武汉大学数学物理方法

解析函数的概念
设函数 =f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0 处解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内 是解析函数
说明
1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 在区域B内的解析函数 在B内可导
2. 称函数的不解析点为奇点
3. 解析函数的充分必要条件
举例
f (z) z2
实部
虚部
f (z) sin z
实部
虚部
最大和最小值只能在边界上达到
给定实部或虚部，求解析函数
例1：已知某解析函数 f(z)的实部u(x,y)=x2-y2，求该解析函数。
例2：已知某解析函数 f(z)的虚部
v(x, y) x x2 y2 ,
求该解析函数。
第三节 解析函数的变换性质
函数 f(z) 在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内 可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann 条件
4. 解析函数的充分条件
设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足 (1) u(x, y)和v(x, y)在B内的偏导数存在且连续； (2)在B内每一点满足Cauchy Riemann条件
第二章 解析函数
第一节 导数 第二节 解析函数 第三节 解析函数的变换性质 第四节 平面标量场
第一节 导数
导数的定义
设 =f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
lim lim f (z) f (z0 )
z z0
zz0
z z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在
z0点处的导数或微商，记为
f
(z0 ),
df (z) dz
z z0
或
df (z0 ) dz
说明
如果函数 =f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在区 域B内可导 两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证 =z*在z平面上处处连续，但处处不可导
可导必连续
求导法则
d dz
1
2
z=x+iy可导，那么有 1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在；
x y x y 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
u v , v u x y x y
逆命题不成立
f (z)
Re
z Imz
xy ,
xy 0
i | xy |, xy 0
f(z)在z=0处不可导
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , v 1 du
r r r r d
举例
dez ez dz d sin z cosz
dz
dLnz 1 dz z
d cosz sin z dz
d sinh z coshz dz
d coshz sinh z dz
第二节 解析函数
d1
dz
d2
dz
d dz
1
2
1
d2
dz
2
d1
dz
d dz
1 2
12 12 22
d 1 dz dz d
dF() dF d dz d dz
几何意义
导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过 =f(z)映射后在z0处的 转动角
=f(z)
d df (z0 ) dz(t0 )
Байду номын сангаас
dt tt0
/3
x
f(z)=z3
v
O
u
v y
ia
z ia
z ia
O
u
O
x
在解析变换下调和方程式不变的
设 =f(z)是某区域B内的解析函数，它将z
平面上的区域B变为 平面上的一个区域
D，而将B上的函数u(x,y)将为u( , )，则
有
2u x2
2u y 2
|
f
(z) |2
2u
2
2u
2
y
u(x,y)
取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来
u( , )
B
D
O
x
=f(z)
O
第四节 平面标量场
用复变函数表示平面标量场
在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场 等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则 称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的 场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方 向的平面上的场，这样的场称为平面场。
充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)
在(x,y)处满足
1. u , u , v , v 在(x, y)点处存在且连续； x y x y
2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
逆命题不成立
f
(z)
zz
那么f(z)在B内解析。
解析函数的主要性质
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1， v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线
举例
f (z) z2
f (z) ez
红:实部 兰:虚部
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则 u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数
dz
dt
Argf '(z0)
导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过 =f(z)映射后通过z0的任何曲线 在z0的伸缩率
=f(z)
lim f (z) f (z0 ) lim exp( i) lim ei( )
zz0
z z0
zz0 r exp( i ) zz0 s
Cauchy-Riemann条件 必要条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点
sin
1 zz
,
z0
0,
z0
其实部在原点不连续
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可 导的充分必要条件是
1. u(x, y),v(x, y)在(x, y)点处可微； 2. 在(x, y)点处满足Cauchy Riemann条件
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 df (z) u i v v i u dz x x y y
解析函数是一个保角映射
=f(z)
解析函数 非解析函数： =Rez
解析函数将z平面上的区域变为 平面上 的区域
解析函数可以将z平面上的一个区域变换 为 平面上的一个区域，其中区域的边界
变换为区域的边界，甚至保持边界的方向 不变；同时区域的内部变换为区域的内部
y
v
B
D
O
x =f(z)
O
u
举例
y
O