实变函数(程伟)

p n
Hardy-Littlewood 极大方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 6.1.2
6.2
Lebesgue 微分定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 6.2.2 6.2.3
6.1
HARDY-LITTLFra Baidu bibliotekWOOD 极大方法
19
6.1.2
Hardy-Littlewood 极大函数
n n 定义 6.2. Rn 上的可测函数 f ∈ L1 loc (R )，称作 局部可积，若任给 x ∈ R ，
存在 r > 0 使得
∫ |f | dm < ∞.
B (x,r)
n n 定义 6.3. 设 f ∈ L1 loc (R )，则 f 的 Hardy-Littlewood 极大函数M f 定义在 R
10
第二章
准备工作
第三章
3.1
抽象 Lebesgue 积分
可测集·可测函数·测度 3.2 3.3 Lebesgue 积分 收敛的模式
12
第三章 抽象 LEBESGUE 积分
第四章 Rn 上的 Lebesgue 测度
4.1 Lebesgue 测度的构造 4.2 Lebesgue 测度的不变性 4.3 关于 Lebesgue 测度的注记 4.4 可测函数的连续性 4.5 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系 4.6 Rn 上的 Fubini 定理
n
第三章 抽象 Lebesgue 积分 3.1 3.2 3.3 可测集·可测函数·测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 收敛的模式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 54 54 55
参考文献
6
目录
第一章
实变函数论综述
1.1 Riemann 积分及其缺陷 1.2 1.3 Lebesgue 积分
实变函数论谈什么？
8
第一章 实变函数论综述
第二章 准备工作
2.1
2.1.1 2.1.2 集合的运算 映射·基数
集合论
2.2 2.3
Rn 的拓扑
σ -代数·Borel 集·Baire 定理 2.4 Rn 作为度量空间
Vitali 覆盖定理
任给 E ⊂ Rn ，{B (x, rx )}x∈E 为 E 的开覆盖，我们引入 Vitaili 覆盖定 理是为了解决下面看似矛盾的因素： (1) 在 {B (x, rx )}x∈E 中选取一族两两互不相交的球； (2) E 被这些球所覆盖。 显然这两者是不可能同时满足的。但我们可以放宽一些要求：Vitali 覆 盖定理牺牲了 (2)，而 Besicovitch 覆盖定理牺牲了 (1)。 为方便起见， 对 Rn 中开 （闭） 球 B， 记 B 的半径为 r(B )。 对 0 < a < ∞， 记 aB 为 B 的同心球且 r(aB ) = ar(B )。 定理 6.1. （Vitali 覆盖定理） 设 E ⊂ Rn 为有界集。设 F 为以 E 中每一点 为中心的开球族，则存在可数开球列 {Bα }∞ ，使得 α=1 ⊂ F （可能有限个） (1) {Bα } 两两互不相交； (2) E ⊂ ∪α⩾1 3Bα 。 证明：不妨设 supB ∈F r(B ) < ∞。我们利用数学归纳法选取这样的球：
有界变差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
目录 7.3 7.4 绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 进一步的注记 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 假设 B1 , B2 , . . . , Bα−1 已经选好，α ⩾ 1，定义 dα = sup{r(B ) : B ∈ F 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅}
第六章
微分
若无 B ∈ F 使得 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅，则该过程终止到 Bα−1 ，否则选取 Bα ∈ F ，使得 r(Bα ) > 1 dα 2 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅.
14
第四章 RN 上的 LEBESGUE 测度
第五章 Lp 空间
5.1 5.2
5.2.1 5.2.2 5.2.3 一般 Lp 空间 卷积 Lp (Rn ) 空间，1 ⩽ p < ∞
凸不等式 Lp 空间
16
第五章 LP 空间
第六章 微分
6.1
6.1.1
Hardy-Littlewood 极大方法
R 的拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . σ -代数·Borel 集·Baire 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 作为度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B (x,r)
若 |x − x′ | ⩽ r′ − r，则 B (x, r) ⊂ B (x′ , r′ )。 （若 |y − x| < r，|y − x′ | ⩽ |y − x| + |x − x′ | < r′ 。 ）因此 ∫ 1 t< |f (y )| dy m(B (x, r′ )) B (x′ ,r′ ) ∫ 1 = |f (y )| dy m(B (x′ , r′ )) B (x′ ,r′ ) ⩽ M f (x). 这证明了 M f 的下半连续性，从而 M f 可测。
n
目录 13 13 13 13 13 15 15 15 15 15 15 17 17 17 19 22 22 24 29 31 36 45 45 45 51 54 Vitali 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hardy-Littlewood 极大函数 . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 微分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一些应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 磨光子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
α⩾1
Bα ) =
∑
α⩾ 1
m(Bα ) = ∞,
矛盾。 因为 B 与至少一个 Bα 相交，故存在最小的 α ⩾ 1 使得 B ∩ Bα ̸= ∅。 因此 B∩ ∪
β<α
B β = ∅.
这表明 ρ ⩽ dα < 2r(Bα )。任给 y ∈ B ∩ Bα ，若设 z 为 Bα 的中心 |x − z | ⩽ |x − y | + |y − z | < ρ + r(Bα ) < 3r(Bα ), 故 x ∈ Bα 。这就证明了 (2)。 □
7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 13 13
第二章 准备工作 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4
n
集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
实变函数论讲义
程伟 2012 年 12 月 5 日
2
目录
第一章 实变函数论综述 1.1 1.2 1.3 Riemann 积分及其缺陷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 实变函数论谈什么？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
注意第一个球 B1 也可以按照这种方法选得。因为 0 < dα < ∞，故此过程 一直可以继续下去。 由选取过程，(1) 是显然的。 任给 x ∈ E ， 存在 B ∈ F 以 x 为中心， 记 ρ = r(B )。 我们证明 B 必与所 选的球列 {Bα } 中的某球相交。否则任给 α，B ∩ Bα = ∅。这表明前面的选 择过程不会终止。事实上，任给 α，ρ ⩽ dα ，从而 r(Bα ) > dα /2 ⩾ ρ/2 > 0。 因为 ∪α⩾1 Bα 有界，从而其测度有限。但 {Bα } 两两互不相交表明 m( ∪
上， 1 M f (x) = sup 0<r<∞ m(B (x, r )) 极大函数 M f 具有以下性质 (1) M f 为下半连续函数。
∫ |f (y )| dy.
B (x,r )
若 M f (x) > t，则存在 0 < r < ∞ 使得 ∫ 1 t< |f (y )| dy. m(B (x, r)) B (x,r) 选取 r′ > r 使得 1 t< m(B (x, r′ )) ∫ |f (y )| dy.
第四章 Rn 上的 Lebesgue 测度 4.1 Lebesgue 测度的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Lebesgue 测度的不变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 关于 Lebesgue 测度的注记 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 可测函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系 . . . . . . . . . . . . . . R 上的 Fubini 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 5.2.2 5.2.3 第六章 微分 6.1
一般 L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L (R ) 空间，1 ⩽ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . .
第五章 Lp 空间 5.1 5.2 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
6.3 6.4
更多关于覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 可微变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第七章 R1 上函数的微分 7.1 单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 7.1.2 7.2 单调函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 单调函数的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .