七年级下册数学培优资料1第五章 相交线与平行线 教师版

A七年级下册数学培优资料——第五章 相交线与平行线例1．如图(1)，直线a 与b 平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。

解：∵ a ∥b ， ∴ ∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)∴ ∠1＝∠2 (等式性质) 则 3x+70＝5x+22 解得x=24 即∠1＝142°∴ ∠3＝180°-∠1＝38° 图(1) 评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)， AB ∥EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B+∠BED+∠D =192°，∠B -∠D=24°，求∠GEF 的度数。

解：∵AB ∥EF ∥CD ∴∠B=∠BEF ，∠DEF=∠D （两直线平行，内错角相等）∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192° ∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换） 则∠B+∠D=96°（等式性质）∵∠B -∠D=24°（已知） 图(2) ∴∠B=60°（等式性质） 即∠BEF=60°（等量代换） ∵EG 平分∠BEF （已知）∴∠GEF=21∠BEF=30°（角平分线定义）例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

解：过E 作EF ∥AB∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理）∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF -∠BEF∴ ∠DEB =∠D -∠B=30°评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。

图（3）例4．平面上n 条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个G交点； …则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=21n(n-1) 评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。

例5．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。

另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条 评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=21n(n-1)例6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；…∴ 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域 推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+21n(n+1)=21(n 2+n+2)块不同的区域思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例7．两条直线相交于一点，所形成的的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n 条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？ 二、巩固练习 1（ ）条A ．6B ． 7C ．8D ．92．平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）FA ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，33．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ） A ．36条 B ．33条 C ．24条 D ．21条4．已知平面中有n 个点C B A ,,三个点在一条直线上，E F D A ,,,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n 个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n 等于（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）125．若平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ） A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对6．如图，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠3=( ) A ．90° B ．135° C ．150° D ．180°第 5 题第 6 题第7题7．如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E 与∠F 的大小关系 ； 8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还 有 交点 9．平面上3条直线最多可分平面为 个部分。

10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，PS ⊥GH 于P ，∠FRG=110°，则∠PSQ ＝ 。

11．已知A 、B 是直线L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。

12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。

13．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B14．已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D+∠F=∠E+∠G第13题 第14题15．如图，已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠CDA ，∠EDC+∠ECD =90°， 求证：DA ⊥AB16．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？答案第 15 题1． 5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C2．平面上3条直线可能平行或重合。

故选D3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。

故共有21条不重叠的线段。

故选D4．由n 个点中每次选取两个点连直线，可以画出2)1(-n n 条直线，若C B A ,,三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若F E D A ,,,四点不在一条直线上，可以画出6条直线， ∴.382632)1(=+---n n 整理得 2n .0)90)(10(,090=+-=--n n n ∵ n+9＞0 ∴,10=n ∴选B 。

5．直线EF 、GH 分别“截”平行直线AB 、CD ，各得2对同旁内角，共4对；直线AB 、CD 分别“截”相交直线EF 、GH ，各得6对同旁内角，共12对。

因此图中共有同旁内角4+6＝16对6．∵FD ∥BE ∴∠2=∠AGF ∵∠AGC=∠1-∠3∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180° ∴选B7．解：∵AB ∥CD （已知） ∴∠BAD=∠CDA （两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2 （已知）∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质）即∠EAD=∠FDA ∴AE ∥FD ∴∠E ＝∠F8．解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-30＝15个9．可分7个部分10．解 ∵AB ∥CD ∥EFF第 5 题第 6 题∴∠APQ ＝∠DQG=∠FRG=110° 同理∠PSQ=∠APS∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ=110°-90°=20°11． 0个、1个或无数个1）若线段AB 的垂直平分线就是L ，则公共点的个数应是无数个；2）若AB ⊥L ，但L 不是AB 的垂直平分线，则此时AB 的垂直平分线与L 是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB 与L 不垂直，那么AB 的垂直平分线与直线L 一定相交，所以此时公共点的个数为1个12．4条直线两两相交最多有1+2+3＝6个交点 13．证明：过E 作EF ∥BA∴∠2=∠A （两直线平行，内错角相等）DE ∥CB ， EF ∥BA∴∠1=∠B （两个角的两边分别平行，这两个角相等）∴∠1+∠2=∠B+∠A （等式性质）即∠AED=∠A+∠B14．证明：分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、PF 、GQ ，则AB ∥EH ∥PF ∥GQ （平行公理） ∵ AB ∥EH ∴ ∠ABE ＝∠BEH （两直线平行，内错角相等） 同理：∠HEF ＝∠EFP ∠PFG ＝∠FGQ∠QGD ＝∠GDC∴ ∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC ＝∠BEH+∠HEF+ ∠FGQ+∠QGD （等式性质）即 ∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD15．证明：∵DE 平分∠CDA CE 平分∠BCD ∴∠EDC=∠ADE ∠ECD =∠BCE (角平分线定义)∴∠CDA +∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE =2（∠EDC+∠ECD ）＝180° ∴ DA ∥CB 又∵ CB ⊥AB∴ DA ⊥AB 18．∵ 直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3条直线，∴ 最多能确定15+3+1=19条直线如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在直线CD 上有一点P ．C第 15 题（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？问题1：如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？问题2：如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？这两个问题请同学加以思考．例3：如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．分析：利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．解：过F到 FG∥CB，交 AB于G，则∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．因为 AE∥BD，所以，∠1=∠BFA(内错角相等)，所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．说明：(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．例4：求证：三角形内角之和等于180°．分析：平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．证：如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．显然∠1+∠BAC+∠2=平角，所以∠A+∠B+∠C=180°．说明：事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．例5：求证：四边形内角和等于360°．分析：应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．证：如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB 到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．∠C=∠4(同位角相等)，又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．说明：(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，…………………………n边形内角和=(n-2)×180°．这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF 与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4．证明：五边形内角和等于540°．5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．。