高一数学必修一三角恒等变换公式
(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
简单的三角函数恒等变换公式
简单的三角函数恒等变换公式
1三角函数恒等变换公式
三角函数恒等变换公式是数学中重要的公式之一，它可以帮助我们通过将一组简单的数学公式转换为其他相关的数学公式。
恒等变换的基本原理是，当两个函数在同一象限上具有相同的角度时，它们的值是相等的。
那么，我们可以把一个函数表达式中代表角度的变量替换成另一个函数表达式中代表角度的变量，从而得到一个新的公式。
最常用的三角函数恒等变换公式如下：
sin x=cos(90-x)；
cos x=sin(90-x)；
tan x=cot(90-x)；
cot x=tan(90-x)。
这些公式可以帮助我们用比较简单的方法计算三角函数的值，从而节省时间。
例如，我们要计算sin15°的值，可以利用公式sin x=cos(90-x)，将15°代入，得出cos75°，最后根据75°的三角函数值表，就可以得到sin15°的结果。
总之，三角函数恒等变换公式是一种非常实用的数学公式，我们可以利用它来快速进行简单的三角函数计算，减少计算量并节省时间。
高中数学必修一 三角恒等变形总结(采百家之长版)
一、三角函数公式：辅助角公式的重要作用:合一变形⇒把形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数，即：两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−相除以上是三角函数公式的关系图二、三角恒等变换：一角二名三结构，对角、函数名、式子结构===化异为同三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：（2余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式 （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
三、三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量 使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
四、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化三角函数的复杂表达式，以及解决与三角函数相关的问题。
本文将介绍三角恒等变换的定义、常见的三角恒等变换公式，以及使用恒等变换解决问题的实例。
一、定义三角恒等变换是指通过等式变换将一个三角函数变换为具有相同函数值的其他三角函数的过程。
这种变换可以帮助我们简化三角函数的表达式，使其更易于计算和处理。
二、常见的三角恒等变换公式在三角恒等变换中，常见的公式包括以下几种：1. 余弦函数恒等变换：a) $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ ：这是最基本的三角恒等变换公式，称为余弦函数的平方与正弦函数的平方之和等于1。
b) $\cos(-x)=\cos(x)$ ：余弦函数具有对称性质，关于y轴对称。
c) $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$ ：余弦函数与正弦函数的关系，通过将自变量进行变换，可以转化为正弦函数。
2. 正弦函数恒等变换：a) $\sin(-x)=-\sin(x)$ ：正弦函数具有奇函数的性质，关于原点对称。
b) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$ ：正弦函数与余弦函数的关系，通过将自变量进行变换，可以转化为余弦函数。
3. 三角函数的和差化积：a) $\sin(x \pm y)=\sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)$ ：正弦函数的和差化积公式。
b) $\cos(x \pm y)=\cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)$ ：余弦函数的和差化积公式。
4. 二倍角公式：a) $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ ：正弦函数的二倍角公式。
b) $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$ ：余弦函数的二倍角公式。
高一数学三角恒等变换
高一数学三角恒等变换一、考点、热门回首1.引诱公试：奇变偶不变，符号看象限2.同角三角函数的基本关系式：sin 2cos 21 ， tan= sin， tan cot 1cos3.和差角公式：① sin() sin coscos sin② cos() coscossin sin○3 tan()tan tan1 tantan4.倍角公式：① sin 22sin cos2tan ② cos2cos 2sin 22cos 21 1 2sin 22tan 1 tan 2○3 tan 2○4 sin3a=3sin a-4sin3a ○5cos3a =4cos3a-3cosa1 tan25.降次升角公式：○1 sin21 cos2○ 2 1 cos2○ sin cos1sin 22 2 cos2326.全能公式：○1 sin 22 tan○2 cos21 tan 21 tan 21 tan 27.半角公式：（符号的选择由所在的象限确立）2① sin1 cos1 cos2○2 cos222○3 tan1cos sin 1 cos1cos1 cossin28.协助角公式 :a sinbcos= a2b 2sin() ,( tanb).a=a2b 2cos( m ),（ tana) .b二、典型例题1．已知角 α的终边过点 p(－ 5， 12)，则 cos α= ， tan α=．2．若 cos θ tan ＞θ0，则 θ是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一、二象限角D ．第二、三象限角3． sin 2150 °+sin 2135 °+2sin210 +cos °2 225 °的值是( )13119A ． 4B ．4C ．4D ． 44．已知3 ，则()sin( π +α－)=54 3 C ． cos α =－4 D ． sin( －πα )= 3A ． cos α =B ． tan α =55544sin α－ 2cos α．的值为5．已 tan α =3，5cos α＋ 3sin α6．化简 1+2sin( π-2)cos(π +2) =．7．已知 θ是第三象限角，且445( )sinθ +cos θ = ，那么 sin2 θ等于922 2 222A ．3B ．－ 3C ． 3D ．－ 3θθ θ8、设 θ是第二象限角，且知足 |sin 2|= － sin 2 ， 2是 _____________________ 象限的角 ?三、习题练习1、已知 A={ 第一象限角 } ， B={ 锐角 } ，C={ 小于 90°的角 } ，那么 A 、 B 、 C 关系是（）A ． B=A ∩CB ． B ∪ C=CC ．A CD ． A=B=C2．已知是第二象限角，那么 是（ ）2A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第二或第四象限角D ．第一或第三象限角3、若 f (cos x)cos2 x ,则 f (sin15 ) 等于( )A ．331 D ．12B ．C ．2224、化简 1sin 2160 的结果是()A ． cos160B ．cos160C ．cos160D ．cos1605、 A 为三角形 ABC的一个内角 ,若 sin A cos A12（）,则这个三角形的形状为25A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形6、已知 sincos1,且, 则 cossin.8427、已知弧度数为 2的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长()A ． 2B ．2C ． 2 sin1D ． sin 2sin 18、已知 tan 3,3,求 sincos 的值 .29、已知sin cos 5, 则 sin cos．410、已知x0, sin x cos x1.（ I）求 sinx－ cosx 的值；251，则1=11、已知 tan α=－23α2sin α cos α +cos 12、1－ 2sin10 cos10°° 的值为cos10 °－1－ cos2170 °1+2sinα cos α1+ tanα．13、证明cos2α－ sin2α=1－ tan α14.求sin6o sin12 o sin24 o sin48 o的值．cos10o 3 sin10o1cos80o1sin1sin15、已知α是第三角限的角，化简sin1sin116 、已知tan x1，则 sin 2 x 3sin xcos x 1=______217、求函数y 12sin 2x 5cos x 的最大值和最小值。
三角恒等变换公式大全
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
高一数学必修一三角恒等变换公式
三角恒等变换公式教学目标：1、掌握二倍角公式、和差公式的应用；2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。
重难点分析：重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。
难点：1、二倍角公式的灵活使用；2、整体代换思想与求解三角函数值。
知识点梳理1、和差公式sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________±=αβ。
2、二倍角公式sin 2_______________α=；cos 2___________________________________α===；tan 2____________α=。
3、半角公式[升（降）幂公式]2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。
4、合一公式[辅助角公式]sin cos ____________a b αα+=（ϕ由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )sin ,(cos 2222ba a ba b +=+=ϕϕ注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2α等。
知识点1：利用公式求值（1）和差公式【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】A ．21 B ．1 C ．22 D ．23【例2】sin 27cos63cos27sin63︒︒+︒︒=【 】 A ．1 B ．1- C ．22 D ．22-【随堂练习】1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0B ．21 C ．23 D ．12、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )21-(B )23-(C )21-(D )233、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。
高考数学三角恒等变形公式大全
高考数学三角恒等变形公式大全这篇高考数学三角恒等变形公式大全是查字典数学网特地为大家整理的，希望对大家有所帮助!两角和与差的三角函数：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)二倍角公式：sin(2)=2sincos=2tan()/[1+tan^2()]cos(2)=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()=[1-tan ^2()]/[1+tan^2()]tan(2)=2tan/[1-tan^2()]三倍角公式：sin3=3sin-4sin^3()cos3=4cos^3()-3costan3=(3tan-tan^3())(1-3tan^2())sin3=4sinsin(60-)sin(60+)cos3=4coscos(60-)cos(60+)tan3=tantan(60-)tan(60+)半角公式：sin^2(/2)=(1-cos)/2cos^2(/2)=(1+cos)/2tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin半角公式及变形：sin^2(/2)=(1-cos)/2sin(a/2)=[(1-cos)/2] a/2在一、二象限=-[(1-cos)/2] a/2在三、四象限cos^2(/2)=(1+cos)/2cos(a/2)=[(1+cos)/2] a/2在一、四象限=-[(1+cos)/2] a/2在二、三象限tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin=[(1-cos)/(1+cos)] a/2在一、三象限=-[(1-cos)/(1+cos)] a/2在二、四象限万能代换公式：半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sin=2tan(/2)/[1+tan^2(/2)]cos=[1-tan(/2)]/[1+tan^2(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan^2(/2)]积化和差公式：sincos=(1/2)[sin(+)+sin(-)]cossin=(1/2)[sin(+)-sin(-)]coscos=(1/2)[cos(+)+cos(-)]sinsin=-(1/2)[cos(+)-cos(-)]和差化积公式：sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]以上就是由查字典数学网为您提供的高考数学三角恒等变形公式大全，希望给您带来帮助!。
三角恒等变换公式大全(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asin x+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
三角恒等变换、解三角形公式总结
三角恒等变换、解三角形公式总结一、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin 22sin cos ααα=． （2）21sin 2(sin cos )ααα±=±(3)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(4)降次升角公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=(5)辅助角公式：()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． (6) 45tan 90sin cot tan cos sin 1===+=αααα3、常见的角的配凑(1) ββαββαα-+=+-=)()(；（2）)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=二、三角函数1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． ⑤在C ∆AB 中有：B A B A B A b a B A B A 2cos 2cos cos cos sin sin cos cos 22<⇔<⇔>⇔>⇔>⇔<3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中有：2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C >。
高中数学——三角恒等变换2020.01.01
高中数学之三角恒等变换一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=三、和角与差角公式 ： )(βα+C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a)(βα-C ：βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+)(βα-S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-)(βα+T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ )(βα-T ： βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 正切和公式：)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+四、二倍角公式：(1)sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． (3)22tan tan 21tan ααα=-． 五、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=±六、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A． 七、万能公式八、用αsin ，αcos 表示2tan α九、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=. 和差化积 2cos 2sin 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=- 十、方法总结1、三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）（1） “变角”2222. （2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==）， （3）“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。
高中数学三角恒等变换知识点归纳总结
高中数学三角恒等变换知识点归纳总结1. 基本定义三角恒等变换是指在三角函数运算中，通过等式的变换，得到具有相同意义但表达形式不同的等价关系。
2. 基本恒等式- 正弦函数的基本恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$- 余弦函数的基本恒等式：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$- 正切函数的基本恒等式：$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$3. 和差恒等式- 正弦函数的和差恒等式：$\sin(\alpha \pm \beta) =\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和差恒等式：$\cos(\alpha \pm \beta) =\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$- 正切函数的和差恒等式：$\tan(\alpha \pm \beta) =\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4. 二倍角恒等式- 正弦函数的二倍角恒等式：$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ - 余弦函数的二倍角恒等式：$\cos2\theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- 正切函数的二倍角恒等式：$\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$5. 三倍角恒等式- 正弦函数的三倍角恒等式：$\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta$- 余弦函数的三倍角恒等式：$\cos3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta$- 正切函数的三倍角恒等式：$\tan3\theta = \dfrac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$6. 半角恒等式- 正弦函数的半角恒等式：$\sin\dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{2}}$- 余弦函数的半角恒等式：$\cos\dfrac{\theta}{2} =\sqrt{\dfrac{1 + \cos\theta}{2}}$- 正切函数的半角恒等式：$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$7. 和角恒等式- 正弦函数的和角恒等式：$\sin(\alpha + \beta) =\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和角恒等式：$\cos(\alpha + \beta) =\cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\beta$以上是高中数学中常用的三角恒等变换知识点的归纳总结。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
而三角恒等变换公式则是三角函数中的重要内容之一，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。
本文将为大家详细介绍三角恒等变换公式的相关知识，并列举一些常用的三角恒等变换公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。
首先，我们来了解一下什么是三角恒等变换公式。
三角恒等变换公式是指在三角函数中，存在一些等式关系，通过这些等式关系，我们可以将某个三角函数表达式变换成另一个等价的三角函数表达式。
这些等式关系通常是由三角函数的定义和性质推导出来的，它们可以帮助我们简化三角函数的计算和推导过程。
接下来，我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式。
首先是正弦函数和余弦函数的恒等变换公式：\[。
\sin^2 x + \cos^2 x = 1。
\]这个公式被称为三角恒等式的基本恒等式，它是由正弦函数和余弦函数的定义推导出来的。
通过这个公式，我们可以将一个三角函数表达式中的正弦函数或余弦函数用另一个三角函数来表示，从而简化计算。
除了基本恒等式外，还有一些常用的三角恒等变换公式，如双角和半角公式、和差化积公式等。
这些公式在三角函数的计算和推导中都有着重要的应用，它们可以帮助我们解决一些复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。
另外，三角恒等变换公式还可以帮助我们简化一些三角函数的积分和微分运算。
通过恒等变换，我们可以将一些复杂的三角函数积分或微分转化成更简单的形式，从而更方便地进行计算。
这对于一些需要频繁进行三角函数积分和微分运算的工程和科学问题来说，具有非常重要的意义。
总之，三角恒等变换公式是三角函数中的重要内容，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。
通过学习和掌握三角恒等变换公式，我们可以更加轻松地解决一些三角函数相关的问题，为我们的工作和学习带来便利。
希望本文介绍的内容对大家有所帮助，也希望大家能够深入学习和应用三角恒等变换公式，发挥它们在实际问题中的作用。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
三角恒等变换的基本公式
三角恒等变换的基本公式三角函数是数学中的重要概念之一，它在许多领域都有广泛的应用。
在三角函数的研究中，恒等变换是非常重要的一部分，它可以帮助我们简化计算、推导证明以及解决实际问题。
本文将介绍三角恒等变换的基本公式。
一、正弦函数的基本公式正弦函数是三角函数中最常用的函数之一，它的基本公式可以表示为：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)这个公式被称为正弦函数的和差化积公式。
它表示了两个角的正弦函数之和与它们的余弦函数和正弦函数之积之间的关系。
通过这个公式，我们可以推导出一系列的恒等变换。
例如，当x和y相等时，上述公式可以简化为：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式被称为正弦函数的倍角公式。
它可以帮助我们快速计算角的正弦函数值，从而简化求解过程。
二、余弦函数的基本公式与正弦函数类似，余弦函数也有一系列的恒等变换公式。
比较常用的是余弦函数的和差化积公式：cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)这个公式表示了两个角的余弦函数之和与它们的余弦函数和正弦函数之积之间的关系。
利用这个公式，我们也可以推导出一些有用的公式。
例如，当x和y相等时，上述公式可以简化为：cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)这个公式被称为余弦函数的倍角公式。
它在解决一些复杂的三角函数计算问题时非常有用。
三、正切函数的基本公式正切函数是三角函数中另一个重要的函数，它的基本公式为：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y))/(1 - tan(x)tan(y))这个公式被称为正切函数的和差化积公式。
它表示了两个角的正切函数之和与它们的正切函数和余切函数之积之间的关系。
通过这个公式，我们也可以推导出一些常见的恒等变换公式。
例如，当x和y相等时，上述公式可以简化为：tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan²(x))这个公式被称为正切函数的倍角公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角恒等变换公式
教学目标：
1、掌握二倍角公式、和差公式的应用；
2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。
重难点分析：
重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。
难点：1、二倍角公式的灵活使用；
2、整体代换思想与求解三角函数值。
知识点梳理
1、和差公式
sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________
±=αβ。
2、二倍角公式
sin 2_______________α=；
cos 2___________________________________α===；
tan 2____________α=。
3、半角公式[升（降）幂公式]
2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。
4、合一公式[辅助角公式]
sin cos ____________a b αα+=（ϕ由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22ϕααα++=
+b a b a )sin ,(cos 2
2
2
2
b
a a b
a b +=
+=
ϕϕ
注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2
α
等。
知识点1：利用公式求值
（1）和差公式
【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】
A ．2
1 B ．1 C ．
2
2 D ．
2
3
【例2】sin 27cos63cos27sin63︒︒+︒︒=【 】 A ．1 B ．1- C ．
22 D ．2
2-
【随堂练习】
1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0
B ．
2
1 C ．
2
3 D ．1
2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2
1-
(B )2
3-
(C )2
1-
(D )
2
3
3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。
4、sin34sin 26cos34cos26︒︒-︒︒=【 】 A ．12 B ．1
2
- C ．32 D ．32-
5、式子cos
cos
sin
sin
12
6
12
6
π
π
π
π
-的值为【 】
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．1
【例3】sin163sin223sin253sin313
+=【】
A
1
2
- B
1
2
C
3
2
- D
3
2
【随堂练习】
1、sin33cos12cos33cos78
+=________。
2、cos80cos35cos10cos55
+=________。
3、sin100sin(160)cos200cos(280)
-+-=________。
【例4】已知
4
sin
5
x=，(,)
2
x
π
π
∈，则tan()
4
x
π
-=【】
A.1
7
B．7C．
1
7
-D．7-
【随堂练习】
1、若
1
tan()
47
π
α+=，则tanα=【】
（A）3
4
（B）
4
3
（C）
3
4
-（D）
4
3
-
（2）二倍角公式
【例1】2
2cos sin 88
ππ
-等于【 】 A ．0 B ．
22 C ．1 D ．－2
2
【随堂练习】 1、cos 4
8π－sin 48
π
的值等于【 】 A ．0 B.32 C ．1 D.2
2
2、下列各式中，值为
2
3
的是【 】 A ．sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215°
3、22cos 165sin 15-=【 】
A ．1
2 B ．22 C ．32 D ．33
【例2】已知3
cos 5
α=，则cos 2α=________。
【随堂练习】
1、化简函数2
2cos 14y x π⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
为___________。
2、已知53cos -
=α，且2
π3π<<α，则2cos α的值为【 】
A ．55
B ．5
5-
C ．
5
5
2 D ．5
5
2-
【例3】已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan 【 】 A
247 B 247- C 7
24 D 724-
知识点2：诱导公式、同角关系、和差公式、倍角公式的综合应用
【例1】已知()=-παcos 1
2
， 0πα-<<，则tan α=【 】 A.
3 B. 33
C. 3-
D. －33
【随堂练习】 1、已知2
sin 3
α=
，则cos(2)πα-＝【 】 A 、－53 B 、－19 C 、19
D 、53
2、已知3
sin()25
π
θ+=，则cos(2)πθ-=【 】 A. 1225 B. 1225- C. 725- D.
725
3、已知()1
cos 3
θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
__________。
【例2】已知4sin ,5αα=-是第四象限的角，则2cos 2
α
=_______。
【例3】已知1sin 23α=
，则2
cos ()4πα-=【 】 A ．1
3
- B ．23- C ．13 D ．23
【例4】已知21tan =
x ，则)4
(sin 2
π+x =【 】 A ．101 B ．51 C ．53 D ．10
9
【例5】设)4
tan(,41)4tan(,52)tan(π
απββα+=-=+则的值等于_______。
【例6】已知1sin()63π
α+=，则2cos(2)3
πα-的值是【 】 A ．97 B ．31 C ．31- D ．9
7-
【随堂练习】 1、已知3cos()6
3π
θ+=-
，则sin(2)6
π
θ-＝【 】 A 、13 B 、23 C 、－13 D 、－2
3
2、若1sin(
)63π
θ-=
，则2cos(2)3π
θ+的值为【 】
A ．13
B ．13-
C ．79
D ．79
-
【例7】已知34cos sin =
+θθ)4
0(π
θ<<，则θθcos sin -的值为【 】 A ．32 B ．32- C ．3
1 D ．31
-
【例8】已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－4
5
，则sin β＝【 】
A ．0 B.0或2425 C.2425 D.0或－24
25
【随堂练习】
1、已知：sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，0<α<π2，π<α＋β<3
2π，求cos β的值．
2、已知tan(α＋β)＝35，)4tan(πβ-＝1
4，那么)4
tan(πα+等于( )
A.1318
B.1323
C.723
D.1
6
3、已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－1
3，则tan β的值为________．。