数学分析专题研究模拟试题1

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数学分析专题研究模拟试题1

一、填空题（每小题3分，共18分）

1. 设F 为集合X 到集合Y 的关系，，则称F 是映射.

2. 设A ，B ，C 是三个非空集合，称是一个从A ×B 到C 中的运算.

3. 设),(

4. 设有区间I ，并有开区间集合S . ，则称开区间集S 覆盖了区间I .

5. 若复数0x 是某个整系数多项式

)0()(0

111≠++++=--n n n n n a a x a x a x a x p

的根，则称0x 是 . 6.设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内，对于)1,0(),,(,21∈∀∈∀αb a x x ，有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+，则称)(x f 是),(b a 内的函数.

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1. 集合{}{},,,,d c b a X =则

2. 设,:Y X f → ,X A ⊂则A （）)).((1A f f -

4. 已知)(x f 在开区间),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内（）

5. 已知)(x f 是定义在A 上的周期函数，则)(x f （）

6.设)(x f 是),(b a 内充分光滑的严格下凸函数，则（）

A. )(x f 在),(b a 内必取到最小值

B. )(x f 在),(b a 内必取到最大值

C. )(x f 在),(b a 内有0)(≥''x f

D. 前三个结论都不对

三．计算题（每小题8分，共32分）

1. 已知重根号

n n a 222= 说明数列{}n a 的根限存在且求+∞

→n lim n a . 2. 已知x x x x f ln sin )(⋅⋅=,求)(x f '.

3. 求一函数其函数曲线过点)1,0(且该曲线上每点切线的斜率是该点横坐标的4倍.

4. 求函数21x y -=的曲线上任一点的法线方程.

四．证明题（每小题8分，共32分）

1. ,,,:Y B A Y X f ⊂→证明

).()()(111B f A f B A f ---=

2. )(x f 是定义在R 上的连续函数，对于任意的,,R y x ∈有

,2)()(y x y f x f -<-

求证.x x f x g 2)()(-=是严格单调减少函数.

3. 证明，方程6422

5++-x x x 在)1,1(-内有且仅有一实根.

4. 设A ，B ，C 为三角形三内角，证明 2

32sin 2sin 2sin ≤++C B A .

数学分析专题研究模拟试题参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1.任意的X x ∈，存在唯一的Y y ∈，使.xFy

2.映射.:C B A F →⨯

3.x a A x <∈∀,都不成立

4.对于任意的I x ∈，都有S ∈∆，使∆∈x

5.代数数

6.下凸

二、1.C ， 2. A ， 3. B ， 4. D ， 5. D ， 6.C

三、计算

1. 解，由已知条件知 12-=n n a a 2分

先说明n a 单调增加，事实上

.12,1223211>===---a a a a a a a a n n n n 故.1->n n a a （4分）其次,22,2121<=

→n lim .a a n = 5分则.2a a =解得0=a ，或2=a . 因120a a =<=不符合题意，故+∞

→n lim 2=n a . 8分 2. 解. x x x f ln sin 1)(⋅⋅='x x x ln cos +x x x 1

sin ⋅⋅+

x x x x x x sin ln cos ln sin ++= 8分

3.解. 设该曲线的函数 )(x f y =，则

x x f 4)(=' 3分

由此得

C x x f +=2

2)( 5分因曲线过点)1,0(由此设1=C 即

.12)(2+=x x f 8分

4. 解. 显然， ,11≤≤-x 当 )1,1(-∈x 时，

221)2(1121x

x x x y x --=--=' 3分任取一点曲线上一点),,(00y x {}0)1,1(0--∈x 则法线方程为

)(100200x x x x y y --=- 5分

当00=x 时法线方程为 0=x 6分当10±=x 时法线方程为 0=y 8分

四、试明题：

1. 证明先证),()()(111B f

A f

B A f ---⊂ 事实上，固.A B A ⊂ 故有)()(11A f B A f

--⊂ （2分）同理有),()()(111B f B f B A f ---⊂⊂ （3分），故)()()(111B f A f

B A f ---⊂ （4分）再证 )()().()()(11111B f A f x B f

A f

B A f -----∈∀⊃ 则 .)(B A x f y ∈=故),(1B A f

x -∈即)()()(111B A f B f A f ---⊂ 6分从而有 ).()()(111B f A f B A f

---= 8分

2. 证明设,,21R x x ∈∀不妨设21x x < 2分 []1122122)(2)()()(x x f x x f x g x g ---=-

)(2)()(1212x x x f x f ---=

)()()(21212x f x f x x -+--≤ 12122)(2x x x x -+--<

0= 6分

所以，x x f x g 2)()(-=是严格单调减少函数. 8分

3. 证明设642)(2

5++-=x x x x f 2分则)(x f 是[]1,1-上的连续函数. 96421)1(=++-=f .16421)1(-=+---=-f