无穷级数测试题

(整理)无穷级数习题选择题

无穷级数习题一选择题1、若极限lim 0n n u →∞≠，则级数1nn u∞=∑ ( )A 、收敛；B 、发散；C 、条件收敛；D 、绝对收敛。

2、如果级数1nn u∞=∑发散，k 为常数，则级数1nn ku∞=∑ ( )A 、发散；B 、可能收敛；C 、收敛；D 、无界。

3、如果级数1nn u∞=∑发散，下列结论正确的是（）A 、 lim 0;n n u →∞≠ B 、 lim 0;n n u →∞= C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-4、若级数1nn u∞=∑收敛,n s 是它前n 项部分和,则该级数的和s =( )A 、 n sB 、 n uC 、 lim n x u →∞D 、 lim n x s →∞5、级数2221111()()()234++++是( )A 、幂级数B 、调和级数C 、p 级数 D.等比级数6、在下列级数中,发散的是 ( )A 、1n ∞=∑ B 、0.01+C 、111248+++D 、 2343333()()()5555-+-+7、下列级数中,发散的是( )A 、 2221111357-+-+B 、11(1)n n ∞-=-∑C 、 11(1)nn n ∞=-∑ D 、231(1)nn n∞-=-∑8、如果级数1nn u∞=∑收敛，且0(0,1,2,3),n u n ≠=其和为,s 则级数11n nu ∞=∑（）； A 、收敛且其和为1s； B 、收敛但其和不一定为s ； C 、发散； D 、敛散性不能判定。

9、下列级数发散的是（） A 、n n n 1)1(11∑∞=-- B 、 )111()1(11++-∑∞=-n n n n C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-10、设常数0,a ≠几何级数1nn aq∞=∑收敛，则q 应满足( )A 、 1;q <B 、 11;q -<<C 、1;q <D 、 1.q >11、若p 满足条件( ),则级数211p n n∞-=∑一定收敛；A 、 0;p >B 、 3;p >C 、 2;p <D 、 23.p <<12、若级数211p n n∞-=∑发散，则有（）；A 、 2;p >B 、 3;p >C 、 3;p ≤D 、 2.p ≤13、下列级数绝对收敛的是（）A 、∑∞=-2)1(n nnnB 、nn n 1)1(21∑∞=-- C 、 ∑∞=-1ln )1(n nn D 、 ∑∞=--2321)1(n n n14、下列级数收敛的是（）A 、∑∞=+1)1ln(1n n B 、 ∑∞=+-1)1ln()1(n n n C 、 ∑∞=+-112)1(n nn nD 、 ∑∞=+112n n n15、下列级数中条件收敛的是（）A 、 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-132)1(n nn；B 、∑∞=--11)1(n n n ； C 、∑∞=-+-1112)1(n n n n ；D 、∑∞=--13151)1(n n n。

无穷级数自测题C

无穷级数自测题C一、选择题：1．若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数( )A.1n n a ∞=∑收敛. B.1(1)nn n a ∞=-∑收敛. C.11n n n a a ∞+=∑收敛. D.112n n n a a ∞+=+∑收敛. 2．设常数0k >，则级数()211nn k nn∞=+-∑( ) A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与k 的取值有关 3．设()1ln(1nn u =-+，则级数( ) A.1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都收敛. B.1n n u ∞=∑与21n n u ∞=∑都发散C.1n n u ∞=∑收敛，21n n u ∞=∑发散 D.1n n u ∞=∑发散，21n n u ∞=∑收敛4．设0(1,2,)n u n ≠= ，且lim 1→∞=n n n u 则级数()111111()∞+=+-+∑n n n n u u ( )A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性不能确定 5．设有级数 1nn n a x ∞=∑与1n n n b x ∞=∑，若1limn n na a +→∞=1lim 3n n n b b +→∞=，则幂级数 221n nn n a x b ∞=∑的收敛半径为（）13 D.156．设1n n a ∞=∑为正项级数，下列结论正确的是( )A.1lim 0,n n n n na a ∞→∞==∑若则级数收敛B.若存在非零常数1n n n n ,lim na ,a ∞→∞=λ=λ∑使得则级数发散C.21,lim 0n n n n a n a ∞→∞==∑若级数收敛则D.1,lim n n n n a na λλ∞→∞==∑若级数发散则存在非零常数，使得二、填空题：1．幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为2．0(ln 3)2nnn ∞=∑级数的和为 .3．已知级数11(1)2∞-=-=∑n n n a ，2115∞-==∑n n a ，则级数1n n a ∞=∑等于 .4．11sin π∞=∑p n p n n级数收敛，则的值为 .5．级数11n n n ∞=+的敛散性为 . 6．函数21(2)-x 展开成x 的幂级数 . 三、计算题： 1．将函数()1arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数. 2．求级数()201(1)2nnn n n ∞=--+∑的和。

《无穷级数》单元检测参考答案

《无穷级数》单元检测参考答案一选择题1, （C ） 2, (D) 3, (C) 4, (A) 5, (B)二填空题1, )3,3(- 2 , ln2 3 , ⎪⎩⎪⎨⎧-=11)(x e x S x 00=≠x x 4 , 0 5, α>35三（1）当λ≠0，±1，±2，⋯时，0sin )(lim ≠=+∞→λππμλπnn ,级数发散。

（2）当λ=0，±1，±2，⋯时，πμμπλπλ∑∑∞=∞=--=+-11sin )1()1()sin()1(n n nn n n ，μ≠0时，级数收敛，μ=0时，级数收敛于0。

四设nn nn u )1()1(-+-=，由于11)1(1)1()1(+≥-+=-+-n n n nnn ，所以原级数非绝对收敛。

下面讨论其条件收敛情况：)21121()4151()2131(2n n S n -+++-+-=上式中括号内每项小于0，所以⎨S 2n ⎬单调下降。

又2122121)21221()4161()2141(2->++-=-+++-+->n n n S n ，所以，⎨S 2n ⎬有下界。

故S S n n =∞→2lim。

又S u S S n n n n n =+=+∞→+∞→)(lim lim 22212，故原级数条件收敛。

五因为{}0lim,,0≥=∴↓≥∞→a a a a n n n n 。

若0lim ==∞→a a n n ，则∑∞=-1)1(n n n a 收敛，与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾，所以，0lim>=∞→a a n n 。

对∑∞=+1)11(n nn a ，用柯西判别法：111)11(lim <+=+∞→a a n n n n ，所以，级数收敛。

六由于 f(-x)=f(x),所以)00(='f .又02)0(>=''f ，所以f(x)在x=0取得极小值1，由泰勒公式：)(0)0(!21)0()0()(22x x f f f x f +''+'+=。

无穷级数练习题

n1
n1
n1

7 o 若
u n收敛 ,则
u
2 n
收
敛
.
（
n1
n1
）
）
）
）
）
）
.
）

.

8 o 若
u
2 n
收
敛
,则
u n收敛 .
（）
n1
n1
9 o

若 u n收敛
n1

,则
1 必发散
n1 u n
.
（）
10 o

若 u n发散，则
n1
1 n1 u n
(1f)(x)的麦克劳林 (2)f级 (x)在数 x； 1处的泰.勒
7 求幂级 nn x数的和函数 (n1)， n (1)的并. 和求
n1(n1)!
n1
n !
8.
将函f(数 x)πx在 (π,π)上展2成 π为以周期的傅 2
级数，分 f(x别 )以画及级出数的s和 (x)的函图数 .并形求 s(5π). 4
第十一部分：无穷级数练习题

一判断是非（是：√；非：×, 后者请举反例.）

1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n

0.
（

2 o
若
lim
n
u
n

0，则级数
u n收敛 .
n1
（

3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（
n1

(完整版)无穷级数习题及答案.doc

第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1；．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn；．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n．； 5．；6．，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

无穷级数必考经典习题(附答案).pdf

无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确；故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』比较审敛法只限于正项级数使用.2.解由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。

无穷级数练习题

无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。

2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。

3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。

4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。

2) \cup (2.\infty)$。

5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。

6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。

7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。

8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。

9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。

& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。

无穷级数测试题一、单项选择（每小题2分，共20分） 1、级数∑+∞=1n n u 收敛的必要条件是（）。

A 、0lim =+∞→n n SB 、0lim =+∞→n n uC 、1lim 1<++∞→n n n u u D 、1lim 1>++∞→nn n u u2、若级数∑+∞=1n n u 发散，则下列级数一定发散的是（）。

A 、∑+∞=+15n n u B 、∑+∞=1n n au （a 为某常数） C 、∑+∞=-1)5(n n u D 、∑+∞=-1)1(n n nu3、下列级数收敛的是（）。

A 、∑+∞=-211n n B 、∑+∞=-2211n n C 、∑+∞=-21n n n D 、∑+∞=-2311n n 4.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（）A.()∑∞=+111n n nB. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13101n n C. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121101n n n D. ∑∞=+1132n n n5．设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（）A ．∑∞=+1100n n uB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n n uD ．∑∞=+1)1(n n u6、级数∑∞=0n n n x a 在3=x 处收敛，则∑∞=-0)2(n n n a （）。

A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、无法判别敛散性7、已知∑+∞=1n nn x a （,...2,10=≠n a n ，）的收敛域为)1,1(-，则∑+∞=+1)1(n n n x a 的收敛域为（）。

A. )1,1(-B. )2,0(C. )0,2(-D. )2,2(-8、幂级数∑∞=0!2n nn x 的和函数为（） A. x e 2 B. x e 2- C. x e 2- D. x e 29、将函数x e -展开成x 的幂级数为（）。

A 、∑+∞=0!n nn x B 、∑+∞=-0!n n n x C 、∑+∞=-0!)(n n n x D 、∑+∞=1!n n n x10、将函数x +21展开成x 的幂级数为（）。

第十二章无穷级数自测题(含答案)

第十一章练习题一、填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （），=n b （）．二、单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。

2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（）．A.∑∞=+1121n n ；Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-；Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （）A. 3 ；Ｂ． 7 ；Ｃ． 8 ；Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（）．Ａ．)1ln(x --；Ｂ． )1ln(x -；Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。

无穷级数题(含答案)

⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ，级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ，原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18，（1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；

高等数学第12章无穷级数测试卷

高等数学第12章无穷级数测试卷(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十二章无穷级数测试卷一、填空题： 1．若数项级数∑∞=1n n u 收敛，则n n u ∞→lim = .2．若数项级数∑∞=1n n u 的通项满足1.11||n u n ≤,则∑∞=1n n u 是级数.3．若数项级数∑∞=1n n q ,当 |q | 时收敛，当 |q | 时发散.4. 若幂级数nn n y a ∑∞=0的收敛区间为(-9,9)，则幂级数n n n x a 20)3(-∑∞=的收敛区间为 . 5．级数∑∞=---11121)1(n n n 的部分和n S = ，此级数的和为 .6．已知级数61212π=∑∞=n n，则级数∑∞=-12)12(1n n 的和等于 . 7．幂级数∑∞=--+112)3(2n nn n nx 的收敛半径R= . 8．函数)3ln()(x x f +=在0=x 点展开的幂级数为 .9．函数)()(2πππ x x x x f -+=的傅里叶级数为()∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a，则系数=3b .10．周期为2的函数)(x f ，设它在一个周期[)1,1-上的表达式为||)(x x f =，且它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=-)5(S . 二、单项选择题：1．当条件（）成立时，级数∑∞=+1)(n n n v u 一定发散.A ．∑∞=1n n u 发散且∑∞=1n n v 收敛； B. ∑∞=1n n u 发散；C. ∑∞=1n n v 发散； D. ∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都发散.2.若两个正项级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 满足),2,1( =≤n v u n n 则结论（）是正确的.A.∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散； B 。

(完整版)无穷级数练习题

无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为。

2、幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为。

3、幂级数211(3)2n n nn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。

4、幂级数0nn ∞=的收敛域是。

5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为。

6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为。

7、111()2n n n ∞-==∑ 。

8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 .9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于。

10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和。

11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为。

参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R =、[1,1)- 5、(0,4) 6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>,而级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑是( ）.（A ）发散 (B ）条件收敛（C)绝对收敛（D)收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是( ）。

（A ）若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。

（B ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。

（C ）若1n n a ∞=∑条件收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不一定.（D ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不定。

无穷级数习题选择题word精品文档8页

无穷级数习题一选择题1、若极限lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑ ( )A 、收敛；B 、发散；C 、条件收敛；D 、绝对收敛。

2、如果级数1n n u ∞=∑发散，k 为常数，则级数1n n ku ∞=∑ ( )A 、发散；B 、可能收敛；C 、收敛；D 、无界。

3、如果级数1n n u ∞=∑发散，下列结论正确的是（）A 、 lim 0;n n u →∞≠ B 、 lim 0;n n u →∞= C 、 nn n1)1(1∑∞=- D 、)1(1nn ∑∞=-4、若级数1n n u ∞=∑收敛,n s 是它前n 项部分和,则该级数的和s =( )A 、 n sB 、 n uC 、 lim n x u →∞D 、 lim n x s →∞5、级数2221111()()()234++++L 是( )A 、幂级数B 、调和级数C 、p 级数 D.等比级数6、在下列级数中,发散的是 ( )A 、1n ∞=∑ B 、0.01+LC 、 111248+++LD 、 2343333()()()5555-+-+L7、下列级数中,发散的是( )A 、 2221111357-+-+L B 、11(1)n n ∞-=-∑ C 、 11(1)nn n ∞=-∑ D 、 231(1)n n n ∞-=-∑ 8、如果级数1n n u ∞=∑收敛，且0(0,1,2,3),n u n ≠=L 其和为,s 则级数11n nu ∞=∑（）；A 、收敛且其和为1s； B 、收敛但其和不一定为s ； C 、发散； D 、敛散性不能判定。

9、下列级数发散的是（）A 、 n n n 1)1(11∑∞=-- B 、 )111()1(11++-∑∞=-n n n n C 、 n n n 1)1(1∑∞=- D 、)1(1n n ∑∞=- 10、设常数0,a ≠几何级数1n n aq ∞=∑收敛，则q 应满足( )A 、 1;q <B 、 11;q -<<C 、1;q <D 、1.q >11、若p 满足条件( ),则级数211p n n∞-=∑一定收敛；A 、 0;p >B 、 3;p >C 、 2;p <D 、23.p <<12、若级数211p n n∞-=∑发散，则有（）；A 、 2;p >B 、 3;p >C 、 3;p ≤D 、2.p ≤13、下列级数绝对收敛的是（）A 、 ∑∞=-2)1(n n nn B 、 n n n 1)1(21∑∞=-- C 、 ∑∞=-1ln )1(n n nD 、 ∑∞=--2321)1(n n n14、下列级数收敛的是（）A 、 ∑∞=+1)1ln(1n n B 、 ∑∞=+-1)1ln()1(n n n C 、 ∑∞=+-112)1(n n n nD 、 ∑∞=+112n n n15、下列级数中条件收敛的是（）A 、 ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-132)1(n nn ；B 、∑∞=--11)1(n n n ； C 、 ∑∞=-+-1112)1(n n n n；D 、∑∞=--13151)1(n n n。

无穷级数练习及答案

第九章无穷级数测试题一、选择题（每小题4分，共24分） 1.级数∑∞=+111n na 敛散的情况是（） A. 当0>a 时收敛 B. 当0>a 时发散C. 当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛D.当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散 2. 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α）（）（A ）发散；（B ）条件收敛；（C ）绝对收敛；（D ）敛散性与α有关. 3. 设0lim =∞→n n a ，则常数项级数∑∞=1n na（）（A ）一定收敛且和为0 （B ）一定收敛但和不一定为0（C ）一定发散（D ）可能收敛也可能发散 4. 若∑∞=1n nu收敛，则下列级数中哪一个必收敛。

（）(A)∑∞=-1)1(n n nu (B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=+-11n n nu u(D)∑∞=1n nu5、如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a ( )(A)当2<x 时收敛 (B) 当8<x 时收敛 (C) 当81>x 时发散 (D) 当21>x 时发散 6、级数 ∑∞=1!2n n n n n （1）与级数∑∞=1!3n n n nn （2）( )（A ）级数（1）（2）都收敛（B ）级数（1）（2）都发散（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散（D ）级数（1）发散，级数（2）收敛二、填空题（每小题4分，共28分） 1.已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u .2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 .3. 幂级数()()()∑∞=---121311n n nn n x 的收敛域为 . 4. x ln 在10=x 处展开成的泰勒级数为x ln =_____________________ 5、如果幂级数()nn n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间内收敛.6、幂级数nn nx n n ∑∞=12cos 的收敛域是 . 7、幂级数()∑∞=-15n n nx 的收敛半径是，收敛域是 .三、解答下列各题（每题12分，共48分）1. 判别级数21cos 32n n n n π∞=∑的敛散性。

考研数学专题—无穷级数自测题(3套)

考研数学专题-无穷级数自测题（1）一、选择题：1．下列级数中，收敛的是( )。

A ． ∑∞=11n n B ． ∑∞=11n n n C ． ∑∞=1321n n D ． ∑∞=-1)1(n n2．下列级数中，收敛的是( )。

A ． 11)45(-∞=∑n n B ． 11)54(-∞=∑n n C ． 111)45()1(-∞=-∑-n n n D ． ∑∞=-+11)5445(n n3．下列级数中，收敛的是( )。

A ． ∑∞=1222)!(n n n B ． ∑∞=1!3n n n n n C ． 21sin ππ∞=∑nn n D ． ∑∞=++1)2(1n n n n 4．部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( )。

A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 5．设a 为非零常数,则当( )时,级数∑∞=1n nra收敛。

A ． 1<r B ． 1≤r C ． a r < D ． 1>r06.(3)1,6.....n n n a x x x A B C D ∞=-=-=∑若级数在处收敛则此级数在处（）绝对收敛发散条件收敛敛散性不定二、填空题：1．设级数∑∞=-12)1(n nn na 收敛，则级数∑∞=1n n a 。

2．设级数∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 收敛，则级数∑∞=1n n n v u 。

3．若级数∑∞=1n n u 的前n 项和)12(2121+-=n s n ，则=n u ，∑∞=1n n u = 。

4．函数 f(x)=lnx 在 x=1 处的幂级数展开式为__________。

5．级数11n n nx ∞-=∑的和为__________ .(ln 3)6.2级数的和为nnn ∞=∑ .三、判别下列级数的收敛性:1．∑∞=1222)!(n n n 2．∑∞=1223cos n nn n π3．判别级数∑∞=+-11ln)1(n n nn 的敛散性。

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第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1；．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn；．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n．； 5．；6．，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

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