稳态误差计算(普通解法)

z →1
(6-63)
称为离散系统的静态速度误差系数。 3．加速度输入时的稳态误差 当系统输入为加速度函数 r (t ) =
A t 2 2 时，其 z 变换函数
R( z ) =
系统稳态误差
AT 2 z ( z + 1) 2( z − 1) 3
e(∞) = lim
z →1
AT 2 ( z + 1) AT 2 AT 2 = = 2( z − 1) 2 [1 + G ( z )] lim( z − 1) 2 G ( z ) Ka
A t 时，其 z 变换函数 ATz ( z − 1) 2
R( z ) =
系统稳态误差
e(∞) = lim
z →1
AT AT AT = = ( z − 1)[1 + G ( z )] lim( z − 1)G ( z ) K v
z →1
(6-62)
式中
K v = lim( z − 1)G ( z )
⎡ K ⎤ 1 ⎤ ⎡1 G( z) = Z ⎢ = KZ ⎢ − ⎥ ⎣ s s + 1⎥ ⎦ ⎣ s ( s + 1) ⎦
z ⎛ z =K⎜ − −T ⎝ z −1 z − e
系统特征方程为
图 6-21 离散系统结构图
K (1 − e−T ) z ⎞ = ⎟ −T ⎠ ( z − 1)( z − e )
行数 1 2 得到 联立上述条件，有
z0 e −T
z1
(1 − e−T ) K − 1 − e−T (1 − e−T ) K − 1 − e−T
z2
1
e −T
1
1 > e −T
0<K < 2(1 + e−T ) 1 − e −T T >0
可以绘出使系统稳定的参数范围如，图 6-22 中阴影部分所示。 (2) 系统静态速度误差系数为
Ts
(6-66)
Φ e* ( s ) = c0 + c1s + c2 s 2 + L + cm s m + L
cm =
(6-67) (6-68)
1 d mΦ e* ( s ) m ! ds m s =0
( m = 0, 1, 2,
L)
定义 cm , m = 0, 1, 2, L , 为动态误差系数，则过渡过程结束后，系统在采样时刻的稳态误差 为
&(kT ) + c2 && ess (kT ) = c0 r (kT ) + c1r r (kT ) + L + cm r ( m ) (kT ) + L
这与连续系统用动态误差系数法计算系统稳态误差的方法相似。 例 6-23 单位负反馈离散系统的开环脉冲传递函数为
( kT > ts )
(6-69)
1 > 0.231 K
*
图 6-22 使系统稳定的参数范围
即在稳定范围内，系统可能达到的最小速度误差 essv = 0.231 ，此时开环增益 K = 4.328 。
6.6.3
动态误差系数法
对于一个稳定的线性离散系统，利用终值定理或静态误差系数法，只能求出当时间
t → ∞ 时系统的稳态误差终值，而不能提供误差随时间变化的规律。通过动态误差系数法，
&(t ) = t , && r (t ) = 1, &&& r (t ) = 0 ，所以动态误差系数只需求出 c0 , c1 和 c2 。 因为 t > 0 时， r
Φ e* ( z ) = Φ e ( z ) z =e =
Ts
e 2 s − 1.368e s + 0.368 e 2 s − e s + 0.632
G( z) =
e − T z + 1 − 2e − T 0.368 z + 0.264 = 2 −T ( z − 1)( z − e ) T =1 z − 1.368 z + 0.368
2
0.368 z + 0.264 →∞ z − 1.368 z + 0.368 0.368 z + 0.264 =1 K v = lim( z − 1) 2 z →1 z − 1.368 z + 0.368 K p = lim
e(∞) = lim
z →1
( z − 1)( z − 0.368) =0 z 2 − 0.736 z + 0.368
2
当 r (t ) = t ，相应 r (nT ) = nT 时， R ( z ) = T z ( z − 1) ，于是由式(6-59)求得
e(∞) = lim
z →1
T ( z − 0.368) = T =1 z − 0.736 z + 0.368
c0 = Φ e* (0) = 0 d * Φ e ( s) s =0 = 1 ds d2 1 c2 = 2 Φ e* ( s) = s =0 ds 2 c1 =
系统稳态误差在采样时刻的值为
&(kT ) + c2 && ess (kT ) = c0 r (kT ) + c1r r (kT ) = kT + 0.5
z →1
Kp = lim G ( Leabharlann Baidu )
z →1
z →1
Kv = lim( z −1)G( z)
位置误差
速度误差
加速度误差
r(t) = A×1(t)
A (1 + K p )
r (t ) = At
r(t) = At 2 2
∞ ∞
AT 2 K a
0型
1型 2型
Kp
0
0 0
∞
AT K v
∞
∞
Kv
0
∞
Ka
0
6.7.1
闭环极点分布与瞬态响应
在连续系统中，闭环极点在 s 平面上的位置与系统的瞬态响应有着密切的关系。闭环极 点决定了系统瞬态响应中的模态。同样，在线性离散系统中，闭环脉冲传递函数的极点在 z 平面上的位置，对系统的动态响应具有重要的影响。明确它们之间的关系，对离散系统的分 析和综合是有益的。 设系统的闭环脉冲传递函数
z →1
(6-64)
式中
K a = lim( z − 1) 2 G ( z )
z →1
(6-65)
称为离散系统的静态加速度误差系数。 归纳上述讨论结果， 可以得出典型输入下不同型别离散系统的稳态误差计算规律， 见表 6-2。 表 6-2 系统 型别 离散系统的稳态误差
Ka = lim( z − 1)2 G( z )
(6-59)
式(6-59)表明，线性定常离散系统的稳态误差，与系统本身的结构和参数有关，与输 入序列的形式及幅值有关，而且与采样周期的选取也有关。 例 6-21 设离散系统如图 6-20 所示，其中， G ( s ) = 1 s ( s + 1) ，采样周期 T = 1s ，
输入连续信号 r (t ) 分别为 1(t ) 和 t ，试求离散系统的稳态误差。 解 系统开环脉冲传递函数
D( z ) = ( z − 1)( z − e −T ) + K (1 − e −T ) z = z 2 + [(1 − e −T ) K − 1 − e −T ]z + e −T = 0
利用朱利稳定判据
⎧ D(1) = K (1 − e −T ) > 0 ⎪ ⎨ −T −T ⎪ ⎩ D(−1) = 2(1 + e ) − K (1 − e ) > 0
z (1 − e −1 ) G ( z ) = Z [G ( s )] = ( z − 1)( z − e −1 )
系统的误差脉冲传递函数
Φ e ( z) =
1 ( z − 1)( z − 0.368) = 2 1 + G ( z ) z − 0.736 z + 0.368
闭环极点 z1,2 = 0.368 ± j 0.482 全部位于 z 平面的单位圆内，可以应用终值定理求稳态误 差。 当 r (t ) = 1(t ) ，相应 r (nT ) = 1(nT ) 时， R ( z ) = z ( z − 1) ，由式(6-59)求得
6.6
稳态误差计算
连续系统中计算稳态误差的一般方法和静态误差系数法，在一定的条件下可以推广到 离散系统中。与连续系统不同的是，离散系统的稳态误差只对采样点而言。
6.6.1
一般方法（利用终值定理）
设单位反馈的误差采样系统如图 6-20 所 示，系统误差脉冲传递函数为
Φ e ( z) =
E( z) 1 = R( z ) 1 + G ( z ) 1 R( z ) 1 + G( z)
G( z) =
e −T z + (1 − 2e −T ) ( z − 1)( z − e −T )
2
采样周期 T = 1 s ，系统输入信号 r (t ) = t
2。
(1) 求系统的静态误差系数 K p ， K v 和 K a ； (2) 用静态误差系数法求稳态误差终值 e (∞) ；
*
(3) 用动态误差系数法求 t = 20 s 时的稳态误差。 解 (1)
可以获得稳态误差变化的信息。 设系统闭环误差脉冲传递函数为 Φ e ( z ) ，根据 z 变换的定义，将 z = e 代入 Φ e ( z ) ，
Ts
得到以 s 为变量形式的闭环误差脉冲传递函数
Φ e* ( s ) = Φ e* ( z ) z =e
将 Φ e ( s ) 展开成泰勒级数形式，有
*
= 0, 1, 2
R( z ) =
由式(6-59)知，系统稳态误差为
Az z −1
e(∞) = lim
式中
A A A = = z →1 1 + G ( z ) 1 + lim G ( z ) 1 + K p
z →1
(6-60)
K p = lim G ( z )
z →1
(6-61)
称为离散系统的静态位置误差系数。 2．斜坡输入时的稳态误差 当系统输入为斜坡函数 r (t ) =
2
6.6.2
静态误差系数法
sT
由 z 变换算子 z = e
关系式可知,如果开环传递函数 G ( s ) 有 v 个 s = 0 的极点，即 v
个积分环节，则与 G ( s ) 相应的 G ( z ) 必有 v 个 z = 1 的极点。在连续系统中，把开环传递函 数 G ( s ) 具有 s = 0 的极点数作为划分系统型别的标准。在离散系统中，对应把开环脉冲传 递函数 G ( z ) 具有 z = 1 的极点数， 作为划分离散系统型别的标准， 类似把 G ( z ) 中 v 的闭环系统，称为 0 型、1 型和 2 型离散系统等。 下面在系统稳定的条件下讨论图 6-20 所示形式的不同型别的离散系统在三种典型输入 信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。 1．阶跃输入时的稳态误差 当系统输入为阶跃函数 r (t ) = A × 1(t ) 时，其 z 变换函数
0
可见，与连续系统相比较，离散系统的稳态误差不仅与系统的结构、参数有关，而且与 采样周期 T 有关。 例 6-22 已知离散系统结构图如图 6-21 所示，采样周期为 T 。 (1)要使系统稳定， K 和 T 应满足什么条件? (2)当 T = 1 ， r (t ) = t 时，求系统的最小稳态误差值。 解. (1) 系统开环脉冲传递函数为
可见，系统稳态误差是随时间线性增长的。当 t = 20T = 20 s 时， ess (20) = 20.5 。 动态误差系数法对单位反馈和非单位反馈系统均适用， 还可以计算由扰动信号引起的稳 态误差。
6.7
动态性能分析
计算离散系统的动态性能， 通常先求取离散系统的阶跃响应序列， 再按动态性能指标定 义来确定指标值。 本节主要介绍离散系统闭环极点分布与其瞬态响应的关系， 以及动态性能 的分析、计算方法。
z →1
K a = lim( z − 1) 2
z →1
0.368 z + 0.264 =0 z − 1.368 z + 0.368
2
(2) 系统是 1 型的，当 r (t ) = t
2
2 时，稳态误差终值 e* (∞) = 1 K a → ∞ 。
(3) 系统闭环误差脉冲传递函数
Φ e ( z) =
1 z 2 − 1.368 z + 0.368 = 1 + G( z) z 2 − z + 0.632
E ( z ) = Φ e ( z ) R( z ) =
图 6-20 离散系统结构图
如果系统稳定，则可用 z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
e(∞) = lim e* (t ) = lim( z − 1) E ( z ) = lim
t →∞ z →1
( z − 1) R( z ) z →1 1 + G ( z )
M ( z ) bm z + bm −1 z + L + b0 bm Φ ( z) = = = D( z ) an z n + an −1 z n −1 + L + a0 an
K v = lim( z − 1)G ( z ) = lim
z →1 z →1
* ess =
K (1 − e −T ) z =K z − e −T
AT T = Kv K
当 T = 1 时，使系统稳定的 K 值范围是
0<K <
2(1 + e −T ) = 4.328 1 − e −T T =1
所以有
* essv =