武汉大学数学物理方法
武汉大学数学物理方法4_2Γ函数
取 z = n 反复应用 ( 3 ) G ( n + 1) = n G ( n ) = n ( n - 1) G ( n - 1) = n ( n - 1)( n - 2 ) × × × [ n - ( n - 1)] G (1) = n! ( 5 )
1o当0 < x < 1 由(1) : G( x)G(1 - x) = ò e -t t x -1dt ò e -s s - x ds
G , B 来计算 2 个积分
下面我们用 1.
ò
0 1 0
1
x 3 e - x dx
4 -1
=
òx
e
-x
dx = G ( 4 ) = 3 !
= 6
2. ò
1
x
1
2n 2
-1
1- x x
dx =
-1
ò
0
x
2n 2
1- x
dx + ò
0
1
x
2n 2
1- x
dx
2
= 2ò
0
2n 2
1- x
dx, (注意B函数定义 )令x = t
p
于是得证
三. Γ函数是半纯函数 1.定义:在有限区域中除极点外别无其它奇点的函 数称为半纯函数. 2. Γ函数可延拓到除z=0,-1,-2…,n外的全平面. 3. Γ函数是半纯函数 4.利用函数关系可进行解析延拓.(见下页) 5. Γ函数的性质在全平面除z=0,-1,-2…外均成立.
(接上页性质 4 ) 如，由 P 87 知 B ( p , q ) = ò x p -1 (1 - x ) ( q -1) dx ,
¶ς ¶t ¶η ¶t ¶ξ ¶s -1 ¶η ¶s
武汉大学数学物理方法3_4罗朗级数
¥ 1 1 = = -å zk z -1 1- z k =0
\ f (z ) =
å (2
k =1
¥
k -1
1 - 1 k ,T展 z
)
(2 )以 z = 0 为中心
最后形式
1
o
å
k
c k z k , 范围 1o z < 1, 2 o1 < z < 2 ,3 o z > 2
T 展开
见 (1 )
2o
1< z < 2
k k =0
-1
¥
k
对于
å c (z - b )
k =0 k
k
: 在 z - b < R 内绝对收敛
在 z - b £ R ¢ < R 上一致收敛且和函数 f1 (z )解析
对于 å ck ( z - b ) = å c- k ( z - b )
k k = -1 k =1
-¥
¥
-k
1 ö æ = å c- kx ç x = ÷ z -bø è k =1
四、展开方法 1.直接利用展开定理(机会较少) 2.利用常用函数的T展开公式通过种种手段展开
例 : 将函数 f ( z ) =
(z - 1 )(z - 2 )
1
(1)在 z = 0的邻域中展开
(2 )以 z = 0 为中心展开 (3 )在环域 z - 1 > 1中展开
(4 )在奇点的去心邻域中展
1
开
1 1 解 : f (z ) = = (z - 1)(z - 2 ) z - 2 z - 1
(1 )z
= 0 的邻域 : 即 z < 1
×× 1 2
k
武汉大学：数学物理方法课件1_2三类数理方程的导出
Q u q= = K tS n
k 导热率
(3)热源强度:单位时间,单位体积放出热量
Q F= tV
2,分析: (1)研究的问题: [热量流动,是由温差造成]设u为温度 (2)已知:
Q C,ρ,k是常数
(3)方法: 与上面的方法相同
∴ u = u ( x,t )是一维问题
3,研究,建立方程: (1)考虑任一 x段在 t时间热量情况:
§1.2
三类数理方程的导出
一,弦的横振动: 1,物理模型:细长柔软弦,紧绷于A,B 之间,做微小横振动,求运动规律
2,分析:
α
(1)研究何问题: u(x , t) 为弦位移, 取如图所示坐标系 即平衡位置
α
1
2
T2
T1
x
x + x
(2)已知:
线密度 ρ ( x , t ) = ρ (t ), 重量不计 张力 T ( x, t )为切线方向 u 2 ux = 是小量 , u x = 0 x (3)研究方法:
2
∴由胡克定律可得: T ( x , t ) = T ( x ), (t ) = ρ ρ
又 sin x =
tgx 1 + tg 2 x
2
=
ux 1+ ux
2
= ux
∴ cos x = 1 + u x = 1 即 cos x1 = cos x2 = 1
代入<1> T1 = T2 = T 代入<2>
T [u x ( x + x1t ) u x ( x,t )] + F ( x + η 2 x1t ) x
ψ h ih = ψ + U ( r )ψ t 2
武汉大学数学物理方法5_5多值函数的积分
f (z) = za -1
1+ z
za -1
=
1 z1-a
,0 < a
<1
\ f (z )的支点： 0, ¥ ; 奇点 : z = - 1
1.从 0 ® ¥ 沿正实轴作割线，划出 单值区域
cR
ce e
R
2.选如图所示路径
ò ( ) ( ) 则 R
ò e
xei0 a -1 1+ xei0 d
ce 1 + z
1-e
1-e
Ⅴ
=
lim
z® -
1
é êë
(
z
+ 1)×
z a -1 ù z + 1 úû
=
e (a -1 )p i
=
e -api
[ ]ò \ 1 - e i 2p (a -1) ¥ x a -1 dx = 2p ie ip (a -1) 0 1+ x
ò¥ xa -1
0 1+ x
dx
ò Ⅲ = -
¥ x a -1e i 2p (a -1 ) dx
0
1+ x
ò Ⅱ £
z a -1 dz £ R a -1 × 2 p R = 2 p R a ¾ R¾®¾¥ ® 0
cR 1 + z
R -1
R -1
ò Ⅳ £
z a -1 dz £ e a -1 × 2p R = 2pe a ¾e¾®¾0 ® 0
=
2pie ip (a -1) 1 - e i 2p (a -1)
=
2pi e -ip (a -1) + e ip (a -1)
=
第十章习题课-武汉大学数学物理方法
r3
gi :
x
−
3
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
Wuhan University
第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2
武汉大学：数学物理方法课件1_2Legendre多项式
( )
l
(13)
2.积分式
ξ -1) ( 1 Pl ( x ) = dξ ∫ l* l l +1 2π i 2 (ξ - x )
2
(14 )
*Legendre:(1752.9~1833.1)常和拉格朗 日(Lagrange)和拉普拉斯(Laplace)并称 为法国数学界的“三L”。他在数论、 椭圆函数等方面有重要贡献。在确定彗 星轨道论文(1805)中比高斯更早的发现 了最小二乘原理。
0
l (l + 1) ∴ c2 = c0 2 ⋅1
x1 : 3 ⋅ 2c3 - 2c1 + l (l + 1)c1 = 0
l ( l + 1) - 2 ∴ c3 = c1 3⋅2 l (l + 1) - k ( k + 1) ] [ k x : ck + 2 = ck ( k + 2) ⋅ (l + 1)
( 2l - 2 ) ! 由此得： cl -2 = ( -1) l 2 ( l - 1) ! ( l - 2 ) !
( 2l - 4 ) ! cl-4 = ( -1) l 2 2! ( l - 2 ) ! ( l - 4 ) !
2
( 2l - 2n )! cl -2 n = ( -1) l 2 n ! ( l - n ) ! ( l - 2n ) !
( 3)
l + l -2⋅3 ∴ c4 = c2 4⋅3
2
= ( -1)
2
( l - 2 ) l ( l + 1) ( l + 3)
4!
c0
c5 = ( -1)
2
( l - 3) ( l - 1) ( l + 2 ) ( l + 4 )
武汉大学数学物理方法4_1解析延拓函数
第四章解析延拓·Γ函数§4.1 解析延拓一.解析延拓前言：前面我们已经从微积分，级数等不同的角度了解到解析函数具有很多优秀的性质，然而解析都是对一定的点和区域而言的，婴儿人们自然想到，若能通过某种方式将解析区域扩大，那就能使解析函数的优越性在更大范围内体现.所以，它将f(z)的定义域扩大了,我们称之为解析延拓,即简单的说解析延拓是解析函数的定义域的扩大.本章将学习解析延拓并在此基础上将物理上有用的积分г(x)延拓为г(z)中心：解析延拓和Γ函数目的：1.通过学习了解析函数的内唯一性定理，掌握初等解析函数的值由它在实轴或实轴上一段的值唯一确定（这将为后一章留数定理计算实积分奠定基础）2. г(z)的定义性质又如：在留数定理一章中，若f(x)在实轴上无奇点，改写f(x)为f(z)。
这实为，将解析函数在实轴上的值延拓到全平面除f(z)的奇点的所有点.注意：推广：若ïïïïîïïïïíì····Îκ)2()(2)1()(1)(s s H z f H z f z f 的解析函数、或为则)...](3)(2)[(1)(x f x f x f z f但不能经奇点延拓出z ，若此例中z=1正是这个奇点的存在，决定了解析延拓过程中各幂级数的收敛半径×××××®®=Î=<ºÇ=++Þå¥=)()()(1z )()(,)(,1|:|:)()(,....32121101111321z f z f z f H z f z z f z z f z f k kn 沿任一解析点邻域：去掉又在中在，如解析延拓可以不断进行中在解析区域由s s s s s ss s s s注意：由解析函数的唯一性定理知，解析函数在一个邻域上的值可由它在该区域内任一条小弧段或一个特殊的点列(只要它有一个点属于这个区域)完全确定.这又一次反映出解析函数有十分严格的内在联系,即在某一区域,值完全唯一的确定了.[如:在全平面解析,而在Zn=1/n取值为1/n(n=1,2…) 的函数只有一个W=z.因为,点列{1/n}以z=0为聚点,而z=0落在函数的解析区域内,w=z满足全平面解析,且在Zn=1/n取值为1/n的条件, 根据唯一性定理,这样的函数只有一个]由此可断言,象等这些初等解析函数只能象§1.4 那样定义.如,Sin z 和均解析而他们在实轴上的一段由相等还可推断初等实函等式在复函中也成立,如sin2z和2sinzcosz均解析,而它们在实轴上相等sinx=2sinxcosx,所以,sin2z=2sinzcosz还有如,实轴上取值等于Sin x,而在全平面上解析的函数只有一个,这个函数就定以为Sin z二.解析延拓的唯一性..,)(:1.ii 2i 2恒等则它们在整个区域也必域中恒等的一个字区已知它么在和中解析的函数若有两个在区域唯一性定理g G f z f G 即可中，在当中在只要证当中在则中在解析若中在中解析在和若欲证上结论0)(,0)(,0)(,0)()()()(,)(.2ii 2i 2ii 2i 22ii 2i 2¹¹®ºº-=®º=®z F g z F G G z F z F g f z f z F f z f G G f z f s3.证)(:)(,,0)(,,0)(0,0)(])()([,])([)()()(ii 2i 2,2,1,022110见后页注即以此类推即必须为与题设矛盾则当fz f G z z F g z z F a a a a g z z F a b z a b z a a b z b z a a b z b z a z F n m m m m m m mk k k ºÎº+κ××××××\Îι\»××××-+-+®××××-+-=-=+++¥=åa a[ 设E是一点集，a是一点（不属于E），若在a的任一邻域内都有E的异于a的点，则a称为点集E的一个聚点（或极限点）。
武汉大学：数学物理方法课件2_1Bessel函数
ν
(ν - ν )C0 = 0, 设 C0 ≠ 0
2 2
2 2 ( ν + 1) ν C1 = 0 → C 1 = 0
x v+k :
2 2 ( ν + k ) ν C k + C k -2 = 0
Ck -2 ∴ Ck = （3） k (2ν + k )
n m
n m ——称之为
J n ( x)
0 x 的第m个零点如： 1 = ?
0 , x2 =?
③本征值问题（9）～（10）或（9）’～（10）’
n 本征值为： m
k
=
n xm 本征函数为：y = Jn ρ a
n xm a
证：∵ 由（9）’=1有：y ( x ) = J n ( x ) 而由（10）’ 有 J n (ka ) = 0 即 ∴
由书p353，常微方程的级数解法知，
1 p( x ) = , x ν q( x ) = 1 - x
2
∴ x＝0为（1）的正则奇点，故
k+ρ y = C x ∑ k 1．令
∞
k =0
代入（1）：
∑(k + ρ)(k + ρ -1)Ck x + ∑(k + ρ)Ck x + ∑Ck x
(-1) x y = J ±ν ( x ) = ∑ k = 0 k ! Γ( ±ν + k + 1) 2
∞ k 2 k +ν
（**）
当 ν ≠ n : y c = Cν Jν ( x ) + dν J -ν ( x ) 当 ν = n : J - n ( x ) = (-1) J n ( x ) 2.
武汉大学数学物理方法5_3格林函数及其常用求法
格林公式入导出积分的工具它们的积分公式需先引的积分公式，为导出类问题需要先导出它们为用格林函数法求解这为混合问题问题为为狄氏函数其中当--¹¹==,0,;0;,0b a b a Neumen 一、格林公式1、为何引入格林公式(1)积分公式:所谓积分公式即解的积分表达式上具有连续一阶导数导数在中具有连续的二阶在和设-t t ),,(),,(z y x v z y x u òòòÑ×Ñ-Ñ×Ñ=D t t t t t vd u d v u vd u )(:则òòÑ×Ñ-×Ñ=ts t s vd u d v u r 2. 格林第一公式对称v u ,)2(的解方程的边值问题就有可能导出求第二公式使用和对则的求法后面我们专门会讲易求若因为为此我们引入点源函数Poisson z y x u G M M G Green z)y,G(c,),,()(G ),(0的解。
就有可能求得则由上述格林公式，如已知中已知一个、。
若、含有两个未知函数因为方程中利用上式显然不足以解)(,0,,),()3(M h u v v v u v u M h u -=D =D -=D)()()(),()()(),(000M h M M M u M M G M u M u M M G -=D -D ×d 的区域积分区间应挖掉第二公式故为应用为奇点以注意到e t Green M M M G ,),(00:)6()1(u G ×-×îíì=-=D ®îíì)(|)()()2()1(M f u M h M u n s îíì==D 0|)M (M,-G )M G(M,00s d n G 满足此时若选为狄式格林函数的称满足)M G(M,0\(11))()(|)2(.0(2)M f M g u n ==®=îíìs b 即中若(1)(2)将若不同时为0,0,¹a b a Q []),(),(),(),(),(),(),(),(12212112M M G M M G M M G M M G M M G M M G M M G M M G -+D -D l ),(),(),(),(1221M M M M G M M M M G d d -=并用第二格林函数积分,中对两边在t t t e d )(-()():,,12M M G M M G ×-×(1)(3)即可。
数学物理方法-武汉大学物理科学与技术学院
1．课程代码
0700136
0700340
2．课程名称
数学物理方法
Mathematical Methods in Physics
3. 授课对象
物理学基地班、物理学类、材料物理、电子科技和材料化学专业。
4．学分
4
5．修读期
第三学期
6．课程组负责人
责任教授：姚端正教授
主讲教师：姚端正教授；周国全副教授（在职博士生）
7．课程简介
数学物理方法是一门重要的基础理论课程。
本课程以培养学生具有用数学方法分析解决物理问题的能力为目的。
其内容包括复变函数、数学物理方程、特殊函数、非线性方程四篇。
其中复变函数篇包括解析函数、科西积分理论、无穷级数、Taylor及Lauren 展开、留数理论等内容；数学物理方程篇包括定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法等内容；特殊函数篇包括勒让德多项式、缔合勒让德函数、贝塞尔函数等内容；非线性方程篇包括非线性方程的一些初等解法和孤子等内容。
该课程采用课堂讲授、CAI和课外练习相结合的教学过程，并特别注重对学生分析、解决问题的能力和逻辑思维能力的培养，以使学生能较好地掌握本课程的知识，为后继课程的学习和日后开展科研和实际工作打下良好的基础。
8．实践环节学时与内容或辅助学习活动
上机4学时，辅以上习题课
9．课程考核
平时课堂小练习、课外作业，与期中、期末考试相结合考试
10．指定教材
姚端正著《数学物理方法》(第二版) 武汉大学出版社 1997。
11．参考教材
姚端正著《数学物理方法学习指导》科学出版社 2001。
12. 网上资源
有数学物理方法课程教学专题网站(见武汉大学校园网)。
武汉大学数学物理方法3_1有界弦的自由振动
( n = 0) ( n ≠ 0)
由式<11>得：
a0 b − y 2 b = a cos nπ xsh nπ ( y − b) n a a
(n = 0) ( n ≠ 0)
a0 = A0 D0 , an = An En 其中 2
于是，我们有：
u ( x, y ) = ∑ u n ( x, y )
X ( x )T (0) = ϕ ( x ) X ( x )T ′′(0) = ψ ( x ) 由于ϕ ( x)和ψ ( x)是任意函数， 此二式 不成立
二、本征值问题 1、先考虑定解问题
X ′′ − µX = 0 X (0 ) = 0 X (l ) = 0
得：
n π µ = − 2 a
2
2
, n = 0、 1、 2、 ...
nπ x X n ( x ) = A n cos a n 2π 2 将µ = − 2 代入Y ( y )的方程得： a 2 2 nπ Y ′′ − 2 Y = 0 a
其通解为：
C0 y + D0 , ( n = 0) Y ( y) = nπ nπ nπ Cch y + Dsh y = Esh ( y + F ) , (n ≠ 0) a a a
其中
E = D +C
2
2
a −1 C , F= th nπ D
由边界条件 y (b) = 0 有：
C0b + D0 = 0 nπ Esh (b + F ) = 0 a
故有：
( n = 0) (n ≠ 0)
D0 C0 = − , F = −b( E ≠ 0) b
因此：
武汉大学数学物理方法2_3Cauchy公式
e.g.
Ñ ò
ez dz, l = z = 1 n z
ì ez dz = 2p ie z z =0 = 2p i, (canchy公式) ïÑ l ò z ï z ï d n -1 z 2p i e Ñ l z n dz = í dz n-1 e z =0 = (n - 1)! (n 阶导数公式) ò ï ï0（Cauchy定理） ï î ③ 推论：若 j ( z ) 在曲线 l 上连续，
∴ 设
Df 1 f (x) 1 f (x)Dz - Ñ ò l (x -z)2 dx = 2pi Ñl (x -z -Dz)(x -z)2 dx ò Dz 2pi
m f (x) = M d = m x - z ax in
f (x )Dz f (x ) 1 ∴ Df - 1 Ñ l (x - z)2 dx £ 2p Ñ l x - z - Dz x - z 2 dx ò Dz 2p i ò Dz MS 1 M Dz < ×S = d3 2p 2 p d3
则
1 j(x ) f (z) = òl x - z dx 2pi p! j(z) ( p) f (z) = ò l (x -z)p+1 dx 2pi
由上述导数公式可推得： ④ 复通区域Cauchy导数公式仍成立 2．Cauchy不等式：
f
(n)
n ! MS ( z) £ 2p d n +1
d = min x - z
z =0
1 f (x ) f (z) = Ñ l x - z dx 2p i ò
fx f (x) 1 ÑCR x-zdz £Ñl x-z dx £ x - z Ñl f (x) dx ò ò ò 1 1 £ m f (x) ×2 R< z ×e2p ® ax p 0 R- z 1- R
武汉大学数学物理方法3_2非齐次方程—纯强迫振动
本节注意：
A 代入<4>式得： u ( x , t ) = (1 − cos ω t ) ω
(1)以上方法也适于求解带有其他齐次边界条件的非齐次 方程的定解条件，其主要精神是： <i> 先考虑对应的齐次问题，用分离变量法求得其齐次问 题的固有函数； <ii> 将未知函数按本征函数展开，其展开系数为另一变 量的系数，代入原非齐次方程和初始条件（或另一变量的 边界条件），得另一变量的常微分方程定解问题； <iii> 求常微分方程定解问题的解代入展开式得原定解问 题得解。这种分离变量的方法按其特点又叫本征函数。
而u ( x, t ) = ∫ v( x, t ;τ )dτ
0
t
所以我们可以想到，对于：
utt = a u xx + f ( x, t ) u | x =0 = 0 u | x =l = 0 u | = 0 t =0 ut |t =0 = 0
2
也可以先用冲量原理求解
根据冲量原理，先求解：
(1) 用分离变量法求得对应的齐次问题（即对应的齐次方 程连同齐次边界条件）的本征函数。 (2)将未知函数 u ( x，y )[或 u ( x，t )等]按上面求得的本征函 数展开，其展开系数为另一变量的函数，代入非齐次方程 和初始条件（或另一变量的边界条件），得到关于时间因 子的常微分方程的初值条件（或另一单元函数的常微分方 程的边值问题），用常数变易法或拉氏变换法可求得其 解。 (3)将所求得的解代入未知函数的展开式中，即得到原定解 问题的解。这种分离变量的方法按其特点又叫本征函数 （或固有函数）法。
3、有界弦（杆）的纯强迫振动的解：
将<8>代入<4>，得定解问题<1>~<3>的解为：
武汉大学数学物理方法其它柱函数
1．虚宗量Bessel方程的解：
∵
∆u ∆u
= +
0 λu
=
0
u=R(ρ )Φ(ϕ)Z ( z) →
Z ′′ + µZ = 0
Φ′′ + n2Φ = 0
ρ 2R′′ + ρ R1 + (k 2ρ 2 - n2 )R = 0
(8)
令 x = k ρ, y( x) = R(ρ ), n2 → ν 2
第二类虚宗量柱函（Macdona函），无论ν = n 与否
y通 = Cν Iν ( x) + dν kν ′′ ( x)
∵1o 若 ν ≠ n, Iν (x) 与之线性无关
2o 若
ν
= n, kn (x) =
(-1)n 2
2I-ν 2ν
- 2Iν 2ν
ν
=n
dR dl
=
dy dx
dx dρ
则
x2 y′′ + xy′ + (x2 -ν 2 ) y = 0
若
-λµ-µ <0，则记
λ-µ
µ
=
-k
2
,
此时（8）→ x2 y′′ + xy′ - ( x2 + ν 2 ) y = 0 (9)
称之为虚宗量Bessel方程
令Z =ix→ Z 2 y′′ + zy′ + (Z 2 -ν 2 ) y = 0 (9)′
①定义：N v
(x)
=
cos
2π
Jν (x) sinνπ
J -ν
(x) （1）
为第二类柱函数
②无论ν = n 与否，Jν (x)和 Nν (x) 均为ν
武汉大学：数学物理方法课件2_2Cauchy定理
大家自然会产生这样的疑问：补充了条件后的证明定律，实际上是更改和增加了定理条件，这对证明原来的定理也就失去了意义。
然而本定理不是这种情况，Cauchy 定理已于1900年由Coursat 在没有条件在内连续的条件下证明了。
后来我们也会看到，在内连续是包含在条件在内解析中的。
所以在这里实质上并未增加条件，也未出现循环推理，Coursat 证明引论CH4。
Cauchy 定理很重要，人们又称之为解析函数或积分的基本定理。
注意：()f z ¢()f z ¢s s ()f z ¢s∴12()()l l f z dz f z dz=òò现在我们清楚了为什么))i OAii OAzdz zdz=òò∵z 在复平面解析，第（2）个问题还有待于解决。
三、不定积分原函数：1．定理：若在内解析则在内()f z s s 0()()zz F z f d x x =ò一单值解析，且()()F z f z ¢=2．原函数定义：若()()z f z ¢F =则称 为 的原函数，显然()z F ()f z 0()()()zz F z f d f z x x =ò为的一个原函数，∵()()F z f z ¢=当然原函数不是唯一的，任意两原函数()()z F z CF -=只差一常数即②证：∵()()z F z CF -=[]()()()()()()0z F z z F z f z f z ¢¢¢F -=F -=-=()()z F z C F -=∴即0()()zz z f Cx F =+ò4．Newton-Leibniz 公式：对于，取()()()z z z F z C f d Cx x F =+=+ò0z z =则0()z CF =∴0()()()zz f d z z x x =F -F ò但若分别以为中心作小圆，则挖去二小圆后便得一复通区域，1z =±被积函在此复通区域解析，因此我们自然考虑到复通区域Cauchy 定理是否存在？若存在，此积分应易于求出，究竟怎样求出。
15.1贝塞尔函数--武汉大学数学物理方法
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四、本征值问题
15.1 Bessel函数
(1) J n ( x)是一振荡函数。
∞
(−1) k x 2 k x 2 1 x 4 J 0 ( x) = ∑ ( ) = 1− ( ) + ( ) −L 2 2 2 2 (2!) 2 k = 0 ( k! ) ∞ (−1) k x 2 k +1 x 1 x 3 J1 ( x ) = ∑ ( ) = − ( ) +L 2 2 1!2! 2 k = 0 k!( k + 1)!
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一、 Bessel方程的级数解
15.1 Bessel函数
x 2 y′′( x) + xy′( x) + ( x 2 −ν 2 ) y ( x) = 0 (1) → y ( x) = ? 1 ν 2 x = 0 − 方程的正则奇点。 p( x) = , q( x) = 1 − ( ) x∞ x 1、令 y = ∑ ck x k + ρ , 则
Jν ( x) Γ(−ν + 1) x 2ν ≈ ( ) J −ν ( x) Γ(ν + 1) 2
－随x的值而变。
通解：
yc ( x) = cν Jν ( x) + dν J −ν ( x)
(2) 当ν = n时, J − n ( x) = (−1) n J n ( x) (6)
问： J n (− x) = ?
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= ( − 1) n J n ( x ) = J − n ( x )
四、本征值问题
15.1 Bessel函数
⎧ ρ 2 R′′( ρ ) + ρR′( ρ ) + (k 2 ρ 2 − n 2 ) R( ρ ) = 0 (9) 1、 ⎨ (10) ⎩ R(a) = 0⎧ 2 ′′ 2 2 ⎪ x y + xy′ + ( x − n ) y = 0 (9)′ 即：⎨ (10)′ ⎪ ⎩ y x = ka = 0
武汉大学：数学物理方法课件1_3孤波
2、确定g (u )、f (v) : uζ = f (v ) vτ = g (u ) (6) (7) f (v), g (u ) − 待定
由(3)启示我们对(6)(7)求导来确定f , g的形式
d (6) : uζτ = f ′(v )vτ = g (u ) f ′(v ) (8) dτ d (7) : vζτ = f (v ) g ′(u ) (9) dζ 为了与Φζη 发生关系、Φζη
类似的由 (17 )得 : Φ = 4th −1 exp [α ⋅ τ + C2 (ζ )] 由的两个表达式
1 ∴ C1 (τ ) = ατ + δ , C2 (ζ ) = ζ + δ α 1 ∴ Φ = 4th exp ζ + ατ + δ α
−1
Φ ( x, t )
x−t α Φ = 4th exp + (x + t) + δ 2 2α 1 1 1 1 −1 = 4th exp ( + α ) x + (α − ) + δ 2 α 2 α
(10) + (11) : g (u ) f ′(v) = sin u cos v g (u ) cos v 令 = =α sin u f ′(v)
于是得 : g (u ) = α sin u (12)
f (v) cos u 令 (10) − (11) : = =β sin v g ′(u )
3、u和Φ
1 1 2 2 =a ⋅ θ =a ⋅ θ θ e + 1 + 2e e + e −θ + 2
= a2 ⋅
1 (e + e ) 2
武汉大学：数学物理方法课件1_3Legendre多项式的性质
练习: 推导 ∫ xPl ( x ) Pk ( x ) dx = ?
-1
1
1
-1
x 2 Pl ( x ) Pk ( x ) dx = ? ∫
四,广义傅氏展开
f ( x ) = ∑ Cl Pl ( x )
l =0
∞
(8 )
2l + 1 1 Cl = ∫ f ( x ) Pl ( x ) dx ( 9 ) 2 1
1 -1
(6)
(7)
∫ ( 6 ) Pk ( x ) - ( 7 ) Pl ( x ) dx =
1 1
∫ Pk ( x ) Pl ( x ) dx k ( k + 1) - l ( l + 1) =
d (1 - x 2 ) Pl ′( x )Pk ( x ) dx ∫ -1 dx 1 d 1 - x 2 Pk′ ( x ) Pl ( x ) dx -∫ -1 dx
t
(1 - 2 xt + t
2
)
3
2
= ∑ Pl ′( x ) t l
l =0
∞
t ∑ P ( x ) t = (1- 2 xt + t l =0 l
∞ l
2
Pl ′( x ) t l )∑
∞ l =0
t l +1 : Pl ( x ) = Pl′ 1 ( x ) - 2 xPl′( x ) + Pl ′ ( x ) + -1
(*)
②在求解数学物理方程时其解常是某函数的无穷 技术,如稳恒电场德阶就是Legendre级数.
(1 + 3cos2 θ ) 例:求一表面充电至电位为
的单位空心球内任一点的电位. 解:
武汉大学姚端正报告——浅谈数学物理方法的学习共54页
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一、本课程的内容和特点
对物理问题的处理，通常需要三个步骤： ➢ 利用物理定律将物理问题翻译成数学问题； ➢ 解该数学问题，其中解数学物理方程占有很 大的比重，有多种解法； ➢ 将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得 结果的物理意义。
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二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课 2.数理方法是进行基础研究的重要工具 3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
“金钱如粪土，朋友值千金” “朋友如粪土”
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二、数学物理方法在物理学中的地位
3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂”
力学
热学
电学
原子物理
理力
热统
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电动
量子力学
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂”
力学
热学
电学 原子物理
数学物理方法
理力
热统
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂” 数理方法是学习专业课的奠基石
材料物理： 热处理 热传导方程 光学、电子科技: 电磁波传播 波动方程
理论物理： 稳恒场 泊松方程
基础课与专业课的关系:
“这好比一把斧头，基础是斧背，专业是斧刃。 斧背要厚，斧刃要尖，这样的斧头才会锋利无比”。
武汉大学数学物理方法2达朗贝尔公式
3、用初始条件定特解： 由方程<2>可得：
f1 ( x) + f 2 ( x ) = ϕ ( x ) <5>
由方程<3>可得：
df 1 ( x + at ) d ( x + at ) d ( x + at ) dt
+
t =0
df 1 ( x − at ) d ( x − at ) d ( x − at ) dt
解：
∂2 ∂ ∂2 ( 2 +2 + 3 2 )u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y
由上式可得：
∂ ∂ ∂ ∂ ( +3 )( − )u = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y
x = ξ + η 我们令： y = 3ξ − η
<4> <5>
∴
∂x ∂ξ = 1 ∂y = 1 ∂ξ
x = x (ξ , η ) 若引入 t = t (ξ , η )
使得： ∂ = ∂ ∂ t + ∂ ∂ x = A ( ∂ + a ∂ )
∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ξ ∂t ∂x
∂ ∂ ∂t ∂ ∂x ∂ ∂ = + = A( + a ) ∂η ∂t 将上两式带入<4>式，得到：
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] 2 1 x + at + ψ (α ) d α <7> ∫ 2 a x − at
三、分析解答： 1、适定性： 含参变量求导公式： ∂ ∂t
∫
x + at
x − at
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充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)
在(x,y)处满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
f
(z)
zz
dz
dt
Argf '(z0)
导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过 =f(z)映射后通过z0的任何曲线 在z0的伸缩率
=f(z)
lim f (z) f (z0 ) lim exp( i) lim ei( )
zz0
z z0
zz0 r exp( i ) zz0 s
Cauchy-Riemann条件 必要条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点
z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在区 域B内可导 两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处处不可导
可导必连续
求导法则
d dz
1
2
举例
f (z) z2
实部
虚部
f (z) sin z
实部
虚部
最大和最小值只能在边界上达到
给定实部或虚部，求解析函数
例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。
例2：已知某解析函数 f(z)的虚部
v(x, y) x x2 y2 ,
求该解析函数。
第三节 解析函数的变换性质
第二章 解析函数
第一节 导数 第二节 解析函数 第三节 解析函数的变换性质 第四节 平面标量场
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在
/3
x
f(z)=z3
v
Oa
z ia
O
u
O
x
在解析变换下调和方程式不变的
设 =f(z)是某区域B内的解析函数，它将z
平面上的区域B变为 平面上的一个区域
D，而将B上的函数u(x,y)将为u( , )，则
有
2u x2
2u y 2
|
f
(z) |2
2u
2
2u
2
y
u(x,y)
z=x+iy可导，那么有 1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在；
x y x y 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
u v , v u x y x y
逆命题不成立
f (z)
Re
z Imz
xy ,
xy 0
i | xy |, xy 0
f(z)在z=0处不可导
解析函数是一个保角映射
=f(z)
解析函数 非解析函数： =Rez
解析函数将z平面上的区域变为 平面上 的区域
解析函数可以将z平面上的一个区域变换 为 平面上的一个区域，其中区域的边界
变换为区域的边界，甚至保持边界的方向 不变；同时区域的内部变换为区域的内部
y
v
B
D
O
x =f(z)
O
u
举例
y
O
d1
dz
d2
dz
d dz
1
2
1
d2
dz
2
d1
dz
d dz
1 2
12 12 22
d 1 dz dz d
dF() dF d dz d dz
几何意义
导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过 =f(z)映射后在z0处的 转动角
=f(z)
d df (z0 ) dz(t0 )
dt tt0
函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内 可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann 条件
4. 解析函数的充分条件
设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足 (1) u(x, y)和v(x, y)在B内的偏导数存在且连续； (2)在B内每一点满足Cauchy Riemann条件
解析函数的概念
设函数 =f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0 处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内 是解析函数
说明
1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数 在B内可导
2. 称函数的不解析点为奇点
3. 解析函数的充分必要条件
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , v 1 du
r r r r d
举例
dez ez dz d sin z cosz
dz
dLnz 1 dz z
d cosz sin z dz
d sinh z coshz dz
d coshz sinh z dz
第二节 解析函数
sin
1 zz
,
z0
0,
z0
其实部在原点不连续
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可 导的充分必要条件是
1. u(x, y),v(x, y)在(x, y)点处可微； 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 df (z) u i v v i u dz x x y y
那么f(z)在B内解析。
解析函数的主要性质
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1， v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则 u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
u( , )
B
D
O
x
=f(z)
O
第四节 平面标量场
用复变函数表示平面标量场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场 等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则 称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的 场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方 向的平面上的场，这样的场称为平面场。
取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来