无穷级数 测试题

1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞

=+∑必

（2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞

=

2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（）

(A)()11112n n n ∞

=-+∑ (B)(

)11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111n

n n ∞=-∑ (E)(

)11n n ∞=-∑ （F ）()

111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道

3.判定级数112n n n ∞=⋅∑的敛散性（收敛或者发散）

4.判定级数13!n n n n n ∞=⋅∑的敛散性

5.判定级数()111001n n n ∞

=+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性 7.求幂级数()131n

n

n n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞

=∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数

10.将13

x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。 知识点归纳：

一、正项级数：1.调和级数11n n ∞

=∑发散。

2.11p n n

∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞

的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。

二.交错级数：()11n

n n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞

=， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞

==-=∑∑，去掉麻烦的()1n

-，

此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。

三.幂级数1

n

n

n a x ∞=∑： 1、会求幂级数的收敛半径及区间，将系数n a 拿出来，与比值审敛法类似(不同的是加了绝对值)，

11,lim

n n n a R a ρ

ρ+→∞==，收敛区间则（—R,R ）。 2、幂级数求和：系数为整数的时候，将系数变成（拆开）比次数大1的数，升一次的导数；当系数为分数的时候，将次数变成（提出，或者乘以x 的某此方）跟系数的倒数一样，降一次的积分。

四.函数展开成为幂级数：背下前6个，并且会第10题

1、()+∞∞-+++++=∑=∞=,,n!x 2!x x 1n!x e n

20n n x

2、()()()1,1,

x 1x x 1x 1x 11n 1n 20

n n n -+-+-+-=∑-=+-∞= 3、()1,1,

x x x 1x x 11n 20n n -+++++=∑=-∞=

4、()()()11,4x 3x 2x x n x 1x 1ln 4321n n 1n ，-+-+-=-=+∑∞=-

5、()()()() ++-++-+-=∑+-=+∞=+!12n x 17!x 5!x 3!x x !12n x 1sinx 12n n 7530n 12n n

()+∞∞-,

6、()()()() +-++-+-=∑-=∞=!2n x 16!x 4!x 2!x 1!2n x 1cosx 2n n 6420n 2n

n ()+∞∞-,

7、()()()()()1,1,x n!1n 1x 2!1x 1x 1n 2-++-α-αα++-αα+α+=+α

练习：

1. 求幂级数2111n n x n ∞

+=+∑的收敛区间及和函数

2. 将函数ln(1)x +展开成为x 的幂级数