七年级数学配方法试题
七年级数学配方法试题
A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=36
4.方程3x2+ x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )
A. ; B. ;
C. ; D.
B卷
二、解答题：
5.用配方法解下列方程:
3.c 4.B
B卷答案：
5.(1)
(2)
(3)
(4)
6.(1)原式=
(2)原式=
7.(1)2秒或5秒(2)7秒
8.∵a+b+c= ,∴(a+b+c)2= 即a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)= ,
∴ab+bc+ac=
∴a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴ [(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0,
2.2配方法(AB卷)
A卷
一、填空题：
1.填上适当的数,使下面各等式成立：
(1)x2+3x+_______=(x+________)2;
(2)_______-3x+ =(3x_______)2;
(3)4x2+_____+9=(2x________)2;
(4)x2-px+_______=(x-_______)2;
(5)x2+ x+_______=(x+_______)2.
2.用配方法使下面等式成立：
(1)x2-2x-3=(x-______)2-_______;
(2)x2+0.4x+0.5=(x+_______)2+________;
初中数学计算配方法解一元二次方程专项练习111题(有答案22页
配方法解一元二次方程专项练习1．x2﹣2x=4．2．3x2=5x+2 3．2x2﹣4x+1=0．4. x2+2x=2；5．x2﹣2x﹣4=0．6．．7．x2+4x﹣1=0．8．2x2+x﹣30=09．x2﹣28x﹣4=010．x2﹣8x﹣1=0．11．x2+2x=5．12．2x2+6=7x13．2x2+1=8x14．3x2﹣2x﹣6=015．．16．x2+2x﹣15=0．17．x2+6x﹣16=018．2x2﹣5x﹣3=019．x2﹣4x+2=0 20．（x+3）（x﹣1）=12 21．2x2﹣12x+6=0 22．2x2﹣3x﹣2=0．23．x（x+2）﹣5=0．24．x2﹣6x+2=0 25．3x2﹣6x﹣1=026．2x2+4x﹣1=027．x2﹣4x+3=0．28．x2﹣6x﹣3=029．2x2﹣8x+3=0．30．3x2﹣4x+1=0；31．x2﹣6x+1=0．32．2x2﹣4x+1=033．x2+5x﹣3=0．34．x2+2x﹣4=035．2x2﹣4x+1=0．36．．37．5（x2+17）=6（x2+2x）38．4x2﹣8x+1=039．2x2+1=3x．40．x2+x﹣2=0．41．x2﹣6x+1=042．x2﹣8x+5=0 43．x2+3x﹣4=0．44．3x2+8x﹣3=045．x2+8x=2．46．x2+3x+1=047. 2x2﹣3x+1=048．x2﹣4x﹣6=049. x2﹣8x+1=050．x2+4x+1=051．x2﹣4x+1=052．x2﹣6x﹣7=054. x2﹣6x﹣5=0．55．2x2+1=3x56. x2+3x+1=0 57．x2﹣8x+1=0．58. x2﹣8x﹣16=0 59．．60．6x2﹣7x﹣3=0 61. x2﹣6x=﹣8；62. 2x2﹣5x+1=0．63．3x2+8x﹣3=064．3x2﹣4x+1=065．2x2+3x﹣1=0．66．2x2﹣5x﹣1=067．4x2﹣8x﹣1=068．3x2+4x﹣7=069．3移项得3x2﹣10x=﹣6．70．3x2﹣10x﹣5=071．2x2+3=7x72．x2+2x﹣224=073．x2﹣5x﹣14=074．．75．x 2+8x ﹣20=076．x 2﹣x+．77．2t 2﹣6t+3=0．78．3x 2﹣6x ﹣12=0．79．x 2﹣4x+1=0 80. 3x 2﹣3=2x ．81．2x 2﹣5x+1=0．82．2y 2+8y ﹣1=083．x 2﹣6x ﹣18=084.x 2﹣2x ﹣1=0．85. x 2﹣4x ﹣1=0；86. 2x 2+3x+1=0．87．2x 2﹣6x ﹣7=088．ax 2+bx+c=0（a ≠0）．89．4x 2﹣4ax+a 2﹣b 2=0．90. x 2﹣4x ﹣2=091. x （x+4）=6x+1292. 2x2+7x﹣4=093. 3（x﹣1）（x+2）=x+494. 3x2﹣6x=895. 2x2﹣x﹣30=0，96. x2+2=2x，97.x2+px+q=O（p2﹣4q≥O），98. m2x2﹣28=3mx（m≠O），99. x2﹣6x+7=0；100. 2x2+6=7x；101. ﹣5x2+10x+15=0．102. x2+6x+8=0；103. x2=6x+16；104.2x2+3=7x；105. （2x﹣1）（x+3）=4．106. x2+4x=﹣3；107. 2x2+x=0．108.x2+4x﹣3=0；110. x2﹣x+=0；109.x2+3x﹣2=0；111. x2+2x﹣4=0．配方法解一元二次方程111题参考答案：1．x2﹣2x=4．配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．2． 3x2=5x+2x2﹣x+=+=x=2，x=﹣3．2x2﹣4x+1=0．由原方程，得2（x﹣1）2=1，∴x=1±，∴原方程的根是：x1=1+，x2=1﹣．4．x2+2x=2；原式可化为x2+2x﹣2=0即x2+2x+1﹣3=0（x+1）2=3x=1．5．x2﹣2x﹣4=0．由原方程移项，得x2﹣2x=4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1=5，配方，得（x﹣1）2=5，∴x=1±，∴x1=1+x2=1﹣．6．．，移项得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=+1，（x﹣1）2=，x﹣1=，解得x1=1+，x2=1﹣．7．x2+4x﹣1=0．解：移项得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=1+4，即（x+2）2=5，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．8．2x2+x﹣30=0原方程变形为x2+x=15∴x2+x+（）2=15+（）2．∴（x+）2=，∴x1=﹣3，x2=．9．x2﹣28x﹣4=0原方程可化为x2﹣28x+142=4+142（x﹣14）2=200x﹣14=∴x1=14+，x2=14﹣．10．原方程移项得，x2﹣8x=1，⇒x2﹣8x+16=1+16，（x﹣4）2=17，⇒解得11．x2+2x=5．x2+2x+1=5+1，即（x+1）2=6，所以x+1=±，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．12．2x2+6=7x移项得：2x2﹣7x=﹣6，二次项的系数化为1得：，解得：x1=2，．13．2x2+1=8x∵2x2+1=8x，∴2x2﹣8x=﹣1，∴x2﹣4x=﹣，即（x﹣2）2=，∴x﹣2=，∴x1=2+，x2=2﹣14．3x2﹣2x﹣6=0系数化1得，x2﹣x﹣2=0方程两边加上一次项系数一半的平方即得：∴（x ﹣）2=∴x1=，x2=15．．配方得：x2﹣2x+3=12，即（x ﹣）2=12，开方得：x ﹣=±2，则x1=3，x2=﹣．16．x2+2x﹣15=0．x2+2x=15，x2+2x+1=15+1．（x+1）2=42．x+1=±4．∴x1=3，x2=﹣5．17．（1）x2+6x﹣16=0 由原方程，得x2+6x=16，等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，得x2+6x+9=25，即（x+3）2=25，直接开平方，得x+3=±5，∴x1=2，x2=﹣8；18．2x2﹣5x﹣3=0（用配方法）∴∴；19． x2﹣4x+2=0x2﹣4x+4=﹣2+4（x﹣2）2=2，，∴；20．（x+3）（x﹣1）=12（用配方法）将原方程整理，得x2+2x=15两边都加上12，得x2+2x+12=15+12即（x+1）2=16开平方，得x+1=±4，即x+1=4，或x+1=﹣4∴x1=3，x2=﹣521．2x2﹣12x+6=0 （配方法）．把方程2x2﹣12x+6=0的常数项移到等号的右边，得到2x2﹣12x=﹣6，把二次项的系数化为1得：x2﹣6x=﹣3，程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9=﹣3+9即（x﹣3）2=6，∴x﹣3=±，∴x=3±，∴x1=3+，x2=3﹣．22．2x2﹣3x﹣2=0．移项得：2x2﹣3x=2化二次项系数为1，得：x2﹣x=1，配方得：x2﹣x+=1+，即=，∴x ﹣=或x ﹣=﹣，∴x1=2，x2=﹣．23．x（x+2）﹣5=0．x（x+2）﹣5=0，去括号得：x2+2x﹣5=0，移项得：x2+2x=5，左右两边加上1，变形得：（x+1）2=6，开方得：x+1=±，即x=﹣1±，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣24．x2﹣6x+2=0x2﹣6x+2=0移项，得x2﹣6x=﹣2，即x2﹣6x+9=﹣2+9，∴（x﹣3）2=7，解得x﹣3=±，即x=3±．∴x1=3+，x2=3﹣．25．把方程x2﹣2x ﹣=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=+1配方得（x﹣1）2=开方得x﹣1=移项得x=+126．2x2+4x﹣1=0原方程变形为2x2+4x=1即x2+2x=∴x2+2x+1=1+即（x+1）2=∴∴，27．x2﹣4x+3=0．∵x2﹣4x+3=0∴x2﹣4x=﹣3∴x2﹣4x+4=﹣3+4∴（x﹣2）2=1∴x=2±1∴x1=3，x2=128．x2﹣6x﹣3=0x2﹣6x=3，（x﹣3）2=12，x﹣3=．∴x1=3+，x2=3﹣29．2x2﹣8x+3=0．原方程变形为∴∴∴x﹣2=．∴x1=2+，x2=2﹣．30．3x2﹣4x+1=0；3（x2﹣x）+1=0（x ﹣）2=∴x ﹣=±∴x1=1，x2=31．x2﹣6x+1=0．x2﹣6x=﹣1．x2﹣6x+9=﹣1+9，（x﹣3）2=8，．，32．2x2﹣4x+1=0原方程化为配方得即开方得∴，33．x2+5x﹣3=0．由原方程移项，得x2+5x=3，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得，∴∴解得，∴，．34．x2+2x﹣4=0移项得x2+2x=4，配方得x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5，开方得x+1=±，∴x1=，x2=﹣35．2x2﹣4x+1=0．由原方程，得x2﹣2x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1=，配方，得（x﹣1）2=，直接开平方，得x﹣1=±，x1=1+，x2=1﹣．36．．∵x2﹣x+=0∴x2﹣x=﹣∴x2﹣x+=﹣+∴（x ﹣）2=0解得x1=x2=．37．5（x2+17）=6（x2+2x）5（x2+17）=6（x2+2x），整理得：5x2+85=6x2+12x，x2+12x﹣85=0，x2+12x=85，x2+12x+36=85+36，（x+6）2=121，x+6=±11，x1=5，x2=﹣1738．4x2﹣8x+1=0方程4x2﹣8x+1=0同除以4，得x2﹣2x+=0，把方程4x2﹣8x+1=0的常数项移到等于号的右边，得x2﹣2x=﹣，方程两边同时加上一次项一半的平方，得到，x2﹣2x+1=，∴x﹣1=±，解得x1=，x2=．39．2x2+1=3x．由原方程，移项得2x2﹣3x=﹣1，化二次项系数为1，得x2﹣x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣x+=﹣+，配方，得（x ﹣）2=，开平方，得x ﹣=±，解得，x1=1，x2=．40．x2+x﹣2=0．配方，得x2+x ﹣=2+，即=，所以x+=或x+=﹣．解得 x1=1，x2=﹣2．41．x2﹣6x+1=0移项，得x2﹣6x=﹣1，配方，得x2﹣6x+9=﹣1+9，即（x﹣3）2=8，解得x﹣3=±2，∴x1=3+2，x2=3﹣2．42．x2﹣8x+5=0原方程可变为，x2﹣8x=﹣5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得，到x2﹣8x+16=11，配方得，（x﹣4）2=11，直接开平方得，x﹣4=±，解得x=4+或4﹣．43．x2+3x﹣4=0．x2+3x﹣4=0x2+3x=4x2+3x+=4+=∴x+=±所以x1=1，x2=﹣4．44．3x2+8x﹣3=0∵3x2+8x﹣3=0，∴3x2+8x=3，∴x2+x=1，∴x2+x+=1+，∴（x+）2=，⇒x=，解得x1=，x2=﹣345．移项，得x2+8x=2．两边同加上42，得x2+8x+16=2+16，即（x+4）2=18．利用开平方法，得x+4=或x+4=﹣．解得x=﹣4+或x=﹣4﹣3．所以，原方程的根是x1=﹣4+，x2=﹣4﹣．46．x2+3x+1=0∵x2+3x+1=0∴x2+3x=﹣1∴x2+3x+=﹣1+∴（x+）2=∴x=∴x1=，x2=．47. 2x2﹣3x+1=0∵2x2﹣3x+1=0∴x2﹣x=﹣∴x2﹣x+=﹣+∴（x ﹣）2=∴x=∴x1=，x2=48．x2﹣4x﹣6=0x2﹣4x﹣6=0x2﹣4x=6x2﹣4x+4=4+6（x﹣2）2=10x﹣2=±∴49. x2﹣8x+1=0∵x2﹣8x+1=0，∴x2﹣8x=﹣1，∴x2﹣8x+16=﹣1+16，∴（x﹣4）2=15，解得50．x2+4x+1=0移项得，x2+4x=﹣1，配方得，x2+4x+22=﹣1+4，（x+2）2=3，，解得，51．x2﹣4x+1=0∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，∴x2﹣4x+4=4﹣1，⇒（x﹣2）2=3，⇒，∴，解得，．52．x2﹣6x﹣7=0x2﹣6x+9=7+9（x﹣3）2=16开方得x﹣3=±4，∴x1=7，x2=﹣1 53．．由原方程，得x2﹣2x=3，等上的两边同时乘以2，得x2﹣4x=6，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣4x+4=10，配方得（x﹣2）2=10．∴，∴，54. x2﹣6x﹣5=0．移项得x2﹣6x=5，方程两边都加上9得 x2﹣6x+9=5+9，即（x﹣3）2=14，则x﹣3=±，所以x1=3+，x2=3﹣55．2x2+1=3x移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得x2﹣x=﹣，配方，得x2﹣x+（）2=﹣+（）2，即（x ﹣）2=，开方，得x ﹣=±，∴x1=1，x2=．56. x2+3x+1=0移项，得x2+3x=﹣1，配方得x2+3x+=﹣1+，即（x+）2=，开方，得x+=±，∴x1=﹣+，x2=﹣﹣57．x2﹣8x+1=0．配方得，（x﹣4）2=15，开方得，x﹣4=±，x1=4+，x2=4﹣58. x2﹣8x﹣16=0（x﹣4）2﹣16﹣16=0，（x﹣4）2=32，即或，解得：，．59．．移项得：x2﹣x=﹣3，配方得：x2﹣x+（）2=﹣3+（）2，即（x ﹣）2=，开方得：x ﹣=或x ﹣=﹣，解得：x1=2，x2=．60．6x2﹣7x﹣3=0解：6x2﹣7x﹣3=0，b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×6×（﹣3）=121，∴x=，∴x1=，x2=﹣．61. x2﹣6x=﹣8；配方得x2﹣6x+9=﹣8+9，即（x﹣3）2=1，开方得x﹣3=±1，∴x1=4，x2=262. 2x2﹣5x+1=0．移项得2x2﹣5x=﹣1，二次项系数化为1，得x2﹣x=﹣．配方，得x2﹣x+（）2=﹣+（）2即（x ﹣）2=，开方得x ﹣=±，∴x1=，x2=63．3x2+8x﹣3=0∵3x2+8x﹣3=0∴3x2+8x=3∴x2+x=1∴x2+x+=1+∴（x+）2=∴x=∴x1=，x2=﹣3．64．3x2﹣4x+1=0x2﹣x=﹣，x2﹣x+=﹣，即（x ﹣）2=，x ﹣=±；解得：x1=1，．65．2x2+3x﹣1=0．x2+（1分）x2+（3分）（4分）x+（6分）x1=66．2x2﹣5x﹣1=0（限用配方法）；原方程化为2x2﹣5x=1，x2﹣x=，x2﹣x+（）2=+（）2，（x ﹣）2=，即x ﹣=±，x1=+，x2=﹣67．4x2﹣8x﹣1=0移项得：4x2﹣8x=1，二次项系数化1：x2﹣2x=，x2﹣2x+1=+1，（x﹣1）2=，x﹣1=±，x1=1+，x2=1﹣．68．3x2+4x﹣7=0移项，得3x2+4x=7，把二次项的系数化为1，得x2+x=，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+x+=，∴=，∴x=±，∴x1=1，x2=﹣．69．3移项得3x2﹣10x=﹣6．二次项系数化为1，得x2﹣x=﹣2；配方得x2﹣x+（﹣）2=﹣2+，即（x ﹣）2=，开方得：x ﹣=±，∴x1=，x2=x2﹣10x+6=070．3x2﹣10x﹣5=0∵3x2﹣10x﹣5=0，∴3x2﹣10x=5，∴x2﹣x=，∴x2﹣x+=+，∴（x ﹣）2=，∴x=，∴x1=，x2=71．2x2+3=7x移项，得2x2﹣7x=﹣3，二次项系数化为1，得x2﹣x=﹣，配方，得x2﹣x+（）2=﹣+（）2即（x ﹣）2=，开方得x ﹣=±，∴x1=3，x2=．72．x2+2x﹣224=0移项，得x2+2x=224，在方程两边分别加上1，得x2+2x+1=225，配方，得（x+1）2=225，∴x+1=±15，∴x1=14，x2=﹣16；73．x2﹣5x﹣14=0x2﹣5x﹣14=0，x2﹣5x=14，x2﹣5x+=14+，（x ﹣）2=，x ﹣=±，∴x1=7，x2=﹣2．74．．把二次项系数化为1，得x2﹣x ﹣=0，将常数项﹣移项，得x2﹣x=，两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方，得x2﹣x+=+，配方得，（x ﹣）2=，∴x ﹣=∴x1=1，x2=﹣．75．x2+8x﹣20=0∵x2+8x﹣20=0∴x2+x=20∴x2+x+=20+∴（x+）2=∴x+=±，∴x=﹣，即x1=4，x2=﹣5．76．x2﹣x+．配方得（x ﹣）2=0，解得x1=x2=．77．2t2﹣6t+3=0．移项、系数化为1得，t2﹣3t=﹣配方得t2﹣3t+=﹣，即（t ﹣）2=，开方得t ﹣=±，∴x1=，x2=78．3x2﹣6x﹣12=0．3x2﹣6x﹣12=0，移项，得3x2﹣6x=12，把二次项的系数化为1，得x2﹣2x=4，等式两边同时加上一次项系数﹣2一半的平方1，得x2﹣2x+1=5，∴（x﹣1）2=5，∴79．x2﹣4x+1=0∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，∴（x﹣2）2=﹣1+4，∴（x﹣2）2=3，∴x﹣2=±，∴x1=2+；x2=2﹣；80. 3x2﹣3=2x．移项，得3x2﹣2x=3，二次项系数化为1，得x2﹣x=1，配方，得（x ﹣）2=1+，x ﹣=±，解得x1=；x2=81．2x2﹣5x+1=0．移项，得2x2﹣5x=﹣1，化二次项系数为1，得x2﹣x=﹣，方程的两边同时加上，得（x ﹣）2=，直接开平方，得x ﹣=±，∴x1=，x2=82．2y2+8y﹣1=0方程两边同时除以2得：y2+4y ﹣=0，移项得：y2+4y=，左右两边加上4，变形得：（y+2）2=，开方得：y+2=±，∴y1=﹣2+，y2=﹣2﹣．83．x2﹣6x﹣18=0 由原方程移项，得x2﹣6x=18，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣6x+9=27，配方，得（x﹣3）2=27，开方，得x﹣3=±3，解得，x1=3+3，x2=3﹣384.x2﹣2x﹣1=0．由原方程，得x2﹣2x=1，等式的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，得x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，直接开平方，得x﹣1=±，∴x1=1+，x2=1﹣．85. x2﹣4x﹣1=0；移项，得x2﹣4x=1，等式两边同时加上一次项系数一半的平方4，得x2﹣4x+4=1+4，∴（x﹣2）2=5（1分）∴x﹣2=±（1分）∴x=2±，解得，x1=2+，x2=2﹣86. 2x2+3x+1=0．移项，得2x2+3x=﹣1，把二次项的系数化为1，得x2+x=﹣，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+x+=﹣+∴（x+）2=（1分）∴x+=±（1分）∴x=﹣±解得，x1=﹣，x2=﹣187．2x2﹣6x﹣7=0x2﹣3x ﹣=0，x2﹣3x=，x2﹣3x+=，=，x ﹣=±，x=±，∴x1=，x2=．88．ax2+bx+c=0（a≠0）．∵a≠0，∴两边同时除以a得：x2+x+=0，x2+x=﹣，x2+x+=﹣，=，∵a≠0，∴4a2＞0，当b2﹣4ac≥0时，两边直接开平方有：x+=±，x=﹣±，∴x1=，x2=89．4x2﹣4ax+a2﹣b2=0．原式可化为：x2﹣ax+=0，整理得，x2﹣ax+（）2﹣（）2=﹣即：（x ﹣）2=，解得x1=或x2=．90. x2﹣4x﹣2=0，配方，得x2﹣4x+4﹣4﹣2=0，则x2﹣4x+4=6，所以（x﹣2）2=6，即x﹣2=±．所以x1=+2，x2=﹣+2．91. 原方程变形得x2﹣2x=12，配方得x2﹣2x+（）2﹣（）2=12，即（x﹣1）2=13，所以x﹣1=±．x1=1+，x2=1﹣．（运用配方法解形如x2+bx+c=0的方程的规律是把原方程化为一般式即为x2+bx+c=0形式，再配方得x2+bx+（）2﹣（）2+c=0，（x+）2=，再两边开平方，得其解．）92. 2x2+7x﹣4=0，两边除以2，得x2+x﹣2=0，配方，得x2+x+（）2=2+（）2，（x+）2=，则x+=±．所以x1=，x2=﹣4．93. 原方程变形为3x2+2x﹣10=0．两边除以3得x2+x ﹣=0，配方得x2+x+（）2=+．即（x+）2=，则x+=±．所以x1=﹣，x2=．94. 方程两边除以3得x2﹣2x=．配方得x2﹣2x+1=+1．⇒（x﹣1）2=．所以x﹣1=±，解得x1=+1，x2=1﹣95. 2x2﹣x﹣30=0，2x2﹣x=30，x2﹣x=15，x2﹣x+=15，（x ﹣）2=；x ﹣=±，x1==3，x2=﹣=﹣；96. x2+2=2x，x2﹣2x=﹣2，x2﹣2x+3=﹣2+3；（x ﹣）2=1，x ﹣=±1，x1=1+，x2=﹣1+；97.x2+px+q=O（p2﹣4q≥O），x2+px=﹣q，x2+px+=﹣q+，（x+）2=，∵p2﹣4q≥O，∴x+=±，∴x1=，x2=；98. m2x2﹣28=3mx（m≠O），（mx）2﹣3mx﹣28=0，（mx﹣7）（mx+4）=0，mx=7或mx=﹣4，∵m≠0，∴x1=，x2=．99. x2﹣6x+7=0；移项得x2﹣6x=﹣7，配方得x2﹣6x+9=﹣7+9，即（x﹣3）2=2，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．100. 2x2+6=7x；移项得2x2﹣7x=﹣6，二次项系数化为1，得x2﹣x=﹣3．配方，得x2﹣x+（）2=﹣3+（）2即（x ﹣）2=，开方得x ﹣=±，∴x1=2，x2=．101. ﹣5x2+10x+15=0．移项得﹣5x2+10x=﹣15．二次项系数化为1，得x2﹣2x=3；配方得x2﹣2x+1=3+1，即（x﹣1）2=4，开方得：x﹣1=±2，∴x1=3，x2=﹣1．102. 移项得x2+6x=﹣8，配方得x2+6x+9=﹣8+9，即（x+3）2=1，开方得x+3=±1，∴x1=﹣2，x2=﹣4．103. 移项得x2﹣6x=16，配方得x2﹣6x+9=16+9，即（x﹣3）2=25，开方得x﹣3=±5，∴x1=8，x2=﹣2．104. 移项得2x2﹣7x=﹣3，二次项系数化为1，得x2﹣x=﹣．配方，得x2﹣x+（）2=﹣+（）2即（x ﹣）2=，开方得x ﹣=±，∴x1=3，x2=．105. 整理得2x2+5x=7．二次项系数化为1，得x2+x=；配方得x2+x+（）2=+（）2，即（x+）2=，开方得：x+=±，∴x1=1，x2=﹣．106. x2+4x=﹣3；方程化为：x2+4x+4=﹣3+4，（x+2）2=l，x+2=±1，x=﹣2±1，∴x1=﹣l，x2=﹣3；107. 2x2+x=0．方程化为：x2+x=0，x2+x+=，=，x+=±，x=﹣±，∴x1=0，x2=﹣．108. ∵x2+4x﹣3=0∴x2+4x=3∴x2+4x+4=3+4∴（x+2）2=7∴x1=﹣2，x2=﹣﹣2．109. 移项得x2+3x=2，配方得x2+3x+=2+，即（x+）2=，开方得x+=±，∴x1=，x2=．110. 移项得x2﹣x=﹣，配方得x2﹣x+=﹣+，即（x﹣）2=，开方得x﹣=±，∴x1=，x2=．111. 移项得，x2+2x=4配方得，x2+2x+2=4+2，即（x+）2=6，开方得x+=，∴x1=，x2=﹣．。
人教版初中数学《一元二次方程解法之配方法题型汇总》专题突破含答案解析
专题01 一元二次方程解法之配方法题型汇总一、单选题1．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级开学考试）用配方法解一元二次方程2241x x -=，配方后的结果是（ ） A ．23(1)2x -= B ．2(21)0x -=C ．()2211x -=D ．()2322x +=【答案】A 【分析】将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】 解：∵2x 2-4x =1，∵2122x x -=, 则212112x x -+=+，即23(1)2x -=，故选：A ． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（2020·珠海市九洲中学）用配方法解方程2220x x +-=，原方程应变形为（ ） A ．()213x += B ．()2-13x =C ．()211x +=D ．()2-11x =【答案】A 【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方． 【详解】 解：由原方程，得 x 2+2x =2， x 2+2x +1=2+1， （x +1）2=3． 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．（2021·安徽八年级期末）利用配方法解方程x2﹣23x﹣1＝0时，应先将其变形为（）A．（x+13）2＝109B．（x﹣13）2＝109C．（x﹣13）2＝89D．（x+13）2＝89【答案】B【分析】移项，配方，再变形即可得出选项．【详解】解：x2﹣23x﹣1＝0，移项，得x2﹣23x＝1，配方，得x2﹣23x+（13）2＝1+（13）2，即（x﹣13）2＝109，故选：B．【点睛】本题主要考查了利用配方法解方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，特别注意配方时是若二次项系数为1时方程两边直接同时加上一次项系数一半的平方，若二次项的系数不为1，应先把二次项系数化为1．4．（2021·江苏南通田家炳中学八年级期末）将方程x2﹣6x+6＝0变形为（x+m）2＝n的形式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝﹣3C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝3【答案】D【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：x2-6x+6=0，x2-6x+9-3=0，（x-3）2=3，故选：D ． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负数，开方即可求出解．5．（2021·全国九年级课时练习）利用配方法解方程242203x x --=时，应先将其变形为（ ） A ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．21839x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．21839x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】先把方程两边都除以2，再配方即可. 【详解】原方程可化为：22103x x --=配方得：211103992x x -+--=即211039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了配方法，一般配方的步骤是：先化成一般式，把二次项系数化为1；加上一次项系数一半的平方，并减去这个数.6．（2021·广西八年级期中）如果用配方法解方程2250x x --=，则配方后方程可化为（ ） A ．2(1)6x -= B ．2(1)6x +=C ．2(1)5x -=D ．2(1)5x +=【答案】A 【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式． 【详解】解：x 2﹣2x ﹣5＝0， x 2﹣2x ＝5， x 2﹣2x +1＝5+1，（x ﹣1）2＝6． 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．7．（2021·全国九年级课时练习）若1x =-是关于x 的一元二次方程2220x kx k -+=的一个根，则k 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A 【分析】把x =-1代入已知方程可得关于k 的方程，解方程即可求出k ，进而可得答案． 【详解】解：∵方程2220x kx k -+=的一根为-1， ∵2120k k ++=，解得121k k ==-，当k =﹣1时，原方程为2210x x -+=，有实数根x =-1． 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．8．（2021·浙江八年级期末）用配方法解方程2x 2﹣4x ﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x +m ）2＝n （n ≥0）的形式，则下列配方正确的是（ ） A ．（x ﹣2）2＝5 B ．（x ﹣1）2＝32C ．（x ﹣1）2＝2D ．（x ﹣1）2＝114【答案】B 【分析】利用配方法解一元二次方程的方法配方即可． 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1＝0， ∵2x 2﹣4x ＝1， ∵x 2﹣2x ＝12， 则x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，故选：B ． 【点睛】此题考查配方法解一元二次方程的方法，按照移项，二次项系数化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方的方法配方即可．9．（2021·浙江八年级期中）已知实数,x y 满足()()22222248x y x y +-+=，且2xy =，则下列结论正确的是（ ）．A ．228x y +=或226x y +=-B ．2x y -=C ．23x y +=D ．23x y +=±【答案】D 【分析】根据()()22222248x y x y +-+=，利用完全平方公式把式子变形，然后进行判断即可.【详解】解：∵()()22222248x y x y +-+=∵()()222222149x y x y +-++=()222149xy -=+∵2217x y -=±+∵228x y +=或226x y +=-（舍去） ∵228x y +=，2xy = ∵()222212x y x y xy =+=++ ∵23x y +=±∵()22224x y x y xy =-+-= ∵2x y -=± 故选D. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，解题的关键在于会利用完全平方公式进行变形判断求解. 10．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）已知2732,55M t N t t =-=-（t 为任意实数），则,M N 的大小关系为（ ） A ．M N > B ．M N < C ．M N D ．不能确定【答案】B 【分析】利用作差法比较即可． 【详解】 根据题意，得237255N M t t t -=--+＝2222(1)1t t t -+=-+， ∵2(1)0t -≥ ∵2(1)110t -+≥＞ ∵M N <， 故选B ． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．11．（2021·四川凉山·）已知x 是方程2220x x +-=的根，那么代数式253222x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭的值是（ ） A ．31- B ．31+ C ．31-或31-+ D ．31-或31--【答案】D 【分析】先解方程2220x x +-=，得出31x =±-，再根据分式加减乘除的法则进行化简，再代入x 即可 【详解】解：由题意知，222x x +=，解得31x =()()22225322254(2)23(3)(3)(2)2332(2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫∴--÷⎪--⎝⎭-+-=⨯--+--=⨯--=-+=-++=-+ 当31x =±-时，原式(231)=-±- ∵原式31=-或31--． 故选D ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握法则是解题的关键12．（2021·安庆市石化第一中学八年级期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．22990x x --=化为()21100x -= B ．2890x x +-=化为2(4)25x += C ．2240t t --=化为2781()416t -=D ．23420x x --=化为2210()39x -=【答案】C 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此进行判断即可． 【详解】解：A 、由原方程，得x 2-2x =99，等式的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得 （x -1）2=100；故本选项正确，不符合题意； B 、由原方程，得x 2+8x =9，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得 2(+4)25m =；故本选项正确，不符合题意；C 、由原方程，得 2122t t -=，等式的两边同时加上一次项系数12-的一半的平方116 ，得2133()416t -=；故本选项错误，符合题意； D 、由原方程，得 3x 2-4x =2，化二次项系数为1，得24233x x -= 等式的两边同时加上一次项系数-43的一半的平方49，得2210()39x -=；故本选项正确，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·北京八年级期中）方程x 2﹣2x ﹣5＝0配方后可化为___． 【答案】（x -1）2=6 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】 解：∵x 2-2x -5=0， ∵x 2-2x +1=6， ∵（x -1）2=6， 故答案为：（x -1）2=6．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 14．（2021·浙江八年级期中）用配方法解方程2610x x -+=，则方程可配方为__________． 【答案】（x -3）2=8 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】 解：∵x 2-6x +1=0， ∵x 2-6x =-1，则x 2-6x +9=-1+9，即（x -3）2=8， 故答案为：（x -3）2=8． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．（2020·江苏九年级月考）设A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，则A 与B 的大小关系是A_____B （填“＞，＝，＜”之一） 【答案】＜ 【分析】通过作差法和配方法比较A 与B 的大小． 【详解】解：∵A ＝a+3，B ＝a 2﹣a+5，∵B ﹣A ＝a 2﹣a+5﹣a ﹣3＝a 2﹣2a+2＝（a ﹣1）2+1 ∵（a ﹣1）2≥0． ∵（a ﹣1）2+1＞0． ∵B ＞A ，即A ＜B ． 故答案是：＜． 【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2． 16．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知24410xx -+=，则2x=___．【分析】利用直接开方法即可得． 【详解】24410x x -+=，即22(1)0x-=， 直接开方法得：210x-=， 解得21=x， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解方程，将2x作为一个整体，看成未知数是解题关键．17．（2021·安庆市第四中学九年级二模）实数a ，b 满足a 2+b 2﹣2a ＝0，则4a +b 2的最大值________． 【答案】9 【分析】根据条件变形为222=-b a a ，将4a +b 2转化为()239a --+即可． 【详解】解:∵a 2+b 2﹣2a ＝0， ∵222=-b a a ，∵4a +b 2=()()22242639a a a a a a +-=--=--+，∵当3a =时，4a +b 2的最大值为9． 故答案为9． 【点睛】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负性性质是解题关键． 18．（2021·全国九年级专题练习）当x =_________时，代数式22x x --有最大值，其最大值为_________． 【答案】1- 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式22x x --通过配方变形为2(1)1x -++，即可得出答案． 【详解】解：22222(2)(211)(1)1x x x x x x x --=-+=-++-=-++，1x ∴=-时，代数式22x x --有最大值，其最大值为1；故答案为：1-，1． 【点睛】 此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．19．（2021·全国九年级专题练习）若2310a a -+=，则221+=a a ________． 【答案】7 【分析】 将221a a+配方为完全平方公式，再通分，然后将2310a a -+=变形为213a a +=，再代入完全平方公式求值； 【详解】解：222222211112222a a a a a a a a ⎫⎛+⎫⎫⎛⎛+=++-=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭①； 又2310a a -+=，于是213a a +=②，将②代入①得，原式232927a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． 故答案为：7．【点睛】此题将配方法和代数式求值结合起来，同时需要利用整体思想简化计算；20．（2021·全国九年级专题练习）将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．【答案】-4，21【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x 2-8x -5=0，∵x 2-8x=5，则x 2-8x+16=5+16，即（x -4）2=21，∵a=-4，b=21，故答案为：-4，21． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．（2020·浙江七年级期中）当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【答案】4 3 15 【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∵当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15． 【点睛】 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．22．（2021·江阴市华士实验中学七年级期中）已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．【答案】3 【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值． 【详解】 解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∵()()()2223110a b c -+++-=，∵a=3,b=-1,c=1，∵a+b+c=3-1+1=3，故答案为3． 【点睛】 本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键． 三、解答题23．（2021·四川八年级期中）解下列方程．（1）21221x x =+； （2）3123x x x +=+-． 【答案】（1）1226,26,x x =+=-（2）12x =-【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母得：()2221x x =+，去括号得：242x x =+，242x x ∴-=2446,x x ∴-+=()226,x ∴-=26,26,x x ∴-=-=- 解得：1226,26,x x =+=-检验：1226,26x x =+=-都是原方程的根，∵分式方程的解是1226,26x x =+=-．（2）去分母得：()()()()33223x x x x x -++=+-，整理得：223366x x x x x -++=--，解得：12x =-，检验：把12x =-代入得：()()()2310151500x x +-=-⨯-=≠，∵12x =-是分式方程的解． 【点睛】 本题考查了，分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验．24．（2020·浙江杭州·七年级期中）用配方法求2361x x --+的最大值．【答案】4 【分析】将代数式前两项提取-3变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可． 【详解】解：2361x x --+=()2321x x -++=()232111x x -++-+=()2314x -++∵()2310x -+≤，∵()23441x +-+≤，∵2361x x --+的最大值为4． 【点睛】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．（2021·山东八年级期中）试用配方的方法说明：代数式2610x x -+的值恒大于0．【答案】见解析 【分析】 将代数式用配方法配方，利用平方的非负性即可证明．【详解】解：()22261069910=31x x x x x -+=-+-+-+．无论x 取何值，总有()230x -≥，()2310x ∴-+>．即代数式2610x x -+的值恒大于0． 【点睛】 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．26．（2021·黑龙江九年级期末）（1）用配方法解方程： x 2＋4x ﹣3＝0（2）先化简，再求值：22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 2＋2x ﹣8＝0 【答案】（1）1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）﹣222x x+，14- 【分析】（1）依题意，用配方法解方程即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，由方程变形求出x 2＋2x 的值，代入计算即可求出值．【详解】（1）x 2＋4x ﹣3＝0，2447x x ++=，2(2)7x +=，27x +=±，∴1x ＝﹣2＋7，2x ＝﹣2﹣7；（2）22424422x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ 42(2)2(2)(2)(4)x x x x x x ---=⨯+-- 2(2)x x =-+ 222x x=-+， x 2＋2x ﹣8＝0，228x x ∴+=，∴原式2184=-=-． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．27．（2021·福建三明市·八年级期中）阅读下面的材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：22228160m mn n n -+-+=．()()22228160m mn n n n ∴-++-+=．22()(4)0m n n ∴-+-=． 2()0m n ∴-=，2(4)0n -=．4n ∴=，4m =．根据你的观察，探究下列问题：（1）已知等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，且满足221012610a b a b +--+=，求ABC 的周长；（2）已知6a b -=，216730ab c c +-+=，求a b c ++的值．【答案】（1）ABC 的周长为16或17；（2）8a b c ++=【分析】（1）根据题中所给方法把221012610a b a b +--+=进行配方求解a 、b 的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；（2）由6a b -=可知6b a =-，然后代入等式可得()2616730a a c c -+-+=，进而根据配方即可求解．【详解】解：（1）∵221012610a b a b +--+=，∵22102512360a a b b -++-+=，∵()()22560a b -+-=，∵50,60a b -=-=，∵5,6a b ==，∵等腰三角形ABC 的两边长a ，b ，都是正整数，∵当5a =为腰，则6b =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+5+6=16； 当6b =为腰，则5a =为底，满足三角形三边关系，故ABC 的周长为5+6+6=17；（2）∵6a b -=，∵6b a =-，∵()221673616730ab c c a a c c +-+=-+-+=，226916640a a c c -++-+=，()()22380a c -+-=，∵30,80a c -=-=，∵3,8a c ==，∵363b =-=-，∵8a b c ++=． 【点睛】 本题主要考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．28．（2021·全国）已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，x 为实数，且6a b +=，29x ab =-． （1）求x 的值；（2）若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S ∆．【答案】（1）0x =；（2）25ABC S ∆=【分析】 （1）6a b =-代入29x ab =-，根据非负数之和为0，求得x 的值； （2）由（1）的结论结合已知三角形的周长求得第三边c 的值，再根据勾股定理求得三角形的高，进而求得面积．【详解】解：（1）6a b =-代入29x ab =-中得22(3)0x b +-=，∵ 20x ≥，2(3)0b -≥，∵ 0x =，3b =．（2）由（1）知3a b ==，∵ 1064c =-=，ABC∴是等腰三角形过点C作AB边上的高CD则AD BD=2222325 CD AC AD=-=-=∴11452522ABCS AB AD=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查了配方法的应用，将6a b=-代入29x ab=-凑出完全平方公式是解题的关键．29．（2021·山东八年级期末）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax 成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)；像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”利用“配方法”，解决下列问题（1）分解因式：a2-8a+15．（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足a2+b2-14a-8b+65=0，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值．【答案】（1）(a-3)(a-5)；（2）∵ABC的周长最小值是16．【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；【详解】解：（1）a2-8a+15=(a2-8a+16)-1=(a-4)2-1=(a-3)(a-5)；（2）∵a2+b2-14a-8b+65=0，∵(a 2-14a +49)+(b 2-8b +16)=0(a -7)2+(b -4)2=0，a -7=0，b -4=0，解得：a =7，b =4，∵∵ABC 的三边长是a ，b ，c ，∵3<c <11又∵c 边的长为奇数∵c =5，7，9当a =7，b =4，c =5时，∵ABC 的周长最小，最小值是：7+4+5=16． 【点睛】本题考查配方法，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．30．（2021·浙江七年级期末）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，△()220x +≥，△()2211x ++≥．当()220x +=时，()221x ++的值最小，最小值是1.△245x x ++的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题：（1）直接写出()213x -+的最小值为__________．（2）求代数式21032x x ++的最小值．（3）若27110x x y -+-=，求x y +的最小值．【答案】（1）3；（2）7；（3）2 【分析】（1）根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（3）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答． 【详解】解：（1）()213x -+，当1x =时，2(1)3x -+有最小值，是3，故答案是：3.（2）()22222103210553257x x x x x ++=++-+=++．∵()250x +≥，∵()2577x ++≥．当()250x +=时，()257x ++的值最小，最小值是7.∵21032x x ++的最小值是7.（3）∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++．∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+．∵()230x -≥，∵()2322x -+≥．当()230x -=时，()232x -+的值最小，最小值是2.∵x y +的最小值是2. 【点睛】 本题考查的是代数式最值的确定，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．。
中考数学复习专题06 配方法题研究(原卷版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝82. 用配方法解下列方程：(1)x2＋3x－4＝0；(2)x(x＋8)＝609.3. 已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．【典例示例】例题1：有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x－8×22＝0；…；x 2＋2nx －8n 2＝0.小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0(用含n 的式子表示方程的根)．例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a 2±2ab+b 2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x 2+12x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x 2+6x ﹣2)＝2(x 2+6x+9﹣9﹣2)＝2[(x+3)2﹣11]＝2(x+3)2﹣22因为无论x 取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x ＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x ＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x 2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x 的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x 2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x 的值．的值．【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
中学数学 配方法 练习题
21.2.2配方法解一元二次方程（1）教学目标1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．【课前预习】导学过程阅读教材部分，完成以下问题解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9填空：（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？思考？1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？2、什么叫配方法？3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程（1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5总结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课堂活动】活动1、预习反馈活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程：（1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0【课堂练习】：活动3、知识运用1. 填空：（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-32x+_____=（x-_____）2 2．用配方法解下列关于x 的方程（1） x 2-36x+70=0． （2）x 2+2x-35=0 （3）2x 2-4x-1=0（4）x 2-8x+7=0 （5）x 2+4x+1=0 （6）x 2+6x+5=0（7）2x 2+6x-2=0 （8）9y 2-18y-4=0 （9）x 2x归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课后巩固】一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果m x 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2（3）x 2+px+_____=（x+______）2．2、方程x 2+4x-5=0的解是________． 3．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________． 三、计算：（1）x 2+10x+16=0 （2）x 2-x-43=0（3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x-9=0四、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x+y 2+13=0，求（xy ）z 的值．。
利用配方法解决试题(非常全)
利用配方法解决试题（非常全）一、选择题1. 把方程化成的形式，正确的结果为A. B. C. D.2. 把二次函数化为的形式，下列变形正确的是A. B.C. D.3. 将方程配方后，原方程变形为A. B.C. D.4. 用配方法将代数式变形，结果正确的是A. B. C. D.5. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，结果为A. B. C. D.6. 若二次函数配方后为，则，的值分别为A. ，B. ，7. 用配方法将代数式变形，结果正确的是A. B. C. D.8. 把方程配方后的结果为A. B. C. D.9. 将代数式化为的形式，正确的是A. B. C. D.10. 将二次函数化为的形式，下列结果正确的是A. B.C. D.11. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线的解析式是A. B.C. D.12. 将二次函数化成形式，则结果为B. C.13. 将化为的形式，，的值分别为A. C. ，，14. 将二次函数化成的形式，结果为A. B.C. D.15. 抛物线的顶点坐标是A. B. D.16. 不论，为任何实数，的值总是A. 非负数B. 恒为正数C. 恒为负数D. 不等于17. 如图，在等边中，，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点．设，，那么与之间的函数图象大致是A. B.C. D.18. 将代数式配方后，发现它的最小值为A. B. D.19. 对于代数式，通过配方能说明它的值一定是A. 非正数B. 非负数C. 正数D. 负数20. 如果抛物线与轴交于，两点，且顶点为，那么当时，的值是A. B. C. D.二、填空题21. 若把代数式化成的形式，其中，为常数，则．22. 二次函数的最小值为．23. 将二次函数化为的形式为．24. 若把函数化为的形式，其中，为常数，则．25. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则．26. 若二次函数配方后为，则．27. 若把代数式化为的形式，其中、为常数，则．28. 把代数式化为的形式，其中，为常数，则.29. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则．30. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则．31. 把代数式化为的形式，其中，为常数，则．32. 用配方法把化为的形式为33. 把方程化为的形式（其中，为常数，且），结果为．34. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则．35. 将代数式化为的形式（其中，为常数），结果为．36. 将方程化为的形式，其中，是常数，则．37. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，，，点为边上一点，以为一边在与点的同侧作正方形，连接．当点在边上运动时，的长度的最小值是．38. 如图，正方形的边长为，，，，分别是，，，上的动点，且，则四边形面积的最小值是．39. 在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为．①如图，若．则．②如图，现考虑在图中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域，使之变成落地为五边形的小屋，其它条件不变，则在的变化过程中，当取得最小值时，边40. 如图，直角坐标系中，正方形的边与反比例函数的图象交于点，且，则：（1）点的坐标为；（2）设是反比例函数图象上的动点，则线段长度的最小值是．三、解答题41. 求二次函数的图象的顶点坐标，并在所给坐标系中画出它的图象．42. 青青书店购进了一批单价为元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量（本）与销售单价（元）满足一次函数关系：．如果销售这种图书每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大?最大利润是多少?43. 小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在着一次函数关系：．下面是他们的一次对话：小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少?我就能帮你预测好多信息呢！”爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克元”．聪明的你，也来解答一下小明想要解决的两个问题：（1）若每月获得利润（元）是销售单价（元）的函数，求这个函数的表达式．（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润?44. 求抛物线的对称轴和顶点坐标，并画出图象．45. 用配方法求出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．46. 已知二次函数．（1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（）中的图象，写出一条该二次函数的性质．47. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件元，设售价为每件元．（1）请用含的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接写出结果）；（2）若设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少?48. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量的取值范围是；（2）下表是与的几组对应数值：在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现：该函数在第一象限内的最低点的坐标是．观察函数图象，写出该函数的另一条性质；（4）请你利用配方法证明：当时，的最小值为．（提示：当时，，）49. 【问题情境】已知矩形的面积为（为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长最小?最小值是多少?【数学模型】设该矩形的长为，周长为，则与的函数表达式为．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．（1）结合问题情境，函数的自变量的取值范围是，下表是与的几组对应值．①写出的值；②画出该函数图象，结合图象，得出当时，有最小值，；（2）【解决问题】直接写出“问题情境”中问题的结论．50. 小明遇到下面的问题：求代数式的最小值并写出取到最小值时的值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：所以，当时，代数式有最小值是（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．①的最小值是；②的最小值是．（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：问题：当为实数时，求的最小值．因为所以原式有最小值是．请判断小明的解法是否正确，简要说明理由．51. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长，设长为，矩形的面积为．（1）写出与的函数关系式；（2）当长为多少米时，所围成的花圃面积最大?最大值是多少?（3）当花圃的面积为时，长为多少米?52. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点．（1）求点，的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在，之间（包括，），结合函数的图象，求的取值范围．53. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为直线．（1）求抛物线的表达式；（2）若，点在点的左侧，，求点的坐标；（3）在（）的条件下，将抛物线在直线右侧的部分沿直线翻折后的图形记为，若图形与线段有公共点，请直接写出的取值范围．54. 解方程：．55. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点．（1）求点，的坐标；（2）点，在轴上（点在点的左侧），且与点的距离都为，若该抛物线与线段有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．56. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．，两点关于原点成中心对称．（1）求点，的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；（3）在（）的条件下，将抛物线沿轴翻折，翻折后的图象在的部分记为图象，点为抛物线对称轴上的一个动点，经过，的直线与图象有两个公共点，结合图象求出点的纵坐标的取值范围．57. 在平面直角坐标系中，点是二次函数的图象的顶点，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．（1）请你求出点，，的坐标；（2）若二次函数与线段恰有一个公共点，求的取值范围．58. 在平面直角坐标系中，抛物线的最高点的纵坐标是．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在之间的部分记为图象，将图象沿直线翻折，翻折后的图象记为，图象和组成图象．过作与轴垂直的直线，当直线和图象只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为，，求的取值范围和的值．59. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点是轴上一点，①若在抛物线上存在点，使得，求点的坐标；②抛物线与直线交于点，（点在点的左侧），将此抛物线在点，（包含点和点）之间的部分沿轴平移个单位后得到的图象记为，若在图象上存在点，使得，求的取值范围．60. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，过点作轴的垂线，直线与直线交于点；抛物线（其中）的顶点坐标为．（1）求点，的坐标；（2）若点在抛物线（其中）上，求的值；（3）若抛物线（其中）与线段有唯一公共点，求的取值范围．答案第一部分1. A2. D3. A4. D5. B6. C7. D8. C9. B10. D11. A12. D13. B14. C15. D【解析】．16. B 【解析】．17. B18. B19. D20. A第二部分23.【解析】，．．27.28.30.32.33.34.35.36.【解析】移项得配方得即，．．37.38.39.，第三部分41. ，顶点坐标为，其图象如图所示：42.，且，当时，．答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．43. （1）由题意可得，，即这个函数的表达式是；（2），当时，取得最大值，即销售单价为元时，每月可获得最大利润．44. ，对称轴为直线，顶点为．其函数图象如图所示．45. ，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．46. （1）（2）列表：如图，（3）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一）47. （1）；【解析】②设月销量与的关系式为，由题意得，解得，；（2）由题意得，，，售价为元时，当月的利润最大，最大利润是元．48. （1）（2）画出的函数图象如图所示：（3）答案不唯一，如：时，随增大而增大；时，随增大而减小；函数的图象经过第一、三象限；函数图象与坐标轴无交点．（4）当时，，且，，，，即当时，的最小值为．49. （1）①；②图象如图．；（2）根据小彬的方法可知，当时，有最小值，即时，．50. （1）①；②（2）小明的解法错误．因为无实数根．51. （1），即与的函数关系式是．（2）由题意，得解得，．由题意，得，当时，有最大值，的最大值为，即当长为时，花圃面积最大，最大面积为．（3）令，则，解得，，，．，即当长为时，面积为．52. （1）．，．（2）当抛物线经过点时，．当抛物线经过点时，．结合函数图象可知，的取值范围为．53. （1）抛物线，其对称轴为直线，．该抛物线的表达式为．（2）当时，，解得，．抛物线与轴的交点为，．．当时，，抛物线与轴的交点为．，．，点在点的左侧，点的坐标为．（3）54. 移项，得配方，得由此可得55. （1）由题意，当时，，，，对称轴为直线，．（2）由题意，，．①当时，结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在轴下方，即，．②当时，过的抛物线的顶点为．结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点上方或与点重合，即，．综上所述，的取值范围为或．56. （1），点，点．（2）将带入抛物线表达式得，解得， .抛物线表达式为：．（3）翻折后顶点坐标为，当直线过时，设此时直线的解析式为，则解得直线的解析式为：．当时，可得，所以．57. （1），抛物线的顶点坐标为．直线与轴和轴的交点坐标分别为和．（2）把代入抛物线的表达式中得到．①当时，．说明抛物线的对称轴左侧总与线段有交点，只需要抛物线对称轴右侧与线段无交点即可，如图，只需要当时，抛物线的函数值即可，．又，当时，抛物线与线段只有一个交点；②当时，如图，只需即可，解得．综上，当或时，抛物线与线段只有一个交点．58. （1）抛物线，对称轴为．抛物线最高点的纵坐标是，．抛物线的表达式为．（2）由图象可知，或．由图象的对称性可得：．59. （1）．由题意，可得．所以，所以．（2）①由题意得，点是直线或直线与抛物线的交点．经验证直线与抛物线无交点，点是直线与抛物线的交点．所以，解得，．所以点坐标为或．②当点移动到点时，．当点移动到点时，．由图象可知，符合题意的的取值范围是．60. （1）中当时，，，点关于轴的对称点为，，点垂直于轴的直线与直线交于点，当，解得：，即；，顶点的坐标为．第21页（共21 页） （2） 将点代入，解得：． （3） 根据题意知当时 ，当时 ，即．。
人教版初一数学配方法
ห้องสมุดไป่ตู้
www.色色.com
反刍动物瘤胃积食在不产气时叩诊呈A.清音B.半浊音C.浊音D.过清音E.金属音 关于息止颌位，以下哪一点是正确的。A.从正中关系向正中位滑动的过程B.又称牙位C.位于正中关系后下方D.与牙的存在无关E.以上都不是 发现无脉性心脏停跳患者心肺复苏时应首先：A.先给予约5组（或者约2分钟）心肺复苏术B.先行12导心电图检查C.建立深静脉通道D.立即电除颤E.立即予以肾上腺素1mg静脉或心内注射 列人员哪类不属于失业人员A.调动工作的间歇在家休养者B.半日工C.季节工D.对薪水不满意而待业在家的大学毕业生 21-三体综合征染色体检查绝大部分核型为A.47，XX（或XY），+21B.46，XX（或XY），-14，+t（14q21q）C.46，XX（或XY），-15，+t（15q21q）D.46，XX（或XY），-21，+t（21q21q）E.46，XX（或XY），-22，+t（21q22q） 船员安全教育的任务是.A.加深对现代航海安全重要性的认识B.提高技术素质和反事故能力C.培养和巩固安全意识D.A+B+C 下列有关前牙3／4冠牙体预备的叙述，正确的是。A.临床牙冠长，倒凹大者，邻面冠边缘应止于龈缘B.上前牙切斜面由舌侧斜向唇侧C.在切端斜面舌1／3处，做一顶角90°的沟D.舌轴壁的侧凹不必消除，可以舌隆突为界分两段预备E.邻沟与邻面的线角清晰，有棱角 免疫监视功能低下时，易发生A.超敏反应B.肿瘤C.自身免疫病D.移植排斥反应E.免疫缺陷病 不属于下腔静脉属支的静脉是A.肝静脉B.肝门静脉C.肾静脉D.腰静脉E.髂总静脉 过电压的研究应主要考虑。A.操作或故障前的运行工况B.操作情况C.故障情况D.避雷器的配置情况 正常菌群的有益作用是A.生物屏障作用B.抗肿瘤作用C.刺激干扰素的合成D.增强免疫细胞活性E.合成维生素 一胆囊结石患者，突发上腹部持续性胀痛，伴腹胀、呕吐。查体：脉率120次／分，BP90/60mmHg，血、尿淀粉酶不高，血钙降低，腹部出现Cullen征。诊断为A.急性重症胆管炎B.急性重症胰腺炎C.急性胰腺炎D.溃疡病E.肠梗阻 功效有某种共性的药物配合应用，辅药能增强主药的疗效。这种配伍关系是。A.相反B.相恶C.相杀D.相畏E.相使 含毒性药物的散剂，剂量在0.01～0.1g之间应配制成A.5倍散B.10倍散C.50倍散D.100倍散E.1000倍散 预防菌痢的综合措施应以下列哪项为重点A.隔离及治疗病人B.发现处理带菌者C.切断传播途径D.服用"依链"痢疾活菌苗E.流行季节预防服药 关于离子通道的叙述不正确的是()A．可分为配体门控和电压门控两大类B．通道的活动需要特殊的激动剂或拮抗剂参与C．全麻药通过间接或直接作用于钙离子通道而发挥作用D．全麻药作用的基本原理很可能统一在配体门控通道水平E．电压门控离子通道在全麻机制上可能不起主要作用 固定义齿修复中以下因素可减小桥体的挠曲变形，除外A.采用机械强度大的材料B.加厚桥体的金属层C.减小桥体跨度D.适当减轻桥体所受力E.桥体结构形态设计成平面形 指货币政策工具通过调控货币供给量的增加和减少，影响到银行规模和结构的变化，从而对实际经纪产生影响。A.利率渠道B.资产价格渠道C.汇率渠道D.信贷渠道 串车提升应选用哪种类型的钢丝绳？为什么？ 文字描述法适用于天然水、水水和水中臭的检验。 狂犬病毒的嗜酸性包涵体最易在下列哪种组织中检出A.淋巴结B.血液C.脑组织D.外周神经组织E.肌纤维组织 外源性凝血系统的起动因子A.Ⅺ因子B.Ⅴ因子C.Ⅲ因子D.Ⅱ因子E.Ⅻ因子 梁弯曲时，横截面的中性轴上的各点正应力，距中性思最远的上下边缘上的正应力。 进入中药材专业市场租用固定摊位经营中药材多少年以上的经营户，必须向中药材专业市场所在地药监部门申请取得药品经营许可证A.1年B.2年C.3年D.4年E.5年 借记卡密码重置的交易代码为A.4216B.3057C.3000D.3027 以下关于他汀类药物的描述正确的是A.他汀类药物能有效地降低TG水平，稍降低LDL-C水平和升高HDL-C水平B.这类药物是细胞内胆固醇合成限速酶即HMG-CoA还原酶的激动剂，是目前临床上应用最广泛的一类调脂药C.因HMG-CoA还原酶在凌晨活性最高，故该类药物应在晨起顿服D.除调节血脂外，他 全瓷冠一般为A.135°肩台B.带斜面90°肩台C.刃状边缘D.90°肩台E.深凹形 在项目投资决策中，要求计算增量现金流量，体现的原则是。A.自利原则B.比较优势原则C.有价值的创意原则D.净增效益原则 “中国字”和“中国印”都是中国传统典型的文化元素，突出了的理念。A.绿色奥运B.科技奥运C.经济奥运D.人文奥运 医德品质的内容中哪项是不正确的A.仁慈B.严谨C.诚挚D.公正E.幸福 感染过程中最少见的表现形式是A.健康携带者B.潜伏期携带者C.慢性携带者D.隐性感染E.显性感染 Berg平衡量表评定无支持闭目站立评分为1提示A.能够安全地站10sB.监护下能够安全地站10sC.能站3sD.闭眼不能达3s，但站立稳定E.为了不摔倒而需要2个人的帮助 患者，男，36岁，工人，体温40.5℃，面色潮红，皮肤灼热，无汗，呼吸、脉搏增快，自诉在高温下工作5小时。患者1小时后大汗淋漓，体温35.5℃，脉搏细速，四肢冷，最重要的处理措施是()A．密切观察病情，及时补充水分、电解质和保温B．给予高热量饮食，补充热量C．调节室温，避免噪 关于脑膜炎球菌的正确概念是()A．属于奈瑟菌属，革兰染色阳性双球菌B．自带菌者鼻咽部及病人血液、脑脊液、皮肤瘀点中找到C．细菌多在中性粒细胞内，仅少数在细胞外D．细菌释放内毒素与外毒素，内毒素为其致病的重要因素E．主要致病因素为外毒素 [单选,案例分析题]女，56岁，因右眼剧烈胀痛，偏头痛，视力严重下降就诊。发病前一天晚上因在昏暗的灯光下玩麻将至深夜而引发。检查：右眼视力0．1，右眼混合充血，角膜雾状水肿混浊，前房浅，瞳孔中度散大，对光反射迟钝，晶状体轻度混浊，余窥不清。为支持诊断而应选择的检查方 某项目部在北方地区承担某城市主干路道路工程施工任务，设计快车道宽11.25m,辅路宽9m。项目部应业主要求，将原计划安排在次年4月初施工的普通沥青混凝土面层，提前到当年11月上、中旬，抢铺出一条快车道以缓解市区交通沥青混凝土配合比设计中采用的马歇尔试验技术指标有：和残留稳 现代心理学是一个非常庞大的学科体系，包含有许多心理学分支，例如、、、、、、、、等等。 下列叙述不符合血液学发展史的是()A．1673年发现红细胞B．1749年发现白细胞C．1942年发现血小板D．血液有形成分主要包括红细胞、白细胞和血小板E．显微镜的发明为血液学的发展开拓了新的前景 下列属于社会法的是()。A.未成年人保护法B.安全生产法C.职业病防治法D.消费者权益保护法E.自然资源与环境保护法 红壤低产的主要原因有、、、、和等。
配方法的应用-初中数学习题集含答案
14．（2017 秋•西城区校级期中）若 a2 b2 2a 6b 10 0 ，则 a b ． 15．（2016 秋•海淀区校级期中）代数式 (2 x)(6 x) 有最 值是 ．
第 2 页（共 7 页）
配方法的应用（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
解得： x 3 ， y 2 ，
则 yx (2)3 8 ． 故选： B ． 【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式 a2 2ab b2 (a b)2 ．
3．（2018 春•房山区期中）已知 a 、 b 满足等式 x a2 b2 6 ， y 2(a 3b 2) ，则 x 、 y 的大小关系是 ( )
A． (x 2)2 5
B． (x 2)2 3
C． (x 2)2 5
D． (x 2)2 3
A．8
B． 8
C．9
D． 1 9
3．（2018 春•房山区期中）已知 a 、 b 满足等式 x a2 b2 6 ， y 2(a 3b 2) ，则 x 、 y 的大小关系是 ( )
A． x y
B． x„ y
C． x y
D． x… y
4．（2017 春•昌平区校级期中）无论 x 、 y 取何值， x2 y2 2x 12 y 37 的值都是 ( )
A． 2(a 1)2 3
B． (a 1)2 3 2
C． 2(a 1)2 1
D． 2(a 1)2 3
7．（2015•延庆县一模）若把代数式 x2 2x 3 化为 (x m)2 k 形式，其中 m ， k 为常数，结果为 ( )
A． (x 1)2 4
B． (x 1)2 2
C． (x 1)2 4
配方法的应用（北京习题集）（教师版）
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
七年级数学配方法试题
2.2 配方法(AB 卷)A 卷一、填空题：1.填上适当的数,使下面各等式成立：(1)x 2+3x+_______=(x+________)2;(2)_______-3x+14=(3x_______)2; (3)4x 2+_____+9=(2x________)2; (4)x 2-px+_______=(x-_______)2;(5)x 2+b ax+_______=(x+_______)2. 2.用配方法使下面等式成立： (1)x 2-2x-3=(x-______)2-_______;(2)x 2+0.4x+0.5=(x+_______)2+________;(3)3x 2+2x-2=3(x+______)2+________; (4)23x 2+13x-2=23(x+________)2+_______. 二、选择题 3.方程x 2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )A.(x-6)2=41B.(x-3)2=4;C.(x-3)2=14D.(x-6)2=364.方程3x 2x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )A. 217618x ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭;B. 237618x ⎛+= ⎝⎭;C. 235618x ⎛+= ⎝⎭;D. 23766x ⎛+= ⎝⎭ B 卷二、解答题：5.用配方法解下列方程:(1)x 2+4x-3=0; (2)x 2+3x-2=0;(3)x 2-23x+118=0; (4)x 2+-4=0. 6.用配方法求证: (1)8x 2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1的值恒小于零.7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t 2.(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面.8.在△ABC 中,三边a 、b 、c 满足2+b 2+c 2=32,试判断△ABC 的形状. A 卷答案 1.(1) 93,42 (2)9x 2, 12- (3)12x,+3 (4) 2,42p p (5) 22,42b b a a2.(1)1,4 (2)0.2,0.46 (3)17,33- (4) 149,424- 3.c 4.BB 卷答案：5.(1) 1222x x =-=-(2) x =(3) x =(4) x = 6.(1)原式=2318042x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭ (2)原式= 2112022y ⎛⎫---< ⎪⎝⎭ 7.(1)2秒或5秒 (2)7秒8.∵∴(a+b+c)2=92 即a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)=92, ∴ab+bc+ac=32∴a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac,∴ 12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0, ∴a=b=c,∴△ABC 为等边三角形。
初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题25 配方法
【例 6】 已知自然数 n 使得 n2 19n 91 为完全平方数，求 n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中 n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算 10+8 3+2 2 =_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知 a2 b2 c2 2(a b c) 3 0 ，则 a3 b3 c3 3abc _________ .
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个 代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到 增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于 揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
(全国通讯赛试题)
6、若 M 10a2 b2 7a 6, N a2 b2 5a 1 ，则 M－N 的值 ( )
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算 14 6 5 14 6 5 的值为 ( )
A、1
B、 5
C、 2 5
D、 3 5
(全国初中数学联赛试题)
8、设 a ， b , c 为实数， x a2 2b , y b2 2c , z c2 2a ，则 x，y，z 中
2
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键 在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a ( a )2 能
联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.
初中数学：配方法练习
初中数学：配方法练习01 基础题知识点1 配方1．下列各式是完全平方式的是(C)A．a2＋7a＋7 B．m2－4m－4C．x2－12x＋116D．y2－2y＋22．(阳泉市平定县月考)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(A) A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝33．用配方法将二次三项式a2－4a＋5变形,结果是(A)A．(a－2)2＋1 B．(a＋2)2－1C．(a＋2)2＋1 D．(a－2)2－14．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式,其中a,b为整数,则a＋b的值为(A)A．20 B．12C．－12 D．－205．一元二次方程2t2－4t－6＝0配方后化为(A)A．(t－1)2＝4 B．(t－4)2＝10C．(t＋1)2＝4 D．(t－4)2＝106．用适当的数或式子填空：(1)x2－4x＋4＝(x－2)2；(2)x2－8x＋16＝(x－4)2；(3)x2＋3x＋94＝(x＋32)2；(4)x2－25x＋125＝(x－15)2.知识点2 用配方法解一元二次方程7．方程x2＋4x＝2的正根为(D)A．2－ 6 B．2＋ 6C．－2－ 6 D．－2＋ 68．已知方程x2－6x＋q＝0可转化为x－3＝±7,则q＝2．9．(山西农业大学附中月考)用配方法解一元二次方程x2＋2x－3＝0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程x＋1＝2或x＋1＝－2__．10．解方程：2x2－3x－2＝0.为了便于配方,我们将常数项移到右边,得2x2－3x＝2；再把二次项系数化为1,得x2－32x＝1；然后配方,得x2－32x＋(34)2＝1＋(34)2；进一步得(x－34)2＝2516,解得方程的两个根为x1＝2,x2＝－12．11．用配方法解方程：(1)x2－2x＝5；解：(x－1)2＝6,∴x1＝1＋6,x2＝1－ 6.(2)x2－23x＋1＝0；解：(x－13)2＝－89,∴原方程无实数根．(3)2x 2－3x －6＝0；解：(x －34)2＝5716, ∴x 1＝3＋574,x 2＝3－574.(4)23x 2＋13x －2＝0. 解：(x ＋14)2＝4916, ∴x 1＝32,x 2＝－2.02 中档题12．若方程4x 2－(m －2)x ＋1＝0的左边是一个完全平方式,则m 等于(B)A ．－2B ．－2或6C ．－2或－6D ．2或－613．若一元二次方程x 2－2x －3 599＝0的两根为a,b,且a ＞b,则2a －b 的值为181．14．将x 2＋6x ＋4进行配方变形后,可得该多项式的最小值为－5．15．用配方法解下列方程：(1)2x 2＋7x －4＝0；解：(x ＋74)2＝8116,∴x 1＝12,x 2＝－4.(2)x 2－6x ＋1＝2x －15；解：(x －4)2＝0,∴x 1＝x 2＝4.(3)x(x ＋4)＝6x ＋12；解：(x －1)2＝13,∴x 1＝1＋13,x 2＝1－13.(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：(x －3)2＝1,∴x 1＝2,x 2＝4.16．(河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时,对于b 2－4ac>0的情况,她是这样做的：由于a≠0,方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a,第一步x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a)2,第二步 (x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2,第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 2a(b 2－4ac>0),第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步 (1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上,当b 2－4ac>0时,方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式是x ＝2a(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0.解：移项,得x 2－2x ＝24,x 2－2x ＋1＝24＋1,(x －1)2＝25,x －1＝±5,x ＝1±5,所以x 1＝－4,x 2＝6.17．已知实数a,b 满足a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0,你认为能够求出a 和b 的值吗？如果能,请求出a,b 的值；如果不能,请说明理由．解：能．理由：∵a 2＋4b 2＋2a －4b ＋2＝0,∴a 2＋2a ＋1＋4b 2－4b ＋1＝0.∴(a＋1)2＋(2b －1)2＝0.∵(a＋1)2≥0,(2b －1)2≥0,∴a＋1＝0,2b －1＝0.∴a＝－1,b ＝0.5.03 综合题18．(葫芦岛中考)有n个方程：x2＋2x－8＝0；x2＋2×2x－8×22＝0； (x2)2nx－8n2＝0.小静同学解第1个方程x2＋2x－8＝0的步骤为：“①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4,x2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的；(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含n的式子表示方程的根) 解：x2＋2nx＝8n2,x2＋2nx＋n2＝8n2＋n2,(x＋n)2＝9n2,x＋n＝±3n,x＝－n±3n,∴x1＝－4n,x2＝2n.。
人教版初一数学配方法
七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法
完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。
初中数学配方法习题及答案
初中数学配方法习题及答案初中数学是中学数学的基础，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段。
配方法是初中数学中的一种解题方法，通过配方的转换和运用，可以简化问题，提高解题效率。
本文将介绍一些常见的初中数学配方法习题及答案，帮助学生更好地掌握这一解题技巧。
一、配方法的基本概念配方法是一种通过转换问题的形式，使其更易于解决的数学解题方法。
它主要应用于一元二次方程、三角函数等数学题型中。
通过合理的配方转换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
二、一元二次方程的配方法1. 配方法求解一元二次方程的根对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，可以通过配方法求解其根。
首先，将方程两边移项，使其等于零。
然后，根据配方法的原理，将方程转化为一个完全平方的形式。
最后，通过求解完全平方形式的方程，得到一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，首先将其转化为(x - 3)^2 - 1 = 0的形式。
然后，通过求解(x - 3)^2 - 1 = 0，得到x = 2和x = 4两个根。
2. 配方法求解一元二次方程的参数在一些问题中，需要求解一元二次方程的参数。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的一元二次方程，从而求解参数的值。
例如，已知一元二次方程的根为x = 2和x = 3，求解方程的参数。
首先，根据配方法的原理，将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0的形式。
然后，根据(x - 2)(x - 3)= 0，得到方程的参数为a = 1，b = -5，c = 6。
三、三角函数的配方法1. 配方法求解三角函数的值对于一些特殊的三角函数值，可以通过配方法求解。
例如，已知sinx = 1/2，求解x的值。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的三角函数值的问题，从而求解x的值。
例如，已知sinx = 1/2，可以通过配方法将问题转化为sin^2x + cos^2x = 1的形式。
人教版初中数学《配方法》(完整版)课件
人教版初中数学《配方法》教学实用 课件（P PT优秀 课件）
3.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3
2
一移常数项； 二配方[配上 （二次项系数）2 ]；
2
三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程.
应用
求代数式的最值或证明
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
人教版初中数学《配方法》教学实用 课件（P PT优秀 课件）
探究交流
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+ 32 = ( x- 3 )2
（3）x2+8x+ 42 = ( x+ 4 )2
（4）x2- 4
3
x+
(
2 3
) 2 = ( x-
2 3
)2
你发现了什么规律？
人教版初中数学《配方法》教学实用 课件（P PT优秀 课件）
人教版初中数学《配方法》教学实用 课件（P PT优秀 课件）
人教版初中数学《配方法》教学实用 课件（P PT优秀 课件）
典例精析
例1 解下列方程：1 x28x10；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1,
配方，得 x2－8x+42=－1+42 , 即 ( x－4)2=15
配方法【讲师版】
解题思想数学“配方法”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 数学基本方法是数学思想的具体体现，是数学的行为，是解决问题的重要手段，它不仅有明确的内涵，而且具有模式化与可操作性的特征，有实施的步骤和做法.高考经典问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等. 高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等. 本系列专题通过概念与规律、基础题型再现、思维启迪、经典问题回放、实战演练等环节对数学基本方法的应用进一步的夯实.配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；【试题来源】【题目】 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A卷
一、填空题：
1.填上适当的数,使下面各等式成立：
(1)x2+3x+_______=(x+________)2;
(2)_______-3x+1
4
=(3x_______)2;
(3)4x2+_____+9=(2x________)2;
(4)x2-px+_______=(x-_______)2;
(5)x2+b
a
x+_______=(x+_______)2.
2.用配方法使下面等式成立：
(1)x2-2x-3=(x-______)2-_______;
(2)x2++=(x+_______)2+________;
(3)3x2+2x-2=3(x+______)2+________;
(4)2
3
x2+
1
3
x-2=
2
3
(x+________)2+_______.
二、选择题
3.方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )
A.(x-6)2=41
B.(x-3)2=4;
C.(x-3)2=14
D.(x-6)2=36
4.方程3x 2x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )
A. 21718x ⎛=- ⎝⎭;
B. 2
3718x ⎛+= ⎝
⎭;
C. 23518x ⎛= ⎝⎭;
D. 2376x ⎛= ⎝⎭ B 卷
二、解答题：
5.用配方法解下列方程:
(1)x 2+4x-3=0; (2)x 2+3x-2=0;
(3)x 2-23x+118
=0; (4)x 2+-4=0. 6.用配方法求证:
(1)8x 2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1的值恒小于零.
7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)
之间的关系是h=7t-t 2.
(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面.
8.在△ABC 中,三边a 、b 、c 满足2+b 2+c 2=32
,试判断△ABC 的形状. A 卷答案
1.(1) 93,42 (2)9x 2, 12
- (3)12x,+3 (4) 2,42p p (5) 22,42b b a a 2.(1)1,4 (2), (3) 17,33- (4) 149,424
-
B 卷答案：
5.(1) 1222x x =-=-
(2) 32
x -=
(3) 26
x ±=
(4) x = 6.(1)原式=2
318042x ⎛⎫-+> ⎪⎝
⎭ (2)原式= 2112022y ⎛⎫---< ⎪⎝
⎭ 7.(1)2秒或5秒 (2)7秒
8.∵∴(a+b+c)2=92 即a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)=92
, ∴ab+bc+ac=32
∴a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac,∴
12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=0,
∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形。