第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质
2.2. l 连续小波变换的概念
将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ）
，其表达式为 ()
???
?
??-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）
由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：
（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：
（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面
上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：
若令
t
j a e t g t a t a ωττψτψ)()(,2
1-==??
? ??--
则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ?上包含在中心频率为
a
0ω、带宽为
a
ω
?频窗内的频率分量大小。随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率
a
0ω、窗口宽度
a
ω
?也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。 STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+?+?=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。 与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则
dt t t C a a K a R
a )()(),;,(,,1
ττψ
ψψψττ''-??='' （2.11）
ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的
CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04
-2
-1012时域波
形
Time
F r e q u e n c y
STFT 大时窗
0.01
2000
4000Time
F r e q u e n c y
STFT 中时窗00.050.10.15
200
400Time
F r e q u e n c y
STFT 小时窗
00.050.10.15
200
400
图2.1
2.2.2 连续小波变换的一些性质
连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几方面的性质： （1）叠加性
设)()(),(2
11R L t y t x ∈空间，21,k k 为任意常数，且)(1t x 的CWT 为),(τa WT x ，且)
(1t y 的CWT 为),(τa WT y ，则)()()(1211t y k t x k t z +=的CWT 为
),(),(),(21τττa WT k a WT k a WT y x z += （2.12）
（2）时移不变性
设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ，则)(0t t x -的CWT 为),(0t a WT x -τ，即延时后的信号的)(0t t x -的小波系数可将原信号)(t x 的小波系数在τ轴上进行同样时移得到。 （3）尺度转换（伸缩共变性）
设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ，则)(λ
t
x 的CWT 为
0 ),,(>λλ
τ
λλa WT x （2.13）
此性质表明，当信号在时域作某一倍数的伸缩时，其小波变换在τ,a 轴上也作同一倍
数的伸缩，形状不变。 （4）内积定理
设)()(),(2
21R L t x t x ∈空间，它们的CWT 分别为),(1τa WT x ，),(2τa WT x ，即
>=<)(),(),(,11t t x a WT a x τψτ >=<)(),(),(,22t t x a WT a x τψτ
则有Moyal 定理：
><>=<)(),(),(),,(2121t x t x C a WT a WT x x ψττ （2.14）
其中
ωω
ωψd C ?
∞
ψ=0
2
)
(
证明 由傅里叶积分的乘积定理可知
ωωωπ
d X X t x t x R )()(21
)(),(2121?>=< 则有
ω
ωωπ
ψτττd X t t x a WT a R
a x )()(21
)(),(),(,1,11ψ=
>=
（2.15）
ωωωπ
ψτττd X t t x a WT a R
a x )()(21
)(),(),(,2,22ψ=
>=
（2.16）
由小波函数定义，??
?
??-=-a
t a
t a τψψτ2
1,)(，则有 ωττωωj a e a a -ψ=ψ)()(, （2.17） ωττωωj a e a a )()(,ψ=ψ （2.18）
将式（2.18）代入式（2.15），（2.16），再将式（2.15），（2.16）代入式（2.14），并化简。且 )(2)(ωωπδττ
ωω'-=?'--d e
j
则式（2.14） 左边=
ωωωωωπd a a X X a da
a
R )()()()(22122ψψ??
=
ωωωωπ
d X X da a a R R )()()(21
212?????
?
????ψ 因为
???
=''
'ψ=ψ=ψR R R
C d da a a da a a ψωωωωωωω2
22)
()()(
又由于小波函数满足可容许性条件（即中括号内的积分值存在），其一般情况下我们取
0>a ，所以可容许性条件改为
?
∞
+∞<ψ=0
2
)
(da a
a C ωψ 则式（2.14）左边最后成为
左边=右边>=<=??
?
?
???
)(),()()(212121t x t x C d X X C ψψωωωπ
内积定理得证。
由上述定理的证明过程得知，内积定理的成立是以?
∞
+∞<ψ=0
2
)
(da a
a C ωψ为条件的。
当)()()(21t x t x t x ==时，由Moyal 公式可推出：
dt t x C d a WT a da x ???∞+∞-∞+∞-∞
=2
20
)(),(ψττ （2.19） 由于小波变换幅度平方的积分同信号的能量成正比，我们又称式（2.14）为能量关
系。
（5）自相关性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相关的。
（6）冗余性：连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此在连续小波变换中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公式不是唯一的。
2.3 连续小波变换的逆变换
2.3.1 连续小波变换的逆变换（ICWT ）
任何变换都必须存在逆变换（反变换）才有实际意义。对小波变换而言，我们可证明，若采用的小波满足可容许性条件（公式2.1），则其逆变换存在。即根据信号的小波变换系数可以精确的恢复原信号，并满足下述连续小波变换的逆变换公式：
ττ
ψττψτψ
τψd a
t a a WT a da C d t a WT a da C t x x
a x ??
??∞
+∞--∞
++∞
∞
-+∞
??
? ??-=
=
2
1
2,02),(1 )(),(1)( （2.20）
其中∞<ψ=
?
∞
da a
a C 0
2
)
(ωψ，对)(t ψ提出的容许条件。 证明 令)()(),()(21t t t x t x t x '-==δ，则根据δ函数的采样特性 )()(),(1t x t t t x '>='-<δ
并由小波函数的内积定理式（2.14）：
>>=<'-<=''-),(),,()(),()()(1ττδδψψa WT a WT t t t x C t x C t t x
=
τττδd a WT a WT a da
R t t x ??'-∞
),(),()(02 =τψδττd t t t a WT a da
R a x ??>'-<∞)(),(),(,02
=τδψττd t t t a WT a da
R a x ??>'-<∞)(),(),(,02
=τψττd t a WT a da
R
a x ??'∞)(),(,02
=
ττ
ψτd a t a
a WT a da R
x ??
-'∞
)(1),(0
2 （2.21） 也即
ττ
ψτψ
d a t a
a WT a da C t x R
x ??
-=
∞
)(1),(1
)(0
2 逆变换公式得证。
2.3.2 重建核方程（再生核方程）
尺度及位移均连续变化的连续小波基是一种过度完全基，再生核公式（2.11）描述了
连续半平面),(τa （其中0>a ）上的两个不同点),(τa 和),(τ''a 之间的CWT 系数的相关关系。实际上这个再生核度量了每个小波基函数τψ,a 的空间和尺度的选择性。因此，某些情况下我们可以根据重建核的结构来选择最适合于给定问题的小波基。由于任意信号小波变换的值在),)(,(R R a a ∈∈+
ττ半平面上是相关的，因此某一点),(00τa 处的小波变换值),(00τa WT x 可以表示成半平面上其他各处小波变换系数的总贡献，即
τττττψd a a K a WT a
da a WT x x ??
+∞
∞
-+∞
=),;,(),(),(000
200 （2.22） 式（2.22）称为重建核方程。
证明 由小波变换的定义式及其逆变公式有
dt t t x t t x a WT a a x ?
+∞
∞
->==<)()()(),(),(0000,,00ττψψτ （2.23）
τψττψ
d t a WT a da
C t x R
a x ??
∞
=
)(),(1)(,0
2 （2.24） 将式（2.24）代入式（2.23）得
τττττψψτψττψd a a K a WT a da
d t t a WT a da
C t x R
x R
a a x ??
???
∞∞
==
),;,(),( ])()()[,(1)(000
2,,0
200
证毕。
由重建核方程可知： （1） 任意一个随机信号，其连续小波变换系数在小波相平面上都有一定的相
关关系。相关区域的大小由再生核给出。随着尺度的减小，其相关区域减小，如图2.9-2.11所示，这说明连续小波变换是一种冗余度很高的基。
（2） 由重建核方程可知，任意函数的小波变换系数在τ-a 域都必须满足重建
核方程。因此，并不是τ-a 域的任意函数),(τa F 都可看作是某一函数
)(t f 的小波变换系数),(τa WT f 。
2.4 几种常用的连续小波基函数与
常用信号的连续小波变换
与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数)(t ψ具有多样性。但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。
根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：
(1)ψ、ψ、φ和Φ的支撑长度。即当时间或频率趋向无穷大时，ψ、ψ、φ和Φ从一个有限值收敛到0的速度。
(2)对称性。它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。
(3) ψ和φ（如果存在的情况下)的消失矩阶数。它对于压缩是非常有用的。 (4)正则性。它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。
但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。我们可以通过waveinfo 函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数ψ和尺度函数φ可以通过wavefun 函数计算，滤波器可以通过wfilters 函数产生。在本节中，我们主要介绍一下MATLAB 中常用到的小波函数。 2.4.1 几种常用的连续小波基函数 （1）Haar 小波
Haar 函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。Haar 函数与下面将要介绍的db1小波函数是一样的。Haar 函数的定义为
???????<
≤-≤≤=其它
121
12
/101x x H
ψ
图2.2
尺度函数为
??
?≤≤=其它
101)(x x φ
在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(‘haar ’)获得Haar 函数的一些主要性质。如图2.2所示。
（2）Daubechies(dbN)小波系
Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Ingrid Daubechies 构造的小波函数，除了db1(即haar 小波)外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h 的平方模是很明确的。db N 函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。
假设 ∑-=+-=1
01)(N k k k N k y C y P ，其中，k N k C +-1为二项式的系数，则有
)2
(sin )2
(cos )(2
2
2
0ω
ω
ωP m N =
其中，∑-=-=
120
j 0e
2
1
)(N k k k
h m ω
ω
几个结论：
1） 小波函数ψ和尺度函数φ的有效支撑长度为2N －1，小波函数ψ的消失矩阶数为N 。
2） 大多数db N 不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。 3） 正则性随着序号N 的增加而增加。 4） 函数具有正交性。
我们画出db4和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图2.3所示。
Daubechies 小波函数提供了比Haar 组更有效的分析和综合。Daubechies 系中的小波基记为db N ，N 为序号，且N ＝1，2， (10)
在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(‘db ’)获得Daubechies 函数的一些主要性质。
图2.3
（3）Biorthogonal(bior N r.N d)小波系
Biorthogonal 函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。众所周知，如果使用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重构的精确性将成为一对矛盾，而采用两个函数，将有效地解决这个问题。
设函数ψ用于信号分解，而函数ψ用于信号重构，则分解和重构的关系式为
?=x x x s C k j k j d )()(,,ψ
其中，∑=
k
j k j k
j C
S ,,,ψ
另外，φ与ψ之间具有二元性
????
?=='''0d )()(0
d )()(,0,0,,x x x x x x k k
k j k j φφψψ 这样，利用ψ函数的特性，在信号分解时可以获得一些很好的分解性质(如振动、零力矩)，而利用ψ的特性，在信号重构时又可获得一些很好的重构性质(如正则性)。
Biorthogonal 函数系通常表示成bior N r.N d 的形式： Nr ＝1 Nd ＝1，3，5 Nr ＝2 Nd ＝2，4，6，8 Nr ＝3 Nd ＝1，3，5，7，9 Nr ＝4 Nd ＝4 Nr ＝5 Nd ＝5 Nr ＝6 Nd ＝8
其中，r 表示重构(Reconstruction)；d 表示分解(Decomposition)。
我们画出bior2.4和bior4.4小波(分别用于分解与重构)的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图2.4所示。
在MATLAB 中，可输入命令waveinfo(‘bior ’)获得该函数的主要性质。
图2.4
（4）Coiflet(coif N )小波系
Coiflet 函数也是由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coif N (N ＝1，2，3，4，5)这一系列。Coiflet 具有比db N 更好的对称性。从支撑长度的角度看，coif N 具有和db3N 和sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coif N 具有和db2N
和sym2N 相同的消失矩数目。
在这里，我们画出coif3和coif5小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图2.5所示。
在MATLAB 中，可输入命令waveinfo(‘coif ’ )获得该函数的主要性质。
图2.5
（5）Morlet 小波
Morlet 小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波，它的时域、频域形式如下：
时域 5 ,e )(02
/02
≥=-ωψωt j t
e t
频域 2
)(2
0e
2)(ωωπω--=
ψ
Morlet 小波的时域、如图2.6（a ），（b ）所示。
注意：此小波不满足可容许性条件，因为0)0(≠=ψω，不过当5 0≥ω时，我们认为0)0(≈=ψω，近似满足容许性条件。