最新(文章)算术平方根的双重非负性
算术平方根的性质
算术平方根的性质
算术平方根的性质是正数有算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。
由于正数有两个平方根，它们互为相反数，因此，我们求一个正数平方根时，只需要求出它的算术平方根，就可以得到正数的两个平方根。
根据算数平方根的意义可知，被开方数是非负数。
算术平方根的意义
算术平方根是正数的正的平方根和0的算术平方根是0。
当a大于或等于0时，根号下a表示a的算术平方根，括号根号下a括弧的平方等于a（a大于或等于零），根号下a的平方等于绝对值a，根号下a乘以根号下b等于根号下ab（a，b都大于或等于0）。
算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性
算术平方根√a(a≥0)具有双重非负性，一是被开方数具有非负性，即a≥0；二是算平方根本身具有非负性，即√a≥0。
算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，二是隐含性。
算术平方根的性质
双重非负性
如果x=√a
那么：1.a≥0（若小于0，则为虚数）
2.x≥0
与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
负数没有算术平方根。
算术平方根的产生
根号（即算术平方根）的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威解释（也就是毕达哥拉斯学派的学说），万物皆数（也就是说世界上所有的事物都可以用有理数来表示）。
对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示。
算术平方根的非负性运用
算术平方根的非负性运用
旧知链接 a 被1. 开a可方以数取a是任非何负数数吗,？即 a 0 .
2a. 是a非是负什 数，么即数a？ 0 .
也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.
负数不存在算术平方根，即当 a 0 时，a 无意义.
如： 6 无意义 ； 8是64的算术平方根 或 64 8 .
所以 3 m 0 m n 1 0
所以 m 3 n 4 所以 1 m 1 n 7
9 23
强调：几个非负数的和为0，则 这几个数都为0.
巩固练习 1.若 5-x 有意义，则x的取值范围是_x____5___.
2.若 m 2 化简 m 22 =_m_____2.
追问：若m<-2呢？ 结果(-m-2).
3. 是算术平方根的运算符号.
运用新知
例1 2-x 有意义，则实数x应满足条件为________.
解：要使 2-x有意义，需有2 x 0，即x 2.
变式：若m>0,则 m2 __m__ . 变式：若m<0,则 m2 __-_m_ .
强调： a2 a
当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 a 当a 0时，a2 0
3.已知 y x 3 3 x 2，则 y x =___8___.
4.已知 3 m (1 n)2 0 ，则 m+n=_4_____.
a
总结反思
运用算术平方根的双重非负性解决问题：
1.求算术平方根被开方数的取值范围.
2.化简简单的二次根式.
3.解决几个非负数和为2m 1 1 2m 1 ,求 y 2m .
4
解：由题意知 ： 2m10 12m0
所以
把m
所以
八年级数学上册第4章实数专题训练8算术平方根双重非负性的应用习题课件新版苏科版
∵ + ≥0， ( − ) ≥0，∴1＋ a ＝0，2－ b ＝0，
a
－1
解得 a ＝－1， b ＝2，所以 b ＝2 ＝ .
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5. 已知有理数 a 满足｜2 023－ a ｜＋ − ＝ a ，求 a
－2 0232的值.
解：依题意得 a －2 024≥0，则 a ≥2 024，∴2 023－
是
值，最小值
.
(2)[2023南通崇川区月考]代数式3－ − 的最大值
是
3
.
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7. [2024如皋月考]已知｜2 a ＋ b ｜与 + 互为相反
数，求2 a －3 b 的平方根.
解：∵｜2 a ＋ b ｜与 + 互为相反数，∴｜2 a ＋
解：∵ − ＋( y －2)2＋｜ x ＋ z ｜＝0，∴ x ＝1， y
＝2， z ＝－1，
∴ + − ＝ × + × + ＝3.
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第4章
实数
专题训练8 算术平方根双重非负性的应用
类型1
中被开方数 a ≥0的应用
1. 已知 是整数，则正整数 n 的最小值为
1
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2. [2024南通崇川区校级月考]若整数 x 满足｜ x ｜≤3，则使
算术平方根的双重非负性
算术平方根的双重非负性算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax=2，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=.算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，即0a≥，a的算术平方根a也是一个非负数，≥．这就是算术平方根的双重非负性．例题：已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)2＝0，求x－y的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即≥，a2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y的值，进而求得答案．()20,20y≥-≥，且x－1＋3(y－2)2＝0∴x-1=0，y-2=0.∴x=1,y=2∴x－y＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即≥，|a|≥0，a2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.巩固练习：1.若|x－2|+3-y=0,则xy=______.2.已知()0232212=++++-zyx，求x+y+z的值.3. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足04412=+-+-b b a ，求c 的取值范围．参考答案：1. xy =62. 解：因为21-x ≥0，()22+y ≥0，23+z ≥0，且()0232212=++++-z y x ， 所以21-x =0，()22+y =0，23+z =0， 解得21=x ，2-=y ，23-=z ， 所以x +y +z = 3-．3. 解：由04412=+-+-b b a ，可得0)2(12=-+-b a ，因为 1-a ≥0，2)2(-b ≥0， 所以1-a =0，2)2(-b =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b +a ，即1 < c < 3．。
利用算术平方根的非负性进行计算
利用算术平方根的非负性进行计算算术平方根的非负性是指一个非负实数的算术平方根也是非负的。
在数学中，利用算术平方根的非负性可以进行各种计算，包括求解方程、简化公式、推导关系等。
本文将对如何利用算术平方根的非负性进行计算进行详细的阐述。
首先，让我们来了解一下算术平方根的定义。
给定一个非负实数x，我们称一个非负实数y满足y²=x为x的算术平方根。
符号上，我们用√x表示x的算术平方根。
根据定义，我们有√x≥0，即算术平方根是非负数。
基于算术平方根的非负性，我们可以进行几种常见的计算。
首先，我们可以利用算术平方根的非负性求解方程。
考虑一个方程x²=a，其中a是已知的非负实数。
根据算术平方根的非负性，我们知道方程的解必然是非负实数。
因此，我们可以得出x=√a。
例如，对于方程x²=4，根据算术平方根的非负性，我们得出x=±√4=±2，即x可以是2或者-2、取非负解，我们得到x=2其次，我们可以利用算术平方根的非负性简化公式。
例如，我们考虑计算下列表达式：√(a²+b²)根据算术平方根的非负性，我们知道√(a²+b²)≥0。
因此，无需进行进一步计算，可以直接得出结果为非负实数0。
此外，我们也可以利用算术平方根的非负性推导关系。
例如，考虑两个非负实数a和b，满足a>b。
我们可以利用算术平方根的非负性证明以下关系：√a>√b首先，我们可以用反证法来证明上述关系。
假设√a≤√b，根据算术平方根的非负性，我们可以得到a≤b。
然而，这与假设a>b矛盾，因此原假设不成立。
所以我们可以得到√a>√b。
这个结论表明，对于两个非负实数，如果一个大于另一个，则它们的算术平方根之间的大小关系也是相同的。
综上所述，利用算术平方根的非负性进行计算可以大大简化问题。
我们可以利用算术平方根的非负性求解方程、简化公式以及推导关系。
数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)
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自学检测（3分钟）
平方 绝对值 算术平方根 正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一 根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性 你得到什么结论？ 一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数， 也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二 重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二 如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负 性）？三个非负数相加呢？ 两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是 非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。 讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足 什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？ 如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所 以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非 负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重 非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
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学习目标（2分钟解读）
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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。 一定是非负数的数就具有非负性 回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？ 两个相反数具备什么性质？ 还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.
二次根式的双重非负性在解题中的运用
二次根式的双重非负性在解题中的运用式子a表示非负数a的算术平方根，它是一个非负数，而a是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性。
它在初、高中数学中占有重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件。
现列举出这一性质在中考解题中的运用归类如下，以供大家参考，不对之处敬请指正。
类型一：确定自变量的取值范围例：若下列式子有意义，试确定x的取值范围。
评析：纵览《数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）及现行初中教材，可以归纳出在初中阶段对字母的取值有要求的只有三种情况：①分式中的分母不能为零。
②二次根式中被开方数要大于等于零。
③零指数幂的底数不能为零。
抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围，通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成。
类型二：求代数式的值评析：解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”这种模型思想。
而依据《标准》，初中阶段涉及的非负数有绝对值、偶次方和二次根式。
这也正符合《标准》增加的提高学生的运算能力的要求。
有了这些理念，学生就能明白算理，做到运算正确、有据、合理、简洁，学生的数学思想就能自然生成。
类型三：化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形：1.默认条件。
例： 18a3b2c=3ab2ac。
这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数。
2.给定条件。
评析：由于思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是-a这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验。
解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质，就能找到突破口，从而化难为易。
这体现了《标准》中“读懂学生的基础，读懂学生的思路，读懂学生的错误，读懂学生的情感”的要求。
二次根式两个非负性的运用
二次根式两个非负性的运用四川倪先德)0a≥的式子叫做二次根式．正确理解并灵活运用二次根式的这一定义，是解一些与二次根式相关的问题的关键．)0a≥是一个非负数．这个非负数可用数表示，也可用代数式表示，如5)3a≥等．这里实质包含两个非负性：a非负和a 非负．)0a≥表示非负数到本单元为止，已学习三个非负数：绝对值、平方数、算术平方根，它们有独特性质：若几个非负数的和为零，则它们分别为零，它还有一些性质，以后还要继续研究，非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．例1．若1+-ba与42++ba互为相反数，则=+2004)(ba_____．解：∵1+-ba与42++ba互为相反数，∴10a b-+=．又∵10a b-+≥0，∴⎩⎨⎧=++=+-421baba，解之得：⎩⎨⎧-=-=12ba．∴200420042004()(21)3a b+=--=．二、若有a存在，则0a≥由于只有非负数才有平方根和算术平方根，负数没有平方根和算术平方根．所以0a≥是a 存在的必要前提．例2．要使代数式32-x有意义，则x的取值范围是（）A．2≠x B．2x≥C．2>x D．2x≤解：要使代数式32-x有意义，就要求：20x-≥，所以，2x≥；选B．三、若有2a-存在，则0a=0=由于2a-存在，则20a-≥．即20a≤，而2a是非负数，所以0a=．例3．2004x-值．解：∵2)2005(--x存在，∴20050x-=即2005x=0=，2004200520041x-=-=．四、若a与a-同时存在，则0a=0==例4．若200420052005+-+-=xxy，求x y-的值．解：因为2005-x和x-2005同时存在，所以20052004x y==，．所以200520041x y -=-=．。
最新(文章)算术平方根的双重非负性
(文章)算术平方根的双重非负性........................................算术平方根的双重非负性一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根是0。
其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。
这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。
一、利用非负性①被开方数0≥a例1 x 为何值时，下列各式有意义。
⑴x -； ⑵x x +-1； ⑶14+x ； ⑷12+x ； ⑸112--x解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义；⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义；⑶当01>+x ，即1->x 时，14+x 有意义 ；⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义；⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，112--x 有意义，但无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。
评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。
例2 若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为 。
解：由被开方数0≥a 得，021,012≥-≥-x x21,21≤≥x x 所以21=x 把21=x 代入等式得4=y 故2421=⨯=xy ，应填2。
评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。
可以解出x 、y 值。
例3 比较x -5与()36-x 的大小。
解：由被开方数0≥a 得5,05≤≥-x x因此，06<-x ，()063<-x 所以x -5>()36-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。
算术平方根怎么算
一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。
计算a的算术平方根可记为√a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
1算术平方根的性质
（1）双重非负性
在x=√a中的a
①a≥0（若小于0，则为虚数）
②x≥0
（2）与平方根的关系
正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。
2平方根的性质
（1）一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
（2）负数在实数系内不能开平方。
只有在复数系内，负数才可以开平方。
（3）负数的平方根为一对共轭纯虚数。
3平方根和算术平方根的相同点
（1）前提条件相同：算术平方根和平方根存在的前提条件都是“只有非负数才有算术平方根和平方根”。
（2）存在包容关系：平方根包含了算术平方根，因为一个正数的算术平方根只是其两个平方根中的一个。
（3）0的算术平方根和平方根相同，都是0。
湘教版八上数学-活用二次根式的非负性
活用二次根式的非负性
吴育弟 二次根式a 表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：（１）a ≥0； （２）a ≥０．这两个“非负性”是二次根式的隐含条件，经常从以下角度来命题考查．
一、确定取值范围
例1（2015年南京）若式子x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 解析：根据题意，得x+1≥0，解得x ≥﹣1.
故填x ≥﹣1．
二、化简
例2（2015年黄冈模拟）已知a ＜0，化简二次根式b a 3-的结果是 ．
解析：因为a ＜0，所以ab a b a --=-3． 故填ab a --．
三、求值
例3（2015年荆门）当1＜a ＜2时，代数式a a -+-1)2(2的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．23a -
D ．32a -
解析：当1＜a ＜2时，a – 2＜0，1– a ＜0，所以1121)2(2=-+-=-+-a a a a ． 故选B ．
跟踪练习：
1.（2015年莱芜）要使二次根式x 23-有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．23≥x
B ．23≤x
C ．32≥x
D ．3
2≤x 2. 当ab ＜0时，化简2ab ，得（ ）
A ．b a -
B ．b a
C ．b a -
D ．b a --
3. 已知5260x y x -+++=，则31x y ++=______.
答案：1. B 2. A 3. 0。
二次根式中的“双非负性”
二次根式中的“双非负性”作者：***来源：《初中生世界·八年级》2020年第08期在二次根式a中，存在两个非负的性质。
一是被开方式a≥0，这是因为负数没有平方根的缘故。
它是所有二次根式有意义的先决条件，具有很强的隐蔽性。
我们在解题时，稍不留神就会掉入陷阱里。
二是二次根式的值a≥0，这是因为a表示a的算术平方根的缘故。
它是所有关于二次根式的等式成立必须要尊重的事实，是检验运算结果是否合理的重要依据。
这两条非负性质在“二次根式”这一章中既是重点又是难点，具有非常重要的地位，理解它是我们学好这一章节内容的前提。
下面让我们一起走进二次根式的双非负世界。
一、直接用双非负性解决问题1.利用a中的a≥0解决问题。
例1已知x、y满足x-3+5y+2=0，求x-y的值。
【解析】通过观察等式的结构我们可以发现：等式左边是两个二次根式的和，右边刚好为0。
我们知道，互为相反数的两个数的和等于0，但根据a≥0可知x-3≥0，5y+2≥0，在它们都不为负的情况下，只有x-3=0且y+2=0时原等式才成立，则x-3=0，y+2=0，所以x=3，y=-2，则x-y=3-（-2）=5。
2.利用a中的a≥0解决问题。
例2已知x、y满足x-3+53-x=y+2，求x+y的值。
【解析】观察式子的结构，左边仍是两个二次根式的和，但右边是y+2，不为0，故例1的思路不再适用。
我们经过进一步细细观察后发现：等式左边的两个根式的被开方式x-3和3-x刚好互为相反数。
根据a中a≥0可得x-3≥0且3-x≥0，可知只有x=3（两个不等式联列成的不等式组的解集）时，这两个不等式才同时成立。
把x=3代入x-3+53-x=y+2便可得y=-2，所以x+y=3+（-2）=1。
【点评】例1和例2都是通过一个等式解出包含两个未知数的特殊方程。
它们的形式存在相似之处。
我们首先要通过观察等式的特征辨别出题目的类型，然后根据题型选择具体的解法。
二、二次根式的双非负性对与它相等的代数式的约束所有与二次根式相等的代数式都必须要保持与这个二次根式符号的一致性，如公式“a2=|a|”和“（a）2=a（a≥0）”。
深度研究算术平方根的双重非负性
深度研究算术平方根的双重非负性江苏海安紫石中学 黄本华 226600.0)a ≥具有双重非负性。
一是被开方数具有非负性，即0a ≥。
二是算0。
算术平方根的双重非负性应用十分广泛，有难度，容易错，因此只有深度研究算术平方根的这两个非负性，我们解题才能轻松自如。
一、确定字母的取值范围例1已知实数ａ满足2017a a -=，求22017a -的值。
【分析】要去绝对值就要确定a 的范围。
由被开方数20180a -≥可得。
【解答】20180a -≥，2018a ∴≥∴20170a -<，2017a a ∴-=∴2017=，∴220182017a -=220172018a ∴-=【点评】此题被开方数为非负数具有隐含性，挖掘出这个隐含性，是解题的关键。
二、确定最大值或最小值例2 （2017宁波）当x 取 时，的值最小，最小值是 ；当x 取 时，2﹣的值最大，最大值是 ．【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x=0时，的值最小，当5﹣x=0时，2﹣的值最大．【解答】当10+2x=0时，的值最小，解得x=﹣5，此时的最小值为0． 当5﹣x=0时，即x=5时，=0，此时2﹣的值最大，最大值是2．【点评】熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键．三、求字母的值例3 如果y=+3，试求2x+y 的值．【分析】观察到被开方数24x ﹣和24x ﹣互为相反数，而它们又必须都大于等于0，所以它们必须都为0。
从而求出x 的值。
【解答】由题意得，22404020x x x ≥⎧≥⎪≠⎩+⎪⎨﹣﹣，解得2x =，所以，3y =，所以，22237x y +=⨯+=．【评注】：如果一条题目中出现的两个被开方数互为相反数，则这两个被开方数数都为00a =。
例4 已知：=0，求：代数式的值．【分析】右边为0，左边分子是两个非负数的和，所以这两个非负数都必须为0．同时必须注意分母的7a +，既是被开方数，又在分母上，故70a +>，这样避免多解。
平方根的概念与性质
平方根的概念与性质平方根是数学中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域。
在数学中，平方根是求一个数的平方的逆运算，可以将平方根定义为满足平方等于该数的非负数。
在讨论平方根的性质前，先来了解一下平方根的符号表示和计算方法。
在数学中，平方根通常用符号√来表示。
例如，√4表示4的平方根，它的值为2，因为2的平方等于4。
而√9则表示9的平方根，它的值为3。
在实际计算中，我们可以利用平方根的定义和公式进行求解。
在数学中，平方根具有以下几个重要的性质。
1. 非负性：平方根是非负数。
根据平方根的定义，如果一个数的平方根存在，则其平方根一定是非负的。
因为任意实数的平方都大于等于0，所以平方根的值不能是负数。
2. 唯一性：每个正数都有唯一的正平方根。
对于任意一个正数，它的平方根是唯一确定的。
例如，4的平方根是2，不存在其他正数的平方等于4。
3. 无理性：大多数数的平方根是无理数。
一个数的平方根如果不是整数，且不能表示为两个整数的比值，那么它就是一个无理数。
例如，2的平方根√2是一个无理数，它无限不循环地连续小数。
4. 代数性：平方根具有代数性质。
对于一个非负实数a和b，有以下代数性质成立：- 任意非负实数a，它的平方根可以表示为±√a。
- 平方根运算具有乘法运算的结合律，即√(ab) = √a * √b。
- 平方根运算具有除法运算的性质，即√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
除了这些基本性质外，平方根还有一些其他的特性。
在几何学中，平方根的概念与求解直角三角形的边长密切相关。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。
因此，通过求解平方根可以得到直角三角形的边长。
在物理学中，平方根的概念与速度和加速度的关系密切相关。
加速度是速度对时间的变化率，而速度是位移对时间的变化率。
通过平方根运算，可以求解速度和加速度之间的关系。
在工程学和科学研究中，平方根还被广泛应用于信号处理和图像处理等领域。
典例精析类题典例_巧用算术平方根的两个“非负性”
【例2－3】 如果y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013成立， x2
求x²＋y－3的值． 分析：由算术平方根被开方数的非负性知， x²－4≥0，4－x²≥0， 因此，x²－4＝0，即x＝±2； 又x＋2≠0，即x≠－2， 所以x＝2，y＝2 013，于是得解．
解：由题可知x²－4≥0，且4－x²≥0， ∴x²－4＝0，即x＝±2． 又∵x＋2≠0， 即x≠－2， ∴x＝2．
【例2－1】 若 x2 ＋y＝6，则x＝____0______， y＝_____6_____．
解析：由 x2有意义得x＝0，故y＝6． 【例2－2】 若|m－1|＋ n 5 ＝0，则m＝_____1_____， n＝____5______． 解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0， 所以m＝1，n＝5． 注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0.
将x＝2代入y＝ x2 4 4 x2 ＋2 013， x2
可得y＝2 013． ∴x²＋y－3＝2²＋2 013－3＝2 014．
【小结】由于初中阶段学习的非负数有三类，即一 个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平 方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问 题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．
2．巧用算术平方根的两个“非负性” 众所周知，算术平方根 a 具有双重非负性： （1）被开方数具有非负性，即a≥0. （2） a 本身具有非负性，即 a ≥0.这两个非负性形象、 全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问 题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖 掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成 的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
此类问题可以分成以下几种形式： （1）算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两 种组成一题〔| |时出现这三个内容〔| | ＋ ( ) ²＋ ＝0〕． （2）题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用 完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利 用非负数的性质进行计算．
实数 练习题(带答案
．
故选 ．
【标注】【知识点】无理数的估算
21. 已知整数 满足
，则 的值为
．
【答案】
【解析】 ∵ ∴ 又∵ ∴．
， ．
【标注】【知识点】无理数的估算
7
22. 若
，且 ， 为两个连续的正整数，则 的值是
．
【答案】
Байду номын сангаас
【解析】 ∵ ∴ ∴
， ，，
．
【标注】【知识点】无理数的估算
23. 已知 的算术平方根是 ， 的立方根是 ， 是 的整数部分，求
13. 写出一个大于 的无理数：
．
【答案】 答案不唯一，如：
【解析】
，并且 是无理数．
故答案为： ，但是不唯一．
【标注】【知识点】无理数大小的比较
14. 比较大小：
；
【答案】 ;
【解析】 ∴
∴
， ． ， ． ．
【标注】【知识点】二次根式比较大小
15. 如图，在数轴上标注了四段范围，则表示 的点落在（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 由图可知，点 所表示的数在 和 之间．
∵
，
∴
，故排除 ；
∵
，
，
故排除 ；
又由图可知点 所表示的数在 和 之间，
∵
，
，
∴
，
，
故排除 ，选择 ．
11
故选 ． 【标注】【知识点】实数与数轴
12
【标注】【知识点】无理数的估算
17. 比较大小：
．
【答案】
【解析】
，
，
∵被开方数越大，数越大，
∴
巧用算术平方根的非负性解题
巧用算术平方根的非负性解题算术平方根a （a ≥0）有双重非负性，其一是被开方数是非负数；其二是算术平方根本身是非负数，即：①被开方数a 是非负数；②a 是非负数.正确理解并灵活运用算术平方根的这两个非负性，是解一些相关的问题的关键．一、巧用被开方数a 是非负数解题例1 已知x 满足︳2008－x ︳＋2009-x ＝x ，那么x －20082的值为（ ）A ．2007B ．2008C ．2009D ．2010析解：由算术平方根被开方数的非负性可知x －2009≥0，即x ≥2009，∴x ＞2008， ∴x -2008＝x －2008.∵︳2008－x ︳＋2009-x ＝x ，∴x －2008＋2009-x ＝x ， ∴2009-x ＝2008，∴x －2009＝20082，∴x －20082＝2009.故选C.点评：应充分认识到算术平方根有意义的条件，即被开方数的非负性.例2 已知a 、b 都为实数，且满足b －3-a ＝a -3＋2，求a b ＋ba 的值. 析解：∵a －3≥0，3－a ≥0，∴a ＝3，b ＝2，故a b ＋b a ＝23 ＋32＝136 . 点评：若a 与a -同时有意义，则0a =，且0a a =-=. 二、巧用a 是非负数解题 例3 当x ＝_____时，3－x -2有最 值＝____ _． 析解：由x -2≥0，∴x -2有最小值为0，∴当x ＝2时，3－x -2有最大值为3. 点评：利用a ≥0，即x -2≥0是解决此题的关键.例4 若y 2＋4y ＋4与1-+y x 互为相反数，则xy ＝_____．析解：∵y 2＋4y ＋4与1-+y x 互为相反数，∴y 2＋4y ＋4＋1-+y x ＝0，即（y ＋2）2＋1-+y x ＝0.又∵（y ＋2）2≥0，z y x -+≥0，∴⎩⎨⎧=-+=+0102y x y ，解之得：⎩⎨⎧-==23y x ．∴xy ＝－6．点评：若几个非负数的和为零，则它们分别为零.非负数及它的性质，是重要的解题方法之一，务必要熟练掌握，才能灵活应用．自我评价：1．已知y ＝2-x ＋x -2－3，则y x ＝ .2．已知(x －1)2＋x y 5-＋1++-z y x ＝0，求x ＋y ＋z 的平方根.答案：1．18 ；2．±3.。
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算术平方根的双重非负性
一般地，如果一个正数x 的平方根等于 a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根是0。
其中算术平方根有一个非常重要的性质，就是它的双重非负性，即①被开方数0≥a ；②0≥a 。
这一性质在解题中有着极其广泛应用，以下举例说明。
一、利用非负性①被开方数0≥a
例1 x 为何值时，下列各式有意义。
⑴x -； ⑵x x +-1； ⑶
14+x ； ⑷12+x ； ⑸11
2--x
解：⑴当0≥-x ，即0≤x ，x -有意义；
⑵当01≥-x 且0≥x ，即10≤≤x 时，x x +-1有意义；
⑶当01>+x ，即1->x 时，14
+x 有意义 ；
⑷当012≥+x ，即x 取任意实数时，12+x 有意义；
⑸当012>--x ，即(),012>+-x 012<+x 时，11
2--x 有意义，但
无论x 取任何数，12+x 都不会是负数，故原式无意义。
评注：对于⑶、⑸这样的式子，除了应用被开方数0≥a 的性质外，还要注意分母不能为0。
例2 若x 、y 满足42112=+-+-y x x ，则xy 的值为 。
解：由被开方数0≥a 得，
021,012≥-≥-x x
2
1,21≤≥
x x 所以2
1=x 把2
1=x 代入等式得4=y 故2421=⨯=xy ，应填2。
评注：这里应用了被开方数0≥a ，而x x 2112--与是相反数，互为相反数的只有0，所以012=-x 。
可以解出x 、y 值。
例3 比较x -5与()3
6-x 的大小。
解：由被开方数0≥a 得
5,05≤≥-x x
因此，06<-x ，()063
<-x 所以x -5>()3
6-x 评注：本题看起来无从下手，其实隐含着被开方数0≥a 这一条件，应用这一条件可以求出x 的取值范围，然后依据x 的取值范围计算比较大小。
二、利用非负性②0≥a
例4 21++a 的最小值是 ，此时a 的取值是 。
解：因为01≥+a 所以221≥++a
当a+1=0，即a=-1时取等号。
故应填2、-1。
评注：本题利用非负性②0≥a ，因为是求最小值，所以当0=a 是有最小值。
例5 若92+-y x 与105+x 互为相反数，求x 、y 的值。
解：因为92+-y x 与105+x 互为相反数
所以010592=+++-x y x
又因为092≥+-y x ；0105≥+x
即⎩
⎨⎧=+=+-0105092x y x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧=-=272y x
评注：由0≥a 和0≥a ，以及几个非负数的和等于0，则这几个非负数一
定都为0可以得到⎩⎨⎧=+=+-0
105092x y x 。
从而计算出结果。
三、双重非负性的同时应用
例6 已知3323+-=+x x x x ，则x 的取值范围是 。
解：因为0323≥+x x ， 所以03≥+-x x ， 又因为03≥+x ，
所以0≥-x ，即0≤x ，
又03≥+x ，所以3-≥x ，
故x 的取值范围是03≤≤-x 。
评注：虽然大家没学习过如何将x 开方出来，但只要能灵活应用性质①被开方数0≥a 和性质②0≥a ，一样能求出x 的取值范围。
例7 若x 、y 、m 适合关系式y x y x m y x m y x --++-=-++--+2005200532353，试求m 的值。
解：由等式的右边，根据算术平方根的意义有：
02005≥+-y x 且02005≥--y x
所以2005≤+y x 且2005≥+y x
即2005=+y x
已知即为：()()02323=-+++--++⨯m y y x m y y x
0200523220053=-+⨯+--+⨯m y m y
⎩⎨⎧=-+=--+0
40100326015m y m y 解得2008=m 评注：抓住题目中隐含的条件——算术平方根具有双重非负性：①被开方数
0≥a ；②0≥a ，然后仔细观察，便不难解决此类问题。
《建筑构造与识图》习题库及答案
建筑工程系 潘华贵
本试题库包含建筑识图和建筑构造两部分，共有单选题208题（其中建筑识图部分48题），多选题80题（其中建筑识图部分24题），判断题95题（其中建筑识图部分15题），简答题19题（其中建筑识图部分5题），识图填空题3题53个空，作图说明题8题（其中建筑识图部分2题），（建筑构造部分6题有2题为较难题）解释题（建筑识图部分）4题（03G101-1）系较难题。
建议在选题时建筑识图部分40%-45%，建筑构造部分占55%-60%；所选题型可为单选题占20%-30%，多选题占20%，判断题占10%，识图填空题占20%，作图说明题占10%或简答题占10%，解释题占10%。
建筑识图部分：
一、单选题：（每题1分）
1、表示为（B ）。
A.A号轴线之后的第三根附加轴线
B.A号轴线之前的第三根附加轴线
C.0A号轴线之后的第三根附加轴线
D.0A号轴线之前的第三根附加轴线
2、定位轴线应用（ D ）绘制。
A．中粗实线 B．细实线 C．虚线 D．细点划线
3、定位轴线的端部圆圈直径为（A）
A.10mm
B.14mm
C. 24mm
D.没有要求
4、定位轴线的端部圆圈线型为（C）
A.粗实线
B.中实线
C.细实线
D.细虚线。