广义积分的概念与计算

第十一章 广义积分
2020/4/13
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
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§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
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一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
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例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2(x)
d
x
1
f
( x) f 2 (x)
d
x
1
d
f (x) f 2 (x)
arctan
f
(x)
C
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π]
π] arctan 32 2 π
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
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则也有类似牛 – 莱公式的
计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
2
2
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内容小结
积分区间无限 1. 广义积分
被积函数无界
2. 两个重要的广义积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
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,
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q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以 互 相转化 .
例如 ,
1
1
1 x2
当 p≤1 时,广义积分发散 .
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例3. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 p2
e pt
1 p2
1 e ptd t p0
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二、无界函数的广义积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
0
x2
1 x2
dx
1 d(x 1x)
0
(x
1 x
)
2
2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的广义积分.
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例4. 计算广义积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin
x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论广义积分
的收敛性 .
解所下:以述1广1解dx义x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
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例2. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时,广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
y
所围成的
y 1 x
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
A
O
x
lim 2(1 ) 2
0
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定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分（也叫瑕积分）, 记作
边梯形的面积 可记作
y
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
A O1
b
x
lim 1 b
1 b
1
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定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
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若 f (x)C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
dx
F
(b
)
F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F (a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b )
F(a )
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F(c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
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这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
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引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x)
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()
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例1. 计算广义积分
解:
[arctan x ]
π ( π) π 22
思考:
y
y
1 1 x2
O
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
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例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
lnห้องสมุดไป่ตู้
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .