函数零点的题型总结

函数零点的题型总结
例题及解析
考点一函数零点存在性定理的应用
【例1】已知函数f(x)=(1
2
)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )
(A)(0,1
3) (B)(1
3
,1
2
)
(C)(1
2,2
3
) (D)(2
3
,1)
解析:f(0)=1>0,f(1
3)=(1
2
)13-(1
3
)13>0,
F(1
2)=(1
2
)12-(1
2
)13<0,f(1
3
)f(1
2
)<0,
所以函数f(x)在区间(1
3,1
2
)内必有零点,选B.
【跟踪训练1】已知函数f(x)=2
x
-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)
解析:由题意,函数f(x)=2
x
-log3x为单调递减函数,
且f(2)= 2
2-log32=1-log32>0,f(3)= 2
3
-log33=-1
3
<0,
所以f(2)·f(3)<0,
所以函数f(x)=2
x
-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.
【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )
(A)[0,1] (B)[-1,0]
(C)[0,2] (D)[-1,1]
解析:f(1)=ln 2>0,
当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;
当a=2时,f(1
2)=ln 3
2
-1
2
<0,所以f(x)在(1
2
,1)上至少有一个零点,舍
去C.因此选A.
考点二函数零点的个数
考查角度1:由函数解析式确定零点个数
【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
(2)已知f(x)=2x
x +x-2
x
,则y=f(x)的零点个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以
x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π
2
,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.
解析:(2)令2x
x +x-2
x
=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由
图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.
考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数
f(x)= 24,1,
ln 1,1,
x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程
f(x)=2有两个解,则
实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数
f(x)= 3,2,1
e ,20x x
a x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩
＜＜恰有
3个零点,则实数a 的取值范围
为( )
(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-2
1
e
) (C)[-23,-2
1e ) (D)[-23,-13
)
解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a
≥0,则e x -a x
在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,
故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-2
3
,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x
=e x
x a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在
(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,
(1)0,(0)0,
g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-2
2
e >a>-1e
.综上所述,a ∈(-1
e ,-1
3
).故选A.
【题组通关】
1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)
(C)(3,4) (D)(3,+∞)
解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.
2.已知偶函数f(x)= 4
log
,04,
(8),48,
x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-
12
x
在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )
(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008
解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12
x
,
求函数F(x)=f(x)-12
x
的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12
x
图象
交点个数,
当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12
x
图象有4个交点,2 018=252×8+2
由f(2)=|log 42|=12
>2
12
=14
知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12
x
图象有2个交点.
故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.
3.已知函数
f(x)= 31
,1,
,1,x x
x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩
＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则
k 的取值范围是 . 解析:作出
f(x)=31
,1,
,1x x
x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩
＜的函数图象如图所示.
方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31
,1
,1x x x x ⎧≥⎪⎨
⎪⎩
＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)
【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,
4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩
＜则函数
f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,
令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,
由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点
;
由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;
由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;
综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质
考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数
f(x)=12
2
log ,0
22,0,
x x x x x ⎧
⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不
同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43
x x -221323
2
x x x x +的取值范围是
( )
(A)(2,+∞) (B)(174
,257
16] (C)[2,174
) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32
-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)
f(x)=122log ,0,
22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=12
2
log ,0,(1
1,0x x x x ⎧
⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2
=-2,
由12
log x 3=-12
log x 4可得x 3x 4=1,
函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,
等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,
画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12
log x 3≤2
⇒x 3∈[14
,12
),
所以
43
x x -2
123()2x x x +=43
x x +2
3
x =23
1
x
+23
x , 令t=2
3
x ∈[1
16,14
), 所以1t +t ∈(174
,257
16],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32
-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),
所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.
y=421x x +-=12+9
221
x -, 作出图象如图所示.
由图象可知有10个交点,并且关于(12,1
2
)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5
考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,
1
1,0,2
x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取
值范围为( )
(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]
解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),
则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,
则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,
则h ′(n)=1-21n +
=1
1
n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,
当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;
当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.
【题组通关】
1.已知a>1,方程1
2e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则2
1
x+22x
+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)
(C)(1
2,+∞) (D)(1
2
,1)
解析:方程1
2e x+x-a=0的根,即y=1
2
e x与y=a-x图象交点的横坐标,
方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=1
2
e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,
如图所示.
所以x1+x2=a,
所以21
x +22
x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,
所以21
x +22
x +2x 1x 2>1,故选A
2.已知函数f(x)= 42
log ,04,1025,4,
x x x x x ⎧≤⎪⎨
-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且
f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)
解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.
考点四 函数零点的应用
【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )
(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x
-t ·3
x
,g(x)=21
21x x -+,若存在实数
a,b 同时满足
g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2
e α, 因为β(ln β-2)=e 4
,所以ln β-2=4
e β
,
所以ln β-ln e 2
=4e β
,所以
ln 2e β=4e β
=22
e e β. 所以α,2
e β分别是方程e
x
=2e x ,ln x=2
e x
的根
,
因为点(α,2e α
)与点(2
e β
,4
e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β
,所以αβ=e 4.故选D.
解析:(2)因为
g(-x)=2121x x ---+=1212x
x
-+=-21
21x x -+=-g(x),
所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9
93
3a a a
a
--++有解.
令m=3a
+3
-a
(m ≥2),则9933a a
a a
--++=22m m
-=m-2m ,
因为ϕ(m)=m-2
m 在[2,+∞)上单调递增,
所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.
所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)
【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调
函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2
b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18
] (C)[18,14) (D)(0,18
] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,
故应有(),2
(),
2a f a b f b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x
,
即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),
则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-1
2)2+1
4
,结合图形可得t∈(0,1
8
].
故选D.。