《概率论期末复习资料》概率论(三版)1.2
概率论与数理统计期末考试复习资料
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（2）连 续型随 机变量 的分布 密度
（3）离 散与连 续型随 机变量 的关系 （4）分 布函数
（5）八 大分布
（1） pk 0 ，k 1,2,， （2） pk 1。 k 1
ba
f
(x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
0，
xa, ba
x<a， a≤x≤b
x
F (x) f (x)dx
1，
x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（x1, x2 ）内的概率为
P( A)
条件概
下，事件 B 发生的条件概率，记为P(B / A) P(AB) 。
P( A)
率
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)
（13） 乘法公式：P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
概率论期末复习题集
概率论期末复习题集一、基本概念与原理1. 定义随机试验、样本空间、事件，并举例说明。
2. 解释概率的古典定义、频率定义和主观定义。
3. 描述概率的公理化定义，并列出概率的三个基本公理。
4. 举例说明条件概率的概念，并解释全概率公式和贝叶斯公式。
5. 描述随机变量、离散型随机变量和连续型随机变量的区别。
6. 定义数学期望、方差、标准差，并解释它们的意义。
二、离散型随机变量1. 给出离散型随机变量的概率分布列和概率质量函数。
2. 计算离散型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释二项分布、泊松分布和几何分布，并给出它们的期望和方差公式。
4. 利用二项分布解决实际问题，例如药物测试的成功率问题。
三、连续型随机变量1. 描述连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。
2. 计算连续型随机变量的数学期望和方差。
3. 解释均匀分布、指数分布和正态分布，并给出它们的概率密度函数和期望、方差的公式。
4. 利用正态分布解决实际问题，例如测量误差的分布问题。
四、多变量随机变量1. 定义联合分布函数和边缘分布函数，并解释它们之间的关系。
2. 描述协方差、相关系数和独立性的概念。
3. 计算两个随机变量的协方差和相关系数。
4. 利用联合分布解决实际问题，例如两个独立试验的联合成功概率。
五、大数定律和中心极限定理1. 解释切比雪夫不等式、马尔可夫不等式和切比雪夫大数定律。
2. 描述中心极限定理的内容，并解释为什么它在统计学中非常重要。
3. 利用中心极限定理估计样本均值的分布。
六、随机过程1. 定义随机过程和遍历理论。
2. 描述泊松过程和维纳过程，并解释它们在实际中的应用。
3. 解释随机过程的平稳性和遍历性。
七、应用题1. 一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取5个球，计算以下事件的概率：至少有3个红球。
2. 某工厂生产的零件，每个零件合格的概率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
3. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，求X的数学期望和方差。
《概率论与统计原理》、《概率与统计原理》期末复习资料121220范文
一、填空题1、设A ，B ，C 为三个事件，则下列事件“B 发生而A 与C 至少有一个发生”，“A ，B ，C 中至少有两个发生”，“A ，B ，C 中至少有一个发生”，“A ，B ，C 中不多于一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有两个发生”分别可表示为 、 、 、 、 、 。
参考答案：B （A+C ，AB+AC+BC ，A +B +C ，C A +C B +B A ，AB C +AC B +A BC ，BC A +C B A +C AB 考核知识点：事件的关系及运算，参见P92、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为 、 、 。
参考答案：0.04，0.04，0.1考核知识点：古典型概率，参见P113、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k 个球，则第k 次取出黑球的概率为 。
参考答案：0.6考核知识点：古典型概率，参见P134、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为 ，获利10~15万元的概率为 。
参考答案：0.2，0.4考核知识点：概率的性质，参见P16~P175、设袋中有6个球，其中4白2黑。
用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为 ；取到的两个球颜色相同的概率为 ；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为 。
参考答案：0.4，7/15，14/15考核知识点：古典型概率和概率的性质，参见P18~P19 6、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= 0.6，P （B ）= 0.3，则P （A+B ）= ；P （A +B ）= ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。
参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1考核知识点：概率的性质，参见P197、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。
概率论期末复习
（6）两个相互独立的正态分布，期望未知，对方差的检验（F检验）
15)
根据双边检验和单边检验，给出的显著性水平，找出分位点，确定拒绝域。
16)
看检验统计量是否在拒绝域内判断原假设是否正确。
[10]
原假设为“=”时，为双边检验，其他为单边检验。
[2]
作图步骤：
（1）找出最小值和最大值；
（2）将选定区间分为k个小区间；
（3）算出每个区间的频率，在区间上做高度为频率的小矩形。
[3]
1)
样本（X1,X2,...,Xn）的不含有未知参数的连续函数g（X1,X2,...,Xn）称为统计量。（统计量是随机变量）
2)
样本均值
样本方差
样本标准差（标准偏差）
内容：参数估计、假设检验（重要）
目的：对总体特征作出推断
2.样本分析
[1]
总体——研究对象全体元素组成的集合。研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量)，记为X。X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征。
个体——组成总体的每一个元素即总体的每个数量指标,可看作随机变量X的某个取值，可记作Xi
8)
定义：设 和 是θ的无偏估计量，且 ，则称 比 有效。
9)
定义：设 是θ的无偏估计量，当n（样本容量）→∞时， 收敛于θ。
[7]
10)
选取枢轴量
由分位点定义建立不等式
解出不等式
11)
定义：
正态分布的枢轴量选取：
（1）样本均值的置信区间（已知σ）
（2）样本均值的置信区间（未知σ）
（3）样本方差的置信区间（μ未知）
《概率论与数理统计》复习资料
《概率论与数理统计》复习资料《概率论与数理统计》复习资料李裕奇一、作业习题解答参见《概率论与数理统计习题详解》（李裕奇赵联文刘海燕编西南交通大学出版社2005年第2版）第一章(1) §1.1, §1.2, §1.3, §1.4, §1.5 基本练习前8题;(2)第一章自测题(3)综合练习一1,2,3,4,5,6,8,13第二章(1) §2.1, §2.2, §2.3, §2.4基本练习前8题;(2) 第二章自测题(3) 综合练习二1,2,3,4,5,7,17,18第三章(1) §3.1,§3.3,基本练习前8题;(2) 第三章自测题(3) 综合练习三1, 2, 7第四章(1) §4.1,§4.2,基本练习前8题;(2) 第四章自测题(3) 综合练习四1, 2, 3,4,5,6第六章(1) §6.1,§6.2,§6.3基本练习前6题;(2) 第六章自测题(3) 综合练习六1, 2, 3，4，5，7，8第七章(1) §7.1,§7.2,§7.3基本练习前6题;(2) 综合练习六1, 2, 3，10，15，16，17，18二、考试重点1、古典概型公式运用,注意抽球问题；2、全概率公式与贝叶斯公式运用；3、离散型随机变量的概率分布求法,分布函数,数学期望,方差的求法；4、连续性随机变量的分布, 分布函数,数学期望,方差的求法；常见分布，特别是正态分布的有关计算;5、已知X 的概率密度函数,X 的函数的概率密度求法；6、离散型随机变量(X,Y)的数字特征求法,特别注意相关系数的求法；7、极差,经验分布函数,总体概率的近似计算；8、单个正态总体均值与方差的置信区间的求法。
三、模拟试题概率论与数理统计模拟试题1一、（12分）某商店有4桶油漆，分别为红漆，白漆、蓝漆与黑漆，在搬运过程中所有的标签脱落，售货员随意将这些油漆卖给需要红漆，白漆，蓝漆与黑漆的4位顾客，试求：（1）至少有一位顾客买到所需颜色的油漆的概率；（2）恰有一位顾客买到所需颜色的油漆的概率。
概率论与数理统计期末考试复习资料汇编
式
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) ……P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
（14） 设事件 A 、B 满足P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立 独立性 的。
若事件 A 、B 相互独立，且P(A) 0 ，则有
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第 1 章 随机事件及其概率
（1）排 列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加 法和乘 法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方 法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步
（6）事 件的关 系与运 算
B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B， 也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发
德摩根率：
Ai
Ai
AB AB，AB AB
i1
i 1
设 为样本空间，A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，
概率论与数理统计期末复习提纲
推论： P( B A) P( B) P( AB ) 4) P( A) 1 5) P( A) 1 P( A ) 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
第二章 一维随机变量及其分布
一维随机变量
离散型随机变量
随机变量的分布函数 连续性随机变量 随机变量函数的分布
pij P{X xi , Y y j }， i, j 1, 2,
满足规范性条件 pij 1 ，则称 ( X , Y ) 为二维离散型
i , j 1
随机变量。
定义
设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可 能取值为 ( xi , yi )(i, j 1, 2,) ，则称 pij (i, j 1, 2,) 为 ( X , Y )的联合分布律。
3 x p ( x ) dx 1 ke dx 1 ， 解：(1) ， 0
ke 3 x , p( x ) 0,
x0
x 0，
1 3x k e 3
0
1，
k 3，
即
3e 3 x , p( x ) 0,
0
0
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 请注意: 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 独立 n n 推广 : E[ X i ] EX i
i 1 i 1
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
0 1
0 1
x
1 2 x 2x 1 2
概率论与数理统计期末总复习资料
古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a +ｂ中有次序地取出m 个球的不同取法；第m 次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a 个白球中取出一球，再在a +ｂ-1个球中取出m-1个球。
解：设B ＝｛第m 次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数： mb a A n +=事件B 包含的样本点： 111--+=m b a a A C r ，则 b a a A aA n r B P mba mb a +===+--+11)( 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。
例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B ＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： 915C n ==5005事件B 包含的样本点： 563514C C C r ==240，则 P (B )=120/1001=0.048 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}.解：样本点为n 个质点在N 个格子中的任一种分布，每个质点都有N 种不同分布，即n 个质点共有N n 种分布。
故样本点总数为：N n(1)在n 个格子中放有n 个质点，且每格有一个质点，共有n !种不同放法；因此，事件A 包含的样本点数：n!，则 n Nn A P !)(=(2)先在N 个格子中任意指定n 个格子，共有nN C 种不同的方法；在n 个格子中放n 个质点，且每格一个质点，共有n !种不同方法；因此，事件B 包含的样本点数： n NnN A C n =!，则n nNNA B P =)((3)在指定的一个格子中放m (m ≤n )个质点共有mn C 种不同方法；余下n-m 个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有m n N --)1(种不同方法.因此，事件C 包含的样本点数：mn C m n N --)1(, 则mn m m n nm n mn N N N C N N C C P ---=-=)1()1()1()( 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A =5040，设B ={能排成一个四位偶数} 。
概率论与数理统计期末复习
概率论与数理统计期末复习《概率论与数理统计》总复习提纲第⼀块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，⼏何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独⽴性，贝努⾥试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进⾏；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪⼀个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每⼀个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在⼀定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的⼦集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发⽣必导致发⽣”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对⽴事件且.（3）独⽴性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独⽴. 等价于：若().（2）多个事件的独⽴：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独⽴．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与⾄少有⼀个发⽣”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发⽣”，记为或.（3）差事件、对⽴事件(余事件)：“事件发⽣⽽不发⽣”，记为称为与的差事件；称为的对⽴事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推⼴5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则⽐值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很⼤时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发⽣的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发⽣的概率为：.（5）⼏何概率：若试验基本结果数⽆限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、⾯积、体积等)成正⽐，⽽与其位置及形状⽆关，则（试验对应⼏何概型），“在区域中随机地取⼀点落在区域中”这⼀事件发⽣的概率为：.（6）主观概率：⼈们根据经验对该事件发⽣的可能性所给出的个⼈信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推⼴到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发⽣的条件下事件发⽣的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的⼀个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的⼀个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努⾥(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努⾥试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常⽤表⽰，其中＝“成功”.（2）把重复独⽴地进⾏次，所得的试验称为重贝努⾥试验，记为．（3）把重复独⽴地进⾏可列多次，所得的试验称为可列重贝努⾥试验，记为．以上三种贝努⾥试验统称为贝努⾥概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在⼀定条件下必然发⽣的事件，不可能事件指的是在⼀定条件下必然不发⽣的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的⽅便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有⼀个事件发⽣，且⾄多有⼀个事件发⽣，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发⽣，则、为互斥事件.因⽽，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，⽽互斥适⽤与多个事件的情形.作为互斥事件在⼀次试验中两者可以都不发⽣，⽽互逆事件必发⽣⼀个且只发⽣⼀个.3、两事件独⽴与两事件互斥两事件、独⽴，则与中任⼀个事件的发⽣与另⼀个事件的发⽣⽆关，这时；⽽两事件互斥，则其中任⼀个事件的发⽣必然导致另⼀个事件不发⽣，这两事件的发⽣是有影响的，这时.可以⽤图形作⼀直观解释.在图1.1左边的正⽅形中，图1.1，表⽰样本空间中两事件的独⽴关系，⽽在右边的正⽅形中，，表⽰样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，⽽是在试验增加了新条件发⽣后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发⽣，但两者是不同的，⼀般说来，当、同时发⽣时，常⽤，⽽在有包含关系或明确的主从关系时，⽤.如袋中有9个⽩球1个红球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求：（1）第⼆次才取到⽩球的概率；（2）第⼀次取到的是⽩球的条件下，第⼆次取到⽩球的概率.问题（1）求的就是⼀个积事件概率的问题，⽽问题（2）求的就是⼀个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，⽽该结果⼜不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑⽤全概率公式，在对样本空间进⾏划分时，⼀定要注意它必须满⾜的两个条件.贝叶斯公式⽤于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第⼆块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常⽤⼤写字母等表⽰.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的⼀切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）⼆项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是⼀常数，是任意正整数，设，则对于任⼀固定的⾮负整数，有.当很⼤且很⼩时，⼆项分布可以⽤泊松分布近似代替，即，其中（4）超⼏何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很⼤，且较⼩时，有（5）⼏何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在⾮负函数，使对于任⼀实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常⽤连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别⽤和表⽰的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②⼀般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3……有相同值时，要合并为⼀项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种⽅法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按⼀定法则给定的，⽽随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；⼜普通函数的定义域是⼀个区间，⽽随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是⼀种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但⼤多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的联合分布列，⼆维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独⽴性和不相关性，常⽤多维随机变量，随机向量函数的分布.1、⼆维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数⼆维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的⾮减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）⾮负性对任意点，若，则.上式表⽰随机点落在区域内的概率为：.2、⼆维离散型随机变量及其联合分布列如果⼆维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为⼆维离散型随机变量.设为⼆维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.………………联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、⼆维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在⼀个⾮负函数,使得⼆维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是⼆维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）⾮负性对⼀切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平⾯域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、⼆维随机变量的边缘分布设为⼆维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、⼆维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为⼆维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为⼆维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独⽴性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独⽴.设为⼆维离散型随机变量，与相互独⽴的充要条件是.设为⼆维连续型随机变量，与相互独⽴的充要条件是对⼏乎⼀切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设⼆维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最⼤值与最⼩值的分布则9．数理统计中常⽤的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表⽰事件与的积事件，为什么不⼀定等于？如同仅当事件相互独⽴时，才有⼀样，这⾥依乘法原理.只有事件与相互独⽴时，才有，因为.2、⼆维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯⼀确定边缘分布，因⽽也唯⼀确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯⼀确定联合分布.但由知，⼀个条件分布和它对应的边缘分布，能唯⼀确定联合分布.但是，如果相互独⽴，则，即.说明当独⽴时，边缘分布也唯⼀确定联合分布，从⽽条件分布也唯⼀确定联合分布.3、两个随机变量相互独⽴的概念与两个事件相互独⽴是否相同？为什么？两个随机变量相互独⽴，是指组成⼆维随机变量的两个分量中⼀个分量的取值不受另⼀个分量取值的影响，满⾜.⽽两个事件的独⽴性，是指⼀个事件的发⽣不受另⼀个事件发⽣的影响，故有.两者可以说不是⼀个问题.但是，组成⼆维随机变量的两个分量是同⼀试验的样本空间上的两个⼀维随机变量，⽽也是⼀个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎⼀致，从⽽独⽴性的定义⼏乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和⽅差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中⼼矩，协⽅差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果⼴义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独⽴，则；对任意个相互独⽴的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的⽅差设是⼀个随机变量，则称为的⽅差.称为的标准差或均⽅差.。
概率论与数理统计期末考试复习资料
随机变量x月KA参数为n,N,M的超几何分布，记为
几何分布
P(X =k) = qk~lp,k= 1,2,3,- •,其中p>0, q=l-po随机变量X月艮从参数为p的几何分布，记为G(p)o
设随机变量X的值只落在凶b］内，其密度函数/⑴ 在比b］上为常数亠,即
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称为二隹随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量M和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平回为其定义域，以事件
{(©, 6) 1Y v X(©)SX,Y<Y(cd2)<y}的概率为函数御勺一个 实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
(1)0<F(x,y)Sl;
(2)F (x,y)分别对x和y是非减的，即
F(x)=P(X<x)
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
<X<b) = F(b)-F(a)可以得到X落入区间(cM］的概 率。分布函数尸⑴表示随机变量落入区间(-—x］内的概率。 分布函数前如下性质：1°0 <F(x)< 1,-OO<X<+OO；
2°F(a)是单调不减的函数，即川v&时，有F(xi)<F(X2);
一个事件就是由G中的部分点（基本事件巧 组成的集合。通常用大 写~r母&艮C,…表示事件，匕们是。的十集。
概率论与数理统计期末复习资料
《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。
7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。
9、会求分布中的待定参数。
10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。
12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。
14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。
会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。
18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。
19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
概率论期末考试复习题及答案
概率论期末考试复习题及答案第⼀章1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____61_______.2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 相互独⽴，则P （B ）=______41_____.3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____.4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独⽴，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独⽴5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．7．⼀⼝袋装有3只红球，2只⿊球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为⼀红⼀⿊的概率是________ 0.6________．8．设袋中装有6只红球、4只⽩球，每次从袋中取⼀球观其颜⾊后放回，并再放⼊1只同颜⾊的球，若连取两次，则第⼀次取得红球且第⼆次取得⽩球的概率等于____12/55____.9．⼀袋中有7个红球和3个⽩球，从袋中有放回地取两次球，每次取⼀个，则第⼀次取得红球且第⼆次取得⽩球的概率p=___0.21_____.10．设⼯⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种产品，产量依次占全⼚产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该⼚⽣产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间⽣产的概率. 35 18第⼆章1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413）设随机变量X~N （2，22），则P{X ≤0}=（P{(X-2)/2≤-1} =Φ（-1）=1-Φ（1）=0.15872.设连续型随机变量X 的分布函数为≤>-=-,0,0;0,1)(3x x e x F x则当x >0时，X 的概率密度f (x )=___ xe 33-_____.3．设随机变量X 的分布函数为F （x ）=?≤>--,0,0;0,2x x e a x 则常数a =____1____.4．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X5．抛⼀枚均匀硬币5次，记正⾯向上的次数为X ，则P{X ≥1}=_____3231_______.6.X 表⽰4次独⽴重复射击命中⽬标的次数，每次命中⽬标的概率为0.5，则X~ _B(4, 0.5)____7.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = ____0.6_______.8.设随机变量X 的分布律为Y =X 2，记随机变量Y 的分布函数为F Y （y ），则F Y （3）=_____9/16____________.9.设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 110.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞求：（1）A 值；（2）P {021 21(1-e -1)≤>-=-0210211)(x e x e x F x x11.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）. A=1 B=-1 P {X ≤2}=λ21--e P {X ＞3}=λ3-e≤>=-0)(x x e x f xλλ 12.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ）.≥≤<-+-≤<≤=21211221102100)(22x x x x x x x x F13.设随机变量X 的分布律为求（1）X 的分布函数，（2）Y =X 2的分布律.≥<≤<≤<≤--<≤--<=313130/191030/170130/11125/120)(x x x x x x x F 14.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. <<=others e y y y f Y 011)(>=-othersz ez f zZ 0021)(2第三章1．设⼆维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 >>=+-,,0;0,0,),()(其他y x ey x f y x（1）求边缘概率密度f X (x)和f Y (y )，（2）问X 与Y 是否相互独⽴，并说明理由.≤>=-00)(x x e x f xX ≤>=-00)(y y e y f yY因为 )()(),(y f x f y x f Y X = ，所以X 与Y 相互独⽴2．设⼆维随机变量221212(,)~(,, ,,)X Y N µµσσρ，且X 与Y 相互独⽴，则ρ=____0______.3.设X~N （-1，4），Y~N （1，9）且X 与Y 相互独⽴，则2X-Y~___ N （-3，25）____.4.设随机变量X 和Y 相互独⽴，它们的分布律分别为，则{}==+1Y X P _____516_______. 5．设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成的三⾓形区域，则(X,Y)的概率密度101()2y x f x y others≤<≤=，．6，Y（2）随机变量Z=XY 的分布律.7求：Y 的边缘分布列；（3）X 与Y 是否独⽴？为什么？（4）X+Y 的分布列.因为{0,1}{0}{1}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不相互独⽴。
概率论复习资料大全
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
称r.v X服从参数为n和p的二项分布，记作 X ~ b(n,p)
9
4.泊松分布
定义：设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2,,
称的钟形曲线.
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
正态分布表
15
9.连续型随机变量函数的分布
定理 设 r.v X具有概率密度 f(x), x , 又设g(x)处处可导，且恒有g(x) 0(或 g(x) 0) 则Y=g(X)是连续型r.v，其概率密度为
fY
(
y)
计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2
26
6.方差的性质
1. 设C是常数,则D(C)=0; 2. 若C是常数X是随机变量,则D(CX)=C2 D(X);
3. 设X与Y 是两个随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) + 2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}. 特别，若X与Y 相互独立，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y)
p
B(n,p)
π()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
np
P( X k) ke
k!
k 0,1,2,
23
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其它
概率论期末复习知识点
知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）．(3) 积事件： AB ， 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ= (5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作A B -(或AB ) ．(7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义 古典概型：()A n A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质 (1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,n A A A 两两互不相容，则有121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,n A A A ，有111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k ni i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P AA -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑.4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,n A A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =，任意的11k i i n ≤<<≤，若事件1,2,,n A A A 总满足 11()()()k k i i i i P A A P A P A =，则称事件1,2,,n A A A 相互独立．这里实际上包含了21n n --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．**全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：如果事件1,2,,n A A A 两两互不相容，且1ni i A ==Ω，()0i P A >，1,2,,i n =，则1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律(),1,2,,,.i i p P X a i n ===分布律也可用下列表格形式表示：2．*概率函数的性质 (1) 0i p ≥， 1,2,,,;i n =(2)11ii p∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ，它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-，其中，0i =或1，01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ，它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中，0,1,2,,i n =，01p <<．(４)** 泊松分布()P λ，它的概率函数为()!iP X i e i λλ-==，其中，0,1,2,,,i n =，0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====其中，0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率 设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率，记为.j p ，并有.j p =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性 ．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为,,1,2,.ij i j p p p i j ==对一切多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y g =的概率函数可由下表求得但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==;由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ．3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,)1lim lim x x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<()()xF x f x dx-∞=⎰成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤<=≤≤=<≤＝()baf x dx⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为1,;()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其余. 其中，)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为,0;()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其余. 其中，0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ，它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞，其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密度为22(),x f x x -=-∞<<+∞，标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即22()t xx dt -Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有(,)(,)xyF x y f s t dtds-∞-∞=⎰⎰成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2)(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1,(,)x y f x y G ⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（)G;的面积0,其余. (2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布． 12．**随机变量的相互独立性 ．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为(,)()(),X Y f x y f x f y =在一切连续点上.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。
经济数学基础第三册《概率统计》一、二、三章知识点总结
第一章 随机事件与概率1、事件间的关系与运算关系：事件的包含与相等；事件的和（并）；事件的积（交）；事件的差； 互不相容事件（互斥）；对立事件（逆事件）；完备事件组。
运算： BAAB A B B A == ）交换律（1)()()2(C B A C B A C B A C B A ==）（）结合律（））（（）（）（）（）分配律（C A B A BC A BC AC C B A ==)3(BA B A C B A ABC CB AC B A B A AB ==== ）对偶律（42、概率的性质10=Ω=Φ）（）（①P P ∑=∑==ni i ni i n A P A P A A A 1121,,,）（）（为互不相容事件：② ）（）（）（有，为两个互不相容事件与特别的：B P A P B A P B A +=+121=∑ii n A P A A A ）（，则有构成一个完备事件组，，，，③ ）（）（率有特别的：对立事件的概A P A P -=1）（）（）（有，如果④B P A P B A P B A -=-⊃）（）（）（）（有，与对于任意两个事件⑤AB P B P A P B A P B A -+=+()1()()(2111111nn nk j i k j i ni nj i j i i ni i A A A P A A A P A A P A P A P-≤<<≤=≤<≤=-+∑-+∑∑-=∑）（）（件的情形推广：对任意有限个事3、古典概型⎩⎨⎧等可能性有限性试验的基本事件总数的基本事件数有利于A n m A P ==)(4、条件概率)()()(A P AB P A B P =乘法公式)()()()()()()()()(AB C P A B P A P ABC P B A P B P A B P A P AB P ===5、独立事件 )()()(B P A P AB p =)()()()(B P A B P A P B A P ==或或6、全概率公式有则对任一事件构成完备事件组,,,2,1,0)(,,,,21B n i A P A A A i n =>)()()()()()()()()(22111n n ni i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=∑== 7、贝叶斯公式 有若则对任一事件构成完备事件组,0)(,,,2,1,0)(,,,,21>=>B P B n i A P A A A i n nm A BP A P A B P A P B A P ni i im m m,,2,1)()()()()(1==∑=1.概率分布（X 的所有取值及其相应概率）,2,1}{,===i p x X P i i 1x X 2x 3x … nx … P1p 2p 3p …np …分布律2、分布函数 F(x) =P(X ≤x)∑=≤=≤xi x ip x X P x F )()(3、随机变量函数 Y=g(X) 的概率分布（1）写出函数的对应取值（2）抄写相应的概率（相同函数值的要合并，对应概率相加） ∑=iii p x EX 22)(EX EX DX -=?2=EX ∑==ii i p x g EY X g Y })()({∑=iii p x EX 221、概率密度: ),(,)(+∞-∞∈x xf ⎰=<<ba dxx f b X a P )()(})(,)()({)(3的值域）是的反函数，（是为零。
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三、 概率的公理化定义
我们注意到不论是对概率的直观理解，还
第 是频率定义方式，作为事件的概率，都应具
三 版
有前述三条基本性质,在数学上，我们就可以
从这些性质出发，给出概率的公理化定义
1933年，前苏联数学家柯尔莫戈罗夫在 综合前人成果的基础上，抓住概率共有特 性，提出了概率的公理化定义，为现代概 率论的发展奠定了理论基础.
三
版 得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，
所以，P（ B ）=1-0.2=0.8
思考 在以上条件下，P（A-B）=？
例2: 王敏捷参加“智力大冲浪”游戏, 他能答
出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,
两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
第
三
版
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
有重复排列：从含有n个元素的集合中 随机抽取k次，每次取一个，记录其结 果后放回，将记录结果排成一列,
第 三 版
nnn
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随 机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将 所取元素排成一列，
第 三 版
n n-1 n-2
n-k+1
共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
事件的概率
从直观上来看，事件A的概率P(A)
第
是指事件A发生的可能性
三
版
P(A)如何确定，应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？
出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
概率是事件发生可能性的数量指标。
即在多次重复后，某结果出现的比率。 第 概率应有如下特征： 三 (1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。
课堂练习
1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，
求P(A-B).
第 三
2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(Ω-AB)
版 解：
1 P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1,
所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3
2 P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
概率的统计定义：
在相同条件下重复进行的 n 次试验
第 中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常
三 版
数 p 附近摆动, 且随 n
越大摆动幅度越
小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观 缺点：粗糙 不便
易懂
模糊 使用
定义11(概率的直观定义)
随机事件A发生的可能性大小的度量(数 第值) 称为事件A发生的概率 记作P(A)
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(Ω)＝1， fn( )=0；
第
三
(3) 可加性：若AB＝ ，则
版
fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B).
必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐 渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，
作为事件A的概率.
I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006
将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
第
三
（2）空一盒的概率是多少？
版
解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒
第
n = 33 nA = 3!
三 版
P(A) 2
9
P(B) 1 P{空两盒} P{全有球}
322 1 33 9 3
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去 (nm)，则每盒至多有一球的概率是：
事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等 事件A与B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生
集合A与B没有公共元素 事件A与B互不相容（互斥）
一、概率和频率解释
第
二、从频率的性质看概率的性质
三
版
三§、1概2 率随的机公事理件化的定义概率
四、概率测度的其他性质
组合：从含有n个元素的集合中随机抽 取k 个，取法共有
第 三 版
Cnk
n k
Pnk k!
n! k!(n k)!
引例
抽球问题
第 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任 三 抽2个球，求取到一红一白的概率。
版
nA = C31C21
解:设A-----取到一红一白
第 三 版
n = C52 nA = C31C21
版
(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。
一般叙述可能性时用百分比。 以后为方便更多地用0到1之间的小数。
即0≤P(A)≤1 且 P(Ω)=1 P(三
（1）统计定义
版
（2） 古典定义
基于频率的定义 概率的最初定义
（3） 公理化定义
1930年后由前苏联数 学家柯尔莫哥洛夫给出
(1)不可能事件φ的概率为零,即P(φ)=0.
(2) 有限可加性：设A1,A2,…An 是n个两两互不相
第 三
容的事件,即AiAj＝ ,(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有
版 P( A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1) ＋P(A2)+…
+P(An).
(3) 可减性：若事件AB，则 P(A－B)=P(A)－P(B)
概率的性质
根据概率的频率解释 概率可视为频率的稳定值 从而应
具有频率的相应性质
第
三 (1) P()1
版 (2) 对任意事件A 有P(A)0
(3) 对任意可数个两两不相容的事件A1 A2 An 有
P( i1
Ai
)
i1
P(
Ai
)
提示 同频率一样 记事件A发生的概率为P(A) 随着A取遍任 意事件 P(A)则可视为定义在全体事件构成的集合 即事件域 F上的一个函数
概率的公理化的定义
设 是给定的试验E的样本空间，对其中的任意一 个事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：
(1)非负性 0 P
第
三 (2)规范性 P 1
版
(3)可列可加性: 设
A1, A2, An 两两互不相容．
则
P
Ai
i 1
P(
i 1
Ai
)
则称P(A)为事件A的概率.
四、 概率测度的其他性质
=1-0.7+0.3=0.6
§13 古典概型与几何概型
一、 古典概型
第
三
二、 几何概型
版
古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念
第
三 版
乘法过程：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方 法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法
加法过程：设完成一件事可有两种途径，第一种途径 有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共 有n1+n2种方法。
古典概型
古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型
(1)样本空间有限 记{1 2 n}
第 (2)每一个基本事件的概率相同 即
三
版
P{1}P{2} P{n}
古典概型的概率计算公式
设是古典概型样本空间 则对任意事件A 有
P(
A)
A中元素个数
中元素个数
使A发生的基本事件数 基本事件总数
分球入盒问题
复习 随机事件的主要概念
为了帮组大家理解所学概念，现把第一节的有关结论 第 与事件的关系和运算的对应情况列举如下：
三
版
符号
集合论
概率论
全集
样本空间：必然事件
空集
不可能事件
中的点（或样称本元点素）
单点集
基本事件
第
三
版
_
的子集A
集合A包含在集合B中 集合A与集合B相等 集合A与集合B的并 集合A与集合B的交 集合A的余集 集合A与集合B的差
P( A) C31C21 3 C52 5
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从 中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是
第 三 版
p
CMk
C nk N M
CNn
在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选 种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模 型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必 过多的交代实际背景。
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
第 三
(1)
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6
版
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.8
(3) P(A B) P(A B) 0.2
（4）单调不减性若事件AB，则P(A)≥P(B)
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A).
(6) 加法公式：对任意两事件A、B，有
第
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
三
版 该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形.