7-2一阶微分方程的常见类型及解法

图7-2-1
由 题 意 ， PMT ， 由 光 学 反 射 定 律 有 OMA PMT ， 故
y AO OM ． 又 AO AN ON MN cot ON x ， 而 OM x2 y 2 ， y y 得微分方程 x x 2 y 2 ，即 y
注 1：从式（7.2.15）可以看出，一阶非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应的一阶齐次线性微分方程的通解与非齐次方程本身的一个特解之和． 后面将介绍这个结论对于高阶非齐次线性微分方程也成立．
注 2： 当 Q( x) 0 时，式(7.2.14) 即为式(7.2.10)，可见一阶齐次线性微分 方程的通解也包含在式 (7.2.14)之中．
du (u ) ．这是可分离变量的微分方程． dx
du dx (u ) u x ．
于是
将其代入式(7.2.6)，得到 u x
当 (u) u 0 时，分离变量后积分得 记 F (u) 为
1 的一个原函数，则得 F (u) ln | x | C ， (u ) u
(7.2.7)
du u2 du 2u ux ,即 x ． dx u 2 dx u 2
分离变量得 积分得
1 1 dx ( )du ． 2 u x
1 1 u ln | u | C ln | x | ，即 ln | ux | u C ． 2 2
y ，整理，得原方程通解为 x ln | y | y C． 2x
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7.2.3 一阶线性微分方程
定义 7.2.3 形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
(7.2.8)
的微分方程称为一阶线性微分方程．
如果 Q( x) 0 ，则方程（7.2.8）变为 称为一阶齐次线性微分方程．
如果 Q ( x ) 0 ，称方程（7.2.8）为一阶非齐次线性微分方程．
ydx ( x x 2 y 2 )dy ．
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续解
这里将 y 为自变量，x 为未知函数. 由曲线 L 的对称性，我们可
dx x x ( )2 1 ． dy y y
以在 y 0 的范围内求解．这时上式可化为
x dx dv v v y 这是齐次方程．令 ，则 x yv ，有 ，代入上式，得 y dy dy
dv dy dv 2 ． v y v v 1 ，得 2 dy v 1 y
积分得 以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
即 v v2 1
C )． 2
y ． C
x 代入得通解 y
y 2 2C ( x
由此可见，该曲线是以 x 轴为对称轴，焦点在原点的抛物线．
(7.2.12)
把式（7.2.11） 、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
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积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11） ，得方程
注 1：这种通过分离变量来解微分方程的方法称为分离变量法． 式 (7.2.2)用分离变量法类似可解．
注 2：在上述方法中，受到 g ( y) 0 的前提假设，如果扩大任意常数 C 的取值范围，则可使 g ( y) 0 的解仍包含在通解中．
27-3
例 7.2.1
dy y(1 x) 求微分方程 满足初始条件 y dx x
dy 1 x dx , y x
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x 1
1 的特解．
解 该方程是可分离变量的微分方程．设 y 0 ，分离变量得 (7.2.5)
两边积分，得 ln | y | ln x x C1 ，从而 y eC1 xe x ．令 C eC1 ，则
C 是任意的非零常数．注意到 y 0 也是原方程的解，且若允许取 C 0 则此解也包含在其中．因此所求方程的通解可写成
数变易法”来求出它的通解，具体做法如下.
假设
dy P( x) y Q( x) 有形如 y C ( x)e P ( x )dx . dx
(7.2.11)
的解，这里 C( x) 为函数，并非常数．则
dy C(x)e P ( x )dx C ( x) P( x)e P ( x )dx . dx
但上式反映的是速度与时间的关系，并没有直接反映速度与位移的联系．
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续解 为了得到速度与位移的关系，将 故微分方程化为
v
dv dv dv dx dv 表示成 v ， dt dt dx dt dx
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dv G B v ． dx m
分离变量后化为 两边积分，得
注 3：式 (7.2.10) 和 (7.2.14)的所有不定积分中不再含有任意常数．
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例 7.2.5 求微分方程 y y cos x e sin x ln x 的通解．
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解 这是一阶非齐次线性微分方程，其中 P( x) cos x, Q( x) e sin x ln x ， 由通解公式（7.2.14）得该方程的通解为
也称方程 (7.2.9)为对应于一阶非齐次线性微分方程(7.2.8) (Q (பைடு நூலகம்x ) 0 ) 的齐次方程．
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dy ， P( x) y 0 dx
(7.2.9)
对于一阶齐次线性微分方程
dy P( x) y 0 ．显然它是可分离变量的 dx
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微分方程，通过分离变量法，得到通解 y Ce P ( x )dx ． (7.2.10) dy 对于一阶非齐次线性微分方程 P( x) y Q( x) ， 我们可用所谓的 “常 dx
y ( )2 dy y dy x ． 2 ，进而 dx xy 2 x dx y 2 x
2
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在齐次方程式 (7.2.6)中，我们通过引进新的未知函数（变量代换）
u y y ，把式(7.2.6)化为可分离变量的方程．这是因为由 u 得 y ux ， x x dy du u x ， dx dx
(7.2.4)
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设 G y 及 F x 分别为
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
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(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的 隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3） ，且式（7.2.5）含有一个任意常 数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的 通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．
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代回 u
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例 7.2.4
在 xOy 平面上有一曲线 L， 曲线 L 绕 x 轴旋转一周， 形成一旋
转曲面，假设由 O 点发出的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后都与 x 轴平行（见图 7-2-1） ，求曲线 L 的方程．
解 设 O 点发出的某条光线经 L 上一点 M x, y 反射后是一条与 x 轴平行的直线 MP． 又设过 M 点的切线 AT 与 x 轴的倾角是 ．
v
vdv dx ， G B v m GB

2
ln(G B v)
x C ． m
GB ln(G B) ，
由初始条件 x |t 0 0, v |t 0 0 得 v |x0 0 ，代入上式，得C 故该落体的速度与位移的函数关系为
v
dy P( x) y Q( x) 的通解 dx
y e P ( x )dx [ Q( x)e P ( x )dxdx C ] ，
(7.2.14) (7.2.15)
或
y Ce P ( x )dx e P ( x )dx Q( x)e P ( x )dxdx ．
7.2
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
一阶微分方程的常见类型及解法
可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 可用简单变量代换法求解的方程
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7.2.1
可分离变量的微分方程
形如
dy f ( x) g ( y， ) dx
定义 7.2.1 或
(7.2.1) (7.2.2)
y e cos dx [ e sin x ln x e cos dxdx C ] e sin x [ ln xdx C ]
e sin x ( x ln x x C ) ．
例 7.2.6
解
求微分方程 ( y x2e x )dx xdy 0 的通解． 1 原方程可化为 y y xe x ,是一阶非齐次线性微分方程．通解为 x
M1( x) N1( y)dx M 2 ( x) N2 ( y)dy 0
的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程．
设 g ( y) 0 ，将方程式（7.2.1）化为变量分离的方程
dy f ( x)dx. g ( y)
(7.2.3)
若 f 与 g 都是连续函数，两边积分，得
dy g ( y) f ( x)dx ．
ye
1 dx x
( xe xe


1 dx x
dx C ) e
ln x
( xe xe
ln x
dx C ) .
为了计算简便,上式中的 ln x 可用 ln x 代替，故原方程通解为
y eln x ( xe xe ln xdx C ) x(C e x ) ．
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例 7.2.7 求微分方程
dy y 的通解． 2 dx 1 2 xy
3
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分析
显然该方程既不是可分离变量微分方程，也不是齐次方程，更不是
但是只要我们把它改写为 未知函数 y 的一阶线性微分方程．

2


GB
2
ln(
G B v x ) ． GB m
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7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
y 所以齐次方程 (7.2.6)的通解为 F ( ) ln | x | C ． x
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例 7.2.3
求微分方程 y 2dx (2 x2 xy)dy 0 的通解．
y ( )2 dy x ， dx y 2 x
解 原方程可化为齐次方程
y 令 u ，得 x
其间还受到介质的浮力 B 与阻力 R 的作用.已知阻力 R 与下坠的速度 v 成 正比，比例系数为 λ，即 R v .试求该落体的速度与位移的函数关系．
解 物体在下坠过程中所受到的合力为
F GBR．
设 x 轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间 t ， 物体的位移为 x x t ，速度为 v v(t ) ，故 x |t 0 0, v |t 0 0 ． 设 x 轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间 t ， 物体的位移为 x x t ，速度为 v v(t ) ，故 x |t 0 0, v |t 0 0 ． dv dv G B v 由牛顿第二定律得 m G B v ，即 ． dt dt m
y Cxe x , 其中 C 是任意常数．
由初始条件 y
1 x C e ，得 ，故所求特解为 ． 1 y x e x 1
注：为简化计算，在用分离变量法求解时可不考虑 g ( y) 是否为零．
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例 7.2.2
设质量为 m 的物体在某种介质内受重力 G 的作用自由下坠，