7-2一阶微分方程的常见类型及解法
7-2(全微分方程补充)
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
( P ) ( Q ) 2.公式法: , y x P Q 两边同除， P Q y y x x ln ln P Q Q P x y y x
思考: 如何解方程
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x , y ) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x , y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
1 dx 1 x
[ x e
2
1 dx 1 x
dx C ],
x3 x4 通解为 y xy C. 3 4
( x 2 x 3 y )dx (1 x )dy 0, 解2 整理得 P Q 1 , 是全微分方程. y x
A 用曲线积分法:
1 P Q 1 ) , ( x) e 解 ( Q y x x
则原方程为1 dx x x.(3 x 2 y xy2 )dx ( x 3 x 2 y )dy 0,
(3 x 2 y xy2 )dx ( x 3 x 2 y )dy 0,
全微分方程
一、全微分方程 二、积分因子法
一、全微分方程
若存在 u( x, y ) 使 d u( x , y ) P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y 则称 P ( x, y) d x Q ( x, y) d y 0 ①
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
解一阶线性微分方程
解一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一类常见的微分方程，解决这类问题的方法有很多。
本文将介绍一些解线性微分方程的方法及其相关理论。
一、定义一阶线性微分方程（简称线性微分方程）是指具有如下形式的微分方程：a(x)yb(x)y=f(x)其中，a(x)，b(x)和f(x)是在区间[a，b]内定义的连续函数，y 是未知函数，y表示y的导数。
二、解法1.一般解一般解是指不考虑特殊情况的一般的解法，也就是通用的解法。
设定f(x)=0，a(x),b(x)不全为0则在[a,b]之间有：y= Cexp(-∫b(x)/a(x)dx) +f(x)exp(∫b(x)/a(x)dx)dx 其中C是一个任意常数。
2.特殊解特殊解是指考虑特殊情况时，要使用的特殊的解法。
（1）a(x)=b(x)=0，f(x)=g(x)则有：y=Cx+∫g(x)dx其中C是一个任意常数。
（2）a(x)=b(x)=0，f(x)不等于0则有：y=Cexp(∫f(x)dx)其中C是一个任意常数。
（3）a(x)不为0，b(x)=f(x)=0则有：y=C其中C是一个任意常数。
三、实例下面举一个实例来讲解解线性微分方程的方法及其实际应用。
实例：解 y+y=x+2（x>0）解：这里a(x)=1，b(x)=1，f(x)=x+2，因此有y=C*exp(-x)+x+2-2即y=Cexp(-x)+x取x=0时，有C=y0综上，得通解为：y=y0exp(-x)+x四、总结线性微分方程是一类常见的微分方程，一般可以用一般解法和特殊解法来解决。
一般解法适用于大多数情况，而特殊解法是在一般解法不能够满足特殊约束的情况下使用的，它们非常灵活，能够满足各种不同的需求。
本文介绍了解一阶线性微分方程的方法，以及其实际应用的一个实例，希望对读者有所帮助。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
总结一阶微分方程的类型及其解法
总结一阶微分方程的类型及其解法一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。
一阶微分方程广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的作用。
下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。
一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。
1.可分离变量方程：可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。
形式为dy/dx = f(x)g(y)。
首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
最后可以求出y的解。
2.齐次方程：齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。
这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux，即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。
3.线性方程：线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。
通过引入一个特殊的函数u(x)，可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。
然后可以使用可分离变量的方法来求解。
4.伯努利方程：伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n为常数且n≠0。
1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。
5.可化为常数系数线性方程：可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。
一般来说，这类方程可以通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。
6.可化为直接积分方程：可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) +N(x,y)dy/dx = 0。
对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。
一阶微分方程解法
一阶微分方程解法在数学的世界中，微分方程是一个非常重要的领域，它在物理、工程、经济等众多学科中都有着广泛的应用。
一阶微分方程作为微分方程的基础类型之一，掌握其解法对于深入理解和解决更复杂的问题具有关键意义。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中＄P(x)＄和＄Q(x)＄是已知的关于＄x$ 的函数，＄y'＄表示＄y$ 对＄x$ 的导数。
接下来，我们将介绍几种常见的一阶微分方程的解法。
一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成＄g(y)dy ＝ f(x)dx$ 的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。
这种类型方程的解法相对简单，只需要分别对等式两边进行积分即可。
例如，考虑方程＄y' ＝ 2xy$，将其变形为＄＼frac{dy}｛y} ＝2xdx$。
然后，对两边积分：＄＼int\frac{dy}｛y} ＝＼int 2xdx$，得到＄＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$（＄C$ 为常数），进而可以得到＄y ＝＼pm e^｛x^2 ＋ C} ＝ Ce^｛x^2}＄（＄C ＝＼pm e^C$）。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。
我们可以使用积分因子法来求解。
首先，求出积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后，将原方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄可以发现等式左边是＄（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＄，所以对上式两边积分可得：＄e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int Q(x)e^｛＼int P(x)dx}dx ＋ C$最后，解出＄y$ 即可。
例如，对于方程＄y' ＋ 2y ＝ 3e^｛－2x}＄，这里＄P(x) ＝ 2$，＄＼int P(x)dx ＝ 2x$，积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛2x}＄。
一阶微分方程的类型及其解法
一阶微分方程的类型及其解法
一、一阶微分方程
一阶微分方程（ODE）是指具有一个未知函数及其反问因子的微分
方程。
它可以用来求解解析方程，研究它们的解的性质以及求解复杂
的物理问题。
一阶微分方程可以分为常微分方程、拟齐次线性微分方
程和非线性微分方程三大类。
二、解法
（1）常微分方程可以用积分因子分离变量法、限制变量法及特征
积分法等解法进行求解。
（2）拟齐次线性微分方程的解可用积分系数、分步求积法、可积
方程法等解法得到。
（3）非线性微分方程的解可用近似法（也称为等价线性化法），
极限积分法，pictctc函数法，水平法，积分矩阵法，置换法等解决。
三、总结
一阶微分方程是数学中常见的重要类型，它包括常微分方程、拟
齐次线性微分方程和非线性微分方程。
它可以用来求解解析方程，研
究它们的解的性质以及求解复杂的物理问题。
三类微分方程分别有各
自的求解解法，诸如常微分方程可用积分因子分离变量法、限制变量
法及特征积分法等解法进行求解，拟齐次线性微分方程可用积分系数、
分步求积法、可积方程法等解法得到，而非线性微分方程则可用各种近似法，极限积分法，pictctc函数法等解决。
一阶微分方程解的形式
一阶微分方程解的形式一阶微分方程是数学中常见的一类方程，它涉及到未知函数的一阶导数。
求解一阶微分方程是微分方程学的基本内容之一，也是应用数学中的重要工具。
一阶微分方程的解具有一定的形式，可以通过变量分离、恰当形式、线性、可降阶等方法进行求解。
一阶微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是给定的函数。
我们的目标是找到函数y(x)的表达式，使得方程左侧和右侧的函数相等。
我们来看一个简单的例子。
考虑一阶线性微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
这个方程可以通过乘以一个积分因子的方法来求解。
积分因子可以表示为μ(x) = exp[∫p(x)dx]，其中exp表示指数函数。
通过乘以积分因子，我们可以将方程变为d[y(x)μ(x)]/dx = q(x)μ(x)。
然后，对等式两边进行积分，即可得到y(x)的表达式。
除了线性微分方程，还有一些特殊的一阶微分方程解的形式。
例如，可分离变量的一阶微分方程可以通过变量分离的方法来求解。
这类方程可以表示为dy/dx = g(x)h(y)，其中g(x)和h(y)是已知函数。
我们可以将方程变形为dy/h(y) = g(x)dx，然后对等式两边进行积分，最后得到y(x)的表达式。
一阶齐次线性微分方程的解的形式也具有特殊的形式。
一个一阶齐次线性微分方程可以表示为dy/dx = F(y/x)，其中F是一个已知函数。
通过变量替换y = vx，我们可以将方程化简为dv/dx = (F(v) - v)/x。
然后，我们可以通过分离变量或者其他的方法来求解这个方程。
除了上述的几种解的形式外，还有一些其他的方法可以用于求解一阶微分方程。
例如，可以通过恰当形式的方法来求解一些特殊的微分方程。
此外，一阶微分方程还可以通过可降阶法、变量替换、常系数线性微分方程等方法来求解。
总结起来，一阶微分方程的解具有一定的形式，可以通过变量分离、恰当形式、线性、可降阶等方法进行求解。
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
《常见一阶微分方程》类型及其一般求解思路与步骤
《常见⼀阶微分⽅程》类型及其⼀般求解思路与步骤⼀、《⾼等数学》⼀阶微分⽅程分类：第⼀类：可分离变量的微分⽅程及其分离变量的求解⽅法，包括齐次微分⽅程（换元法）。
第⼆类：⼀阶线性微分⽅程，其中齐次线性微分⽅程的求解归结为可分离变量的微分⽅程；⽽⾮齐次线性微分⽅程基于常数变易法，或称为待定函数法，直接得到⾮齐次线性微分⽅程的通解或者基于线性微分⽅程解的结构求得其⼀个特解来求通解：⾮齐次线性微分⽅程的特解=对应齐次线性微分⽅程的通解+⾮齐次的⼀个特解其中伯努利⽅程（换元法）归结为⼀阶线性微分⽅程。
第三类：全微分⽅程及基于曲线积分与路径⽆关的积分法，或者基于全微分运算法则与微分的形式不变性的⽅法（这部分内容在曲线积分有关积分与路径⽆关的内容中讨论）。
⼆、求解⼀阶微分⽅程的基本思路1．改写结构，对⽐标准可求解类型适当变换微分⽅程描述形式，⽐对标准类型⽅程结构。
常⽤的⼀阶微分⽅程的标准类型有：●可分离变量的微分⽅程：具有这种结构的⽅程可以使⽤分离变量法求解，●齐次⽅程(所谓齐次，各项次数相同)：将原⽅程转换为可分离变量的微分⽅程求解。
●⼀阶线性微分⽅程：(1)当Q(x)恒等于0时，为齐次线性⽅程，使⽤可分离变量法求解；(2)当Q(x)不恒等于0时，为⾮齐次线性⽅程，基于对应的齐次线性⽅程的通解，使⽤常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利⽤通过常数变易法得到的通解计算公式直接得到通解，其中的不定积分都不带任意常数.●伯努利⽅程：通过两端同时除以yn，令z=y1-n将⽅程转换为⼀阶线性微分⽅程求解。
●全微分⽅程：它的判定和求解⽅法，使⽤曲线积分相关的理论与⽅法求解。
满⾜以上条件的微分⽅程为全微分⽅程，可以通过曲线积分与路径⽆关求积分得到通解，或者基于全微分的形式不变性与全微分公式得到通解，即2．换元转换，构建标准类型对于不符合标准类型的⽅程，考虑对微分⽅程进⾏适当变换后，使⽤换元法将⼀阶微分⽅程的右边项f(x,y)的部分表达式⽤新的变量表⽰，或者其中的变量⽤新的变量表达式替换，将⽅程转换为⼀阶微分⽅程标准类型来求解。
7-2一阶微分方程习题答案
河海大学理学院《高等数学》
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x).
常数变易法:
dx
把齐次通解中的常数变易为待定函数的方பைடு நூலகம்.
实质: 未知函数的变量代换. ( y Ce P( x)dx )
新未知函数 u( x) 原未知函数 y( x),
作变换 y u( x)e P( x)dx
即
y
xu,
dy
u
x
du
,
x
代入原式
u
x du
f (u),
dx
dx
dx
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
河海大学理学院《高等数学》
du f (u) u .
当
dx f (u)
u
x
0时,
得
f
du (u)
u
ln C1x ,
即
x
Ce(u) ,（(u)
du ） f (u) u
定义定义二齐次方程二齐次方程河海大学理学院高等数学dxdu求解微分方程dx求解微分方程河海大学理学院高等数学经过适当的变量代换三可化为齐次或可分离变量的方程三可化为齐次或可分离变量的方程检查应取何值可使方程化为齐次dxdydxxydy河海大学理学院高等数学为齐次方程
一阶常微分方程的求解
河海大学理学院《高等数学》
y u( x)e P( x)dx u( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
河海大学理学院《高等数学》
将y和y代入原方程得u( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
一阶微分方程解题方法指导
一阶微分方程解题方法指导刘 兵 军在高数下册中，微分方程一章是独立性很强的内容，和积分与级数这些内容没有什么联系，故可以灵活安排讲授时间，即使在讲多元函数偏导数之前讲授本章内容也是可以的. 所谓微分方程就是由未知函数及其导数构成的等式. 方程中所含未知函数导数的最高阶叫作微分方程的阶. 如果方程的解中含有任意常数且其个数与方程阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 满足确定任意常数初始条件的解为特解. 求解微分方程就是求其通解或进一步求满足某条件的特解. 本文主要讨论一阶微分方程),(y x f dxdy =的求解问题. 一、可分离变量的方程一个一阶微分方程能变形为如下形式：dx x f dy y g )()(=（1）则称其为可分离变量的方程.假定方程（1）中)(y g 和)(x f 是连续的，则在（1）两边积分可得方程的解. 经过变形把方程变为（1）的形式，是解题的关键所在. 例1．求微分方程xy dxdy 2=的通解. 解：分离变量得 xdx ydy 2= 两边积分得 ⎰⎰=xdx y dy 2 即 12ln C x y +=2112x C C x e e ey ==+ 令1C e C =可得2x Ce y =例2．求微分方程的通解0)()(=-+-++dy e e dx e e y y x x y x .解：分离变量得 dx e e dy e e x xy y 11+-=- 两边积分得 ⎰⎰+-=-dx e e dy e e x xy y 11 即 C e e x y ln )1ln()1ln(++-=-得 C e e x y =+-)1)(1(二、齐次方程若一阶微分方程),(y x f dx dy =中的),(y x f 可写为xy 的函数)(x y ϕ，则称其为齐次方程.由)(),(xy y x f dx dy ϕ== 令 xy u =即 ux y =，dx du x u dx dy += 从而得出 )(u dxdu x u ϕ=+ 分离变量得 x dx u u du =-)(ϕ 按分离变量法解得方程解，再把u 还原为xy 即得原来方程的通解. 例3．求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解. 解：变形得 xy x y xy y x dx dy 222)(1+=+= 令 xy u =得 ux y =，dx du x u dx dy += 原方程变为 u uu u dx du x u +=+=+112 即 udx du x1= 分离变量得 dx xudu 1= 两边积分得 12ln ln 2C x u += 将u 还原得 )ln()ln(2222122Cx x x C x y == 其中 21C C = 例4．求解微分方程xy y dx dy xln =的通解. 解：变形得 xy x y dx dy ln = 令 xy u =得 ux y =，dx du x u dx dy += 则方程变为 u u dxdu x u ln =+ 分离变量得 dx x u u du 1)1(ln =- 两边积分得 C x u ln ln )1ln(ln +=-即 Cx u =-1ln把u 还原得 Cx xy =-1ln1+=Cx xe y三、一阶线性微分方程形如)()(x Q y x p dxdy =+的微分方程称为一阶线性微分方程. 若0)(≡x Q ，则称之为齐次的，否则称为非齐次的.对于一阶线性齐次微分方程0)(=+y x p dxdy ，用分离变量法，易得其通解为⎰=-dx x p Ce y )(，再用常数变异法可得相应非齐次方程的通解为 ))(()()(C dx e x Q e y dx x p dx x p +⎰⎰=⎰- dx e x Q e Ce dx x p dx x p dx x p ⎰⎰+⎰=⎰--)()()()( （3） 上式右端第一项为对应齐次方程通解，第二项为非齐次方程的一个特解. 即一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.上述求解公式的推导过程称为常数变异法，各类高等数学教科书中都有此方法的详细过程，在此不再重复. 只需把（3）当作一个公式套用即可.具体使用（3）求解一阶线性微分方程时，应该注意把方程变为（3）的标准形式，否则容易出错.例5．求方程25)1(12+++=x x y dx dy 的通解. 解：本方程是一阶线性非齐次微分方程，可用（3）式来求解，但应注意12)(+≠x x p . 把方程变形得 25)1(12+=+-x y x dx dy 12)(+-=x x p ，25)1()(+=x x Q 得 ))(()()(C dx e x Q e y dx x p dx x p +⎰⎰=⎰- ))1(()(2512C dx e x Q edx x p dx x +⎰+⎰=-+--⎰ ))1((22)1ln(25)1ln(C ex e x x ++=⎰+-+ ])1(32[)1(232C x x +++= 例6．求解方程yx dx dy 2312+=的通解. 解：本方程并不是一个一阶线性微分方程，但经过适当的变形后，可变为一个以x 为函数y 为自变量的一阶线性微分方程.变形得)23(2y x dydx += 即 y x dydx 46=- 6)(-=y P ，y y Q 4)(=代入（3）得))(()()(C dy e y Q e y dy y p dy y p +⎰⎰=⎰- )4(66C e y e xy xy +⎰⎰=---⎰)4(66C dy ye e y y +=⎰- )9132(666C e ye e y y y+--=-- y Ce y 69132+--= 以上6道例题基本展示了一阶微分方程求解过程和注意事项. 在求解一阶线性微分方程时，学员应首先分清方程的类型，即可分离变量的方程、齐次方程和一阶线性方程，再使用相应方法，即可求出通解. 方程解法并不难，难的是有些方程须经过详细观察和一些变形才能化为上述三种方程的形式. 经过以上例题的学习，学员应能掌握这些变换技巧.。
一阶微分方程解法
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一阶微分方程可以用来描述系统的动态特性，
以及如何通过调节输入来控制系统的输出。
航空航天
02
在航空航天领域，一阶微分方程可以用来描述飞行器的运动规
律，以及各种因素对飞行器性能的影响。
机械工程
03
在机械工程中，一阶微分方程可以用来描述机器的运动规律，
以及机器的能耗和效率等特性。
积分因子的一阶微分方程解法
总结词
通过引入积分因子，将微分方程转化为 关于积分因子的常微分方程进行求解。
VS
详细描述
积分因子的一阶微分方程形如 M(x)y'+N(x)y=0M(x)y'+N(x)y=0M(x)y' +N(x)y=0，通过引入积分因子 μ(x)，可以 将它转化为 μ(x)M(x)y'+μ'(x)M(x)+μ(x)N(x)y=0mu(x )M(x)y'+mu'(x)M(x)+mu(x)N(x)y=0μ(x) M(x)y'+μ'(x)M(x)+mu(x)N(x)y=0，从而 求解。
不定常数变元的微分方程
定义
不定常数变元的微分方程是指包含有不定常 数变元的微分方程。
解法
不定常数变元的微分方程可以通过积分和代 数方法求解。
举例
y' = x + c，其中c为不定常数，可以通过代 数方法求解。
02 一阶微分方程的解法
线性微分方程的解法
线性微分方程的解法通常 包括分离变量法、变量代 换法、常数变易法等。
y' = 2xy，通过令z = y/x，可以将其转化为关于z的 代数方程。
一阶微分方程解法与应用
一阶微分方程解法与应用在数学领域中，微分方程是一种描述变量之间关系的数学方程。
一阶微分方程是其中一种常见的形式，它可用来描述一个未知函数的导数与该函数自身之间的关系。
解一阶微分方程是一项重要的数学技巧，它在多个学科领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一阶微分方程的解法以及其在实际应用中的例子。
1. 分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将方程中的变量分开，使得等式两边可以分别关于各自的变量进行积分。
以下是分离变量法的步骤：步骤1：将方程中的未知函数和其导数项分离。
步骤2：将两边的表达式分别关于各自的变量进行积分。
步骤3：解出方程中的未知函数。
步骤4：确定解的范围和常数。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = x^2。
按照分离变量法，我们可以进行如下操作：dy = x^2 dx （将未知函数和导数项分离）∫dy = ∫x^2 dx （两边分别积分）y = (1/3)x^3 + C （解出未知函数，C为常数）2. 齐次微分方程对于形如dy/dx = f(x)/g(y)的齐次微分方程，可通过变量代换来化简求解。
一般而言，令v = y/x，则dy/dx = dv/dx - v/x。
将此代入齐次微分方程中可以得到一个只包含v和x的方程。
解出v之后，再通过v =y/x求得y的表达式。
例如，考虑一阶齐次微分方程dy/dx = (3x^2 + 2xy)/(2x^2 + y^2)。
按照变量代换的方法，我们进行如下步骤：令v = y/x，则dy/dx = dv/dx - v/x。
代入齐次微分方程中可得：dv/dx - v/x = (3x^2 + 2xy)/(2x^2 + y^2)整理方程，得到：x dv/dx = (3x^2 + 2xy)/(2 + v^2) - v将分子中的2xy转化为v^2x^2，整理可得：x dv/dx = (3v^2 - 1)/(2 + v^2)对方程进行分离变量和积分后，可得到v的表达式。
一阶微分方程的初等解法总结
一阶微分方程的初等解法总结一、可分离变量方程：可分离变量方程是指方程中未知函数和其导数可分离的微分方程。
具体来说，即方程可以写成 f(y)dy = g(x)dx 的形式。
解此类型方程的关键是将两侧分离变量，然后进行积分。
二、齐次方程：齐次方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数相同。
具体来说，即方程可以写成 dy/dx = F(y/x) 的形式。
解此类型方程的关键是进行变量代换，令 y = vx，并进行化简和积分。
三、一阶线性方程：一阶线性方程是指方程中未知函数和其导数在方程两边的次数之和为1、具体来说，即方程可以写成 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的形式。
解此类型方程的关键是利用积分因子的概念，将方程进行变形，并进行积分。
四、恰当微分方程：恰当微分方程是指方程的左右两边可以构成一个梯度的微分方程。
也就是说，方程可以写成 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式。
解此类型方程的关键是找到一个函数 f(x,y)，使得∂f/∂x = M(x,y) 和∂f/∂y =N(x,y)，然后对 f(x,y) 进行求解。
在实际的应用中，经常会遇到以上四种类型的微分方程。
解这些方程的关键是要找到适当的变换或技巧，将其转化为常微分方程，并进行解析求解。
此外，还有一些特殊的一阶微分方程的解法，如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，也需要掌握相应的解法。
除了以上几种类型的微分方程，还存在一些无解析解或无一般解的微分方程，需要通过数值方法或近似解法来求解。
常见的数值解法有 Euler 法、改进的 Euler 法、Runge-Kutta 法等。
总之，对一阶微分方程的初等解法总结如下：1.可分离变量方程：将两侧分离变量，然后进行积分；2.齐次方程：进行变量代换，化简并积分；3.一阶线性方程：利用积分因子的概念，进行变形并积分；4.恰当微分方程：找到恰当微分方程的条件，并求解梯度函数；5. 其他特殊类型的一阶微分方程：如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等，需要掌握相应的解法；6.无解析解或无一般解的微分方程：需要利用数值方法或近似解法进行求解。
一阶微分方程解法
一阶微分方程解法在数学的广袤天地中，一阶微分方程是一个重要的研究领域。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
理解和掌握一阶微分方程的解法，对于解决实际问题和深入理解相关理论至关重要。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄＼frac{dy}｛dx} ＝ f(x,y)＄。
这里，我们的目标就是找到函数＄y ＝ y(x)＄满足这个方程。
首先，我们来谈谈分离变量法。
这是一种在一阶微分方程中较为常见且实用的解法。
如果方程可以改写成＄g(y)dy ＝ h(x)dx$ 的形式，那么我们就可以分别对两边进行积分：＄＼int g(y)dy ＝＼int h(x)dx$ 。
举个例子，考虑方程＄＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{x}｛y}＄。
将其变形为＄ydy ＝ xdx$ ，然后对两边积分：＄＼int ydy ＝＼int xdx$ ，得到＄＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$ ，进一步化简为＄y^2 x^2 ＝ 2C$ ，这就是原方程的解。
接下来是一阶线性微分方程的解法。
一阶线性微分方程的标准形式为：＄＼frac{dy}｛dx} ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄。
我们先求出它的积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后将方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}＼frac{dy}｛dx} ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄这时，左边可以变形为＄＼frac{d}｛dx}（ye^｛＼int P(x)dx}）＄。
所以，方程就变成了＄＼frac{d}｛dx}（ye^｛＼int P(x)dx}）＝Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄。
接下来对等式两边进行积分，就可以求出＄y$ 。
例如，对于方程＄＼frac{dy}｛dx} ＋ 2xy ＝ 2x$ ，这里＄P(x) ＝2x$ ，＄Q(x) ＝ 2x$ 。
总结一阶微分方程的类型及其解法概要
总结一阶微分方程的类型及其解法概要一阶微分方程是指仅包含一个未知函数及其导数的方程。
它们在物理学、工程学、经济学等各个领域中有着广泛的应用。
本文将总结一阶微分方程的不同类型及其解法概要。
1.可分离变量微分方程：可分离变量微分方程的形式为 dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是x和y的函数。
解这类方程的一般步骤如下：1) 将方程变换为 g(y)dy = f(x)dx；2) 对方程两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx；3)求出不定积分后，得到方程的解。
2.齐次方程：齐次方程的形式为 dy/dx = f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的函数。
解这类方程的一般步骤如下：1) 将方程变换为 dy/dx = F(x,y)，其中 F(x,y) = f(x,y)/y；2) 设v = y/x作为新的未知函数，将原方程转化为 dv/dx + v/x = F(x,v)；3)使用变量分离法或者常数变异法解得v=v(x)，再由v=y/x求出y(x)。
3.线性方程：线性方程的形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是x的函数。
解这类方程的一般步骤如下：1)设想解的形式为y=u(x)v(x)，其中u(x)是x的函数，v(x)是正常的待定函数。
2)将y=u(x)v(x)代入原方程，化简得到v(x)的方程。
3)求解得到v(x)的表达式，然后再解出u(x)的方程。
4)将u(x)和v(x)的表达式代入y=u(x)v(x)，得到方程的解。
4. Bernoulli方程：Bernoulli方程的形式为 dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，其中P(x)、Q(x)是x的函数，n是常数（不等于0和1）。
解这类方程的一般步骤如下：1)假设解的形式为y=u(x)^m，其中u(x)是x的函数。
2)将y=u(x)^m代入原方程，将原方程转化为关于u(x)的方程。
3)使用变量分离法或常数变异法解得u(x)的表达式。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法在数学的领域中，一阶线性微分方程是一类非常重要的方程，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下一阶线性微分方程及其解法。
首先，我们来明确一下一阶线性微分方程的定义。
一阶线性微分方程的一般形式是：＼y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼其中，＼（P(x)＼）和\（Q(x)＼）是已知的关于\（x\）的函数，＼（y'＼）表示\（y\）对\（x\）的导数。
为了求解一阶线性微分方程，我们需要用到一个重要的工具——积分因子。
积分因子的作用就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开求解方程的大门。
那么，什么是积分因子呢？积分因子\（＼mu(x)＼）是一个函数，使得方程两边同乘以\（＼mu(x)＼）后，方程左边可以化为某个函数的全导数。
对于一阶线性微分方程\（y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼），其积分因子为\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＼）。
接下来，我们看看具体的求解步骤。
第一步，先计算出积分因子\（＼mu(x)＼）。
第二步，将原方程两边同时乘以积分因子\（＼mu(x)＼），得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ e^｛＼int P(x)dx}P(x)y ＝ e^｛＼intP(x)dx}Q(x)＼这时，方程左边可以化为\（（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＼）。
第三步，对等式两边进行积分，得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C\第四步，最后解出\（y\）：＼y ＝ e^｛＼int P(x)dx}（＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C)＼为了更好地理解这个求解过程，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们要求解方程\（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）。
首先，＼（P(x) ＝ 2x\），所以积分因子\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int2xdx} ＝ e^｛x^2}＼）。
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2
GB
2
ln(
G B v x ) ． GB m
27-6
2018/6/8
7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
v
vdv dx ， G B v m GB
2
ln(G B v)
x C ． m
GB ln(G B) ，
由初始条件 x |t 0 0, v |t 0 0 得 v |x0 0 ，代入上式，得C 故该落体的速度与位移的函数关系为
v
ydx ( x x 2 y 2 )dy ．
27-10
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续解
这里将 y 为自变量，x 为未知函数. 由曲线 L 的对称性，我们可
dx x x ( )2 1 ． dy y y
以在 y 0 的范围内求解．这时上式可化为
x dx dv v v y 这是齐次方程．令 ，则 x yv ，有 ，代入上式，得 y dy dy
M1( x) N1( y)dx M 2 ( x) N2 ( y)dy 0
的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程．
设 g ( y) 0 ，将方程式（7.2.1）化为变量分离的方程
dy f ( x)dx. g ( y)
(7.2.3)
若 f 与 g 都是连续函数，两边积分，得
dy g ( y) f ( x)dx ．
7.2
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
一阶微分方程的常见类型及解法
可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 可用简单变量代换法求解的方程
27-1
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7.2.1
可分离变量的微分方程
形如
dy f ( x) g ( y， ) dx
定义 7.2.1 或
(7.2.1) (7.2.2)
(7.2.4)
27-2
设 G y 及 F x 分别为
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
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(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的 隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3） ，且式（7.2.5）含有一个任意常 数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的 通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．
ye
1 dx x
( xe xe
1 dx x
dx C ) e
ln x
( xe xe
ln x
dx C ) .
为了计算简便,上式中的 ln x 可用 ln x 代替，故原方程通解为
y eln x ( xe xe ln xdx C ) x(C e x ) ．
注 3：式 (7.2.10) 和 (7.2.14)的所有不定积分中不再含有任意常数．
27-14
例 7.2.5 求微分方程 y y cos x e sin x ln x 的通解．
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解 这是一阶非齐次线性微分方程，其中 P( x) cos x, Q( x) e sin x ln x ， 由通解公式（7.2.14）得该方程的通解为
dv dy dv 2 ． v y v v 1 ，得 2 dy v 1 y
积分得 以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
即 v v2 1
C )． 2
y ． C
x 代入得通解 y
y 2 2C ( x
由此可见，该曲线是以 x 轴为对称轴，焦点在原点的抛物线．
du (u ) ．这是可分离变量的微分方程． dx
du dx (u ) u x ．
于是
将其代入式(7.2.6)，得到 u x
当 (u) u 0 时，分离变量后积分得 记 F (u) 为
1 的一个原函数，则得 F (u) ln | x | C ， (u ) u
也称方程 (7.2.9)为对应于一阶非齐次线性微分方程(7.2.8) (Q ( x ) 0 ) 的齐次方程．
27-12
dy ， P( x) y 0 dx
(7.2.9)
对于一阶齐次线性微分方程
dy P( x) y 0 ．显然它是可分离变量的 dx
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微分方程，通过分离变量法，得到通解 y Ce P ( x )dx ． (7.2.10) dy 对于一阶非齐次线性微分方程 P( x) y Q( x) ， 我们可用所谓的 “常 dx
27-11
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7.2.3 一阶线性微分方程
定义 7.2.3 形如
dy P ( x 方程称为一阶线性微分方程．
如果 Q( x) 0 ，则方程（7.2.8）变为 称为一阶齐次线性微分方程．
如果 Q ( x ) 0 ，称方程（7.2.8）为一阶非齐次线性微分方程．
图7-2-1
由 题 意 ， PMT ， 由 光 学 反 射 定 律 有 OMA PMT ， 故
y AO OM ． 又 AO AN ON MN cot ON x ， 而 OM x2 y 2 ， y y 得微分方程 x x 2 y 2 ，即 y
(7.2.12)
把式（7.2.11） 、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
27-13
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积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11） ，得方程
但上式反映的是速度与时间的关系，并没有直接反映速度与位移的联系．
27-5
续解 为了得到速度与位移的关系，将 故微分方程化为
v
dv dv dv dx dv 表示成 v ， dt dt dx dt dx
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dv G B v ． dx m
分离变量后化为 两边积分，得
(7.2.7)
du u2 du 2u ux ,即 x ． dx u 2 dx u 2
分离变量得 积分得
1 1 dx ( )du ． 2 u x
1 1 u ln | u | C ln | x | ，即 ln | ux | u C ． 2 2
y ，整理，得原方程通解为 x ln | y | y C． 2x
注 1：从式（7.2.15）可以看出，一阶非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应的一阶齐次线性微分方程的通解与非齐次方程本身的一个特解之和． 后面将介绍这个结论对于高阶非齐次线性微分方程也成立．
注 2： 当 Q( x) 0 时，式(7.2.14) 即为式(7.2.10)，可见一阶齐次线性微分 方程的通解也包含在式 (7.2.14)之中．
y e cos dx [ e sin x ln x e cos dxdx C ] e sin x [ ln xdx C ]
e sin x ( x ln x x C ) ．
例 7.2.6
解
求微分方程 ( y x2e x )dx xdy 0 的通解． 1 原方程可化为 y y xe x ,是一阶非齐次线性微分方程．通解为 x
注 1：这种通过分离变量来解微分方程的方法称为分离变量法． 式 (7.2.2)用分离变量法类似可解．
注 2：在上述方法中，受到 g ( y) 0 的前提假设，如果扩大任意常数 C 的取值范围，则可使 g ( y) 0 的解仍包含在通解中．
27-3
例 7.2.1
dy y(1 x) 求微分方程 满足初始条件 y dx x
y 所以齐次方程 (7.2.6)的通解为 F ( ) ln | x | C ． x
27-8
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例 7.2.3
求微分方程 y 2dx (2 x2 xy)dy 0 的通解．
y ( )2 dy x ， dx y 2 x
解 原方程可化为齐次方程
y 令 u ，得 x
其间还受到介质的浮力 B 与阻力 R 的作用.已知阻力 R 与下坠的速度 v 成 正比，比例系数为 λ，即 R v .试求该落体的速度与位移的函数关系．
解 物体在下坠过程中所受到的合力为
F GBR．
设 x 轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间 t ， 物体的位移为 x x t ，速度为 v v(t ) ，故 x |t 0 0, v |t 0 0 ． 设 x 轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间 t ， 物体的位移为 x x t ，速度为 v v(t ) ，故 x |t 0 0, v |t 0 0 ． dv dv G B v 由牛顿第二定律得 m G B v ，即 ． dt dt m
数变易法”来求出它的通解，具体做法如下.
假设
dy P( x) y Q( x) 有形如 y C ( x)e P ( x )dx . dx
(7.2.11)
的解，这里 C( x) 为函数，并非常数．则
dy C(x)e P ( x )dx C ( x) P( x)e P ( x )dx . dx