高中数学人教B版选修2-2 第一章1.4.1曲边梯形的面积与定积分 定积分求面积 共27张PPT

y
y=x²
o
i1 i
1x
nn
不足
近似值
n
i1
1 n
f (i )
过剩 近似值
1
1
1
3
3
3
例2 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即 力F(x)=kx(k是常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡 位置拉长b所做的功.
b
b
曲边三角形或曲边梯形的面积
Δx
克服弹簧拉力的变力所做的功 W
Δx
1.定积分的概念:
1.4.1曲边梯形的面积与定积分
恩格斯
对数 解析几何 微积分
牛顿
莱布尼茨
学习目标
1. 总结出平面图形面积的几种求法； 2. 会求简单曲边梯形的面积 3. 了解定积分的概念
求平面图形的面积有哪些常用方法？
常见图形的面积公式
平行四边形
梯形
h a
Sah S1(ab)h
2
三角形
1 S 2 aha
函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f (x)dx
这 里 ,a与 b分 别 叫 做 积 分 下 限 与 积 分 上 限 ,区 间
a,b叫 做 积 分 区 间 ,函 数 fx叫 做 被 积 函 数 ,x叫 做 积 分 变 量 ,fxdx叫 做 被 积 式 .
课堂小结
在今天的课程中， 你学到了什么呢？
课堂小结
一、平面图形面积的求法：
1. 公式法 2. 割补法 3. 积分法
课堂小结
二、求曲边梯形面积的步骤： (1)分割：n 等分区间[a，b]； (2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：i＝n1f(ξi)·b－n a；
(4)取极限：S＝nl→im＋∞i＝n1f(ξi)·b－n a.
“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算 方便，可以取该区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
课堂小结
三、定积分的概念
a b f( x ) d x n i 0 1 f(i)x i l n i m i n 1 ( b n a )f(i)
B
温故知新 可以为师
下面两个图形的面积你会求吗？
割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆合体，而无所失矣.
割圆术 割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限 逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法。 … 圆内接正六边形 圆内接正十二边形
割圆术 你能否总结出割圆术中的思想方法？
1.将圆等分成n个小扇形.
2.用小三角形面积近似代替小扇形面积. 3.求小三角形面积之和. 4.随着n的增大，小三角形面积之和不断 逼近圆面积.
特例探究 如何求由直线x=0,x=1,y=0和曲线
y=x²所围成的曲边梯形的面积S？
y
y=x²
o
1
x
曲边梯形的定义
在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x) ， 直 线
x=a、x=b及x 轴所围成的图形叫做曲边梯形。
y
wk.baidu.comy=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
1.分割 思考：应采用什么样的方式分割下面
的曲边梯形才能有利于“以直代曲”？
y
y=x²
o
1
x
1.分割 思考：如何将大曲边梯形等分成n个小
曲边梯形？
y
y=x²
第i个小曲边 梯形
o
1x
2.近似代替 思考：对每个小曲边梯形如何 “以直代曲”？（单独研究第i 个小曲边梯形）
y
y=x²
o
i1 i
1x
nn
方案1 方案2 方案3 几何画板演示
2.近似代替 思考：怎样求出小矩形的面积？
y
y=x²
o
i1 i
1x
nn
i1 i nn
3.求和
y
思考：怎样求出n个小矩形的面 积之和？
y=x²
12 22 n12
(n1)n(2n1) 6
o
1x
4.取极限
y
o
y=x²
n→∞
1x
能力提升 思考：取f(x)=x²在区间
i
n
1
,
i n
上 为任近意似一值点，求ξi处出的的函S也数是值13 f(ξ吗i)作？