高中数学概率知识点及例题自己整理

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概率初步例题和知识点总结

概率初步例题和知识点总结

概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下,重复进行试验,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近,那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率,记作 P(A) = p。

概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

例如,抛一枚均匀的硬币,正面朝上和反面朝上的概率都是 05。

二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1:任何事件的概率都在 0 到 1 之间,0 表示不可能发生,1 表示必然发生。

2、P(Ω) = 1:必然事件的概率为 1,其中Ω 表示样本空间,即所有可能结果的集合。

3、 P(∅)= 0:不可能事件的概率为 0,∅表示空集。

4、如果事件 A 与事件 B 互斥(即 A 和 B 不能同时发生),那么P(A∪B) = P(A) + P(B)。

三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型,具有以下两个特点:1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

2、每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型的概率计算公式为:P(A) = A 包含的基本事件个数/基本事件的总数。

例如,一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球,从中随机取出一个球,求取出红球的概率。

基本事件的总数为 5(3 个红球+ 2 个白球),取出红球包含的基本事件个数为 3,所以取出红球的概率为 3/5。

四、例题解析例 1:掷一枚质地均匀的骰子,求点数为奇数的概率。

解:掷一枚骰子,出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能,其中奇数有 1、3、5 共 3 种。

所以点数为奇数的概率为 3/6 = 1/2。

例 2:从 1、2、3、4 这 4 个数字中,任意取出两个数字,求取出的两个数字都是奇数的概率。

解:从4 个数字中任意取出两个数字,共有6 种可能的结果:(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)。

其中两个数字都是奇数的结果有(1,3),共 1 种。

所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。

高中数学基础题型练习—《概率》

高中数学基础题型练习—《概率》

《数学》必会基础题型——《概率》【知识点1】基本概念确定性现象:在一定条件下,事先就能断定发生或者不发生某种结果。

随机现象:在一定条件下,某种现象可能发生,也可能不发生,事先不能断定出现哪种结果的现象。

试验:对于某个现象,如果能让其条件实现一次,就是进行了一次试验。

事件:试验的每一种可能的结果,都是一个事件。

必然事件:在一定条件下必然发生的事件。

不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。

随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

用,,A B C 等大写英文字母表示随机事件,简称为事件。

概率:一般地,如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次,当试验的次数n 很大时,我们可以将发生的频率m n作为事件A 发生的概率的近似值,即()m P A n ≈。

概率的性质:①随机事件的概率为0()1P A ≤≤。

②必然事件用Ω表示,不可能事件用φ表示,必然事件的概率为1,即()1=ΩP ;不可能事件的概率为0,即()0=φP 。

③概率为1的事件不一定为必然事件,概率为0的事件不一定为不可能事件。

【必会题型】1.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:①某地明年1月1日刮西北风;②当x R ∈时,20x ≥;③手电筒的电池没电,灯泡发亮;④某电影院某天的上座率超过50%; ⑤某人开车通过10个路口都将遇到绿灯;⑥将一枚硬币抛掷4次出现两次正面和两次反面;⑦某校高一学生中男生比女生多;⑧一粒花籽,播种后发芽;⑨函数()1y k x =+的图象过点()1,0-;⑩若a 为实数,则0a ≥。

2.下列说法不正确的说法是( )①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5,那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上; ②若某种彩票的中奖概率为110,则买1000张这种彩票一定能中奖; ③在乒乓球、排球等比赛中,裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球,这样做不公平;④一个骰子掷一次得到2的概率是61,这说明一个骰子掷6次会出现一次2。

【高考数学】概率典型例题整合

【高考数学】概率典型例题整合

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结十一、概率1.随机事件A 的概率0()1P A ≤≤,其中当()1P A =时称为必然事件;当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0;2.等可能事件的概率(古典概率): P(A)=nm 。

理解这里m 、n的意义。

如(1)将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______(答:38);(2)设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率:①从中任取2件都是次品;②从中任取5件恰有2件次品;③从中有放回地任取3件至少有2件次品;④从中依次取5件恰有2件次品。

(答:①215;②1021;③44125;④1021) 3、互斥事件:(A 、B 互斥,即事件A 、B 不可能同时发生)。

计算公式:P (A +B )=P (A )+P (B )。

如(1)有A 、B 两个口袋,A 袋中有4个白球和2个黑球,B 袋中有3个白球和4个黑球,从A 、B 袋中各取两个球交换后,求A 袋中仍装有4个白球的概率。

(答:821);(2)甲、乙两个人轮流射击,先命中者为胜,最多各打5发,已知他们的命中率分别为0.3和0.4,甲先射,则甲获胜的概率是(0.425=0.013,结果保留两位小数)______(答:0.51);(3)有一个公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一时刻,有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P (n ),且P (n )与时刻t 无关,统计得到 ()()10,1520,6nP n P n n ⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩,那么在某一时刻,这个公用电话亭里一个人也没有的概率P (0)的值是 (答:3263) 4、对立事件:(A 、B 对立,即事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一个发生)。

计算公式是:P (A )+ P(B)=1;P (A )=1-P (A );5、独立事件:(事件A 、B 的发生相互独立,互不影响)P(A •B)=P(A) • P(B) 。

必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习:

必修3第三章-概率-知识点总结和强化练习:

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念:(1)必然事件:在条件S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件;(4)随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件;(5)频数与频率:在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数;称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率:对于给定的随机事件A ,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率。

(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念:(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若A ∩B 为不可能事件,即A ∩B=ф,那么称事件A 与事件B 互斥;(3)若A ∩B 为不可能事件,A ∪B 为必然事件,那么称事件A 与事件B 互为对立事件;(4)当事件A 与B 互斥时,满足加法公式:P(A ∪B)= P(A)+ P(B);若事件A 与B 为对立事件,则A ∪B 为必然事件,所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质:1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1; 2)当事件A 与B 互斥时,满足加法公式:P(A ∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件A 与B 为对立事件,则A ∪B 为必然事件,所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A 发生且事件B 不发生;(2)事件A 不发生且事件B 发生;(3)事件A 与事件B 同时不发生,而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A 发生B 不发生;(2)事件B 发生事件A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

(精选试题附答案)高中数学第十章概率知识点总结全面整理

(精选试题附答案)高中数学第十章概率知识点总结全面整理

(名师选题)(精选试题附答案)高中数学第十章概率知识点总结全面整理单选题1、若随机事件A,B 满足P (AB )=16,P (A )=23,P (B )=14,则事件A 与B 的关系是( ) A .互斥B .相互独立C .互为对立D .互斥且独立 答案:B分析:利用独立事件,互斥事件和对立事件的定义判断即可 解:因为P (A )=23, P (B )=14,又因为P (AB )=16≠0,所以有P (AB )=P (A )P (B ),所以事件A 与B 相互独立,不互斥也不对立故选:B.2、龙马负图、神龟载书图像如图甲所示,数千年来被认为是中华传统文化的源头;其中洛书有云,神龟出于洛水,甲壳上的图像如图乙所示,其结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数;若从阳数中随机抽取2个,则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为( )A .25B .12C .310D .35 答案:A解析:利用古典概型的概率进行列举所有情况,然后即可求解依题意,阳数为1、3、5、7、9,故所有的情况为(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9),共10种,其中满足条件的为(3,9),(5,7),(5,9),(7,9),共4种,故所求概率P =410=25 故选A .小提示:关键点睛:利用古典概型的概率进行求解,主要考查考生数学建模、数学运算、逻辑推理等能力,属于基础题3、2020年1月,教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”),明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34,那么三人中恰有两人通过的概率为( ) A .2180B .2780C .3380D .2740 答案:C分析:根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件A,B,C ,显然A,B,C 为相互独立事件, 则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC +ABC +ABC ,且ABC,ABC,ABC 互斥,∴所求概率P(ABC +ABC +ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P (B )P (C )+P (A )P(B)P (C )+P (A )P (B )P(C) =15×34×34+45×14×34+45×34×14=3380.故选:C.4、某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) A .62%B .56% C .46%D .42% 答案:C分析:记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B,然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+ B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B,则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A+B)=0.96,所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选:C.小提示:本题考查了积事件的概率公式,属于基础题.5、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,若事件A=“向上的点数为3”,B=“向上的点数为6”,C=“向上的点数为3或6”,则有()A.A⊆B B.C⊆B C.A∩B=C D.A∪B=C答案:D分析:根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误,即可得出正确选项对于A:事件A=“向上的点数为3”发生,事件B=“向上的点数为6”一定不发生,故选项A不正确;对于B:事件C=“向上的点数为3或6”发生,事件B=“向上的点数为6”不一定发生,但事件B=“向上的点数为6”发生,事件C=“向上的点数为3或6”一定发生,所以B⊆C,故选项B不正确;对于C:事件A和事件B不能同时发生,A∩B=∅,故选项C不正确;对于D:事件A=“向上的点数为3”或事件B=“向上的点数为6”发生,则事件C=“向上的点数为3或6”发生,故选项D正确;故选:D6、生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .15答案:B分析:本题首先用列举法写出所有基本事件,从中确定符合条件的基本事件数,应用古典概率的计算公式求解. 设其中做过测试的3只兔子为a,b,c ,剩余的2只为A,B ,则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种.其中恰有2只做过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B}, {b,c,A},{b,c,B}共6种, 所以恰有2只做过测试的概率为610=35,选B .小提示:本题主要考查古典概率的求解,题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复,将兔子标注字母,利用“树图法”,可最大限度的避免出错. 7、若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是故事书的概率为( ) A .15B .310C .35D .12答案:B分析:由古典概率模型的计算公式求解.样本点总数为10,“抽出一本是故事书”包含3个样本点,所以其概率为310 . 故选:B.8、某同学从家到学校要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,该同学在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14,则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为( ) A .124B .1124C .23D .34答案:D分析:利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.解:由题意,该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为P =1−(1−12)×(1−13)×(1−14)=34,故选:D.9、抛掷一颗均匀骰子两次,E 表示事件“第一次是奇数点”,F 表示事件“第二次是3点”,G 表示事件“两次点数之和是9”,H 表示事件“两次点数之和是10”,则( ) A .E 与G 相互独立B .E 与H 相互独立 C .F 与G 相互独立D .G 与H 相互独立 答案:A分析:先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率,再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解:由题意得:P(E)=1836=12,P(F)=636=16,P(G)=436=19,P(H)=336=112对于选项A :P(EG)=236=118,P(E)P(G)=12×19=118,P(EG)=P(E)P(G),所以E 和G 互相独立,故A 正确; 对于选项B :P(EH)=136,P(E)P(H)=12×112=124,P(EH)≠P(E)P(H),所以E 和H 不互相独立,故B 错误; 对于选项C :P(FG)=136,P(F)P(G)=16×19=154,P(FG)≠P(F)P(G),所以F 和G 不互相独立,故C 错误;对于选项D :P(GH)=0,P(G)P(H)=19×112=1108,P(GH)≠P(G)P(H),所以G 和H 不互相独立,故D 错误; 故选:A10、甲、乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a ,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b ,且a,b ∈{1,2,3,4},若|a −b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A .38B .58C .316D .516答案:B分析:利用列举法根据古典概型公式计算即可.B 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个,共有16个样本点,为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3) ,(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2) (4,3),(4,4),这16个样本点发生的可能性是相等的.其中满足|a −b|≤1的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共10个,故他们“心有灵犀”的概率为P =1016=58. 故选:B 填空题11、某班有42名学生,其中选考物理的学生有21人,选考地理的学生有14人,选考物理或地理的学生有28人,从该班任选一名学生,则该生既选考物理又选考地理的概率为_______________. 答案:16分析:先计算出该班有既选考物理又选考地理的人数,再除以班级总人数即可求解 设选考物理的学生为集合A ,选考地理的同学为集合B ,由题意可得:Card (A ∪B )=Card (A )+Card (B )−Card (A ∩B ), 即28=21+14−Card (A ∩B ),解得:Card (A ∩B )=7, 所以该班有7人既选考物理又选考地理,所以从该班任选一名学生,则该生既选考物理又选考地理的概率为742=16, 所以答案是:16.12、甲、乙两名同学进行篮球投篮练习,甲同学一次投篮命中的概率为34,乙同学一次投篮命中的概率为23,假设两人投篮命中与否互不影响,则甲、乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率是___________. 答案:1112分析:考虑两个人都不命中的概率,从而可求至少有一个人命中的概率. 两个都不命中的概率为(1−34)×(1−23)=112, 故至少有一人命中的概率是1112, 所以答案是:1112.13、某人抛掷硬币100次,正面向上的有53次,反面向上的频率为___________.答案:0.47##47100分析:直接利用频率公式求解.由题得反面朝上的频率为47次,=0.47.所以反面向上的频率为47100所以答案是:0.4714、为防控新冠疫情,很多公共场所要求进人的人必须佩戴口罩.现有3人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩,则蓝、白口罩同时被选中的概率为____________.答案:3##0.310分析:利用列举法和古典概型的概率计算公式可得答案.从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中选3只不同颜色的口罩,样本点列举如下:(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),(蓝,红,黑),(蓝,红,绿),(蓝,黑,绿),(白,红,黑),(白,红,绿),(白,黑,绿),(红,黑,绿),共有10个样本点,其中蓝、白色口罩同时被选中的样本点有(蓝,白,红),(蓝,白,黑),(蓝,白,绿),共3个样本点,所以蓝、白色口罩同时被选中的概.率为310.所以答案是:31015、假设P(A)=0.5,P(B)=0.6,且事件A与B相互独立,则P(A+B)=________.答案:0.8##45分析:先算出P(AB),再利用P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)求解即可.P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.3,则P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.3=0.8.所以答案是:0.8.解答题16、判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取1张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.答案:(1)是互斥事件,不是对立事件,理由见解析;(2)既是互斥事件,又是对立事件,理由见解析;(3)不是互斥事件,也不是对立事件,理由见解析.分析:本题可根据互斥事件与对立事件的定义得出结果.(1)是互斥事件,不是对立事件.理由:“抽出红桃”与“抽出黑桃”不可能同时发生的,是互斥事件,不能保证其中必有一个发生,还可能抽出“方块”或者“梅花”,不是对立事件.(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由:“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生,且其中必有一个发生,则它们既是互斥事件,又是对立事件.(3)不是互斥事件,也不是对立事件.理由:“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”可能同时发生,如抽得点数为10,故不是互斥事件,也不可能是对立事件.17、某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)写出该试验的样本空间Ω;(2)设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,试用集合表示M.答案:(1)答案见解析;(2)答案见解析.分析:(1)从6名同学中随机选出2人,那么每个人都有可能被选到,将所有的组合列出来即可;(2)找出所有组合中,既满足2人来自不同年级,又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可.解(1)Ω={AB,AC,AX,AY,AZ,BC,BX,BY,BZ,CX,CY,CZ,XY,XZ,YZ}.(2)M={AY,AZ,BX,BZ,CX,CY}.18、某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况,从网站注册的学生中随机选取了100位,统计某周每位学生的学习时长,绘制成如图所示的频率分布直方图,并从学习时长落在[6,11),[21,26]两组内的学生中,按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.(1)求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长;(2)若从上述8位学生中随机抽取2位家访,求这2位学生来自不同组别的概率.答案:(1)a=0.03,平均时长为13.5小时;(2)15.28分析:(1)由频率分布直方图概率的性质,可求得a的值,再结合平均数的计算公式,即可求解;(2)由频率分布直方图,得到落在[6,11)内数据个数为25,落在[21,26]内数据个数为15,按分层抽样,得到在[6,11)内抽取5人,在[21,26]内抽取3人,利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数,结合古典摡型的概率计算公式,即可求解.(1)由频率分布直方图的数据,可得(0.020+0.50+0.070+a+a)×5=1,解得a=0.03,又由平均数的计算公式,可得x=0.1×3.5+0.25×8.5+0.35×13.5+0.15×18.5+0.15×23.5=13.5.即估算这100位学生学习的平均时长为13.5小时.(2)由频率分布直方图,可得落在[6,11)内数据个数为5×0.05×100=25,落在[21,26]内数据个数为5×0.03×100=15.按照分层抽样方法抽取8人,则[6,11)内抽取5人,记为a1,a2,a3,a4,a5,在[21,26]内抽取3人,记为b1,b2,b3,从这8位学生中每次抽取2人,可能的情况有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3);(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3);(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3);(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a4,b3);(a5,b1),(a5,b2),(a5,b3);(b1,b2),(b1,b3);(b2,b3),共有28种结果,且各结果等可能,其中2位学生来自不同组别的取法有15种,.所以抽取的2位学生来自不同组别的概率为p=152819、科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素,分别为16O,17O,18O,根据1940年比较精确的质谱测定,自然界中这三种同位素的含量比为16O占99.759%,17O占0.037%,18O占0.204%.现有3个16O,2个17O,n个18O,若从中随机选取1个氧元素,这个氧元素不是17O的概率为2.3(1)求n;(2)若从中随机选取2个氧元素,求这2个氧元素是同一种同位素的概率.答案:(1)1;.(2)415分析:(1)求出随机选取1个氧元素是17O的概率,再利用对立事件概率公式计算作答.(2)对给定的16O ,17O ,18O 进行编号,列举出选取2个氧元素的所有结果,再借助古典概率公式计算作答. (1)依题意,从这些氧元素中随机选取1个,这个氧元素是17O 的概率P 1=2n+5,则有1−2n+5=23,解得n =1,所以n =1.(2)记3个16O 分别为a ,b ,c ,2个17O 分别为x ,y ,1个18O 为m ,从中随机选取2个,所有的情况为:(a,b ),(a,c ),(a,x ),(a,y ),(a,m ),(b,c ),(b,x ),(b,y ),(b,m ),(c,x ),(c,y ),(c,m ),(x,y ),(x,m ),(y,m ),共15种,它们等可能,其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有(a,b ),(a,c ),(b,c ),(x,y ),共4种,其概率为P 2=415,所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是415.。

高考数学概率统计知识点总结(文理通用)

高考数学概率统计知识点总结(文理通用)

概率与统计知识点及专练(一)统计基础知识:1. 随机抽样:(1).简单随机抽样:设一个总体的个数为N ,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.(2).系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).(3).分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.2. 普通的众数、平均数、中位数及方差: (1).众数:一组数据中,出现次数最多的数(2).平均数:常规平均数:12nx x x x n ++⋅⋅⋅+=(3).中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数(4).方差:2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-(5).标准差:s3 .频率直方分布图中的频率:(1).频率 =小长方形面积:f S y d ==⨯距;频率=频数/总数; 频数=总数*频率(2).频率之和等于1:121n f f f ++⋅⋅⋅+=;即面积之和为1: 121n S S S ++⋅⋅⋅+=4. 频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差: (1).众数:最高小矩形底边的中点(2).平均数:112233n n x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+(3).中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值(4).方差:22221122()()()nn s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-5.线性回归直线方程:(1).公式:ˆˆˆy bx a=+其中:1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---∑∑==--∑∑(展开)ˆˆa y bx=-(2).线性回归直线方程必过样本中心(,) x y(3).ˆ0:b>正相关;ˆ0:b<负相关(4).线性回归直线方程:ˆˆˆy bx a=+的斜率ˆb中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到6. 回归分析:(1).残差:ˆˆi i ie y y=-(残差=真实值—预报值)分析:ˆie越小越好(2).残差平方和:2 1ˆ() ni iiy y =-∑分析:①意义:越小越好;②计算:222211221ˆˆˆˆ()()()() ni i n niy y y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑(3).拟合度(相关指数):2 2121ˆ()1()ni iiniiy y Ry y==-∑=--∑分析:①.(]20,1R∈的常数;②.越大拟合度越高(4).相关系数:()()n ni i i ix x y y x y nx y r---⋅∑∑==分析:①.[1,1]r∈-的常数;②.0:r>正相关;0:r<负相关③.[0,0.25]r∈;相关性很弱;(0.25,0.75)r∈;相关性一般;[0.75,1]r∈;相关性很强7. 独立性检验:(1).2×2列联表(卡方图): (2).独立性检验公式①.22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②.上界P 对照表:(3).独立性检验步骤:①.计算观察值k :2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ②.查找临界值0k :由犯错误概率P ,根据上表查找临界值0k③.下结论:0k k ≥即认为有P 的没把握、有1-P 以上的有把握认为两个量相关;0k k <:即认为没有1-P 以上的把握认为两个量是相关关系。

概率初步例题和知识点总结

概率初步例题和知识点总结

概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中,概率无处不在。

比如抽奖时中奖的可能性、明天是否会下雨的预测、体育比赛中获胜的概率等等。

概率是研究随机现象规律的数学分支,它能帮助我们更好地理解和应对不确定性。

接下来,让我们通过一些例题来深入了解概率的初步知识。

一、知识点回顾1、随机事件随机事件是指在一定条件下,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如掷一枚骰子,出现的点数就是一个随机事件。

2、概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小的数值度量。

通常用 0 到 1 之间的数来表示,0 表示不可能发生,1 表示必然发生。

3、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征:(1)试验的样本空间中样本点的总数是有限的;(2)每个样本点出现的可能性相等。

那么这样的随机试验称为古典概型。

在古典概型中,事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的样本点个数与样本空间中样本点的总数之比得到。

4、概率的基本性质(1)对于任意事件 A,0 ≤ P(A) ≤ 1。

(2)必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0。

(3)如果事件 A 与事件 B 互斥(即 A 和 B 不可能同时发生),则P(A∪B) = P(A) + P(B)。

二、例题解析例 1:从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球,求取出的 2 个球都是红球的概率。

解:从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) = 10。

取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) = 3。

所以取出的 2 个球都是红球的概率为 3/10。

例 2:掷一枚均匀的骰子,求点数大于 4 的概率。

解:骰子的点数有 1、2、3、4、5、6,点数大于 4 的有 5、6 两种情况,所以点数大于 4 的概率为 2/6 = 1/3。

例 3:同时掷两枚均匀的骰子,求点数之和为 7 的概率。

解:同时掷两枚骰子,所有可能的结果有 6×6 = 36 种。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

(最全)高中数学概率统计知识点总结

高中数学-概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数:一组数据中,出现次数最多的数。

2、平均数:①、常规平均数:12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。

4、方差:2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+- 二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积:f S y d ==⨯距;频率=频数/总数2、频率之和:121n f f f ++⋅⋅⋅+=;同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=;三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数:最高小矩形底边的中点。

2、平均数: 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+ 3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。

4、方差:22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程:ˆˆˆybx a =+ 其中:1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---∑∑==--∑∑ , ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ;2、ˆ0:b>正相关;ˆ0:b <负相关。

3、线性回归直线方程:ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。

五、回归分析1、残差:ˆˆi i i ey y =-(残差=真实值—预报值)。

分析:ˆi e 越小越好; 2、残差平方和:21ˆ()ni i i y y=-∑, 分析:①意义:越小越好; ②计算:222211221ˆˆˆˆ()()()()ni i n n i y yy y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑ 3、拟合度(相关指数):22121ˆ()1()ni i i ni i y yR y y ==-∑=--∑,分析:①.(]20,1R ∈的常数; ②.越大拟合度越高;4、相关系数:()()nni i i i x x y y x y nx yr ---⋅∑∑==分析:①.[r ∈-的常数; ②.0:r >正相关;0:r <负相关③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈;相关性一般; [0.75,1]r ∈;相关性很强; 六、独立性检验 1、2×2列联表: 2、独立性检验公式 ①.22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②.犯错误上界P 对照表3、独立性检验步骤①.计算观察值k :2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++;②.查找临界值0k :由犯错误概率P ,根据上表查找临界值0k ;③.下结论:0k k ≥:即犯错误概率不超过P 的前提下认为: ,有1-P 以上的把握认为: ; 0k k <:即犯错误概率超过P 的前提认为: ,没有1-P 以上的把握认为: ;【经典例题】题型1 与茎叶图的应用例1(2014全国)某市为考核甲、乙两部门的工作情况,学科网随机访问了50位市民。

(最全)高中数学概率统计知识点总结

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差1、众数:一组数据中,出现次数最多的数。

2、平均数:①、常规平均数:x x x x1 2 nn②、加权平均数:xx x x1 12 2 n n1 2 n3、中位数:从大到小或者从小到大排列,最中间或最中间两个数的平均数。

4、方差: 2 2 2 21s [(x x) ( x x)(x x) ]1 2 nn二、频率直方分布图下的频率1、频率=小长方形面积: f S y距 d ;频率=频数/ 总数2、频率之和:f1 f2 f 1;同时n S1 S2 S 1;n三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差1、众数:最高小矩形底边的中点。

2、平均数:x x f x f x f x f1 12 23 3 n n x x S x S x S x S1 12 23 3 n n3、中位数:从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5 时x 的值。

4、方差: 2 2 2 2s ( x x) f ( x x) f ( x x) f1 12 2 n n四、线性回归直线方程:y?b?x a?其中:?bn n(x x)( y y)x y nxyi i i ii 1 i 1n n2 2 2(x x)x nxi ii 1 i 1, a?y b?x1、线性回归直线方程必过样本中心( x,y);2、b?0:正相关;b?0:负相关。

3、线性回归直线方程:y?b?x a?的斜率b?中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。

五、回归分析1、残差:? ?e y y (残差=真实值—预报值)。

分析:e?越小越好;i i i i2、残差平方和:i n12 ( ?)y y ,i i分析:①意义:越小越好;②计算:i n12 2 2 2 (y y?) (y y?) ( y y?) (y y?)i i 1 1 2 2 n n3、拟合度(相关指数):n( y y )?2i i2 i 1R 1n2( y y)ii 1,分析:①. 2 0,1R 的常数;②. 越大拟合度越高;4、相关系数:rn n(x x)( y y) x y nx yi i i ii 1 i 1n n n n2 2 2 2 (x x) ( y y) (x x) ( y y)i i i ii 1 i 1 i 1 i 1分析:①. r [ 1,1]的常数;②. r 0: 正相关;r 0: 负相关③. r [0,0.25] ;相关性很弱;r (0.25,0.75) ;相关性一般;r [0.75,1] ;相关性很强;六、独立性检验1、2× 2 列联表:x1 x 合计22 、独立性检验公式n ( a d b c )①.k y a b a b 1ycd c d 2合计a cb dn②.犯错误上界 P 对照表3、独立性检验步骤2n( a d bc)①.计算观察值k : k;(a b )(c d )(a c)( b d)②.查找临界值k:由犯错误概率P,根据上表查找临界值0 k ;③.下结论:k k :即犯错误概率不超过P 的前提下认为:, 有1-P 以上的把握认为:;k k :即犯错误概率超过P的前提认为:, 没有1-P 以上的把握认为:;【经典例题】题型1 与茎叶图的应用例1(2014 全国)某市为考核甲、乙两部门的工作情况,学科网随机访问了50 位市民。

概率高中数学知识点

概率高中数学知识点

概率高中数学知识点
高中概率知识点如下:
1、确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件。

2、K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)。

3、若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件。

4、必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1。

5、必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件。

6、对立事件:事件A和事件B必有一个发生的互斥事件. A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生这时P(A+B)=P(A)+P(B)=1 即P(A+A)=P(A)+P(A)=1。

当计算事件A的概率P(A)比较困难时,有时计算它的对立事件A的概率则要容易些,为此有P(A)=1-P(A)。

事件与集合:从集合角度来看,A、B两个事件互斥,则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。

事件A的对立事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集。

对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件。

注意
1、在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

2、通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。

3、通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

4、了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率,初步体会几何概型的意义。

5、通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程。

概率初步例题和知识点总结

概率初步例题和知识点总结

概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中,概率无处不在。

无论是在玩游戏、抽奖,还是在进行科学研究、经济决策时,概率都起着重要的作用。

下面,让我们一起来学习概率的初步知识,并通过一些例题来加深对概率的理解。

一、概率的基本概念概率,简单来说,就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

它的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件完全不可能发生,那么它的概率就是 0;如果一个事件肯定会发生,那么它的概率就是 1。

例如,抛一枚均匀的硬币,正面朝上的概率是 05,因为硬币只有正反两面,且两面出现的可能性相同。

二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的,并且每个结果出现的可能性相等,那么我们就可以使用古典概型来计算概率。

计算公式为:P(A) =事件 A 包含的基本事件数/基本事件总数例如,从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中随机取出一个球,取出红球的概率是多少?基本事件总数为 5(3 个红球+ 2 个白球),事件“取出红球”包含的基本事件数为 3,所以取出红球的概率 P(取出红球) = 3 / 5 = 062、几何概型如果一个试验的结果是无限的,且每个结果出现的可能性相等,那么我们就可以使用几何概型来计算概率。

计算公式为:P(A) =构成事件 A 的区域长度(面积或体积)/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)例如,在一个边长为 1 的正方形内随机取一点,该点落在正方形内一个半径为 05 的圆内的概率是多少?圆的面积为π×(05)²=025π,正方形的面积为 1×1 = 1,所以该点落在圆内的概率 P(落在圆内) =025π / 1 =025π三、独立事件与条件概率1、独立事件如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率,那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的事件。

例如,抛两次硬币,第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上就是两个独立事件。

必修3第三章-概率 知识点总结及强化练习:

必修3第三章-概率 知识点总结及强化练习:

高中数学必修3 第三章 概率 知识点总结及强化训练一、 知识点总结3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念:(1)必然事件:在条件S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件;(4)随机事件:在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件;(5)频数与频率:在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A出现的次数nA 为事件A 出现的频数;称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率:对于给定的随机事件A ,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率。

(6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念:(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若A ∩B 为不可能事件,即A ∩B=ф,那么称事件A 与事件B 互斥;(3)若A ∩B 为不可能事件,A ∪B 为必然事件,那么称事件A 与事件B 互为对立事件;(4)当事件A 与B 互斥时,满足加法公式:P(A ∪B)= P(A)+ P(B);若事件A 与B 为对立事件,则A ∪B 为必然事件,所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质:1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1; 2)当事件A 与B 互斥时,满足加法公式:P(A ∪B)= P(A)+ P(B);3)若事件A 与B 为对立事件,则A ∪B 为必然事件,所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A 发生且事件B 不发生;(2)事件A 不发生且事件B 发生;(3)事件A 与事件B 同时不发生,而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A 发生B 不发生;(2)事件B 发生事件A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

数学高中概率知识点总结

数学高中概率知识点总结

数学高中概率知识点总结一、基本概念1. 随机事件:在相同条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件。

例如抛硬币、掷骰子、抽牌等都属于随机事件。

2. 样本空间:对一个随机事件进行研究,所有可能发生的基本结果的集合称为样本空间,用S表示。

例如抛硬币的样本空间为S={正面,反面}。

3. 事件:样本空间的子集称为随机事件。

例如抛硬币,事件A={正面},事件B={反面}。

4. 事件的概率:事件A在随机试验中发生的可能性大小,称为事件A的概率,通常用P(A)表示。

0≤P(A)≤1。

二、概率的计算1. 古典概率:如果一个试验的所有基本结果能够被认为等可能,那么事件A的概率P(A)就可以用下式来计算:\[P(A) = \frac{m}{n}\]其中m是事件A中有利于A发生的基本结果的个数,n是样本空间S中基本结果的总个数。

2. 几何概率:几何概率是指通过几何方法来计算事件的概率,常用于连续随机变量的概率计算。

3. 频率概率:频率概率是指在大量独立重复试验中,事件A发生的频率会趋向于事件A的概率。

例如掷骰子、抽球的实验中。

4. 条件概率:事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率称为事件A在事件B的条件下发生的概率,记为P(A|B),计算公式为:\[P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\]其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率。

5. 乘法定理:在概率计算中,事件A与事件B同时发生的概率可以用下式表示:\[P(AB) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)\]6. 加法定理:对于两个互斥事件A和B(即A和B不能同时发生),它们的概率可用下式表示:\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]对于两个不互斥事件A和B,它们的概率可用下式表示:\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]三、常见的概率分布1. 二项分布:二项分布是由n个独立的是/非试验组成的概率分布,其中每次试验的概率是p,成功的次数(假设记为X)的概率分布称为二项分布。

高中数学概率知识点总结和典例

高中数学概率知识点总结和典例

事件与概率(一)基础知识梳理:1.事件的概念:(1)事件:在一次试验中出现的试验结果,叫做事件。

一般用大写字母A ,B ,C ,…表示。

(2)必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件。

(3)不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件(4)确定事件:必然事件和不可能事件统称为确定事件。

(5)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件。

2.随机事件的概率:(1)频数与频率:在相同的条件下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例nn A f A n =)(为事件A 出现的频率。

(2)概率:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A 发生的频率具有稳定性。

我们把这个常数叫做随机事件A 的概率,记作)(A P 。

3.概率的性质:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0()1P A ≤≤,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形4.事件的和的意义: 事件A 、B 的和记作A+B ,表示事件A 和事件B 至少有一个发生。

5.互斥事件: 在随机试验中,把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

当A 、B 为互斥事件时,事件A+B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的, 因此当A 和B 互斥时,事件A+B 的概率满足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)(A 、B 互斥). 一般地:如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥如果事件12,,,n A A A 彼此互斥,那么12()n P A A A +++=12()()()n P A P A P A +++。

6.对立事件: 事件A和事件B 必有一个发生的互斥事件. A 、B 对立,即事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一个发生 这时P(A+B)=P(A)+P(B)=1 即P (A +A )=P (A )+P (A )=1当计算事件A 的概率P (A )比较困难时,有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些,为此有P (A )=1-P (A )7. 事件与集合:从集合角度来看,A 、B 两个事件互斥,则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 事件A 的对立事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集,即A ∪A =U ,A ∩A =∅对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件(二)典型例题分析:例1.将一枚均匀的硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( )A .必然事件B .随机事件C .不可能事件D .无法确定例2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A .至少有1个白球,都是白球B .至少有1个白球,至少有1个红球C .恰有1个白球,恰有2个白球D .至少有1个白球,都是红球例3.甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局,分析甲胜的概率比乙胜的概率高5%,和棋的概率为59%,则乙胜的概率为_____________.例4.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张,那么抽到红心(事件A)的概率为________,取到方片(事件B)的概率是 _______.取到红色牌(事件C)的概率是_______,取到黑色牌(事件D)的概率是________.(三)基础训练:1.下列说法正确的是 ( )A.任一事件的概率总在(0,1)内 B.不可能事件概率不一定为0C.必然事件的概率一定是1 D.以上均不对2.某地气象局预报说:明天本地降雨概率为80%,则下面解释正确的是()A.明天本地有80%的区域下雨,20%的区域不下雨B.明天本地下雨的机会是80%C.明天本地有80%的时间下雨,20%的时间不下雨D.以上说法均不正确3.下面事件: ①若a、b∈R,则a·b=b·a;②某人买彩票中奖;③6+3>10;④抛一枚硬币出现正面向上. 其中必然事件有 ( )A.① B.②C.③④D.①②4.盒中有9个小球,分别标有1,2,3,…,9,从中任取一球,则此球的号码为偶数的概率是_______.5.箱子中有2000个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有________个坏灯泡。

高考数学概率知识点整理总结

高考数学概率知识点整理总结

高考数学概率知识点整理总结高考数学概率知识点整理一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)P(A),P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围:2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)=1,P(A)=1-P(B).高中数学概率性质与公式(1)加法公式:P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB),特别地,如果A与B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差:P(A-B)=P(A)-P(AB),特别地,如果B包含于A,则P(A-B)=P(A)-P(B);(3)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B),特别地,如果A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式:P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果,贝叶斯公式:P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生,则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生,要求它是由Aj引起的概率,则用贝叶斯公式.(5)二项概率公式:Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件:n次重复,每次只有A与A的逆可能发生,各次试验结果相互独立)时,要考虑二项概率公式.高中数学古典概率公式P(A)=A所含样本点数/总体所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算附:由概率定义得出的几个性质:1、02、P(Ω)=1,P(φ) =0[1]概率的加法法则定理:设A、B是互不相容事件(AB=φ),则:P(A∪B)=P(A)+P(B)推论1:设A1、 A2、…、 An互不相容,则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)推论2:设A1、 A2、…、 An构成完备事件组,则:P(A1+A2+...+An)=1 推论3: P(A)=1-P(A)推论4:若B包含A,则P(B-A)= P(B)-P(A)推论5(广义加法公式):对任意两个事件A与B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)[1]条件概率条件概率:已知事件B出现的条件下A出现的概率,称为条件概率,记作:P(A|B)条件概率计算公式:当P(A)0,P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)0,P(A|B)=P(AB)/P(B)[1]乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[1]全概率公式设:若事件A1,A2,…,An互不相容,且A1+A2+…+An=Ω,则称A1,A2,…,An构成一个完备事件组。

高中数学概率知识点及例题自己整理

高中数学概率知识点及例题自己整理

1.事件的关系:⑴事件B 包含事件A :事件A 发生,事件B 一定发生,记作B A ⊆; ⑵事件A 与事件B 相等:若A B B A ⊆⊆,,则事件A 与B 相等,记作;⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生或B 发生,记作B A ⋃(或B A +); ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生且B 发生,记作B A ⋂(或AB ) ; ⑸事件A 与事件B 互斥:若B A ⋂为不可能事件(φ=⋂B A ),则事件A 与互斥; ⑹对立事件:B A ⋂为不可能事件,B A ⋃为必然事件,则A 与B 互为对立事件。

2.概率公式:⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P()(A)(B); ⑵古典概型:基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(;⑶几何概型:等)区域长度(面积或体积试验的全部结果构成的积等)的区域长度(面积或体构成事件A A P =)( ;3. 随机变量的分布列 ⑴随机变量的分布列:①随机变量分布列的性质:≥01,2,…; p 12+…=1; ②离散型随机变量:期望:= x 1p 1 + x 2p 2 + … + + … ;方差:=⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注:DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+; ③两点分布:X 0 1 期望:=p ;方差:=p(1).P 1-p p①超几何分布:一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P nNk n MN k M ====-- 其中,N M N n ≤≤,。

称分布列X 0 1 … mP nN n MN M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n Nm n M N m M C C C -- 为超几何分布列, 称X 服从超几何分布。

高中概率统计考点归纳

高中概率统计考点归纳

高中概率统计考点归纳一、概率的基本概念与性质概率的定义:概率是一个衡量事件发生可能性的数值,通常用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围为0到1之间,其中P(A) = 0表示事件A不可能发生,P(A) = 1表示事件A必然发生。

举例:抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为0.5,反面朝上的概率也为0.5。

概率的性质:非负性:对于任意事件A,有P(A) ≥0;归一性:对于必然事件S,有P(S) = 1;可加性:对于互斥事件A和B(即A和B不能同时发生),有P(A ∪B) = P(A) + P(B)。

举例:一个袋子中有3个红球和2个白球,随机抽取一个球为红球的概率是3/5,为白球的概率是2/5。

由于红球和白球是互斥事件,所以抽取到红球或白球的概率是3/5 + 2/5 = 1。

二、古典概型与几何概型古典概型:在有限个等可能的基本事件中,通过计算事件包含的基本事件个数与总基本事件个数的比值来求概率。

举例:抛掷两颗骰子,求点数之和为7的概率。

总的基本事件个数为6×6=36,点数之和为7的基本事件有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1),共6种。

因此,点数之和为7的概率为6/36=1/6。

几何概型:在某一度量(长度、面积、体积等)下,通过计算事件占有的度量与样本空间占有的度量的比值来求概率。

举例:在长度为1的线段上随机取一点,求该点位于线段前1/3部分的概率。

样本空间为整个线段,其长度为1;事件空间为线段前1/3部分,其长度为1/3。

因此,该点位于线段前1/3部分的概率为1/3。

三、条件概率与全概率公式条件概率:在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率,记为P(A|B)。

计算公式为P(A|B) = P(AB) / P(B),其中P(AB)表示事件A和B同时发生的概率。

举例:一个班级中有40名学生,其中25名男生和15名女生。

已知某学生是女生,求该学生数学成绩优秀的概率。

高中数学必修三第三章概率知识要点

高中数学必修三第三章概率知识要点

一、随机事件的概率1.事件与随机事件在一定条件下必然发生的事件叫;在一定条件下不可能发生的事件叫;在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫。

2.事件的频率与概率⑴若在n次试验中事件A发生了m次, 则称为事件A的频率。

记做。

二、⑵若随着试验次数n的增大, 事件A的频率总接近某个常数p, 在它的附近作微小摆动, 则称为事件A的概率, 记做, 显然。

三、 3.概率从数量上反映了一个事件的大小。

四、概率的基本性质1.事件的关系与运算:(1)互斥事件:若为, 则称事件与事件互斥。

(2)对立事件:若为, 为, 则称事件与事件互为对立事件。

2.概率的几个基本性质:(1)概率的取值范围是: 。

(2)的概率为1;的概率为0。

五、(3)如果事件与事件互斥, 那么。

六、(4)如果事件与事件对立, 那么;;。

七、古典概型1.古典概型的特征:(1):一次试验中, 基本事件只有有限个;八、(2): 每个基本事件发生的可能性都相等。

九、2、求古典概率的常用方法: 列举法与列表法。

十、几何概型1.几何概型的特征:(1)几何概型的基本事件有无穷多个;(2)每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例。

2.求几何概率用到的一个方法: 线性规划。

练习题:1.甲盒中有红, 黑, 白三种颜色的球各3个, 乙盒子中有黄, 黑, 白, 三种颜色的球各2个, 从两个盒子中各取1个球, 求取出的两个球是不同颜色的概率.2.设关于的一元二次方程, 若是从区间任取的一个数, 是从区间任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.3.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6)先后抛掷两次, 将得到的点数分别记为.将的值分别作为三条线段的长, 求这三条线段能围成等腰三角形的概率.1 / 1。

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1.事件的关系:
⑴事件B 包含事件A :事件A 发生,事件B 一定发生,记作B A ⊆;
⑵事件A 与事件B 相等:若A B B A ⊆⊆,,则事件A 与B 相等,记作A=B ;
⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生或B 发生,记作B A ⋃(或B A +);
⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A 发生且B 发生,记作B A ⋂(或AB ) ;
⑸事件A 与事件B 互斥:若B A ⋂为不可能事件(φ=⋂B A ),则事件A 与互斥;
⑹对立事件:B A ⋂为不可能事件,B A ⋃为必然事件,则A 与B 互为对立事件。

2.概率公式:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型:基本事件的总数
包含的基本事件的个数A A P =)(; ⑶几何概型:等)区域长度(面积或体积试验的全部结果构成的积等)的区域长度(面积或体构成事件A A P =
)( ; 3. 随机变量的分布列
⑴随机变量的分布列:
①随机变量分布列的性质:p i ≥0,i=1,2,...; p 1+p 2+ (1)
1 1
2 2 n n 方差:DX =⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ;
注:DX a b aX D b aEX b aX E 2
)(;)(=++=+;
③两点分布:
X 0 1 期望:EX =p ;方差:DX =p(1-p).
P 1-p p
① 超几何分布:
一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则
},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N k n M N k M ====-- 其中,N M N n ≤≤,。

称分布列
X 0 1 … m
P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N
m n M N m M C C C -- 为超几何分布列, 称X 服从超几何分布。

⑤二项分布(独立重复试验):
若X ~B (n,p ),则EX =np, DX =np (1- p );注:k n k k n p p C k X P --==)1()( 。

⑵条件概率:称)
()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率。

注:①0≤P (B|A )≤1;②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

⑶独立事件同时发生的概率:P (AB )=P (A )P (B )。

⑷正态总体的概率密度函数:,,21
)(22
2)(R x e x f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数,分别表示总体的平均数(期望值)与
标准差;
(6)正态曲线的性质:
①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交;②曲线是单峰的,关于直线x =μ 对称;
③曲线在x =μ处达到峰值πσ21
;④曲线与x 轴之间的面积为1;
② 当σ一定时,曲线随μ质的变化沿x 轴平移;
③ 当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越集中;
σ越小,曲线越“高瘦”
,表示总体分布越分散。

注:P )(σμσμ+≤<-x =0.6826;P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544; P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974 例题:
例1、袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
(Ⅰ)采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率;
(Ⅱ)采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记X 为摸出两球中白球的个数,求X 的期望和方差.
例2、甲、乙、丙三人进行某项比赛,每局有两人参加,没有平局,在一局比赛中,甲胜乙的概率为
53,甲胜丙的概率为54,乙胜丙的概率为5
3,比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛,然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛,在比赛中,有人获胜两局就算取得比赛的胜利,比赛结束.
(I )求只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率;
(II )求只进行两局比赛,比赛就结束的概率;
(III )求甲取得比赛胜利的概率.
例3、一厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查,若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品,而前三次中只要抽查到次品就停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品.
(I )求这箱产品被用户拒绝接收的概率;
(II )记X 表示抽检的产品件数,求ξ的概率分布列.
例4、将3封不同的信投进A B C D 、、、这4个不同的信箱,假设每封信投入每个信箱的可能性相等
(1)求这3封信分别被投进3个信箱的概率;
(2)求恰有2个信箱没有信的概率;
(3)求A 信箱中的信封数量的分布列和数学期望.。

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