第二章-连续小波变换

2.2 连续小波变换的概念与性质

2.2. l 连续小波变换的概念

将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ）

，其表达式为 ()

⎰⎪⎭

⎫

⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）

由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：

（1） 一种积分变换。

（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。

小波变换与傅里叶变换的不同之处：

（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。

（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面

上。

由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：

若令

t

j a e t g t a t a ωττψτψ)()(,2

1-==⎪⎭

⎫ ⎝⎛--

则CWT 可视作STFT 。

CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为

a

0ω、带宽为

a

ω

∆频窗内的频率分量大小。随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率

a

0ω、窗口宽度

a

ω

∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。 STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。

二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。

举例说明。

信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。 与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。

若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则

dt t t C a a K a R

a )()(),;,(,,1

ττψ

ψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）

ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的

CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。

00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04

-2

-1012时域波

形

Time

F r e q u e n c y

STFT 大时窗

0.01

2000

4000Time

F r e q u e n c y

STFT 中时窗00.050.10.15

200

400Time

F r e q u e n c y

STFT 小时窗

00.050.10.15

200

400

图2.1

2.2.2 连续小波变换的一些性质

连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几方面的性质： （1）叠加性

设)()(),(2

11R L t y t x ∈空间，21,k k 为任意常数，且)(1t x 的CWT 为),(τa WT x ，且)

(1t y 的CWT 为),(τa WT y ，则)()()(1211t y k t x k t z +=的CWT 为

),(),(),(21τττa WT k a WT k a WT y x z += （2.12）

（2）时移不变性

设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ，则)(0t t x -的CWT 为),(0t a WT x -τ，即延时后的信号的)(0t t x -的小波系数可将原信号)(t x 的小波系数在τ轴上进行同样时移得到。 （3）尺度转换（伸缩共变性）

设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ，则)(λ

t

x 的CWT 为

0 ),,(>λλ

τ

λλa WT x （2.13）

此性质表明，当信号在时域作某一倍数的伸缩时，其小波变换在τ,a 轴上也作同一倍

数的伸缩，形状不变。 （4）内积定理

设)()(),(2

21R L t x t x ∈空间，它们的CWT 分别为),(1τa WT x ，),(2τa WT x ，即

>=<)(),(),(,11t t x a WT a x τψτ >=<)(),(),(,22t t x a WT a x τψτ

则有Moyal 定理：

><>=<)(),(),(),,(2121t x t x C a WT a WT x x ψττ （2.14）

其中

ωω

ωψd C ⎰

∞

ψ=0

2

)

(

证明 由傅里叶积分的乘积定理可知

ωωωπ

d X X t x t x R )()(21

)(),(2121⎰>=< 则有

ω

ωωπ

ψτττd X t t x a WT a R

a x )()(21

)(),(),(,1,11ψ=

>=<⎰

（2.15）