第二章-连续小波变换
第二章 时频分析与连续小波变换 ppt课件
定理及傅里叶变换的性
质)
再根据 Schwarz 不等式,有:
2 t
2
1 * (t ) dt ]2
1 f4
t [ f '(t) f *(t) 2
f
'*
(t)
f
(t )]dt
2
4
1 f
4
t(
f
(t
)
2
)
'
dt
2
1 / 4( 考虑到
lim
t
t f (t ) 0 , 再由分部积分
x(n)X(ej)
离散、非连 周续 期、周
信号时域和频域特性之间关系:
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
kN
kN
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
NnN
NnN
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
x(t) Ak
连续、周 离期 散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期 离 散 、 周 期
Heisenberg测不准原理结论
t22
1 4
当且仅f当 (t) aeb(tu)2eit时等号成立
证明( Weyl ):假定 lim t f (t ) 0 , 不失一般性,只证明该
t
定理对 u 0时成立。
第二章 窗口Fourier 变换与连续小波变换2
证明: (课后练习) 提示:利用傅立叶变换的乘积定理,将上式部化而言,WFT 在Fourier分析的基础上取得了 本质的进步.用WFT 分析信号可在时-频窗这个局部范围内观 察,时-频窗面积反映了时-频局部化的精细程度.是否可以选 择某个窗函数,能使时-频窗面积充分小呢? Heissenberg测不准原理表明,任何窗函数所相应的时-频 窗面积都有A≧2 。这就是说,就时-频窗面积而言,Gauss窗 函数已经是最好的结果了. 时-频局部化的精细程度还反映在时-频窗形状上. 低频信号的特点是,大的时间范围内幅值变化慢,其频率 范围窄,于是分析低频信号的时-频窗特点应是时窗宽且频窗窄; 高频信号的特点是,较短的时间范围内幅值变化快,其频 率范围宽,于是分析高频信号的时-频窗特点应是时窗窄且频窗 宽. WFT 在窗函数确定后,其时频窗口宽度是不变的,无法自 动适应信号频率的变化,小波变换可以解决这个问题。
§2 . 1 窗口Fourier 变换 窗口Fourier 变换也叫Gabor 变换,是Gabor在1946 年提出 的,可用来分析某些非平衡信号在某局部时段的主要频率特性 和某些频率出现在哪些时段上。
定义2.1 设 g(x)满足: 0 R g ( x ) dx ,则称:
2
G f ( , b) f ( x) g ( x b)e ix dx
1 2
(式2-12)
当频窗平移a后,由频窗中心和频窗半径可推出G(ω-a)的频 窗中心和频窗半径:
[G ( a )] [G ( )] a
[ G ( a )] [ G ( )]
(式2-13) (式2-14)
由定义知,g (x)和G(ω)分 别起着时窗和频窗的作用。 在时频坐标系中,时窗一 频窗共同作用而形成时频 窗(如图).
第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开,称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换(CWT ),其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ (2.9)由CWT 定义可知,小波变换与傅里叶变换的相同之处:(1) 一种积分变换。
(2) 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处:(1) 小波基具有尺度和平移两个参数。
(2) 函数在小波基下展开,意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点,将函数投影到小波变换域后,有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看,小波变换具有如下特点:若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT :任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数,实质上表征的是在τ位置处,时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化,对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化(根据式(2.6),(2.7))。
STFT :窗口固定不变(即不随ω的变化而变化)。
二者不同之处:CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频(大尺度),对应大时窗;高频(小尺度),对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ,在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图,如图2.1所示。
与傅里叶基不同,尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小,则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' (2.11)ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系,也称它为再生核或重建核(再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点,根据再生核公式可再生和重构出某一点),其结构取决于小波选取。
2.6连续小波变换应用演示
尺度
50 60 70 80 100 200 300 time (or space) b 400 500 600
(4)探地信号的连续小波变换
小波变换在不同的(a,b)之间的相关 性增加了分析和解释小波变换结果的 困难,因此,小波变换的冗余度应尽 可能减小,它是小波分析中的主要问 题之一。在MATLAB中,可以用cwt 函数实现对信号的连续小波变换。
2. 例子
例3.5.1 已知一信号f(t)=3sin(100pt)+2sin(68pt)+ 5cos(72pt),且该信号混有白噪声,对该信号进行连续小 波变换。小波函数取db3,尺度为1、1.2、1.4、1.6、…、 3。其MATLAB程序如下: t=0:0.01:1; f=3*sin(100*pi*t)+2*sin(68*pi*t)+ 5*cos(72*pi*t)+randn(1,length(t)); coefs=cwt(f,[1:0.2:3],db3,plot); title(对不同的尺度小波变换系数值); Ylabel(尺度); Xlabel(时间); 程序输出结果如图1.11所示。
1 c
W f (ca, cb)
c0
(4)自相似性:对续小波变换之间是自相似的。
(5)冗余性:连续小波变换把一维信号变换 到二维空间,因此在连续小波变换中存在信息表
述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公
式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接 反映,它主要表现在以下两个面: ①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是 唯一的。也就是说,信号f(t)的小波变换与小波重构 不存在一一对应关系,而傅里叶变换与傅里叶反变 换是一一对应的。 ②小波变换的核函数即小波函数ya,b(t)存在许 多可能的选择(例如,它们可以是非正交小波、正交 小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的)。
小波分析连续小波变换
小波分析连续小波变换小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具,可以在时频域上对信号进行局部化分析。
连续小波变换是小波分析的一种常用方法,它将信号分解成不同频率和尺度的小波成分,从而揭示出信号的时间和频率特征。
在本文中,我们将介绍连续小波变换的原理、方法和应用,并对其进行详细分析。
连续小波变换的原理可以用数学公式表示为:CWT(a,b) = \int f(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中,\(CWT(a,b)\)表示连续小波变换的系数,\(f(t)\)表示原始信号,\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数。
小波基函数可以由母小波函数进行缩放和平移得到,其中缩放因子\(a\)控制小波的频率,平移因子\(b\)控制小波的相位。
连续小波变换有许多不同的小波基函数可供选择,常用的有Morlet 小波、Haar小波、Daubechies小波等。
每种小波基函数都有自己的频率和尺度特性,适用于不同类型的信号分析。
连续小波变换方法的基本步骤如下:1.选择合适的小波基函数和尺度范围。
2.将原始信号进行滤波和下采样,得到不同尺度的近似信号。
3.将原始信号与小波基函数进行卷积,得到不同频率和尺度的细节信号。
4.重复步骤2和步骤3,直到得到满足要求的小波系数。
连续小波变换的应用十分广泛,包括信号分析、图像处理、模式识别等领域。
下面我们将以信号分析为例,详细介绍连续小波变换的应用。
在信号分析中,连续小波变换可以用来检测信号中的瞬时特征、变化点和周期变化。
通过对信号进行小波变换,可以得到不同尺度的频谱信息,从而揭示出信号的时频特征。
例如,在生物医学信号分析中,连续小波变换可以用来检测心电图中的心跳和呼吸节律,从而帮助医生对心脏和呼吸系统的功能进行评估和诊断。
同时,连续小波变换还可以用于脑电图分析、肌电图分析等领域。
在工程领域,连续小波变换也有重要的应用。
例如,在机械故障诊断中,连续小波变换可以用来分析振动信号,从而检测机械设备中的故障和异常。
连续小波变换核心知识
2.1.1 连续小波变换(1)连续小波基函数所谓小波(Wavelet),即存在于一个较小区域的波。
小波函数的数学定义是:设)(t ψ为一平方可积函数,即)()(2R L t ∈ψ,若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足: ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ (2-1)时,则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数,并称式(2-1)是小波函数的可容许条件。
根据小波函数的定义,小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集,即函数的非零值定义域具有有限的范围,这即所谓“小”的特点;另一方面,根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ,即直流分量为零,因此小波又具有正负交替的波动性。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移,设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ,平移因子为b ,并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ,则: 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ (2-2) 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。
由于a 和b 均取连续变换的值,因此又称为连续小波基函数,它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆,窗口中心为0t ,则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为:t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, (2-3) 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换,频域窗口中心为0w ,窗口宽度为w ∆,)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ,则有:)()(,aw e a w jwb b a φψ-= (2-4) 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为:w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== (2-5) 由此可见,连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数,均随着a 的变化而伸缩,并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, (2-6)即连续小波基函数的窗口面积是不变的,这正是Heisenberg 测不准原理。
第2讲 连续小波变换
现在用连续小波变换来处理同样的信号。 % 连续小波变换 figure % 用 db3 小波作母小波函数(如下图形) ,尺度 a 分别为 1, 1.2, 1.4, 1.6, …, 3. coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','plot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); figure % 连续小波变换的三维图形 coefs=cwt(f,[1:0.01:10],'db3','3Dplot'); title('f 对不同的尺度的 db3 小波连续变换的系数值'); Ylabel('尺度'); Xlabel('时间'); 下方左图是右图的俯视图。
Ylabel('幅值'); Xlabel('时间'); title('原始信号'); y=fft(f,1024); % DFT 有 1024 个采样点 p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度'); ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值 subplot(322);plot(ff,p(1:512)); Ylabel('功率谱密度'); Xlabel('频率'); title('信号功率谱图');
* *
是 的 Fourier 变换的模平方的一阶矩和二阶中心矩。
2.1.5 定理 乘积 2t 2 是一个不依赖于 a 和 b 的常数。 证明:事实上, a , b 与 有相同的 L2 范数:
连续小波变换
2.振荡性。(表征 f的局部频率特性)
“容许性”条件:
若: L , 且满足条件:
2
ˆ ( ) c : d
2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析:
1.
"容许性”条件隐含着: ˆ( 0 )= 0 即: (t)dt 0
小波变换重构定理的一个推广:
令 1, 2是两个基小波, ˆ 1() ˆ 2 () d c1 2 1
则:
- -
1 2 [ f , b,a b,a , g
da db c1, 2 1 f , g 2 a da db 2 a
__________ ______ 2 2 对所有的 f , gL 成立,并且对于 f L 和 f的连续点 x R ,有
1 da f (x) [ W ( f )( b , a ) ( x ) db b,a 2 c a - -
小波重构定理的证明:
da 左端= f , g , 2db b , a b , a a - -
,
对小波变换时频窗口的分析:
对小波变换时频窗口的分析:
1 . 小波变换的时频窗口形 状仅与参数 a 有关。
2. 时频窗口形状与参数 a的关系。 当 a下降时:中心频率上升 , 当 a上升时:中心频率下降 ,
频域窗口变宽,时域窗 口变窄。
频域窗口变窄,时域窗 口变宽。
a
*
a1 a 2
1
1 2 1 2
* , 时域半径为
i t
连续小波变换核心知识
2.1.1 连续小波变换(1)连续小波基函数所谓小波(Wavelet),即存在于一个较小区域的波。
小波函数的数学定义是:设)(t ψ为一平方可积函数,即)()(2R L t ∈ψ,若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足: ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ (2-1)时,则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数,并称式(2-1)是小波函数的可容许条件。
根据小波函数的定义,小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集,即函数的非零值定义域具有有限的范围,这即所谓“小”的特点;另一方面,根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ,即直流分量为零,因此小波又具有正负交替的波动性。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移,设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ,平移因子为b ,并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ,则: 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ (2-2) 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。
由于a 和b 均取连续变换的值,因此又称为连续小波基函数,它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆,窗口中心为0t ,则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为:t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, (2-3) 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换,频域窗口中心为0w ,窗口宽度为w ∆,)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ,则有:)()(,aw e a w jwb b a φψ-= (2-4) 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为:w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== (2-5) 由此可见,连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数,均随着a 的变化而伸缩,并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, (2-6)即连续小波基函数的窗口面积是不变的,这正是Heisenberg 测不准原理。
sjs2-第二章 连续小波变换(6课时)
第二章连续小波变换13小波母函数(及小波函数)特点:,0)(∫∞∞−=dt t ψ语言描述为:(1)小波具有“小”,具有时、频域紧支集,包络衰减快;(2)小波具有“波动性”,正负交替,与水平轴上下围成的面积相等,直流分量为零;(3)小波具有带通滤波器特性,ψ(t )可理解为一个带通滤波器的冲激响应。
(小波的Fourier 变换是带通),0)0(ˆ=ψ示。
图2-3ω∆2ω∆2/ω∆ωt 0ω02ω2/0ω)(ˆωψa )(ˆωψa )(ˆωψa19母小波可以是实函数,也可以是复函数。
•具有带通特性,即在频域,围绕着中心频率是有限支撑的也将反映在窗口中心频率处的局部性质,从而实现所期望的频率定位功能。
)(ˆ,ωψb a )(ˆ,ωψb aMorlet小波ψ (t ) = e− t 2 / 2 iω0teˆ (ω ) = 2π e− (ω −ω0 ) ψ2/2(a)小波母函数;(b)Fourier变换Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g (t ) =(σ π )211/ 4e−t2 2σ 2σ = 1,η = 5Gabor 小波 Morlet小波21ψ ( t ) = g ( t ) eiηtMorlet小波morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support Effective support=[-4 4], SymmetryM orlet W avelet 1 0.8 12 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 2 -0.8 -1 -5 0 -5 6 10 14 FFT of M orlet W avelet84-4-3-2-1012345-4-3-2-1012345Morlet小波是一种复数小波,时频均具有很好的局部性。
连续小波变换的定义
连续小波变换的定义连续小波变换(Continuous Wavelet Transform,CWT)是一种数学工具,用于在时域和频域之间转换信号。
它通过将信号与母小波进行卷积来分析信号的频率成分和时域特征。
连续小波变换在诸多领域中得到广泛应用,如信号处理、图像处理、模式识别等。
一、母小波母小波是连续小波变换中的基函数,用于分析信号的局部特征。
母小波必须满足一定的数学条件,其中最重要的是零平均性和正交性。
零平均性要求母小波的积分为零,这样可以排除信号的直流成分。
正交性要求母小波与不同尺度和平移的版本之间具有正交性,以便在不同频率和时间上分析信号。
一些常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波以及高斯小波。
每种母小波都有其特定的频率响应和时域特性,适用于不同类型的信号分析。
二、连续小波变换的计算步骤连续小波变换可以通过以下步骤进行计算:1.选择合适的母小波函数。
根据信号的特征选择适合的母小波函数,例如需要较好的时域分辨率时可以选择Morlet小波。
2.对母小波函数进行尺度变换和平移变换。
通过缩放和平移母小波函数,生成在不同时间尺度下的小波函数。
3.将信号与小波函数进行卷积。
对信号和不同尺度下的小波函数进行卷积运算,得到连续小波系数。
4.可选的信号重建。
根据需要,可以通过反向连续小波变换将小波系数重构为原始信号。
三、连续小波变换的特点连续小波变换相比于离散小波变换具有以下特点:1.连续性:连续小波变换可以在时间域上连续地变换信号,不需要进行离散化处理。
这使得连续小波变换对信号的时域特征更加敏感。
2.尺度可调性:连续小波变换可以通过改变母小波的尺度来分析不同频率成分的信号。
不同尺度的小波函数可以捕捉信号在不同频率范围内的变化。
3.多分辨率分析:连续小波变换可以提供多个尺度下的频谱信息,从而实现对信号的多尺度分析。
这有助于对信号中的局部特征进行更详细的分析和处理。
4.良好的时-频局部化特性:连续小波变换可以在时-频平面上对信号进行局部化分析,对信号的瞬时频率和局部时域特征进行更准确的刻画。
K4.03-连续小波变换
2
2. 小波参数的含义
连续小波变换
3
连续小波变换
图9.3-1 傅里叶变换,STFT和小波变换积分核函数示意图
上图给出了三种变换的积分和函数的示意图。傅里叶变换全 局采用三角函数,而短时傅里叶变换则依据不同的信号位置采 用了加窗的函数,通过窗函数的位置来获得频率分量的时间信 息;小波变换可以在不同位置采用不同尺度的核函数,以此来 获得多分辨特性和局部化的分析能力。
11
傅里叶变换是对信号在无限长的时域内进行积分,因而其变 换核的时域窗口无限宽,而频域窗口无限窄,从而获得了最精 确的频域分辨率。
8
连续小波变换
为了描述三种变换的时间分辨率与频率分辨率的关系,图中 的每个矩形块的时间轴的宽度代表了时间窗的宽度,而频率轴 的高度代表了频率窗的宽度,需要注意的是,对小波变换而言, 一般不使用“频率”而是使用“尺度”进行图示,尺度与频率 成反比关系。窗口的宽度(不管是频率窗还是时间窗)表征的 是变换结果所覆盖到的(频率或者时间)范围。所有的方块的 面积都是非零的,这说明在时频平面内,无法确切地知道某个 特定的“点”对应的信息,能知道的只能是这些方块覆盖范围 内的信号的变换结果,是一个局部范围的总体信息。
4
连续小波变换
几个代表性的连续小波函数
(1)Mexcian hat wavelet墨西哥帽小波
(t)
1
2
3
t2 e 2 2
t221来自(2)高斯差分小波 (3)Morlet小波
(t) e t2 2 1 e t2 8
2
(t )
eiat
et2 2 2
连续小波变换
1, 5
Gabor 小波 Morlet小波
2
e
t g t e i t
常用的基本小波
5. 高斯小波
t
1 2
te t
2
/2
ˆ i e
2
/2
(t )
ˆ ( )
这是高斯函数的一阶导数,在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 特性: 指数级衰减,非紧支撑;具有非常好的时间频率局部化; 关于0轴反对称。
a ,b 的宽度是
f t 的高频成分需用 具有比较小的
a 0 的分析小波 a , b . 这时时间窗会自动
变窄,并在高频区域对信号进行细节分析.
0 a1 a2
各种变换的比较
Fourier变换的特性 小波变换的特性 分解种类:时间-尺度或时间-频率 分解种类: 频率 分析函数: 正弦函数,余弦函数分析函数:具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量: 频率 变量: 尺度,小波的位置 信息: 组成信号的频率 信息:窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 适应场合: 平稳信号 局部化,宽的小波提供好的频率局部化 算法复杂度: 及差的时间局部化。 适应场合:非平稳信号 短时Fourier变换的特性 分解种类:时间-频率 分析函数:由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量:频率,窗口的位置 信息: 窗口越小,时间局部化越好,其结果是滤掉低频成分; 窗口越大,频率局部化越好, 此时时间局部化较差. 适应场合:次稳定信号
ˆ ˆ f ( ) e ib ( a ) d
WT f ( a , b ) 给出了 f t 在频域窗 ˆ , ˆ 内的局部化信息。 a a a a
小波分析之连续小波变换
在 f (x) 的连续点处,
da db ∫R ∫R (wψ f )(a, b) ⋅ψ a,b a 2
1 x − b da db −1 2 = ⋅ a ⋅ ∫ ∫ ( wψ f )(a, b) ⋅ψ ( ) 2 R R cψ a a
推论7.1的证明
da db 在∫ ∫ ( wψ f )(a, b) ⋅ ( wψ g )(a, b) 2 R R a = cψ ⋅ ( f , g ) 中, 令g (t ) = δ (t − x), 有 ( f , δ (t − x)) = ∫ f (t )δ (t − x)dt
a
故
T = sup
f ≠0
Tf f
1 1
≤
(b − a ) f f
−1
1
1
= b − a.
另一方面,对满足
n, t ∈ [a, a + n ], f n (t ) = −1 0, t ∈ [a + n , b].
a+n <b
的
−1
n,
定义
故
T = sup
f ≠0
Tf f
1 1
≤
(b − a ) f f
求ห้องสมุดไป่ตู้性算子
T : L [ a, b] → L [ a, b]
1 1
的算子范数.
(Tf )( x) = ∫a
x
f (t )dt.
解
(Tf ) 1 = ∫a ∫a
b
x
f (t )dt dx
b b a a
≤∫
b
a a b
∫
x
f (t ) dtdx ≤ ∫
b a
∫
f (t ) dtdx
连续小波变换及其应用
连续小波变换及其应用连续小波变换及其应用小波变换(Wavelet Transform)是一种信号处理的重要方法,在信号处理、图像处理、模式识别等领域广泛应用。
连续小波变换(Continuous Wavelet Transform, CWT)是一种连续域的小波变换方法,具有多尺度分析的特点。
本文将介绍连续小波变换的基本原理及其在各领域中的应用。
一、连续小波变换的基本原理连续小波变换是将被分析的信号与一组母小波进行卷积,得到不同尺度下的小波系数,从而实现对信号的频率分解和时频分析。
连续小波变换的基本原理是将信号通过与小波函数的卷积操作,实现对信号在时间和频率上的分析。
连续小波变换的数学表达式如下:\[ C(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt \]其中,\[ a \in R^{+} \]为尺度参数,\[ b \in R \]为平移参数,\[ x(t) \]为原始信号,\[ \psi(t) \]为小波函数。
连续小波变换的特点是可以同时观察信号的时域和频域信息,提供了一种更加完备的分析手段。
相较于傅里叶变换,连续小波变换具有多尺度分析的能力,可以在不同尺度上对信号进行分解,对于瞬态信号和非平稳信号具有更好的适应性。
二、连续小波变换的应用1. 信号处理领域连续小波变换在信号处理领域中有着广泛的应用。
在信号分析中,连续小波变换可以对信号的时频信息进行分析,可以用来检测信号的瞬态特征、识别信号的频率成分等。
同时,连续小波变换还可以用于信号去噪、信号压缩、信号特征提取等方面。
2. 图像处理领域连续小波变换在图像处理领域中也具有重要的应用价值。
图像是二维信号,连续小波变换可以对图像的空间域和频率域信息进行分析,可以用于图像的边缘检测、纹理分析、图像增强等方面。
同时,连续小波变换还可以实现图像的压缩和去噪等操作。
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2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开,称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换(CWT ),其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ (2.9)由CWT 定义可知,小波变换与傅里叶变换的相同之处:(1) 一种积分变换。
(2) 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处:(1) 小波基具有尺度和平移两个参数。
(2) 函数在小波基下展开,意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点,将函数投影到小波变换域后,有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看,小波变换具有如下特点:若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT :任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数,实质上表征的是在τ位置处,时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化,对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化(根据式(2.6),(2.7))。
STFT :窗口固定不变(即不随ω的变化而变化)。
二者不同之处:CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频(大尺度),对应大时窗;高频(小尺度),对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ,在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图,如图2.1所示。
与傅里叶基不同,尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小,则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' (2.11)ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系,也称它为再生核或重建核(再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点,根据再生核公式可再生和重构出某一点),其结构取决于小波选取。
00.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04-2-1012时域波形TimeF r e q u e n c ySTFT 大时窗0.0120004000TimeF r e q u e n c ySTFT 中时窗00.050.10.15200400TimeF r e q u e n c ySTFT 小时窗00.050.10.15200400图2.12.2.2 连续小波变换的一些性质连续小波变换是一种线性变换,它具有以下几方面的性质: (1)叠加性设)()(),(211R L t y t x ∈空间,21,k k 为任意常数,且)(1t x 的CWT 为),(τa WT x ,且)(1t y 的CWT 为),(τa WT y ,则)()()(1211t y k t x k t z +=的CWT 为),(),(),(21τττa WT k a WT k a WT y x z += (2.12)(2)时移不变性设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ,则)(0t t x -的CWT 为),(0t a WT x -τ,即延时后的信号的)(0t t x -的小波系数可将原信号)(t x 的小波系数在τ轴上进行同样时移得到。
(3)尺度转换(伸缩共变性)设)(t x 的CWT 为),(τa WT x ,则)(λtx 的CWT 为0 ),,(>λλτλλa WT x (2.13)此性质表明,当信号在时域作某一倍数的伸缩时,其小波变换在τ,a 轴上也作同一倍数的伸缩,形状不变。
(4)内积定理设)()(),(221R L t x t x ∈空间,它们的CWT 分别为),(1τa WT x ,),(2τa WT x ,即>=<)(),(),(,11t t x a WT a x τψτ >=<)(),(),(,22t t x a WT a x τψτ则有Moyal 定理:><>=<)(),(),(),,(2121t x t x C a WT a WT x x ψττ (2.14)其中ωωωψd C ⎰∞ψ=02)(证明 由傅里叶积分的乘积定理可知ωωωπd X X t x t x R )()(21)(),(2121⎰>=< 则有ωωωπψτττd X t t x a WT a Ra x )()(21)(),(),(,1,11ψ=>=<⎰(2.15)ωωωπψτττd X t t x a WT a Ra x )()(21)(),(),(,2,22ψ=>=<⎰(2.16)由小波函数定义,⎪⎭⎫⎝⎛-=-at at a τψψτ21,)(,则有 ωττωωj a e a a -ψ=ψ)()(, (2.17) ωττωωj a e a a )()(,ψ=ψ (2.18)将式(2.18)代入式(2.15),(2.16),再将式(2.15),(2.16)代入式(2.14),并化简。
且 )(2)(ωωπδττωω'-=⎰'--d ej则式(2.14) 左边=ωωωωωπd a a X X a daaR )()()()(22122ψψ⎰⎰=ωωωωπd X X da a a R R )()()(21212⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ψ 因为⎰⎰⎰='''ψ=ψ=ψR R RC d da a a da a a ψωωωωωωω222)()()(又由于小波函数满足可容许性条件(即中括号内的积分值存在),其一般情况下我们取0>a ,所以可容许性条件改为⎰∞+∞<ψ=02)(da aa C ωψ 则式(2.14)左边最后成为左边=右边>=<=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰)(),()()(212121t x t x C d X X C ψψωωωπ内积定理得证。
由上述定理的证明过程得知,内积定理的成立是以⎰∞+∞<ψ=02)(da aa C ωψ为条件的。
当)()()(21t x t x t x ==时,由Moyal 公式可推出:dt t x C d a WT a da x ⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞=220)(),(ψττ (2.19) 由于小波变换幅度平方的积分同信号的能量成正比,我们又称式(2.14)为能量关系。
(5)自相关性:对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相关的。
(6)冗余性:连续小波变换把一维信号变换到二维空间,因此在连续小波变换中存在信息表述的冗余度(redundancy)。
小波变换的逆变换公式不是唯一的。
2.3 连续小波变换的逆变换2.3.1 连续小波变换的逆变换(ICWT )任何变换都必须存在逆变换(反变换)才有实际意义。
对小波变换而言,我们可证明,若采用的小波满足可容许性条件(公式2.1),则其逆变换存在。
即根据信号的小波变换系数可以精确的恢复原信号,并满足下述连续小波变换的逆变换公式:ττψττψτψτψd at a a WT a da C d t a WT a da C t x xa x ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞++∞∞-+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-==212,02),(1 )(),(1)( (2.20)其中∞<ψ=⎰∞da aa C 02)(ωψ,对)(t ψ提出的容许条件。
证明 令)()(),()(21t t t x t x t x '-==δ,则根据δ函数的采样特性 )()(),(1t x t t t x '>='-<δ并由小波函数的内积定理式(2.14):>>=<'-<=''-),(),,()(),()()(1ττδδψψa WT a WT t t t x C t x C t t x=τττδd a WT a WT a daR t t x ⎰⎰'-∞),(),()(02 =τψδττd t t t a WT a daR a x ⎰⎰>'-<∞)(),(),(,02=τδψττd t t t a WT a daR a x ⎰⎰>'-<∞)(),(),(,02=τψττd t a WT a daRa x ⎰⎰'∞)(),(,02=ττψτd a t aa WT a da Rx ⎰⎰-'∞)(1),(02 (2.21) 也即ττψτψd a t aa WT a da C t x Rx ⎰⎰-=∞)(1),(1)(02 逆变换公式得证。
2.3.2 重建核方程(再生核方程)尺度及位移均连续变化的连续小波基是一种过度完全基,再生核公式(2.11)描述了连续半平面),(τa (其中0>a )上的两个不同点),(τa 和),(τ''a 之间的CWT 系数的相关关系。
实际上这个再生核度量了每个小波基函数τψ,a 的空间和尺度的选择性。
因此,某些情况下我们可以根据重建核的结构来选择最适合于给定问题的小波基。
由于任意信号小波变换的值在),)(,(R R a a ∈∈+ττ半平面上是相关的,因此某一点),(00τa 处的小波变换值),(00τa WT x 可以表示成半平面上其他各处小波变换系数的总贡献,即τττττψd a a K a WT ada a WT x x ⎰⎰+∞∞-+∞=),;,(),(),(000200 (2.22) 式(2.22)称为重建核方程。
证明 由小波变换的定义式及其逆变公式有dt t t x t t x a WT a a x ⎰+∞∞->==<)()()(),(),(0000,,00ττψψτ (2.23)τψττψd t a WT a daC t x Ra x ⎰⎰∞=)(),(1)(,02 (2.24) 将式(2.24)代入式(2.23)得τττττψψτψττψd a a K a WT a dad t t a WT a daC t x Rx Ra a x ⎰⎰⎰⎰⎰∞∞==),;,(),( ])()()[,(1)(0002,,0200证毕。