数学模型第四版(姜启源)作业对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：

对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：

（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数

量1+k x 和k x 决定。如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并

与6.4的结果进行比较。

（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和

1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。

解：（1）

设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为：

)2

(11k k k x x f y +=++ 则 0),2

(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k

消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ，k=1,2,….

该方程的特征方程为

022=++αβαβλλ

与6.4节中 )2

(11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0<αβ<2, 即为0p 点的稳定条件。

（2）设 )2

(11k k k x x f y +=++ )2

(11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2

(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2

(0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y,得到 0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ

该方程的特征方程为

0242

3=+++αβαβλαβλλ 令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程

0a 2ax ax 4x 2

3=+++ 的根

在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ：

syms x a

solve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x) 解得 1x = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a -

27))^(1/2))^(1/3))；

2x = -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a -

27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i +

(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3) +

a^2)/(24*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))； 3x =-(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a -

27))^(1/2))^(1/3) + 3^(1/2)*a*24*i + 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a - 3^(1/2)*a^2*i + (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3) +

a^2)/(24*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))； 其中1x 为实根，2x 与3x 为一对共轭虚根。

①x 为虚根时：

易知|3,2x |2=2x *2x =3x *3x ,

在matlab 中输入代码：

f=x2*conj(x2) %求特征根模长的平方 可得|3,2x |2=f=(a/12 - (3^(1/2)*((- a^2/144 + a/6)/(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3) + (((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))*i)/2 - (- a^2/144 + a/6)/(2*(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)) + (((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)/2)*(conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))/2 + conj(a)/12 - (conj(a)/6 - conj(a)^2/144)/(2*conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3))) + (3^(1/2)*(conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)) + (conj(a)/6 - conj(a)^2/144)/conj((((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 -

a^3/1728)^(1/3)))*i)/2);

是关于a 的函数

建立fun.m 文件：

function f=fun(a)

f=(a/12 - (3^(1/2)*((- a^2/144 + a/6)/(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3) + (((- a^2/144 + a/6)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 -

a^3/1728)^(1/3))*i)/2 - (- a^2/144 + a/6)/(2*(((a/6 - a^2/144)^3 + (a^3/1728 - a^2/48 + a/8)^2)^(1/2) - a/8 + a^2/48 - a^3/1728)^(1/3)) +