《费马点的应用问题举例》课件
2023-2024学年人教版初三下学期中考《旋转模型之费马点问题》知识点专题解析及练习PPT
图1 图2
4 费马点的性质
1. 到三个顶点的距离之和最短：费马点是三角形内唯一一 个使得从该点到三角形三个顶点的距离之和最短的点。 2. 等角性质：从费马点出发，向三角形的三个顶点引出的 三条线段与对应的三角形边所成的角均相等，且均等于120 度。 3. 唯一性：在三角形内部，费马点是唯一的具有上述性质 的点。
∵点A'可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA'为
定长，
∴当B、P、P'、A'四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小．最小
值为 BA' .
图2
【如图 1 和图 2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴在图2中，∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°， ∠APB=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
情感、态度与价值观目标：
激发学生对于学习的热情，树立学生对于数学的追求。
五、教学过程
总结费马点的性质，构造
方法以及解题思路，最后
通过模型展示讲授费马点
布置作业。
的原理、证明过程以及如
何构建费马点。
讲解中考例题，引导学生
熟练运用费马点性质解题，
以介绍费马点
巩固加深学生的印象。
的来历和实践
开始课程。
中物理
（4）此时以BC为 边作等边△BCF。 连接AF必过点P。
这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°, 若∠BAC 120°, 这个图就会变成这
个样子：
D
E P
A
BHale Waihona Puke C此时CD与BE的交点P点还是我们的费马点吗？ 显然这时候就不是了，此时
费马点的应用举例课件
05
CATALOGUE
费马点在经济学中的应用
金融市场中的费马点
投资组合优化
费马点理论可以应用于投资组合 优化，通过计算不同资产之间的 费马点，投资者可以确定最佳的 资产配置策略，以实现风险和收
益的平衡。
股票价格预测
股票价格受到多种因素的影响， 但费马点理论可以用于分析历史 价格数据，预测未来的股票价格
财务资源配置
企业可以利用费马点理论来优化财务 资源配置，确保资金流向最具有盈利 潜力的项目或领域。
THANKS
感谢观看
航空航天中的费马点
飞行器设计
在飞行器设计中，费马点可以用于优化飞行 器的结构和布局，提高飞行器的性能和稳定 性。例如，在飞机设计中，利用费马点理论 可以确定最佳的机翼位置和角度，以最大化 飞机的升力和稳定性。
卫星轨道设计
在卫星轨道设计中，费马点可以用于优化卫 星轨道的位置和高度，提高卫星观测和通信 的效率和精度。例如，在地球同步卫星轨道 设计中，利用费马点理论可以找到最佳的轨 道位置和高度，以实现稳定的地球同步观测
通过分析供应链中的费马 点，企业可以优化物流和 运输策略，降低成本并提 高效率。
资源分配中的费马点
人力资本管理
物资采购
在人力资源管理中，费马点理论可以 用于分析员工的工作效率和绩效，以 及制定最佳的人才招聘和培训计划。
在物资采购中，通过分析供应商之间 的费马点，企业可以确定最佳的采购 策略，以实现成本效益最大化。
费马点的性质
01
02
03
唯一性
对于任意三角形ABC，费 马点是唯一的。
稳定性
费马点是相对稳定的，即 使三角形ABC发生微小变 化，费马点仍然会接近原 来的位置。
费马点与加权费马点讲义
费马点与加权费马点【例题1】．（1）知识储备①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝P A．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为△ABC的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打√，错误的打×）：ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且P A+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的边长．【练习1】．（1）阅读证明①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离．②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝P A．（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+；第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．【练习2】．问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．问题解决：如图2，将△BP A绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP为正三角形，有PB＝P'P．故．因此，当A'、P'、P、C共线时，P A+PB+PC 有最小值是．学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，则的最小值是．（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求的最小值．（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接P A、PD、PQ，求P A+PD+PQ的最小值．【练习3】．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．【练习4】．在边长为2的正方形ABCD内求一点P，使得P A+PB+PC之和为最小，并求这个最小值及此时P A、PB、PC的大小．【练习5】．（1）阅读材料：如图（1），四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M 为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，①求证：△AMB≌△ENB；②当M点在何处时，AM+CM的值最小；③当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（2）根据阅读材料所提供的数学思想和方法，完成下面的题目：如图（2），A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最短，应当如何修建？请画出你的设计图．【练习6】．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝．【练习8】．综合与实践：发现问题：如图①，已知：△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B，连接BB′．则BB′＝．问题探究：如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．（1）求证：△DCQ≌△BCP（2）求P A+PB+PC的最小值．实际应用：如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A、D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B、C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道P A、PD、PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？【思考】。
用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用
用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用鄞州区钟公庙中学童文虎关于三角形中的费马点问题，已被编入浙教版八年级数学下册4.2节后的设计题，但书本和教参都并没有给出其探究结果和方法。
查找有关资料，发现对于费马点的探求大都分两种情况进行独立探究，这样在揭示这两种情况的相关性方面就有所欠缺。
本文运用几何画板，通过连续变化，揭示两种情况的相关性，以改进上述不足。
费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。
即在△ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。
下面我们来探求费马点：如图1，在几何画板中作△ABC，和任意点P，为了使线段PA、PB、PC连接起来，我们把△APC绕点A旋转60°得△AP′C′。
这时， PA=PP′，PC= P′C′，所以PA+PB+PC=BP +PP′+P′C′≥BC′。
移动点P点使点P、P′在线段BC′上，如图2，此时PA+PB+PC= BC′成立，因为线段BC′长是一个定值，所以，点P即为探求的费马点。
图1 图2在图2中，△APP′是正三角形，∠PAP′=∠CA C′=60°，∠AP B=120°，∠A PC=∠AP′C′=120°，∠BPC=360°-∠AP B-∠A PC=120°，∠B AC=∠B AC′-∠CA C′<180°-60°=120°，即∠BAC<120°。
那么当∠BAC ≥120°时情况又怎样呢？在图1中清除点P，连接BC′，并在BC′上作点P、P′，使△APP′是正三角形，图形同图2，但点P的属性不再是自由点，选中直线BC，然后慢慢向上移动，发现∠BAC逐渐增大，当∠BAC =120°时，点C′在BA的延长线上，而点P、P′与点A重合，如图3，PA+PB+PC= AB+AC= AB+AC′= BC′，点P仍为探求的费马点。
中考中的费马点详解加练习.pptx
A
APB源自CABC
P
B
C
9
书山有 路
26、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角 线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接EN、AM、CM． 1 求证：△AMB≌△ENB； 2 ①当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； 3 当 AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长．
6
1 求抛物线的解析式；
2 等边△OMN 的顶点M 、 N 在线段 AE 上，求 AE 及 AM 的长； 3 点 P 为△ ABO 内的一个动点，设 m PA PB PO ，请直接写出m
的最小值,以及m 取得最小值时，线段 AP 的长.
2013 房山一摸 24．（1）如图 1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且 B、C、D 三点共线，联结 AD、BE 相交于点P，求证：BE=AD． （2）如图 2，在△BCD 中，∠BCD＜120°，分别以 BC、CD 和 BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC、等边三角形 CDE 和等边三角 形 BDF，联结AD、BE 和 CF 交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图 2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．
② 请写出求 AP+BP+CP 的最小值的解题思路（结果可以不化简）.
A
2016 一月昌平
P
B
图3
C
6
书山有路
湘教版八年级数学上册《费马点的应用问题举例》课件
B A
C
D
平移变换
A 村和B 村在河的两侧，到河两岸的距离分别是6 千米 和2 千米，河宽2 千米，两村的水平距离为6 千米。现 欲在河上修建一座桥，使自A 村过桥到达B 村的距离最 短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建）。 请在图上标明桥址，并求出此最短距离。
A
河流
F C
D
E
B
“将军饮马”问题 对称变换
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
E
B
NC
问题9、 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交 x轴于A（1，0）和B（3，0），交y轴于C（0，3）， P是对称轴上的动点，求△PAC周长的最小值。
Y
X
问题10、在x轴上求一点P，使它到两个定点A(0， 2)，B(8，6)的距离之和最短。
(内江市06年中考题) 阅读并解答下面问题： （1）如图5所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的 值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
在人脑的记忆中，相关信息和 技能越多，则迁移越可能发生
美国学者罗耶
问题1、 如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O 的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD， P是半径OC 上一个动点，求AP+PD的最小值。
问题2、 如图，已知正方形ABCD的边长为8， M是DC上的一点，且DM=2，N是AC上的动点。 求DN+MN的最小值。
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个 有趣的数学问题： 诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向 交河旁边的C点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样 走，才能使总的路程最短？
初中数学微专题——费马点
初中数学·几何综合几何模型·专题复习——费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。
解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。
（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。
解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点因此，当ABC△有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．三、费马点的求法当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
7.最值问题之费马点问题
A
A
E
B
C
B
C
D
A
D
E
P
B
C
B
A E
P C
F
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接 AP，AP 平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°． 但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是 ∠BAC<120°，若 BAC 120 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：
如图，以 MG 为边作等边△MGH，连接 NH，则 NH 的值即为所求的点 O 到△MNG 三个顶
点的距离和的最小值．（此处不再证明）
M
H
N
G
过点 H 作 HQ⊥NM 交 NM 延长线于 Q 点，
根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，
∴△MHQ 是等腰直角三角形，
∴MQ=HQ=4，
最小值．至于点 P 的位置？这不重要！
D A
B
C
如何求 BD？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于 H 点，根据勾股定理， BD2 = BH 2 + DH 2 即可得出结果．
H
D A
B
C
【练习】如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意 一点，则 MA+MD+ME 的最小值为______．
∴NH= NQ2 + HQ2 = 100 +16 = 2 29 ．
Q 4 M
4 H
6
N
G
【练习】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值．
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BCP 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE，则这个正方形边长为____________．PEDCBAABCPAB CPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABCP A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BCP是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】．（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE，则这个正方形边长为____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋＋2x)2＝2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′E FP′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABCP A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12A ＋2PB＋PC )，将△APCC 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
“费马点”说明及例举
费马点费马（Pierre de Fermat,1601-—1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，生于博蒙德罗曼.其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。
本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。
他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。
他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究.他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中,已对微分理论进行了比较系统的探讨.他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿,在其所著〈平面及空间位置理论的导言>中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。
费马还研究了对方程221yax=+整数解的问题。
得出了求导数所有约数的系统方法。
所谓的“费马点"就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题:“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。
这是费马通信的一贯作风.当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。
人们称这个点为“费马点”。
还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。
可到死也没告诉人家这个所谓证明。
结果困扰世界数学界一百多年.直到去年才解决。
著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。
1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和,把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。
” 即：)3(,2≥=+nzyx nn无整数解。
1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。
费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。
这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快"的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。
第十二次课费马点及拓展
特殊集散点-n个集散点构成正多边形
A
FP'BP NhomakorabeaE
C
D
E
A
D
s
s'
H
B
C
一般的费马点问题
平面上n个点Pi(xi,yi) 〔i=1,2,…,n〕，各点Pi的 “权重〞为Wi，试确定一点P(x,y)，使它到n个 点的加权间隔 最小 ？
数学模型
n
mC (ix ,n y ) miW n i (x i x )2 (y i y )2
BN
BN
代数函数模型
A
y210x 02(3 0x)
10
M
CX
D
ADC
u2100x2 x
BN
y 2 s1 i0 n (3 0 1t0 g ) [1(2 0 sc i o n )s ],
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
B
A B1
S1 S
B
A Q
P
费马点如何画？
C
A C'
间隔 之和的最小值如何求？
H B
C
B' C
A'
一般费马点问题
F
A
E
有A,B,C三个村庄，各村庄的小 学生人数分别为a,b,c，把学校建 在什么地方，才能使所有学生所 走的路程总和最短？
费马点及其在中考中的应用.pptx
(如图 5，G 点按照上述要求到达 A 点所用的时间为 t)
解法一设：GO=方x，程则解M法G=6 -x，AG=
，
则 t=
，
学海无涯
移项平方得：3x2+(12 -4t)x +36+24 t-4t2=0， ∵方程有解， Δ=(12 -4t)2-12(36+24 t-4t2)≥0 解 得 t≥6 ， 将 t=6 代回方程，求出 x=2 时，t 最小．
若 P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ ABC 的费马点． (1) 若点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，
则 PB 的值为
；
(2) 如图 3，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB，连结 BB′． 求证：BB′过△ABC 的费马点 P，且 BB′=PA+PB+PC．
由于直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐标在第二问当中可求出 M(0，6 )，所以， 本题第三问便可以转化为：AO⊥OM 于点 O，AO=6，MO=6 ，G 点从 M 出发，向 O 点运动到达 G 点后，再沿 GA 到达 A 点．若 G 点在 MO 上运动的速度是它在 GA 上 运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置．
当 A′，P′，P 共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°． 同理，若 P′，P，C 共线时，则∵∠BPP′=60°， ∴∠BPC=120°． 所以点 P 为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．
三、费马点的简单应用 近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子． 例 1(2009 浙江湖州--25)
解：(1)∵∠PBA+∠PBC=∠PBC+∠PCB=60°，∴∠PBA=∠PCB． 又∠APB=∠BPC=120°， ∴△PBA∽△PCB， 则 PB2=PA×PC=12， 即 PB=2
初3第5课 费马点及其应用
5.费马点及其应用【知识综述】给定△ABC ，在其内部找一点P ，使得P A+PB+PC 最小.分析：把△BAP 绕点B 旋转60︒，得△BDM ，则△BPM 是等边三角形，因此P A+PB+PC=DM+MP+PC ≥CD .当且仅当D 、M 、P 、C 四点共线时取等号.此时，因为∠BPM =60︒,所以∠BPC =120︒.同理∠BP A =∠BMD =180︒-60︒=120︒,因此也有∠APC =120︒.至此，我们得到：使得P A+PB+PC 最小的点P 必须满足∠APB =∠BPC =∠CP A =120︒. 这个点，我们称为费马点.17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出这个问题，托里拆利成功解决了这个问题.19世纪的数学家斯坦纳重新发现并解决了这个问题，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点.根据以上解法，我们可以得到费马点的作图方法：分别以AB 、BC 为边，向外作等边△ABD 和等边△BCF ，连接AF 和CD 交于点P ，则点P 就是费马点.证明：根据SAS 得△BCD ≌△BF A ,因此∠BAF =∠BDC ,因此A 、D 、B 、P 四点共圆，因此∠APB =120︒,同理∠BPC =120︒.进而可得∠APC =120︒,因此A 、P 、C 、E 也共圆.也就是说，AF 、CD 、BE 三线共点，只要作出三个等边三角形中的任意两个，都可以得到费马点.不妨设∠BAC 最大，让∠BAC 从锐角慢慢变大，当∠BAC =120︒时，可以发现，费马点就是点A ；当∠BAC >120︒时，点A 在△BPC 的内部，熟知结论PB +PC >AB +AC ,因此费马点就是点A .这样，我们就得到了比较完善的结论.定理：当△ABC 的最大角小于120︒时，费马点在△ABC 的内部，且对三边的张角都是120︒；当△ABC 的最大角A 大于等于120︒时，费马点就是钝角顶点A .易得费马点的性质：DP 、FP 、EP 分别平分∠APB 、∠BPC 、 ∠APC .追问：若把上面的三个等边三角形分别沿着△ABC 的三边翻折到对面去，那么直线AF 、BE 、CD 还共点吗？若Q 是CD 和AF 的交点，只要证明Q 点在BE 上即可.作出下图，依然有△BAF ≌△BDC ,因此∠BAF =∠BDC ，因此A 、B 、D 、Q 四点共圆，因此∠BQD =∠BAD ,表明Q 在直线BE 上.得证. 【典型例题】例1. △ABC 中，∠BAC =120︒,在△ABC 的外侧作正三角形BCD ，连接AD ，求证：AD =AB +AC .分析1：在AD 上截取AE =AC ，因为∠CAD =∠DBC =60︒,所以△ACE 是等边三角形，因此CA =CE .根据SAS 可得△CAB ≌△CED ,因此AB =DE ,所以AD =AB +AC .分析2：利用托勒密定理， ,又因为BD =BC =CD ,因此AD =AB +AC . 例2.正方形ABCD 的边长是4，点M 在对角线BD 上，确定M 的位置，使得MA +MB +MC 最小.分析：所求点M 就是△ABC 的费马点，如图作出等边△ABE ，则M 是CE 和BD 的交点. 【变式练习】1.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，点P 为△ABC 内一点．(1)连接PB ，PC ，将△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ，点B ，C ，P 的对应点分别为点D ，A ，E ，连接CE ．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP ⊥CE ，BP =3，AB =6，求CE 的长．(2)如图3，连接P A ，PB ，PC ，求P A+PB+PC 的最小值．小慧的作法是：以点A 为旋转中心，将△ABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，那么就将P A+PB+PC 的值转化为CP +PM +MN的值，连接CN ，当点P 落在CN 上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明P A +PB +PC =CP +PM +MN ．并直接写出当AC =BC =4时，P A +PB +PC 的最小值．图1B图2图3N2.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点P 是△ABC 内一点，且2PAC PCA α∠+∠=．连接PB ，试探究P A ，PB ，PC 满足的等量关系．(1)当α=60°时，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP '△，连接PP '，如图1所示．由△ABP ≌△ACP ’可以证得△APP ’是等边三角形，再由∠P AC +∠PCA=30°可得∠APC 的大小为 度，进而得到CPP '△是直角三角形，这样可以得到P A ，PB ，PC 满足的等量关系为 ；(2)如图2，当α=120°时，请参考(1)中的方法，探究P A ，PB ，PC 满足的等量关系，并给出证明； (3)P A ，PB ，PC 满足的等量关系为 ．3.在△ABC 中，∠BAC =60°．(1)如图1，若AB =AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC =150°，P A =3，PC =4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；(2)如图2，若AB =AC ，点P 在△ABC 外，且P A =3，PB =5，PC =4，求∠APC 的度数；(3)如图3，若AB =2AC ，点P 在△ABC 内，且P A =3，PB =5，∠APC =120°，请直接写出PC 的长．B4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(0,2)，点D 在x 轴的正半轴上，∠ODB =30°，OE 为△BOD的中线，过B 、E 两点的抛物线2y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧). (1)求抛物线的解析式；(2)等边△OMN 的顶点M,N 在线段AE 上，求AE 及AM 的长；(3)点P 为△ABO 内的一个动点，设m=P A+PB+PO ，请直接写出m 的最小值,以及m 取得最小值时，线段AP 的长.。
2011第十二次课费马点及拓展
案例：费马点及拓展 案例：
已知点在同一条直线上的“费马点” 已知点在同一条直线上的“费马点”
• 1、一条笔直的流水线上有5个机器人。现要在流水线上设置 、一条笔直的流水线上有 个机器人 个机器人。 一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和最短， 一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和最短， 问供应站应设在哪里？ 问供应站应设在哪里？ • 2、上题如果有n个机器人，供应站应设在哪里？ 、上题如果有 个机器人 供应站应设在哪里？ 个机器人， • 3、求函数y=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|的最小值。 、求函数 的最小值。 的最小值 (x1<x2< …<xn,i=1,2,…,n) • 4、如果这条流水线上的五个点依次有机器人 、3、2、5、2 、如果这条流水线上的五个点依次有机器人3、 、 、 、 个，供应站又应设在哪里呢？ 供应站又应设在哪里呢？ • 5、求函数y=k1|x-x1|+k2|x-x2|+…+kn|x-xn|最小值。 、求函数 最小值。 最小值 (其中 1<x2< …<xn,ki为自然数 其中x 为自然数,i=1,2,…,n) 其中 • 思考：6. （2011年北约 校自主招生数学试题） 思考： 年北约13校自主招生数学试题 年北约 校自主招生数学试题） • 求f(x)=|x-1|+|2x-1|+……+|2011x-1| 的最小值。 的最小值。 • 答案：f(1/1422)=832+491/711 答案：
B a100 l100 A j200 i150 0400 b100 C c200 D m400 k500 n300 p300 F E e100 d100
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美国学者罗耶
问题1、 如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O 的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD， P是半径OC 上一个动点，求AP+PD的最小值。
问题2、 如图，已知正方形ABCD的边长为8， M是DC上的一点，且DM=2，N是AC上的动点。 求DN+MN的最小值。
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个 有趣的数学问题： 诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向 交河旁边的C点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样 走，才能使总的路程最短？
A B
河流
A
线段和 最小值
旋转变换 平移变换 对称变换
问题表征越贴近学习者的思维特点， 则问题越容易解决
思维心理学——科多夫斯基、海斯和西蒙 1985
（2）如图6，A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的 距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ离为6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水 处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？ （3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下 面问题：若，当为何值时，的值最小，并求出这个最小值。
A
D
E
B
NC
问题9、 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交 x轴于A（1，0）和B（3，0），交y轴于C（0，3）， P是对称轴上的动点，求△PAC周长的最小值。
Y
X
问题10、在x轴上求一点P，使它到两个定点A(0， 2)，B(8，6)的距离之和最短。
(内江市06年中考题) 阅读并解答下面问题： （1）如图5所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的 值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
B A
C
D
旋转变换
你听说过费马点吗?如图,P为△ABC所在平面上的一点.如果
∠APB=∠BPC=∠CPA=120° ,则点P就是费马点.费马点有许多有趣并且
有意义的性质,例如,平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,
当点P为费马点时,距离之和最小.假设A,B,C表示三个村庄,要选一处建
车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短.若不考虑其他因素,那么
平移变换
A 村和B 村在河的两侧，到河两岸的距离分别是6 千米 和2 千米，河宽2 千米，两村的水平距离为6 千米。现 欲在河上修建一座桥，使自A 村过桥到达B 村的距离最 短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建）。 请在图上标明桥址，并求出此最短距离。
A
河流
F C
D
E
B
“将军饮马”问题 对称变换
车站应建在费马点上。
A
请按下列步骤对费马点进行探究:
(1)查找有关资料,了解费马点被发现 的历史背景;
P
B
C
(2)在特殊三角形中寻找并验证费马点.例如,当△ABC是等边三角形,等腰三角形 或直角三角形时,费马点有哪些性质?
(3)把你的探究结果写成一篇小论文,并通过与同学交流来修改完善你的小论文。
建桥问题
问题6、如图，梯形ABCD中，AD//BC，且BC=2， AB=AD=CD=1，M、N分别是AD、BC的中点，P是 MN上的动点。求PA+PB的最小值。
问题7、如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°， D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。
问题8、如图，梯形ABCD中，AD//BC，且BC=8， AD=CD=4，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在 AC上找一点M使EM+MN的值最小，求它的最小值。
问题3、 如图，在边长为2的正△ABC中，P是高线AD 上的一个动点，E是AC的中点，求PC+PE的最小值。
问题4、 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60º， E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB 的最小值。
问题5 、如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1， M、N分别是AF和CD的中点，P是MN上的动点。 求PA+PB的最小值。