin(π/2-α)= cosα，tan(π/2-α)=cotα.结论：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sinα，tan(π/2+α)=-cotα.公式一到六可以用一下十个字来概括奇变偶不变，符号看象限<反馈总结>：<当堂训练>：练习一：教材例3、例4；练习二：教材4、5、6、7.<课后作业>：1、必做题：习题1.3B组2；2、选做题：总结本节公式并形成文字到作业本上.<教学反思>：[学习重点]：公式五、六.[学习难点]：会运用公式一到六解决简单的三角函数求值、化简问题.<定向诱导>:见学习目标1、2.<自学探究>：阅读教材26—27页内容，回答问题<1>终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系.<2>理解并写出诱导公式五.<3>请你利用π/2+α=π-(π/2-α)，由公式四及公式五写出诱导公式六.公式一到六可以用一下十个字来概括奇变偶不变，符号看象限<反馈总结>：<当堂训练>：练习一：教材例3、例4；练习二：教材4、5、6、7.<课后作业>：1、必做题：习题1.3B组2；2、选做题：总结本节公式并形成文字到作业本上.。
三角函数 诱导公式 公式五和公式六
12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
13
[思路点拨]
(1)
34
当堂达标 固双基
35
1．思考辨析
(1)公式五和公式六中的角 α 一定是锐角．( )
(2)在△ABC 中，sinA＋2 B＝cosC2.(
)
(3)sinπ2＋α＝sinπ2－－α＝cos(－α)＝cos α.(
)
[提示] (1)错误．公式五和公式六中的角 α 可以是任意角．
(2)正确．因为A＋2 B＋C2＝π2，由公式五可知 sinA＋2 B＝cosC2.
31
即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
32
1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
26
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－35.
又α是第三象限角， 所以cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinc－osαπ2－－32απscinosπ2＋32πα－ α·tan2(π－α)
27
＝sinπ2s－inααccoossπ2α＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α ＝－tan2α＝－196.
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1 1、3、2三角函数的诱导公式（五、六）
讲义编写者：数学教师孟凡洲
前面我们学习了诱导公式一、二、三、四，本节课来学习诱导公式五、六.
一、【学习目标】
1、理解公式五、六；
2、熟记公式一到六，并能熟练应用.
二、【自学内容和要求及自学过程】
阅读教材26—27页内容，回答问题
<1>终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角有何数量关系.
结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点
P 1的坐标为（x,y ）,由于角π/2-α的终边与角α的终边关
于直线y=x 对称，角π/2-α的终边与单位圆的交点P 2与
点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是（y,x ）.
<2>理解并写出诱导公式五.
结论：根据问题<1>，我们有：sin α=y ，cos α=x ，tan α=y/x ；sin(π/2-α)=x,cos(π/2-α)=y ，tan(π/2-α)=x/y.从而得到诱导公式五：cos(π/2-α)= sin α，sin(π/2-α)= cos α，tan(π/2-α)=cot α.
<3>请你利用π/2+α=π-(π/2-α)，由公式四及公式五写出诱导公式六. 结论：sin(π/2+α)=cos α，cos(π/2+α)=-sin α，tan(π/2+α)=-cot α. 公式一—六可以用一下十个字来概括
奇变偶不变，符号看象限
三、【综合练习与思考探索】
练习一：教材例3、例4；
练习二：教材4、5、6、7.
四、【作业】
1、必做题：习题1.3B 组2；
2、选做题：总结本节公式并形成文字到作业本上.
五、【小结】
本节主要学习了公式五、六，要求学生能掌握并理解.
六、【教学反思】
要求学生能在理解的基础上学习.。