解析几何解题思维策略

策略3.特殊与一般
例
4（2014
年浙江高考）如图，设椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) ，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点
P ，且点 P 在第一象限． （Ⅰ）已知直线 l 的斜率为 k ，用 a,b, k 表示点 P 的坐标；
y kx m
【分析】设直线 l 的方程为 y
kx mk
M C( 3,1) E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
C( 3,1)
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
C( 3,1)
F
N
O
x
策略4:直观化转化——弦长的不同处理方法
例 3（2008 年浙江高考改编）已知直线 l 过点 Q(1, 0) ，点 M 是抛物线 C ：
y 1 (x2 x) 上（不在直线 l ）一动点． A, B 在 l 上， MA l, MB x 轴。是否 2
14-16
设直线x
3
y
m
0
(m
0与双曲线,
x2 a2
y2 b2
1 (a 0,b 0)
的两条渐近线分别交于点A, B.若点P(m,0)满足 PA PB，则该双
曲线的离心率是__________________.
15-19 已知椭圆 x2 y2 1上两个不同的点A, B关于直线y mx 1
取值范围是 ___________________ .
分析：
（1）当F1P1F2 900 （2）当F1F2 P2 900 （3）当P在P1, P2之间变化时
计算：
（1）当F1P1F2 900，P1F1 P1F2 2 7
（2）当F1F2 P2 900，P2 F1 P2 F2 8
【分析一】代数角度：设 Q(x0 ,
(1) 17 4
怎么设计算法？
设斜率K还是设点？
2011年高考官方评价： 尽管学生对试题的 解答思路明确、路径清晰、方法常规，然而对 运算能力提出了高要求，运算是大量的，运算 一定要实，不仅要有精细迅速的运算技能，还 需据条件和目标不断确定和调整运算方法和路 径，需在运算中坚持到底，在运算中彰显能力， 否则便会有算不到底，来不及算的遗憾，在此， 学生的核心素养能力高下立判。
构造同构式,减少运算量
(2)设P( x0 , x02 ), A( x1 , x12 ), B( x2 , x22 ) k AB x1 x2
PA : y x02 ( x1 x0 )( x x0 ) 即( x1 x0 )x y x1x0 0
1 | 4 x1 x0 | ( x1 x0 )2 1
“策略”就是为了实现某一个目 标，预先根据可能出现的问题制定 的若干方案，并且在实现目标的过 程中，根据形势的发展和变化来制 定出的新方案，或者根据形势的发 展和变化来选择相应的方案，最终 实现目标。
解题思维策略是指: 运用多种思维方 法根据所求问题的不同特点, 有针对性、 技巧性、多角度联想, 寻求解决问题的 优化解法。解题思维策略对完成转化和
且由韦达定理得
xP
xP
2a2km b2 a2k2
．由点
P
在第一象限，
xP
a2k b2 a2k2
故点 P 的坐标为
a2k
,
b2
．
b2 a2k2 b2 a2k2
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
策略2: 熟悉常用方法之点差法 方法本质：通过点差法，快速找到m与点B横坐标的函数关系.
策略2: 熟悉常用方法之点差法 方法本质：通过点差法，快速找到点A横、纵坐标的关系.
策略2: 熟悉常用方法之点差法
策略2: 熟悉常用方法之点差法
策略2: 熟悉常用方法之点差法
策略3：掌握特殊与一般的相互转化
a4 x02
(
a4 x02
b4 y02
)(
x02 a2
y02 b2
)
策略5：落实切线专题，积累解题经验
问题 : 抛物线C1 : x2 y,圆C2 : x2 ( y 4)2 1 的圆心为 M .(1)求M到抛物线 C1的准线的距离 ; (2)已知P是抛物线 C1上一点, 过P作圆C2的两条 切线, 交抛物线 C1于A, B两点, 若过MP两点的直 线l垂直于AB, 求直线l的方程 .
b a
x0 ) （
x0
0
），
由 FP
2PQ
得，
xP
c 2x0 3
，
yP
2
b
a 3
x0
，
代入双曲线方程得，
(c 2x0 3 a2
)2
2 (
b a
x0
3
b2
)2
1，解得
x0
9a2 c2 4c
0
【分析二】几何角度：如图设 A 为顶点作
PM // OQ 交 x 轴交于 M ，则在点 P 的运动过程 中有 2 FP FM FA c a ，得1 e 3 ．
QB 2
存在这样直线 l ，使得
为常数．
QA
投影：a cos a e
M
e
(
x0，x02
1
2
(1,
x0
k)
)
1 k2
因为 QA 是 QM 在直线 l 上的投影，
QA QM e
1 1
k2
x
0
1
k 2
(x
0
2
x0 )
|
x0
1 || kx0 2 1 k2
2|
(2014年浙江高考 )设椭圆
a 2k 2 b2 m 2 a 2k 2 b2
ab
m2 a 2k 2
b2
1
m2 a 2k 2
b2
.
S ab t (1 t ) . 即
其中
t
m2 a 2k 2
b2
.
∴当且仅当 t
1 2
时，
S 取到最大值
S max
ab 2
.
问题3 如何认识椭圆中心三角形面积取到最大值的条件？
策略7：寻找运动与变化的规律，突破难点
特殊与一般的思想 运动与变化的观点
寻找运动变化的不变，是数学研究的重要方向。
寻找运动变化的规律，是数学研究的重要方向。
寻找运动变化的不变，是数学研究的重要方向。
策略8：探求中心三角形面积最值的规律，心中有底。
椭圆的中心三角形问题的研究
概念辩析 什么是椭圆的中心三角形？
PQ MO AO a
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
例3.
已知椭圆C：x 2 4
y2
1 ，过点P(0,-
3 5
)作直线交C于A、B两点，
是否存在一个定点Q在以AB为直径的圆上？若存在，求出定点坐标；
若不存在，说明理由.
策略2：熟悉一些常用方法（例如点差法）
策略2: 熟悉常用方法之点差法
由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ，
故 (2a2km)2 4 b2 a2k 2 (a2m2 a2b2 ) 0 ，即 b2 m2 a2k 2 0 ，
且由韦达定理得
xP
xP
2a2km b2 a2k2
．由点
P
在第一象限，
xP
a2k b2 a2k2
故点 P 的坐标为
y2 b2
1(a
b 0) ，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点
P ，且点 P 在第一象限． （Ⅰ）已知直线 l 的斜率为 k ，用 a,b, k 表示点 P 的坐标；
y kx m
【分析】设直线 l 的方程为 y
kx mk
0
，由
x2
a2
y2 b2
，
1
消去 y 得， b2 a2k 2 x2 2a2kmx a2m2 a2b2 0 ，
0
，由
x2
a2
y2 b2
，
1
消去 y 得， b2 a2k 2 x2 2a2kmx a2m2 a2b2 0 ，
由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P ，
故 (2a2km)2 4 b2 a2k 2 (a2m2 a2b2 ) 0 ，即 b2 m2 a2k 2 0 ，
4
1
x02
23 5
l : y 3 115 x 4 115
策略6：探究定点定值问题，有备无患
圆锥曲线中的定点定值问题
策略7：寻找运动与变化的规律，突破难点
策略7：寻找运动与变化的规律，突破难点
策略7：寻找运动与变化的规律，突破难点
|
OP
|
1 2
|
F1F2
|
c
1
即(1 x02)x12 6x1x0 x02 15 0
逆用韦达定理
同理 : (1
x
2 0
)
x
2 2
6x2 x0
x02
15
0
x1 ,
x 2是方程 (1
x
2 0
)
x
2
6 xx0
x02
15
0的两根
x1
x2
6 x0 1 x02
k AB
又k MP
源自文库
x02 4 x0
6 x0 1 x02
x02 x0
y
A
O
x
B
问题23 如如何何认求识定椭椭圆圆中中心心三三角角形形面面积积取的到最最大大值值？的条件？
设动直线 y＝kx＋m与定椭圆
x2 a2
y2 b2
1相交于点A，B，
试求△OAB的面积S的最大值．
| AB |
1 k 2 2 ab
a 2k 2 b2 m 2 a 2k 2 b2
.
S ab | m |
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0), 动
直线l与椭圆只有一个公共点 P,点P在第一象限 .
(1)已知直线 l的斜率为 k, 用a, b, k表示点P的坐标 .
(2)若过原点 O的直线 l1与l垂直, 证明 : 点P到直线 l1的距离的最大值为 a b.
例
4（2014
年浙江高考）如图，设椭圆
C
:
x2 a2
最终获解起着关键作用。常用的解题策
略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、
一般化和间接化等策略
解析几何是高中数学的重要内容. 高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲
线的定义、标准方程和简单的几何性质. 其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是
考查的重点. 运动与变化是研究几何问题的基本观点， 利用代数方法研究几何问题是基本方法.
解析几何试题强调综合性，综合考查数形结合思 想，函数与方程思想，特殊与一般的思想以及推理论 证能力和运算求解能力（即运算与分析）.
策略1：分析与计算是最大的策略
策略1.分析与运算
16 1（3 文）.设双曲线x2
y2 3
1
的左、右焦点分别为F1, F2 .
若点P 在双曲线上，且F1PF2 为锐角三角形,则 PF1 PF2 的
若动直线
l
经过点M
(
p
,
q)，且与椭圆E：x
a
2 2
y2 b2
1 相交于
点A，B，则△OAB的面积S的最大值
S max
ab
2
ab
,
p2 a2
q2 b2
1
p2 a2
q2 b2
,
p2 a2
q2 b2
1 2
,
p2 a2
q2 b2
1 2
.
进一步的思考
一个核心： 几何问题代数化 两个基本点： 算法优化设计与运算求简求实 八种不成熟的解题思维策略：
2
2
对称.
(I)求实数m的取值范围；
(II)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).
常用方法：点差法！
方法本质：对称点的中点和它们连线的斜率的关系.
常用方法： 点差法！中心三角形面积最大值的处理方法！
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
方法本质：对称点的中点和它们连线的斜率的关系.
投影：a cos a e
因为点 P 到直线 l1 的距离是 OP 在直线 l 上的投影
x0 x a2
y0 y b2
1
e
1 b4 x02 a4 y02
(a2 y0 , b2 x0 )
d
OP e
(a2
b2 )
x0 y0
(a2 b2 )
(a2 b2 )
b4 x02 a4 y02
b4 y02
a2k
,
b2
．
b2 a2k2 b2 a2k2
例
4（2014
年浙江高考）如图，设椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) ，动直线 l 与椭圆
C 只有一个公共点 P ，且点 P 在第一象限．
（Ⅱ）若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离最大值为 a b ．