法向量的求法及其空间几何题的解答

状元堂一对一个性化辅导教案教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解难度星级★★★★教学内容上堂课知识回顾（教师安排）：1.平面向量的基本性质及计算方法2.空间向量的基本性质及计算方法本堂课教学重点：1.掌握空间法向量的求法及其应用2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距3.熟练灵活运用空间向量解决问题得分：平面法向量的求法及其应用一、 平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。

平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。

由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。

二、 平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设→n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.||||arccos 2,2→→→→→→⋅⋅->=<-=AB n ABn AB n ππθ 图2-1-2:2||||arccos 2,ππθ-⋅⋅=->=<→→→→→→AB n AB n AB n(2)、求面面角:设向量→m ，→n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：θβα→m图2-2→nθ→mα图2-3→nβ|,cos |sin ><=→→AB n θABα图2-1-2θC→n 图2-1-1αθB→nA C||||arccos,→→→→→→⋅⋅>==<n m nm n m θ（图2-2）;||||arccos,→→→→→→⋅⋅->==<n m nm n m πθ(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。

约定，在图2-2中，→m 的方向对平面α而言向外，→n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→m 的方向对平面α而言向内，→n 的方向对平面β而言向内。

我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。

2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→a 、→b ， 求a 、b 的法向量→n ，即此异面直线a 、b 的公垂线的方向向量； ②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→AB ；③求向量→AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为||||→→→∙=n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→→,,,（2）、点到平面的距离:方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到 平面α的距离公式为||||→→→∙=n n AB d（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中a B A ∈∈,α。

n 是平面α的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离：图2-4nab AB图2-7αβA B→nnAaB α→n图2-6图2-5→nA αM BNO||||→→→∙=n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。

n 是平面α、β的法向量。

3、 证明（1）、证明线面垂直：在图2-8中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→→=a m λ）。

（2）、证明线面平行：在图2-9中,→m 向是平面α的法向量，→a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=∙→→a m ）。

（3）、证明面面垂直：在图2-10中，→m 是平面α的法向量，→n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=∙→→n m ）（4）、证明面面平行：在图2-11中, →m 向是平面α的法向量，→n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→→=n m λ）。

三、高考真题新解1、（2005全国I ，18）（本大题满分12分）已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小解:以A 点为原点,以分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz 如图所示.)1,0,0().(=→AP I ，)0,0,1(=→AD ，设平面PAD 的法向量为)0,1,0(-=⨯=→→→AD AP m )0,1,0(=→DC 又，)1,0,1(-=→DP ，设平面PCD 的法向量为)1,0,1(=⨯=→→→DP DC n0=∙∴→→n m ，→→⊥∴n m ，即平面PAD ⊥平面PCD 。

图2-11α→mβ →n图2-10βα→m→n图2-9 α→ma→a图2-8αa →m→a图3-1 C DMAPB).(II )0,1,1(=→AC ，)1,2,0(-=→PB ，510arccos ||||arccos ,=⋅∙>=∴<→→→→→→PB AC PB AC PB AC ).(III )21,0,1(-=→CM ，)0,1,1(--=→CA ，设平在AMC 的法向量为)1,21,21(-=⨯=→→→CA CM m .又)0,1,1(-=→CB ,设平面PCD 的法向量为)1,21,21(---=⨯=→→→CB CM n .)32arccos(||||arccos ,-=⋅∙>=∴<→→→→→→n m n m n m .∴面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为)32arccos(-.]32arccos [-π或2、(2006年云南省第一次统测19题) (本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 已知AB ＝AA 1＝a ，B C ＝2a ，M 是AD 的中点。

(Ⅰ)求证：AD ∥平面A 1BC ； (Ⅱ)求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； (Ⅲ)求点A 到平面A 1MC 的距离。

解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz 如图所示.).(I )0,0,2(a BC -=→,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BC 的法向量为)2,2,0(221a a BA BC n =⨯=→→→又)0,0,2(a AD -=→ ,0=∙∴→→AD n ,→→⊥∴n AD ,即AD//平面A 1BC.).(II ),0,22(a a MC =→,)0,,22(1a a MA -=→,设平面A 1MC 的法向量为: )22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→, 又),,2(1a a a BD --=→ ,),,0(1a a BA -=→,设平面A 1BD 1的法向量为: )2,2,0(2211a a BA BD n =⨯=→→→,0=∙∴→→n m ,→→⊥∴n m ,即平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1.).(III 设点A 到平面A 1MC 的距离为d, )22,22,(2221a a a MA MC m -=⨯=→→→是平面A 1MC 的法向量, 又)0,0,22(a MA =→ ,∴A 点到平面A 1MC 的距离为:a m MA m d 21||||=∙=→→→. 四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右图手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回到图形问题）立体几何知识点和例题讲解一、知识点<一>常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉=112233222222123123a b a b a b a a ab b b++++++.8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ=r r =121212222222111222||||||||x x y y z z a b a b x y z x y z ++⋅=⋅++⋅++r rrr（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).10、空间四点A 、B 、C 、P 共面OC z OB y OA x OP ++=⇔，且 x + y + z = 1 11.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.12.三余弦定理：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 13.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅222212121()()()x x y y z z =-+-+-.14.异面直线间的距离： ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).15.点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 16.三个向量和的平方公式：2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅17. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.18. 面积射影定理 'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的θ).19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a . 20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法） 21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 〈二〉温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？ ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．二、题型与方法【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力． AB CD1A1C1B解答过程：解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(123)BA =-，，． 12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ． (113)AD =--，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，03y x z =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，． 令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ， 1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n ，1113364222AB AB AB -->===-n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为6arccos 4．（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量， 1(200)(123)BC AB =-=-，，，，，．∴点C 到平面1A BD 的距离1122222BC AB d AB -===．xz AB C D1A1C1BO Fy小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B 点到平面1AMB 的距离转化为容易求的点K 到平面1AMB 的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法. 考点2 异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例2已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.思路启迪：由于异面直线CD 与SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离. 解答过程：如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，EF ∴为BCD ∆的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF 的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点，2,2,621,62=====∴SC DF CD EF CD 33222621312131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ∆中，3222=+=CE SC SE在Rt SCF ∆中，30224422=++=+=CF SC SF又3,6=∴=∆SEF S EF由于h S V V SEF CEF S SEF C ⋅⋅==∆--31，即332331=⋅⋅h ，解得332=h 故CD 与SE 间的距离为332. 小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点3 直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一 BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,又⊂11D B 平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , ,36264==∴h即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. BACDOGH 1A 1C 1D1B 1O考点4 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点. 例4、如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（错误！未找到引用源。