广义积分的概念与计算
广义积分的收敛性与计算方法
广义积分的收敛性与计算方法广义积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理学等领域中具有广泛的应用。
本文将讨论广义积分的收敛性以及一些计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、广义积分的定义广义积分是对一类具有特殊性质的函数进行积分的过程。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分表示为：∫[a,b] f(x) dx其中积分的上下限可以是有限的实数或者无限，但函数f(x)在积分区间内必须满足一定的条件。
二、广义积分的收敛性广义积分的收敛性是指积分结果是否存在有限的极限。
根据函数f(x)在积分区间的性质，广义积分可以分为两类：绝对收敛和条件收敛。
1. 绝对收敛如果函数f(x)在积分区间内绝对可积，并且积分结果存在有限的极限，那么广义积分就是绝对收敛的。
绝对收敛的广义积分具有一些重要的性质，例如线性性、保号性和可积性。
2. 条件收敛如果函数f(x)在积分区间内可积，但在某些点上发散，那么广义积分就是条件收敛的。
条件收敛的广义积分存在一定的不确定性，因此在计算时需要特别注意。
三、广义积分的计算方法广义积分的计算可以使用不同的方法，取决于具体的函数和积分区间。
以下是广义积分常用的计算方法之一：1. 初等函数法如果被积函数f(x)是一个初等函数，即可以使用基本初等函数（例如指数函数、对数函数、三角函数等）和基本运算（例如加、减、乘、除）表示，那么可以直接通过对这个函数求导和积分，以及使用基本积分公式来计算广义积分。
2. 替换法替换法是一种常用的计算广义积分的方法。
当被积函数f(x)在积分区间内具有一定的特殊性质时，可以通过引入一个新的变量，将积分转化为一个更容易计算的形式，然后再进行求解。
3. 分部积分法分部积分法是一种常用的计算广义积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个积分转化为两项乘积的形式，从而简化计算过程。
4. 极限求和法极限求和法是对广义积分进行近似计算的一种方法。
通过将广义积分转化为一列定积分的和或差，并通过极限运算来逼近积分结果，可以得到一个近似值。
广义积分的概念与计算
1
1 x12 x x12
2
0
d x 0
1
d( x 1 ) x
2 (x 1 ) 2 x
dt 2 t 2 (2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
0
分别讨论每一区间上的广义积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为
0 dx 下述解法是否正确 : 1 dx
的收敛性 .
1 1 解: 2 2 x x 1 x 0x 1 1 dx 0 1 1 2 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 所以广义积分 1 发散 .
边梯形的面积 可记作
y
1 y 2 x A
x 其含义可理解为 A lim
A
dx 2
b
1
b 1
b
1 dx lim 2 b x 1 x
O 1
b
x
1 lim 1 1 b b
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4
若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
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宁波大学教师教育学院
5
引入记号
F () lim F ( x) ;
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
积分的广义积分
积分的广义积分数学中的积分是一种非常重要的运算，通常被定义为计算函数下方某个区间内的面积。
但是，在实际问题中，有时候我们需要计算无限区间或不连续函数等情况的积分，这时候就需要用到广义积分。
广义积分的概念粗略而言，广义积分就是把无限区间上的积分或不连续函数的积分看做是一种极限的处理方式。
因此，广义积分的概念比起普通积分来说是更加宽泛和复杂的。
在广义积分的概念中，最重要的就是无限区间的积分。
对于一个实函数f(x)，如果它在一个无限区间[a, ∞)上是有界的，并且在除有限多个点以外的所有点处都连续，那么可以定义其广义积分为：$ \int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{T\rightarrow\infty}\int_a^Tf(x)dx$其中，T是无限区间中的一个有限值。
类似地，可以定义在(-∞, b]上的广义积分为：$ \int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{T\rightarrow-\infty}\int_T^bf(x)dx$同时，如果一个函数f(x)在一些点处不连续，但是在这些间断点的“左右极限”都存在，则可以定义其在这个区间[a, b]上的广义积分为：$ \int_a^b f(x)dx =\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_{a+\epsilon}^b f(x)dx +\lim_{\epsilon\rightarrow0^+}\int_a^{b-\epsilon} f(x)dx$其中，$\epsilon>0$表示一个无限小量。
需要注意的是，广义积分并不是所有情况下都有意义的。
如果一个函数在无限区间上的积分或在某些点上的积分不收敛，则广义积分不存在。
比如下面这个函数：$f(x) = \frac{1}{x}, x\in[1,+\infty)$它在无限区间上的积分就不存在。
广义积分的性质广义积分并不是所有求和规则适用，因此它具有一些特殊的性质。
广义积分例题详解
广义积分例题详解在本篇文章中，我们将详细讲解广义积分的概念和例题。
广义积分是对于无限区间或者被积函数存在无穷大或无穷小值的情况下，对积分的一种推广。
在进行广义积分的计算时，需要对被积函数进行分段处理，然后计算每一段的积分。
接下来，我们来看两个广义积分的例题：例1：计算广义积分$int_0^{infty}frac{1}{x^2+1}dx$解析：由于被积函数存在无穷大值，所以需要对区间进行拆分，拆分成$[0,1]$和$[1,infty)$两个区间。
然后再分别对这两个区间进行积分计算。
对于$[0,1]$这个区间，我们可以采用换元积分法，令$x=tantheta$，则有$dx=frac{1}{cos^2theta}dtheta$，并且$0leqthetaleq frac{pi}{4}$。
则原积分可以转化为：$int_0^{frac{pi}{4}}frac{1}{1+tan^2theta}cos^2theta dtheta=int_0^{frac{pi}{4}}cos^2theta dtheta=frac{pi}{8}$ 对于$[1,infty)$这个区间，我们可以采用比较大小的方法，由于$x^2+1geq x^2$，所以$frac{1}{x^2+1}leqfrac{1}{x^2}$，而$int_1^{infty}frac{1}{x^2}dx$是一个收敛的积分，所以原积分也是收敛的。
则有：$int_1^{infty}frac{1}{x^2+1}dxleqint_1^{infty}frac{1}{x^2}d x=frac{1}{x}|_1^{infty}=1$综上所述，原积分的结果为$int_0^{infty}frac{1}{x^2+1}dx=frac{pi}{8}$。
例2：计算广义积分$int_0^1frac{lnx}{sqrt{x}}dx$解析：由于被积函数在$x=0$处存在无穷小值，所以需要对区间进行拆分，拆分成$[0,1]$和$(0,1]$两个区间。
广义积分与无穷小量的概念与运算
广义积分与无穷小量的概念与运算在微积分学中，广义积分是一种重要的数学工具。
它的概念与运算方法与无穷小量密切相关。
本文将介绍广义积分和无穷小量的基本概念，并探讨它们之间的运算规则。
一、广义积分的概念广义积分是对一定范围内函数的积分运算。
它与定积分的概念类似，但对于某些函数而言，定积分的定义不能直接适用。
这时，我们就需要引入广义积分来处理这种情况。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的广义积分可表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁻)〖∫_a^t f(x)dx〗其中，lim表示极限，a和b为积分区间的端点。
在计算广义积分时，我们通常将b设为一个趋于无穷的数，使得函数在该点不再有定义上的问题。
二、无穷小量的概念无穷小量是微积分中一个重要的概念，它表示当自变量趋于某个确定值时，函数取得的极限为零。
无穷小量常用符号o来表示。
形式化地，如果当x趋于a时，函数f(x)满足lim┬(x→a)〖f(x) = 0〗，则称f(x)为x趋于a时的无穷小量。
无穷小量在微积分中有着广泛的应用。
例如，在求导数和积分中，可以利用无穷小量的性质进行计算和推导。
三、广义积分与无穷小量的关系广义积分中的无穷小量概念与极限的思想密切相关。
为了更好地理解广义积分与无穷小量的关系，我们以一个例子来说明。
考虑函数f(x) = 1/x，我们想要求解∫f(x)dx，其中积分区间为[1, ∞)。
首先，我们将该广义积分问题转化为极限问题，即求解lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx〗。
根据定积分的性质，我们可以通过求解定积分的极限来得到广义积分的值。
进一步计算，我们有：lim┬(t→∞)〖∫_1^t 1/x dx = lim┬(t→∞)〖ln(t) - ln(1)〗= ∞〗由此可见，在这个例子中，广义积分∫f(x)dx的值为无穷大。
这说明函数f(x) = 1/x在区间[1, ∞)上不满足定积分的定义，因此需要引入广义积分的概念来处理。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。
它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。
广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。
在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。
如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。
当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。
但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。
有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。
为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。
广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。
广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。
对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。
对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。
广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。
函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。
如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。
广义积分在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。
在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。
广义积分的收敛性与发散性
广义积分的收敛性与发散性广义积分是高等数学中一种重要的积分形式，其定义方式与普通积分有很大的不同。
与普通积分只能在有限区间上进行不同，广义积分可以在整个实数轴上进行积分计算。
然而，广义积分的收敛性与发散性问题也是需要引起我们的高度关注的。
一. 广义积分的概念与定义广义积分的概念是在普通积分的基础上扩充而来的，它的定义如下：设函数 $f(x)$ 是区间 $(a,+\infty)$ 上的连续函数，那么称限定积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 为广义积分。
同样地，若$f(x)$ 是区间 $(-\infty,b)$ 上的连续函数，那么称限定积分$ \int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 为广义积分。
需要注意的是，广义积分在定义时通常会采用极限的方法，即对于极限 $\lim_{t\rightarrow +\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 与$\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 分别进行计算。
二. 广义积分的收敛性与发散性与普通积分不同，广义积分的定义中并不包含区间的限制，因此在进行广义积分计算时，需要关注其收敛性与发散性问题。
1. 收敛性若广义积分 $\int_{a}^{+\infty}{f(x)dx}$ 或 $\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}$ 存在一个有限的极限，即 $\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^t{f(x)dx}$ 或 $\lim_{t\rightarrow -\infty}\int_t^b{f(x)dx}$ 存在，则称该广义积分收敛。
例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{x^p}\,(p>0)$，当 $p>1$ 时，$\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}$ 收敛，而当 $p \le 1$ 时，则发散。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍广义积分的定义及其应用。
我们来看一下广义积分的定义。
广义积分是对不可积函数的积分的推广。
在一定条件下，如果函数在给定区间上的积分存在有限值，那么我们称之为广义积分存在。
广义积分的定义基于极限的概念，通过将函数分割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的积分来得到。
广义积分的计算方法有多种，其中最常见的是分部积分法和换元积分法。
分部积分法是将一个复杂的积分式分解成两个简单的积分式，然后进行计算。
换元积分法则是通过变量替换将复杂的积分式转化为简单的形式，从而进行计算。
这两种方法在解决复杂的广义积分计算问题时非常有用。
广义积分在数学中的应用非常广泛。
它可以用于计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
在物理学中，广义积分常用于描述物体的质量、力、功等。
在工程学中，广义积分则可以用于计算电路中的电流、电压等。
除了数学、物理、工程领域，广义积分还有一些其他的应用。
例如，在经济学中，广义积分可以用于计算收益、成本等；在生物学中，广义积分可以用于计算生物体积、生长速度等。
总之，广义积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
许多数学家致力于研究广义积分的性质和特点，以及它们在各个领域中的应用。
这些研究不仅推动了数学的发展，也为其他学科的发展提供了重要的理论支持。
总结起来，广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
广义积分的计算方法有多种，如分部积分法和换元积分法。
广义积分的应用范围非常广泛，包括计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
此外，广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
通过不断深入研究广义积分的性质和特点，可以为其他学科的发展提供重要的理论支持。
广义积分与应用
广义积分与应用广义积分是微积分中的重要概念，它是对函数在一定区间上的累积求和。
广义积分在数学和工程领域中有着广泛的应用，本文将介绍广义积分的基本概念和一些常见的应用。
一、广义积分的基本概念1.1 定积分的基本概念定积分是广义积分的一种特殊情况，用来求解函数在一个有限区间上的积分值。
定积分符号表示为∫，函数f(x)在[a,b]上的定积分表示为∫[a,b]f(x)dx。
1.2 不定积分的基本概念不定积分是对函数的原函数的求解，符号表示为∫f(x)dx。
不定积分存在一个常数项，因为对同一个函数而言，它的导函数是不唯一的。
1.3 广义积分的引入广义积分是对不可积函数或无界函数的积分概念进行推广，用于解决一些求和问题。
广义积分符号表示为∫，函数f(x)在区间[a, b]上的广义积分表示为∫[a, b]f(x)dx。
二、广义积分的计算方法2.1 瑕积分瑕积分是广义积分的一种形式，它处理无界函数或在某些点上发散的函数。
瑕积分的计算需要将无穷区间[a, b]划分成有限个有界子区间，并通过求解有界子区间上的定积分来求解广义积分。
2.2 收敛与发散广义积分可能会收敛或发散。
当广义积分的值存在有限的极限时，称其为收敛；当广义积分不存在有限极限时，称其为发散。
2.3 收敛级数收敛级数是广义积分的另一种形式，它是无穷序列求和的极限。
收敛级数可以表示为∑an = s，其中s为收敛和。
三、广义积分的应用领域3.1 几何学应用广义积分在几何学中有着广泛的应用，可以用于计算曲线长度、曲线与坐标轴所围成的面积、曲面面积和曲面体积等。
3.2 物理学应用在物理学中，广义积分可以用于求解质点或杆的质心、质量、转动惯量等重要物理量。
此外，广义积分还可以用于计算流体力学中的流量、质量、功率等。
3.3 统计学应用广义积分在统计学中也有一些应用，例如求解概率密度函数和累计分布函数等，这对于研究随机变量的概率分布及其性质非常重要。
3.4 工程学应用在工程学中，广义积分被广泛应用于求解电路中的电流、电压、功率等，并且还可以用于计算传热学中的热量、传热速率等。
广义积分计算公式
广义积分计算公式广义积分是微积分中的一种重要概念，它是对实数区间上的函数进行积分的一种方法。
广义积分计算公式提供了一种计算广义积分的方法，它包括了不定积分和定积分两种形式。
在下面的文章中，我将详细介绍广义积分的计算公式和具体的计算方法。
首先，我们来看不定积分的计算公式。
不定积分是对函数进行积分而不指定上下限的形式，它可以表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)表示要积分的函数。
不定积分的计算公式可以通过基本积分公式来得到。
常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-12. ∫1/x dx = ln，x， + C。
3. ∫e^x dx = e^x + C。
4. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
这些基本积分公式是广义积分计算的基础，它们可以用来计算更加复杂的不定积分。
下面我们来看定积分的计算公式。
定积分是对函数在一个闭区间上进行积分，它可以表示为∫[a,b]f(x)dx。
其中f(x)表示要积分的函数，[a,b]表示积分的闭区间。
定积分的计算公式可以通过牛顿—莱布尼茨公式来得到。
牛顿—莱布尼茨公式为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，如果能够找到一个函数F(x)，使得它的导数等于f(x)，那么定积分的结果就等于F(b)-F(a)。
在实际计算中，很多函数并没有具体的原函数表达式，因此我们需要通过其他方法来计算定积分。
常见的方法包括换元法、分部积分法和凑微分法等。
换元法是指通过变量代换来简化积分的计算。
具体来说，我们可以将原函数的自变量进行适当的变换，使得积分变得更加容易计算。
常见的变量代换包括三角函数的代换、指数函数的代换和对数函数的代换等。
分部积分法是指通过将积分公式转化为乘法形式，然后使用乘法的公式进行计算。
定积分的广义积分
定积分的广义积分定积分是微积分中的重要概念，它能够求出函数在一定区间内的面积或曲线长度等量值。
然而，不是所有函数都能够进行定积分，因为在某些情况下，函数可能在区间内出现无限大、无界、发散等情况。
这时，就需要引入广义积分的概念。
一、广义积分的定义广义积分是指函数在无限区间上的积分，它的定义分为以下两种情况：1. 第一类广义积分如果函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ ∞ 上 Riemann 可积，那么第一类广义积分可以定义为：$$ \int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)dx $$其中，a 为下限，∞ 为上限，b 为上限的一个变量。
这个定义表示，当上限趋近于无穷大时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。
如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。
2. 第二类广义积分如果函数在区间a ≤ x ≤ b 的一个子区间上发生无限大或无穷小的情况，那么就需要使用第二类广义积分的定义。
对于函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ b 上不连续，但在每个分割区间内仍然 Riemann 可积的情况，第二类广义积分可以定义为：$$ \int_a^b f(x)dx = \lim_{\epsilon_1 \rightarrow 0^+, \epsilon_2\rightarrow 0^+} \int_{a+\epsilon_1}^{c-\epsilon_2} f(x)dx $$其中，a 为下限，b 为上限，c 为 a 与 b 之间的某一点。
这个定义表示，当积分范围趋近于a 或b 时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。
如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。
二、广义积分的应用广义积分在微积分中有着广泛的应用，例如在物理学和工程学中，它可以被用来计算无限长的线、面、体等的质量、电荷、热量等物理量。
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
广义积分的定义是对于一类无界函数或者在某些点上发散的函数，通过一种特殊的处理方法来进行求解。
下面将对广义积分的定义和性质进行详细介绍。
我们来看广义积分的定义。
对于一个定义在区间[a, b)上的函数f(x)，如果在[a, b)上存在一个数c，使得对于任意的c < t < b，函数f(x)在区间[a, t]上是可积的，那么我们称函数f(x)在区间[a, b)上是广义可积的。
此时，我们将广义可积函数在区间[a, b)上的积分定义为极限值：∫(a to b) f(x) dx = lim(t→b-) ∫(a to t) f(x) dx其中，积分号∫表示对x的积分，a和b分别是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
广义积分的定义中有两个关键点，一个是上限t趋近于b时的极限，另一个是被积函数在[a, t]上可积。
这两个条件保证了广义积分的存在性。
接下来，我们来讨论广义积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的实数a和b，以及广义可积函数f(x)和g(x)，有以下等式成立：∫(a to b) [af(x) + bg(x)] dx = a∫(a to b) f(x) dx + b∫(ato b) g(x) dx其次是区间可加性，即对于任意的c，a，b满足a < c < b，以及广义可积函数f(x)，有以下等式成立：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx再次是保号性，即如果在[a, b)上的广义可积函数f(x)非负，那么广义积分的值也是非负的。
最后是比较定理，包括比较判别法、比较审敛法和比较收敛法。
比较判别法用于判断广义积分的敛散性，如果存在一个广义可积函数g(x)，使得在[a, b)上的广义可积函数f(x)满足|f(x)| ≤ g(x)，那么广义积分∫(a to b) f(x) dx一定收敛。
广义积分的概念与计算PPT课件
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
函数与极限
11
类似地，设函数 f ( x) 在区间[a, b)上连续，
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间[a, b)上的广义积分，
lim arctanb b
2
2
.
函数与极限
7
例2
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
第一节反常积分的概念与计算lim存在则称此极限为函数上的广义积分记作lim当极限存在时称广义积分收敛
第八章 反常积分---广义积分
• §1 广义积分的概念与计算 • §2 广义积分的收敛判别法 • §3 习题课
函数与极限
1
本章内容、要求及重点
教学内容：
1、给出了反常积分的概念。 2、给出了反常积分的计算。 3、给出了反常积分的敛散性判别方法。
和 b c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
c
1广义积分的概念与计算
2019/7/10
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时， 这广义积分取得最小值？
提示：
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
2019/7/10
2019/7/10
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14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
广义积分的概念与计算
广义积分的概念与计算概念：广义积分是微积分中的基本概念之一，也可以被称为不定积分。
它是定积分的一种推广，用于求解一些函数在一些区间上的累积效应。
与定积分不同的是，在计算广义积分时，被积函数可以在一些点上不连续、无界或不遵循一些积分性质。
在实际应用中，广义积分可以用来求解函数的面积、弧长、质心等问题，或者作为微分方程的解。
计算：1.无穷积分：如果被积函数在一些区间内无界，即在无穷远点处取极限值不存在，那么该积分称为无穷积分。
计算无穷积分时常用的方法有换元法和分部积分法。
例如，计算函数f(x) = 1 / x在区间[1, ∞)上的无穷积分。
首先可以进行换元，令u = ln(x)，则du = dx / x，原积分可以转化为1 / u 在[0, ∞)上的积分。
然后根据换元后的积分边界，等于求lim┬(b→∞)〖∫_0^b 1/u du〗。
对此积分进行计算，得到ln(u)在[0, ∞)上的积分为ln(b)。
将换元结果代回，原积分等于ln(ln(x))，即所求的无穷积分。
2.瑕积分：如果被积函数在一些点不连续，那么该积分称为瑕积分。
通过以瑕点为积分边界，将瑕积分拆分成多个有界积分来计算。
例如，计算函数f(x) = 1 / x在区间[0, 1]上的瑕积分。
由于f(x)在x = 0处不连续，可以将积分分成两部分，即∫_0^1 1/x dx =∫_0^ε 1/x dx + ∫_ε^1 1/x dx，其中ε是一个趋于0的正数。
第一部分的积分结果等于ln(ε)，第二部分的积分结果为ln(1) - ln(ε) = -ln(ε)。
当ε趋于0时，两部分的积分结果都趋于无穷大，因此该瑕积分是发散的。
3.绝对收敛积分：如果被积函数在积分区间内的绝对值函数是可积的，即广义积分的绝对值存在且有限，那么该积分称为绝对收敛积分。
对于绝对收敛积分，可以应用定积分的计算方法来求解。
例如，计算函数f(x) = 1 / (x^2 + 1)在区间(-∞, ∞)上的广义积分。
广义积分收敛的判别方法
广义积分收敛的判别方法摘要：一、广义积分的概念及意义二、广义积分收敛判别法的分类1.无穷积分收敛性的辨别2.乘积函数积分收敛的辨别法3.无界函数积分的收敛性三、具体判别方法及实例1.柯西收敛准则2.洛必达法则3.夹逼定理四、广义积分收敛判别法的应用1.求解实际问题2.近似计算正文：广义积分收敛的判别方法广义积分，又称反常积分，是对普通定积分的推广。
它包括无穷限广义积分和瑕积分（无界函数的反常积分）。
在实际应用中，我们常常需要判断广义积分的收敛性，以便更好地进行计算和求解问题。
广义积分收敛判别法是对这一问题的有效解决方法。
一、广义积分的概念及意义广义积分是对普通定积分的扩展，它包含无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的情况。
普通定积分的几何意义是曲线与x轴围成的面积，而广义积分则更加广泛，可以描述更复杂的几何形状和函数特性。
二、广义积分收敛判别法的分类1.无穷积分收敛性的辨别：判断积分上限和下限是否无穷大，以及被积函数在无穷大处的性态。
2.乘积函数积分收敛的辨别法：判断被积函数是否为乘积函数，以及乘积函数的收敛性。
3.无界函数积分的收敛性：判断无界函数的积分是否收敛，可以通过对函数进行有界化处理，或者利用柯西收敛准则等方法。
三、具体判别方法及实例1.柯西收敛准则：当被积函数在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可积时，若存在子区间[a", b"]，使得在[a", b"]上柯西收敛，则在[a, b]上柯西收敛。
2.洛必达法则：对于0<α<β，若函数f(x)在[α, β]上连续，且在(α, β)内可导，那么在[α, β]上洛必达收敛。
3.夹逼定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，g(x)在(a, b)内可积，且存在h(x)在(a, b)内单调递增，使得g(x)≤h(x)≤f(x)，则在[a, b]上夹逼收敛。
四、广义积分收敛判别法的应用1.求解实际问题：通过判断广义积分的收敛性，可以确定能否对实际问题进行求解，以及选择合适的计算方法。
广义积分判别法
广义积分判别法广义积分判别法是微积分中一个重要的概念和方法，用于判断广义积分的收敛性和发散性。
本文将介绍广义积分判别法的基本原理和应用，并通过实例详细说明其具体操作方法。
一、广义积分的定义在微积分中，广义积分是对某些函数进行积分运算的一种扩展形式。
对于连续函数，我们可以直接使用定积分进行求解，但对于一些特殊的函数情况，定积分无法直接求解。
此时，我们需要引入广义积分的概念。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分，可以表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁺) ∫┬(a)f(x)dx其中，a为积分下限，b为积分上限，t为一个逼近b的数列。
如果该极限存在且有限，则称广义积分收敛；如果该极限不存在或为无穷大，则称广义积分发散。
二、收敛性的判别方法1. 基本性质判别法若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，其中g(x)在[a,b]上连续，且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫g(x)dx发散，则∫f(x)dx发散。
2. 比较判别法设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，若∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫f(x)dx发散，则∫g(x)dx 发散。
3. 极限判别法设函数f(x)在区间[a,b)上连续，若存在正数M>0和正数p>1，使得当x→b-时，|f(x)|≤M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx收敛；若对于任意正数M>0和正数p>1，当x→b-时，|f(x)|>M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx发散。
4. 绝对收敛和条件收敛若∫|f(x)|dx收敛，则称广义积分∫f(x)dx绝对收敛；若∫|f(x)|dx发散，但∫f(x)dx收敛，则称广义积分∫f(x)d x条件收敛。
三、实例分析下面通过几个实例来说明广义积分判别法的具体应用。
实例1：判断广义积分的收敛性考虑广义积分∫┬(1)(x⁻²-1)dx，我们可以使用比较判别法来判断其收敛性。
推导广义积分的收敛条件
推导广义积分的收敛条件广义积分是微积分中重要的概念之一，它可以帮助我们求解无界函数的面积或曲线下的面积等问题。
然而，并不是所有的广义积分都存在有限的值，因此我们需要研究广义积分的收敛条件，以确保计算的准确性和可靠性。
一、广义积分的定义在推导广义积分的收敛条件之前，我们首先回顾一下广义积分的定义。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分表示为：∫[a,+∞) f(x)dx这个广义积分的值被定义为极限值：lim ∫[a,T] f(x)dxT→+∞当这个极限存在且有有限值时，我们说广义积分收敛；当极限不存在或为无穷大时，我们说广义积分发散。
二、无界函数的收敛条件接下来，我们将讨论无界函数的广义积分的收敛条件。
1.狭义可积函数的收敛条件对于在[a, +∞)上的狭义可积函数f(x)，它的广义积分收敛的充分条件是f(x)在[a, +∞)上连续且有界。
这意味着在积分区间上，函数没有发散或奇点，并且在这个区间上的函数图像是有界的。
例如，函数f(x) = 1/x在区间[1,+∞)上积分是发散的，因为它在x=0处有一个无穷大的奇点。
2.半无界函数的收敛条件对于在[a, +∞)上的半无界函数f(x)，它的广义积分收敛的充分条件是f(x)在[a, +∞)上连续且积分区间[a, +∞)上的积分有限。
这意味着函数在积分区间上无界，但积分结果是有限的。
例如，函数f(x) = sqrt(x)在积分区间[0, +∞)上收敛于2/3。
三、无界函数的发散条件如果函数f(x)在积分区间上不满足上述的收敛条件，那么它的广义积分将发散。
这意味着广义积分的极限不存在或为无穷大。
根据我们的讨论，我们可以总结出广义积分收敛的条件如下：1.对于狭义可积函数f(x)的广义积分收敛，要求函数在积分区间上连续且有界；2.对于半无界函数f(x)的广义积分收敛，要求函数在积分区间上连续且积分有限。
这些条件可以帮助我们判断广义积分是否存在有限值，并确保我们在求解问题时得到准确的结果。
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2020/4/13
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7
例2. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时,广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
2020/4/13
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而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
dx
F
(b
)
F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F (a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b )
F(a )
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F(c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
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10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
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12
则也有类似牛 – 莱公式的
计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
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4
若 f (x)C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
第十一章 广义积分
2020/4/13
主讲人：陈志勇副教授Biblioteka 宁波大学教师教育学院1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
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2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()
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6
例1. 计算广义积分
解:
[arctan x ]
π ( π) π 22
思考:
y
y
1 1 x2
O
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
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5
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x)
2
2
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内容小结
积分区间无限 1. 广义积分
被积函数无界
2. 两个重要的广义积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
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,
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q 1
17
说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以 互 相转化 .
例如 ,
1
1
1 x2
14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
0
x2
1 x2
dx
1 d(x 1x)
0
(x
1 x
)
2
2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的广义积分.
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例4. 计算广义积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin
x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论广义积分
的收敛性 .
解所下:以述1广1解dx义x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
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15
例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2(x)
d
x
1
f
( x) f 2 (x)
d
x
1
d
f (x) f 2 (x)
arctan
f
(x)
C
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π]
π] arctan 32 2 π
当 p≤1 时,广义积分发散 .
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例3. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 p2
e pt
1 p2
1 e ptd t p0
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二、无界函数的广义积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
y 1 x
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
A
O
x
lim 2(1 ) 2
0
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定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分（也叫瑕积分）, 记作
边梯形的面积 可记作
y
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
A O1
b
x
lim 1 b
1 b
1
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定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作