高中数学概率知识点及例题自己整理

1．事件的关系：

⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ⊆；

⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ⊆⊆,，则事件A 与B 相等，记作A=B ；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ⋃（或B A +）；

⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ⋂（或AB ） ；

⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ⋂为不可能事件（φ=⋂B A ），则事件A 与互斥；

⑹对立事件：B A ⋂为不可能事件，B A ⋃为必然事件，则A 与B 互为对立事件。

2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型：基本事件的总数

包含的基本事件的个数A A P =)(； ⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =

)( ； 3. 随机变量的分布列

⑴随机变量的分布列：

①随机变量分布列的性质：p i ≥0,i=1,2,...； p 1+p 2+ (1)

1 1

2 2 n n 方差：DX ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ;

注：DX a b aX D b aEX b aX E 2

)(;)(=++=+；

③两点分布：

X 0 1 期望：EX ＝p ；方差：DX ＝p(1-p).

P 1－p p

① 超几何分布：

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N k n M N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。 称分布列

X 0 1 … m

P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N

m n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布。

⑤二项分布（独立重复试验）：

若X ～B （n,p ）,则EX ＝np, DX ＝np （1- p ）;注：k n k k n p p C k X P --==)1()( 。

⑵条件概率：称)

()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 注：①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

⑶独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P （A ）P （B ）。 ⑷正态总体的概率密度函数：,,21

)(22

2)(R x e x f x ∈=--σμσπ式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与

标准差；

（6）正态曲线的性质：

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称；

③曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21

；④曲线与x 轴之间的面积为1；

② 当σ一定时，曲线随μ质的变化沿x 轴平移；

③ 当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；

σ越小，曲线越“高瘦”

，表示总体分布越分散。 注：P )(σμσμ+≤<-x =0.6826；P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544; P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974 例题：

例1、袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．

（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；

（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X 为摸出两球中白球的个数，求X 的期望和方差.

例2、甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为

53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为5

3，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.

（I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；

（II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；

（III ）求甲取得比赛胜利的概率.

例3、一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的：一次取一件产品检查，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.

（I ）求这箱产品被用户拒绝接收的概率；

（II ）记X 表示抽检的产品件数，求ξ的概率分布列.

例4、将3封不同的信投进A B C D 、、、这4个不同的信箱，假设每封信投入每个信箱的可能性相等

（1）求这3封信分别被投进3个信箱的概率；

（2）求恰有2个信箱没有信的概率；

（3）求A 信箱中的信封数量的分布列和数学期望.