实变函数(程伟)
实变函数简明教程
实变函数简明教程
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
实变函数在数学中有着广泛的应用，涉及到微积分、数学分析、概率论等多个领域。
本文将为大家介绍实变函数的基本概念、性质和应用。
一、实变函数的基本概念
实变函数是指定义在实数集上的函数，即函数的自变量和函数值都是实数。
实变函数可以用符号f(x)表示，其中x为实数，f(x)为实数集上的函数值。
实变函数的定义域为实数集，通常用D(f)表示。
二、实变函数的性质
1. 连续性：实变函数在定义域上连续，当且仅当对于任意的实数x0，函数f(x)在x0处极限存在且等于f(x0)。
2. 导数：实变函数在某一点处的导数表示函数在该点处的变化率，即函数在该点处的切线斜率。
如果函数在某一点处可导，则该点处的导数等于函数在该点处的切线斜率。
3. 积分：实变函数的积分是指对函数在某一区间上的面积或体积进行求解。
积分可以分为定积分和不定积分两种。
三、实变函数的应用
实变函数在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用：
1. 微积分：微积分是实变函数的重要应用之一，它涉及到导数、积分等概念，是研究实变函数的基础。
2. 数学分析：数学分析是研究实变函数的性质和变化规律的学科，它包括实分析和复分析两个方向。
3. 概率论：概率论是研究随机事件发生概率的学科，实变函数在概率论中有着重要的应用，如概率密度函数、累积分布函数等。
实变函数是数学中的一个重要概念，它在数学分析、微积分、概率论等多个领域中都有着广泛的应用。
对于学习数学的人来说，掌握实变函数的基本概念、性质和应用是非常重要的。
高数帮实变函数免费
高数帮实变函数免费实变函数是高等数学中的重要概念之一，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
本文旨在介绍实变函数的基本概念和性质，以及其在数学和实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者可以全面了解实变函数，并对如何解决数学问题有一定的指导意义。
首先，我们来了解实变函数的基本概念。
实变函数是定义域为实数集的函数，其自变量和函数值都为实数。
简单来说，就是将实数映射到实数的一种关系。
实变函数通常用表达式来表示，如f(x)，其中x为实数，f(x)为与之对应的函数值。
实变函数有一些基本的性质。
首先，实变函数可以进行加减乘除等基本运算，这使得我们可以对函数进行组合、分解和运算。
其次，实变函数还有定义域、值域、奇偶性、单调性等性质。
其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
奇偶性是指函数的对称性质，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
单调性是指函数值随自变量的增减而增加或减小的性质。
实变函数在数学中有着广泛的应用。
首先，实变函数是微积分的基础，微分和积分这两个重要的数学操作都是基于实变函数的。
通过对实变函数的微分，我们可以求得函数在某点的导数，进而研究函数的变化率和曲线的切线。
通过对实变函数的积分，我们可以求得函数在某一区间上的面积、体积和定积分等。
其次，实变函数也广泛应用于物理和工程学科中。
例如，在物理中，物体的位移、速度和加速度等都可以用实变函数来描述和计算。
在工程中，实变函数可用于建模和解决各种实际问题，如电路分析、信号处理和优化等。
最后，我们来看一些实际问题中实变函数的应用。
例如，如果我们想分析一个物体的自由落体运动，可以用实变函数来描述其高度随时间的变化，通过对该函数进行微分和积分操作，可以得到其速度和加速度的表达式。
又如，在电路分析中，电流和电压的变化都可以用实变函数进行描述，通过对这些函数进行运算，可以求得电路中各个元件的特性参数。
再如，在金融领域中，实变函数可以用于模拟股票价格的变化，通过对函数进行分析和预测，可以帮助投资者做出合理的投资决策。
实变函数的性质及应用
实变函数的性质及应用实变函数是数学中常见的一类函数，其定义域和值域都是实数集。
在应用数学以及工程领域，实变函数的性质及应用非常广泛。
本文将探讨实变函数的一些基本性质，并介绍一些实际应用。
一、实变函数的基本性质1. 连续性与间断性：实变函数可以是连续函数，也可以是不连续函数。
连续函数在其定义域内不存在断裂点，而不连续函数可能存在跳跃或间断点。
2. 极限：实变函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋近情况。
极限的存在与否可以用来判断函数的光滑性和收敛性。
3. 导数：实变函数的导数是用来描述函数的变化率，即函数在某点处的切线斜率。
导数的存在与连续性密切相关，可用来解决最优化问题。
4. 凹凸性：凹凸函数是指函数图像在任意两点间的曲线部分都位于直线部分的下方或上方。
凹函数具有一些特殊的性质，如在图像上有唯一的极小值点。
二、实变函数的应用1. 数学模型：实变函数在数学模型的建立与求解中具有重要作用。
通过对实际问题的抽象和描述，可以建立相应的实变函数模型，并利用函数的性质求解。
2. 物理问题：实变函数在物理问题中也有广泛应用。
例如，针对某一物理过程可以建立实变函数模型，通过对函数性质的研究，可以得到物理问题的解析解。
3. 经济学：实变函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，经济学中常常使用实变函数来描述供给、需求、效用函数等经济关系。
通过研究函数的性质，可以获得有关经济现象的一些结论。
4. 信号处理：实变函数在信号处理中起着重要作用。
例如，通过对声音、图像等信号的离散采样，可以将连续信号离散化为实变函数，并进一步对其进行处理分析。
5. 金融学：实变函数在金融学中的应用日益重要。
例如，在量化投资中，通过对股票市场等金融数据的建模，可以得到实变函数来预测市场走势。
总之，实变函数作为数学中的重要概念，在应用数学以及工程领域有着广泛的应用。
通过研究实变函数的性质，我们可以更好地理解和解决实际问题。
实变函数的性质以及在不同领域的应用，给我们提供了丰富的数学工具，为我们探索和创新提供了更大的空间。
实变函数解题指南
实变函数解题指南实变函数解题指南实变函数是数学分析中一个重要的概念，指定义域是实数集的函数。
在实分析、微积分、数学物理等领域中都有广泛的应用，因此我们需要掌握实变函数的基本知识和解题方法。
一、实函数的基本概念1.定义域和值域实函数的定义域是实数集，用D表示。
函数f(D)的值域是所有实数f(x)的集合，用R表示。
定义域和值域是实函数的两个基本属性。
2.极限和连续性在实数集中，有两种极限，一种是无穷大极限，即当x越来越大（或越来越小）时，函数f(x)趋近于正（或负）无穷。
另一种是有限极限，即当x趋近于某一个常数a时，函数f(x)趋近于f(a)。
函数f(x)在点a处连续，当且仅当以下三个条件成立：（1）f(a)存在；（2）f(x)在a的左右极限都存在；（3）f(a)等于f(x)在a处的左右极限值。
3.偶函数和奇函数若对任意x∈D，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；若对任意x∈D，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
二、实函数的解题方法1.求函数极限函数极限是对函数趋近无穷或趋近某一点的表现。
一般解决函数极限问题需要分为以下两种情况：（1）y=f(x)在x=a处无限趋近于一个数L这时我们可以用代数方法、三角函数极限法、变量替换法、夹逼定理等方法来寻找函数f(x)的极限。
（2）y=f(x)当x趋向无穷时无限趋近于一个数L这时我们可以用拉格朗日中值定理、柯西中值定理或无穷小量比较法等方法来寻找函数f(x)的极限。
2.求导数与函数的极值求导数是解决实函数的最重要方法之一，求导数的基本方法有：（1）用定义式求导数；（2）利用几何意义求导数；（3）用复合函数求导数；（4）用幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式求导数。
求导后可以寻找函数的最值，求极值的基本方法有：（1）条件极值法（即Lagrange乘数法）；（2）二阶导数法（即判别函数极值的二阶导数方法）；（3）用变量替换法求极值。
实变函数讲稿1
1] ⎩0, x是 [ 0，中的无理数
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 一致收敛于
⎡ lim f ( x ) ⎤dx = lim f ( x )dx n n →∞ ∫a ⎣ n→∞ n ⎦
b
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 可积，并且
∫ f ( x )dx = lim ∫
（单调递增） 的， 如果 ∀n ∈ (B1) 集合序列 { An } 称为是单调上升
，
An ⊂ An +1 ;
（单调递减） 的， 如果 ∀n ∈ (B2) 集合序列 { An } 称为单调下降 则 lim An = 定理 2 (C1) 若 { An } 是单调上升的集列，
n →∞
，An ⊃ An +1 .
, 则 lim An = ∩ An = {0}
n →∞ n =1
4
实变函数讲稿
█
█
例 2 (p.6) 设 An = ⎨ x −1 +
⎧
⎩
1 1⎫ < x < 1 − ⎬ ， n = 1.2 n n⎭
∞ n →∞ n =1
, 求 lim An .
n →∞
解：因为 An ⊂ An +1 ， n = 1, 2,
∪A
n =1
∞
n
； (C2) 若 { An }
是单调下降的集列，则 lim An =
n →∞
∩A
n =1
∞
n
.
例 1 (p.6) 设 An = ⎨ x −
⎧ ⎩
1 <x< n
1⎫ ⎬ ， n = 1, 2, n⎭
, 求 lim An .
实变函数课件
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
（1） （2）
证明 我们只证明（1），（2）的证明类似的，请读者自证。
若 则对任意n 即 ，由n
的任意性， ；反之，若 ，对任意n， ，因此c是 的一个上界，于是 即
定理1
（交换律）
证明我们只证明
先设 则有 且有 于是
这证明了在证反过来的包含关系， Nhomakorabea ，则有 ,此即 ，因此 于是 。
综合起来，便是等式成立。
这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立
3、集合的差集和余集
若A和B是集合，称 为A和B是差集，A\B也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：
当我们讨论集合都是某个大集合S的子集时，我们称 为A的余集，并记为
在欧式空间 中， 写成
当全集确定时，显然 因此研究差集运算可以通过研究余集运算来实现。
显然
例13设 是如下一列点集
我们来 的上下极限。
因为闭区间 中的点属于 ，n=1，2，3，4，，，而对于开区间（1，2）中的每一个点x，必存在自然数N使得当n>N时候：
即当 时， 换句话说，对于开区间（0，2）中的x具有充分大的奇数指标的集含有x即 中无限多个集合含有x，而充分大的偶数指标集都不含有x即 中的集合不会是有限个，又区间 以外的点都不属于任意 ，因此
例3和例4说明，一个无限集可以和它的一
个真子集对等（可以证明，这一性质正是无
限集的特征，常用来作为无限集的定义）。
这一性质对有限集来说显然不能成立。由此可以看出无限集与有限集之间的深刻差异。
对等关系显然有一下性质：
定理1
对任意集合A,B,C,均有：
（1）（反射性） ;
实变函数的性质
实变函数的性质实变函数是数学中一种重要的函数类型，其定义域和值域都是实数集。
实变函数在数学分析、微积分、概率论等领域有广泛的应用。
本文将介绍实变函数的性质，包括定义、连续性、导数和积分等方面的内容。
1. 定义实变函数是定义在实数集上的函数，其表达形式为：f: D→R, x↦f(x)其中，D是定义域，R是值域。
实变函数的定义域和值域都是实数集，而不是复数集或其他数学结构。
2. 连续性实变函数的连续性是指函数在定义域上的连续性。
一个函数在某点连续的定义是：对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，对于任意x属于定义域，只要|x-x_0|<Δ，就有|f(x)-f(x_0)|<ε。
也就是说，函数在x=x_0处的极限等于f(x_0)。
如果函数在定义域的每个点上都满足这个条件，那么它是一个连续函数；否则就是不连续函数。
3. 导数实变函数的导数描述了函数的变化率。
导数的定义是：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h]如果函数在某一点上的导数存在，则称函数在该点可导。
可导函数在该点处的切线斜率等于导数的值。
导数的存在条件是该极限存在且有限。
4. 不连续点实变函数存在三种类型的不连续点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点是指在该点上函数的极限存在且有限，但函数在该点的值和极限值不相等；跳跃间断点是指函数在该点的两侧极限值相等，但函数在该点的值不存在；无穷间断点是指函数在该点的极限存在，但其极限为正无穷大或负无穷大。
5. 积分实变函数的积分是描述函数在给定区间上的累积总和。
对于连续函数来说，积分可以用定积分的方式进行计算。
定积分的计算方式是通过取极限将函数划分成无穷小的小矩形，并将其面积相加。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为要积分的函数。
6. 常用性质实变函数具有许多常用的性质，例如：- 奇偶性：如果对于定义在(-a, a)上的实变函数f(x)有f(a-x)=-f(x)，则称函数为奇函数；如果有f(a-x)=f(x)，则称函数为偶函数。
实变函数(程伟)
Vitali 覆盖定理
任给 E ⊂ Rn ，{B (x, rx )}x∈E 为 E 的开覆盖，我们引入 Vitaili 覆盖定 理是为了解决下面看似矛盾的因素： (1) 在 {B (x, rx )}x∈E 中选取一族两两互不相交的球； (2) E 被这些球所覆盖。 显然这两者是不可能同时满足的。但我们可以放宽一些要求：Vitali 覆 盖定理牺牲了 (2)，而 Besicovitch 覆盖定理牺牲了 (1)。 为方便起见， 对 Rn 中开 （闭） 球 B， 记 B 的半径为 r(B )。 对 0 < a < ∞， 记 aB 为 B 的同心球且 r(aB ) = ar(B )。 定理 6.1. （Vitali 覆盖定理） 设 E ⊂ Rn 为有界集。设 F 为以 E 中每一点 为中心的开球族，则存在可数开球列 {Bα }∞ ，使得 α=1 ⊂ F （可能有限个） (1) {Bα } 两两互不相交； (2) E ⊂ ∪α⩾1 3Bα 。 证明：不妨设 supB ∈F r(B ) < ∞。我们利用数学归纳法选取这样的球：
5.2.1 5.2.2 5.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L (R ) 空间，1 ⩽ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . .
B (x,r)
若 |x − x′ | ⩽ r′ − r，则 B (x, r) ⊂ B (x′ , r′ )。 （若 |y − x| < r，|y − x′ | ⩽ |y − x| + |x − x′ | < r′ 。 ）因此 ∫ 1 t< |f (y )| dy m(B (x, r′ )) B (x′ ,r′ ) ∫ 1 = |f (y )| dy m(B (x′ , r′ )) B (x′ ,r′ ) ⩽ M f (x). 这证明了 M f 的下半连续性，从而 M f 可测。
(完整版)《实变函数》第一章集合.doc
第一章集合（总授课时数8学时）由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法. 集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解.授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母A, B,C , D , X , Y, Z L 表示集合，用小写字母a,b,c, x, yL 表示集合中的元素．如果 a 是集合 A的元素，则说 a 属于A，记作a A ，或说A含有a．如果 a 不是集A的元素，则说a 不属于A，记作a A ，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{ a} ．由n个元素 a1 , a2 L a n所组成的集合，可表示为{ a1 , a2 L a n }由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L , n,L } ．当集 A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A { x | x具有性质 p}例如，方程x2 1 0 的解x的全体组成的数集是{ x | x210} ，实际上就是 { 1, 1} .有时我们也把集 { x | x E, x 具有性质 p} 改写成 E[ x 具有性质 p] ．例如，设 f ( x) 是定义在集合 E 上的一实函数，a是一个实数，我们把集{ x | x E, f (x) a} 写成E[ f (x) a] 或 E[ f a] ．不含任何元素的集合称为空集，记作．设 A ， B 是两个集，若 A 和 B 的元素完全相同，就称 A 和 B 相等，记作 A = B (或B = A ).若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，就称为 A 是 B 的子集，记作 A B (或 B A )，读作 A 包含于 B (或B包含A)．若 A B 且 A B ,就称A是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理 1 对任何集合 A ， B ，C，均有（1）A A ；（2）若A B, B C ，则A C；（3）A BA B 且 B A ．二集合的运算设 A ， B 是两个集合，集合 A 与 B 的并集或并 A U B { x : x A或 x B}集合 A 与 B 的交集或交 A I B { x : x A且 x B}特别地，若 A B，称A与B不相交；反之，则称 A 与 B 相交．集合 A 减 B 的差集或差:A B或 A B { x : x A但 x B}当 B A时，称差集A B 为 B 关于A的余集记作(C A B)．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集 A 的子集时，就称 A为基本集或全集，并把 A 的子集B关于 A 的余集C A B简称为B的余集，记为B C或 CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合 A ,此时我们称 { A |} 是以为指标集的集族，集族{ A |} 的并与交分别定义为 :U A { x :, 使x A } IA { x :, 有xA }例 设 A n{ x : 11x 11}, n N , 则nnnA n [ 1,0],A n( 2,1)1n 1关于集合的并和交显然有下面的性质： ( 见课本 P9-P10)更一般地有 : De Morgan 公式(UA ) cIA c , ( I A )cUA c证明（略）注：通过取余集，使A 与 A C ，与 互相转换 .三、集列极限设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 是一个集合序列， ，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim A n (或 limsup A n ) { x : x 属于无限多个集合 A n } { x : 存在无限多个 A n ，使 x A n }nn{ x : N , n N , 使 x A n }I UAnN 1 n N下极限集：lim A n ( 或 liminf A n ) { x : 除去有限个集外， 有 x A n } { x : 当 n 充分大时，有 x A n }nn{ x : N , n N ,有 x A n }UIAnN 1 n N注：I A nlim A nlim A nU A nnnn 1 n 1例：设 A 2n [0,1], A 2 n 1 [1,2] ，则上极限集为 [0,2] ,下极限集为 {1} .极限集如果集列 { A n } 的上极限集与下极限集相等，即lim A n lim A n Ann则称集列 { A n}收敛，称其共同的极限为集列{ A n } 的极限集，记为： lim A n An单调增集列极限若集列 { A n } 满足 A nA n 1 ( n N ), 则称{ A n }为单调增加 ;若集列 { A n} 满足 A n A n 1 ( n N ),则称 { A n }为单调减少 ; 定理 2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列 { A n } 单调增加，则lim A n U A nn n 12) 如果集列 { A n } 单调减少，则lim A n I A nn n 1例1：设A2n 1 ( 1 1 1( n, n), n N, 则,1 ), A2 nn nlim A n ( , ) ， lim A n ( 1,1] n n例 2：设A2n 1 [ 1,41], A2 n [1,11], n N, 则n n n nlim A n [0,4) ， lim A n (0,1]n n小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础 .证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要 , 以后会经常用到 . 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念 .——————————————————————————————作业： P30 5, 7, 8练习题1. 设{ A n}为一集列：n 1（1）作B1A1 , B n A n U A k (n1) ，证明{ B n}为一列互不相交的集列，且k 1n nU A k U B k ( n 1,2,L )k 1k 1（2）若{ A n}是单调减少的集列，证明A1( A1 A2 ) ( A2 A3 ) L( A n A n 1 ) L( I A k ),k 1并且其中各项互不相交.2. 证明 :(1) nUIA n,n IUA n lim A n lim A nN 1 n N N 1 n N(2) lim A n lim A nn n(3) { A n } 单调递增时，有 lim A n lim A n lim A n U A nn n n n 1(4) { A n } 单调递减时，有 lim A n lim A n lim A n I1 A nn n n n3. 已知A2n E, A2n 1 F ,( n 1,2,L ) ，求 lim A n和 lim A n ，并问 lim A n是否存在？n n n§2对等与基数教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心. 基数的概念，讨论都要用一一对应的方法 . 证明两个集对等或具有相同的基数 , 有时需要一定的技巧 , 因而具有一定难度 , 通过较多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其中的技巧 .本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是R n的子集,值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念.定义：设 X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则 f ，对X中的每个 x ，均存在Y中唯一的 y 与之对应，则称这个对应法则 f 是从X到Y的一个映射，记作 f : X Y 或：设 X , Y 是两个非空集合， f 是X Y 的子集，且对任意 x X ，存在唯一的y Y 使 (x, y) f ，则 f 是从X到Y的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外 , 我们还经常会遇到许多其它的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2集合运算关于映射的性质（像集）定理 1 ：设f : X Y, A, B, A () 是X的子集，称 { f ( x) : x A} 为A的像集，记作 f ( A) ，则有：1) A B f ( A) f (B);U A ) U f ( A );2) f ( A U B) f ( A) U f ( B), 一般地有 f (3) f ( A I B) f ( A) I f ( B), 一般地有 f ( I A )I f ( A );证明的过程略注： f (A I B) f ( A) I f ( B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当 f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理 2：设f : X Y, A X ,C , D ,C () 是Y的子集，称{ x : f (x)C} 为C的原像集，记作 f 1(C )( f不一定有逆映射），则有：1)C D f 1 (C ) f 1 ( D );1 1 1一般地有：1 12) f (C U D ) f (C ) U f ( D ), f ( U C ) U f (C );3) f 1 (C I D ) f 1 (C ) I f 1 (D ), 一般地有： f 1 ( I C ) I f 1 (C );4) f 1 (C D) f 1 (C) f 1( D );5) f 1 (C c ) [ f 1 (C)] c ;6) A f 1 [ f ( A)];7) f [ f 1 (C)] C;证明略 .注： 6）， 7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当 f 为单射，7）等号成立当且仅当 f 为满射.3对等与势1）定义设 A ， B 是两非空集合，若存在着 A 到 B 的一一映射（既单又满），则称 A 与 B 对等,记作 A ~ B .约定 ~ .注：（ 1）称与A对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A .（2）势是对有限集元素个数概念的推广.2）性质a) 自反性：b)对称性：c) 传递性：A ~ A;A ~B B ~ A;A ~ B,B ~C A ~ C;例： 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z2)( 1,1) ~ ( , )证明：令 f : x tg ( x) ，则 f 是 ( 1,1) 到 ( , ) 的一一映射.故2( 1,1) ~ ( , )注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较a) 若 A ~ B, 则称 A B；b) 1B, 则称A B； A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射 .若 A ~ B 相当于：c) 若A B,且 A B，则称 A B .注：不能用 A 与 B 的一个真子集对等描述. 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , )4 Bernstein 定理引理：设 { A : }{ B : }是两个集族，是一个指标集，又，, A ~ B , 而且 { A : } 中的集合两两不交， { B : } 中的集合两两不交，那么：U A ~ U B证明略定理 3:（ Bernstein 定理）若有A的子集A* ，使 B ~ A* , 及B的子集B* ，使 A ~ B* , 则A ~ B. 即：若 A B,B A, 则A B.证明：根据题设，存在 A 到 B*上的一一映射 f ，以及B到A*上的一一映射g .令A1 A A*， B1 f ( A1 ) ， A2 g ( B1 ) ， B2 f ( A2 ) ， A3 g( B2 ) ， B3 f ( A3 ) ，L L 由 g(B) A*知 A2 g( B1 ) A* , 而 A1 A A*，故 A1与 A2不交.从而 A1, A2在 f 的像B1 , B2不交， B1 , B2在g下的像 A2 , A3不交.由 A3A* , 知 A1与 A3不交，故 A1 , A2 , A3两两不交.从而 A1, A2 , A3在 f 的像 B1 , B2 , B3也两两不交， L Lf从而 A1 , A2 , A3 ,L两两不交，B1 , B2 , B3 ,L 也两两不交且A n ~B n (n 1,2,L ),fU A n~ U B nn 1n 1g另外由 B k ~ A k 1 (k 1,2,L ), 可知gU B k~ U A k 1k 1k 1g又 B ~ A* , 所以g U A k 1， A* U A k 1 ( A A1 )U A k 1 A U A kB U B k ~ A*k 1 k 1 k 1 k 1 k 1B U Bk ~ A U Akk 1k 1A ( A U A k ) U (U A k ) ~ (B U B k ) U (U B k )Bk 1k 1k 1k 1 证毕．注：要证 A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例： ( 1,1) ~ [ 1,1]证明：由 ( 1,1) [ 1,1] (,) ~ ( 1,1)可知， ( 1,1) ~ [1,1]——————————————————————————————作业： P30 9, 10练习题1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？2．证明:若A B C , A : C , 则A : B : C.3. 证明：若A B ， A : A C ，则有 B : B C .4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F : M .§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集. 可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来 , 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握 .本节难点证明集合可数 .授课时数2学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a 或01,2,3,4,5,6 L La1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L注： A 可数当且仅当 A 可以写成无穷序列的形式{ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L } 例： 1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 L }2）[0,1] 中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, L }２可数集的性质（子集）定理 1 任何无限集合均含有可数子集 .证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为则e1.M { e1} ,在M{ e1}中取一元素e2 ,显然e2e1 .设从M中已取出n个互异元素1, 2 n,由于M 是无限集，故 M { e1, e2 ,L e n } ,于是又可以从1, 2n 中e e ,L e M { e e ,L e }取出一元素 e n 1,它自然不同于 e1, e2 ,L e n.所以，由归纳法，我们就找到 M 的一个无限子集{ e1,e2,L , e n L } 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集A a1 , a2 , a3 ,L，B b1 , b2 ,L , b n，C c1 , c2 , c3 ,L假设 A, B, C 两两不交，则A B b1 ,b2 ,L , b n , a1 ,a2 ,L（当集合有公共元素时，不重复排）第9页（共 14 页）A C a1 ,c1 , a2 ,c2 , a3 , c3 ,L关于可数个可数集的并仍可数集的明a11 , a12 , a13 , a14，La21 , a22 , a23 , a24，La31 , a32 , a33 , a34，La41 , a42 , a43 , a44，LL , L , L , L ，L当A i互不相交，按箭所示，我得到一个无序列;当A i有公共元，在排列的程中除去公共元素；因此U A n是可数集。
实变函数 复变函数
实变函数复变函数实变函数和复变函数是数学中的两个重要概念，它们在数学分析、微积分、复分析等领域都有广泛的应用。
一、实变函数实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
实变函数是数学分析中的基础，它是研究实数集上的函数性质的重要工具。
实变函数的定义域和值域都是实数集，它们可以表示为y=f(x)，其中x和y都是实数。
实变函数可以分为一元实变函数和多元实变函数两种。
一元实变函数是指只有一个自变量的函数，例如y=f(x)，x是自变量，y是函数值。
多元实变函数是指有多个自变量的函数，例如z=f(x,y)，x和y是自变量，z是函数值。
实变函数的研究内容包括函数的连续性、可导性、积分性、级数、微分方程等。
实变函数的重要应用包括物理学、工程学、经济学、统计学等领域。
二、复变函数复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
复变函数是复分析中的基础，它是研究复平面上的函数性质的重要工具。
复变函数的定义域和值域都是复数集，它们可以表示为w=f(z)，其中z和w都是复数。
复变函数可以分为一元复变函数和多元复变函数两种。
一元复变函数是指只有一个自变量的函数，例如w=f(z)，z是自变量，w是函数值。
多元复变函数是指有多个自变量的函数，例如w=f(z1,z2,...,zn)，z1,z2,...,zn是自变量，w是函数值。
复变函数的研究内容包括函数的解析性、全纯性、调和性、共形映射、级数、微分方程等。
复变函数的重要应用包括电磁学、流体力学、量子力学、信号处理等领域。
总之，实变函数和复变函数都是数学中的重要概念，它们在不同领域的应用非常广泛，对于深入理解数学和解决实际问题都有重要意义。
实变函数教材
目录1．数论的内容......... ... (3)2．实变函数论的特点......... (4)3．学习实变函数论的方法......... (5)4．本教材的特色处理之处......... (5)第一章集合论§１.１集合概念与运算......... (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题...... (25)第二章点集§２.１R n空间...... ... (26)§２.２几类特殊点和集......... (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积... (38)习题......... (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... ... (48)§３.３可测集的构造......... (55)习题......... (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... ...... (59)§４.２可测函数的结构......... (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算... (88)§５.４Fubini定理......... (93)习题......... (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数... (101)§６.２绝对连续函数......... (106)§６.３微分与积分......... (108)习题......... (112)附录1．不可测集......... (113)2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115)3.单调函数的可微性绪 论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
实变函数第四章第一节
E[ E[
f >a]
= ∪ E
n =1 ∞
∞
1 [ f ≥a+ ] n
E[
f ≥a]
= ( ∪ E [a≤
n =1
∞
f <a+n]
) ∪ E[
f <b]
f = +∞ ]
f ≥a]
= ∩ E
n =1
证明：首先 上可测， 证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意 ∈R 在 上可测 因为对任意a∈
E[ f 2 >a] = {
E E[ f >
a]
∪E[ f <−
a]
a<0 a≥0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可 再利用 即可
作业： 上的可测函数,则 作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数 则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x) 是 上的可测函数 为E上的可测函数 上的可测函数
r∈Q
从而 E[ f > a − g ] = ∪ ( E[ f > r ] ∩ E[ g > a − r ] )可测
r∈Q
类似可证： 上可测函数， 为可测集。 类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f > g ] 为可测集 是 上可测函数
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。 f(x),g(x)是 上的可测函数, g(x)仍为 仍为E
n =1 n =1
∞
( a-1/n
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》
五、教材及参考资料
[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,
2019, ISBN: 9787040508109
[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:
9787040274318
[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:
9787040226430
[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:
9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。
附录：各类考核评分标准表
实变函数平时作业评分标准
实变函数设计评分标准
注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。
实变函数教材
实变函数教材⽬录1．数论的内容......... (3)2．实变函数论的特点 (4)3．学习实变函数论的⽅法 (5)4．本教材的特⾊处理之处 (5)第⼀章集合论§１.１集合概念与运算 (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题 (25)第⼆章点集§２.１R n空间...... (26)§２.２⼏类特殊点和集 (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积 (38)习题 (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... (48)§３.３可测集的构造 (55)习题 (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... (59)§４.２可测函数的结构 (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质 (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算 (88)§５.４Fubini定理 (93)习题 (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数 (101)§６.２绝对连续函数 (106)§６.３微分与积分 (108)习题 (112)附录1．不可测集 (113)2.⼀般集合的抽象测度和抽象积分 (115)3.单调函数的可微性绪论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，⼤学的数学分析，常微分⽅程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做⼀件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
实变函数第一章,第二节
* P42:16. 设A是一个无限集，则存在 A A, 使得
A ~ A, 而A A 是可数集。
* *
假设这是集合A
A\M
从中可以取出可数子集M
M={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} M1 ={a1, a3, a5, …} 很容易将M一分为二M ,M ，
1 2
使得两个都是可数集
第一章 集合
第二节 集合的势、可数集与不可数集
１ 映射的定义
定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则 f， 对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称 这个对应法则 f 是从 X 到 Y 的一个映射， 记作 f: X→Y
[ ]
注：集合，元素，映射是一相对概念 略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射， 一一映射（双射）
例
1、 定积分运算 a 为从[a,b]上的可积函数集 到实数集的映射 (函数,泛函,算子)
2、 集合的特征函数 : X {0,1} A （集合A与特征函数互相决定） 称 A ( x)
b
1 xA 0 xA
为集A的特征函数，
对等与势
1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 记作 A ~ B 约定 ~
3){去掉一个点的圆周 } ~ (,)
有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。
基数的大小比较
1)若A ~ B, 则称A B；
2)若A ~ B0 B, 则称 A B；
若存在单射f : A B, 则A B 特别地: 若A B, 则A B
证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而
1.0 实变函数基础
如果A不和B对等， 定义 1.4 设A、B是两个集合，
但存在 B 的真子集
有 A～ ，
,则称A比B有较小
的基数（B比 A有较大的基数）， 并记为 A B
定理 1.2 (伯恩斯坦（Bernstein）定理)
设A、B是两个非空集合， 如果存在 使A～T, B～S, 则A～B.
应用泛函分析
实变函数基础
定理 1.4 设 Ai (i 1, 2,3,...) 是有限或可数集，则 限或可数集.
应用泛函分析
i 1
Ai 是有
实变函数基础
证：只需证明当
i 1
Ai 是无限集时，
i 1
Ai 是可数集.设
A1 a11 , a12 , a13 , a14 ,
A2 a21 , a22 , a23 , a24 , A3 a31 , a32 , a33 , a34 , A4 a41 , a42 , a43 , a44 ,
一 一 映射 (或双射).
应用泛函分析
实变函数基础
设有单射 f : X Y , 则由定义, 对y R f , 有唯一的 x X , 适合 f ( x ) y . 于是, 可定义
1 f : R f X为： f 的逆映射
1 f 对每个 y f ( x), 规定 ( y)
A
B
由所有属于A 而不属于B的元素 组成的集合, 称为A与B的 差集, 记作 A B , 即
A B { x x A 且x B }.
A
B
应用泛函分析
实变函数基础
注 研究某个问题时所考虑的对象的全体 称为 全集或基本集,并用 I 表示, 并把差积 I A 特别称为A的 余集或补集. 记作 AC .
实变函数教材
目录1．数论的内容......... ... (3)2．实变函数论的特点......... (4)3．学习实变函数论的方法......... (5)4．本教材的特色处理之处......... (5)第一章集合论§１.１集合概念与运算......... (6)§１.２集合的势、可数集与不可数集 (13)习题...... (25)第二章点集§２.１R n空间...... ... (26)§２.２几类特殊点和集......... (30)§２.３有限覆盖定理与隔离性定理 (35)§２.４开集的构造及其体积... (38)习题......... (45)第三章测度论§３.１Lebesgue外测度定义及其性质 (46)§３.２可测集的定义及其性质...... ... (48)§３.３可测集的构造......... (55)习题......... (59)第四章可测函数§４.１可测函数定义及其性质... ...... (59)§４.２可测函数的结构......... (63)§４.３可测函数列的依测度收敛 (70)习题第五章Lebesgues积分理论§５.１Lebesgue积分的定义及其基本性质... (77)§５.２Lebesgue积分的极限定理 (84)§５.３(L)积分的计算... (88)§５.４Fubini定理......... (93)习题......... (98)第六章积分与微分§６.１单调函数与有界变差函数... (101)§６.２绝对连续函数......... (106)§６.３微分与积分......... (108)习题......... (112)附录1．不可测集......... (113)2.一般集合的抽象测度和抽象积分...... (115)3.单调函数的可微性绪 论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
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程伟 2012 年 12 月 5 日
2
目录
第一章 实变函数论综述 1.1 1.2 1.3 Riemann 积分及其缺陷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 实变函数论谈什么？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vitali 覆盖定理
任给 E ⊂ Rn ，{B (x, rx )}x∈E 为 E 的开覆盖，我们引入 Vitaili 覆盖定 理是为了解决下面看似矛盾的因素： (1) 在 {B (x, rx )}x∈E 中选取一族两两互不相交的球； (2) E 被这些球所覆盖。 显然这两者是不可能同时满足的。但我们可以放宽一些要求：Vitali 覆 盖定理牺牲了 (2)，而 Besicovitch 覆盖定理牺牲了 (1)。 为方便起见， 对 Rn 中开 （闭） 球 B， 记 B 的半径为 r(B )。 对 0 < a < ∞， 记 aB 为 B 的同心球且 r(aB ) = ar(B )。 定理 6.1. （Vitali 覆盖定理） 设 E ⊂ Rn 为有界集。设 F 为以 E 中每一点 为中心的开球族，则存在可数开球列 {Bα }∞ ，使得 α=1 ⊂ F （可能有限个） (1) {Bα } 两两互不相交； (2) E ⊂ ∪α⩾1 3Bα 。 证明：不妨设 supB ∈F r(B ) < ∞。我们利用数学归纳法选取这样的球：
5.2.1 5.2.2 5.2.3 第六章 微分 6.1
一般 L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L (R ) 空间，1 ⩽ p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . .
注意第一个球 B1 也可以按照这种方法选得。因为 0 < dα < ∞，故此过程 一直可以继续下去。 由选取过程，(1) 是显然的。 任给 x ∈ E ， 存在 B ∈ F 以 x 为中心， 记 ρ = r(B )。 我们证明 B 必与所 选的球列 {Bα } 中的某球相交。否则任给 α，B ∩ Bα = ∅。这表明前面的选 择过程不会终止。事实上，任给 α，ρ ⩽ dα ，从而 r(Bα ) > dα /2 ⩾ ρ/2 > 0。 因为 ∪α⩾1 Bα 有界，从而其测度有限。但 {Bα } 两两互不相交表明 m( ∪
14
第四章 RN 上的 LEBESGUE 测度
第五章 Lp 空间
5.1 5.2
5.2.1 5.2.2 5.2.3 一般 Lp 空间 卷积 Lp (Rn ) 空间，1 ⩽ p < ∞
凸不等式 Lp 空间
16
第五章 LP 空间
第六章 微分
6.1
6 极大方法
第五章 Lp 空间 5.1 5.2 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
5 54 54 55
参考文献
6
目录
第一章
实变函数论综述
1.1 Riemann 积分及其缺陷 1.2 1.3 Lebesgue 积分
实变函数论谈什么？
8
第一章 实变函数论综述
第二章 准备工作
2.1
2.1.1 2.1.2 集合的运算 映射·基数
集合论
2.2 2.3
Rn 的拓扑
σ -代数·Borel 集·Baire 定理 2.4 Rn 作为度量空间
α⩾1
Bα ) =
∑
α⩾ 1
m(Bα ) = ∞,
矛盾。 因为 B 与至少一个 Bα 相交，故存在最小的 α ⩾ 1 使得 B ∩ Bα ̸= ∅。 因此 B∩ ∪
β<α
B β = ∅.
这表明 ρ ⩽ dα < 2r(Bα )。任给 y ∈ B ∩ Bα ，若设 z 为 Bα 的中心 |x − z | ⩽ |x − y | + |y − z | < ρ + r(Bα ) < 3r(Bα ), 故 x ∈ Bα 。这就证明了 (2)。 □
6.3 6.4
更多关于覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 可微变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第七章 R1 上函数的微分 7.1 单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 7.1.2 7.2 单调函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 单调函数的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
第三章 抽象 Lebesgue 积分 3.1 3.2 3.3 可测集·可测函数·测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 收敛的模式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 13 13
第二章 准备工作 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4
n
集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B (x,r)
若 |x − x′ | ⩽ r′ − r，则 B (x, r) ⊂ B (x′ , r′ )。 （若 |y − x| < r，|y − x′ | ⩽ |y − x| + |x − x′ | < r′ 。 ）因此 ∫ 1 t< |f (y )| dy m(B (x, r′ )) B (x′ ,r′ ) ∫ 1 = |f (y )| dy m(B (x′ , r′ )) B (x′ ,r′ ) ⩽ M f (x). 这证明了 M f 的下半连续性，从而 M f 可测。
p n
Hardy-Littlewood 极大方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 6.1.2
6.2
Lebesgue 微分定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 6.2.2 6.2.3
R 的拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . σ -代数·Borel 集·Baire 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . R 作为度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 假设 B1 , B2 , . . . , Bα−1 已经选好，α ⩾ 1，定义 dα = sup{r(B ) : B ∈ F 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅}
第六章
微分
若无 B ∈ F 使得 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅，则该过程终止到 Bα−1 ，否则选取 Bα ∈ F ，使得 r(Bα ) > 1 dα 2 且 B ∩ ∪β<α Bβ = ∅.
有界变差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
目录 7.3 7.4 绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 进一步的注记 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
上， 1 M f (x) = sup 0<r<∞ m(B (x, r )) 极大函数 M f 具有以下性质 (1) M f 为下半连续函数。
∫ |f (y )| dy.
B (x,r )
若 M f (x) > t，则存在 0 < r < ∞ 使得 ∫ 1 t< |f (y )| dy. m(B (x, r)) B (x,r) 选取 r′ > r 使得 1 t< m(B (x, r′ )) ∫ |f (y )| dy.
n
目录 13 13 13 13 13 15 15 15 15 15 15 17 17 17 19 22 22 24 29 31 36 45 45 45 51 54 Vitali 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hardy-Littlewood 极大函数 . . . . . . . . . . . . . . . . Lebesgue 微分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一些应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 磨光子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .