插值法综述《计算方法》学习报告.讲义

插值法综述

一、插值法及其国内外研究进展

1.插值法简介

插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。

2.国内外研究进展

● 插值法在预测地基沉降的应用

● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用

● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献

● 不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报

(交通科学与工程版) 2008.2

● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2008.3 ● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10 ● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程 1997 ● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报

（自然科学版）2004.6

二、插值法的原理

【原理】

设有n+1个互不相同的节点（i x ，i y ） （i=0，1，2，...n ）则存在唯一的多项式： 2012()...(1)n

n n L x a a x a x a x =++++

使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==

证明：构造方程组

20102000201121112012......(3)...n n n

n n n

n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y

⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪

⎪++++=⎩

令：0

01

1111n

n n n

n x x x x A x x ⎡⎤⎢

⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

01

n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y

=

由于1

10

()0n

n i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（4）有唯一解。

从而2012()...n n n L x a a x a x a x =++++唯一存在。 三、常用插值法

3.1 Lagrange 插值法

3.1.1 Lagrange 插值法的一般提法

给定))(,(i i x f x ),,1,0(n i =，多项式

∑∏

∑=≠=

=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--==n i n

i

j j j i j i n

i i i n x x x x y x l y x 000)()(ϕ 称为)(x f 关于n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式。

3.1.2 Lagrange 插值多项式的构造 已知n+1个节点(,)(0,1,

,j j x y j n =其中j x 互不相同，不妨设

01),n a x x x b =<<<=要求形如：

1

110()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ 的插值多项式。

若n 次多项式()(0,1,,)j l x j n =在n+1个节点01n x x x <<

<上满足条件：

1,

;()(,0,1,

,)0,

.

j k k j l x j k n k j =⎧==⎨

≠⎩

就称这n+1个n 次多项式01(),(),,()n l x l x l x 为节点01,,

,n x x x 的n 次插值基函数。

3.1.3 Lagrange 插值法的程序设计 f[x_]:=Exp[x]

A=Table[{x,f[x]},{x,0,0.8,0.2}]//N

g1=ListPlot[Table[A],Prolog->AbsolutePointSize[18]]; Interpolation[A,InterpolationOrder->3] g2=Plot[%[x],{x,0,0.8}] Show[g1,g2] N[%%%[0.12],20] N[%%%%[0.72],20] N[f[0.12],20] N[f[0.72],20]

3.1.4 Lagrange 插值法典型例题及其解法

5===，构造二次拉格朗日插值多项式。 （1

）计算

（2）估计误差并与实际误差相比较。 解

（1）以插值点(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得

222()()2000x x j x y l x y i i i

x x i i j i j j i

φ⎛⎫

⎪-

⎪==∑∑∏

⎪-===

⎪ ⎪≠⎝

⎭

=

(64)(125)(27)(125)(27)(64)

345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)

x x x x x x ------⨯+⨯+⨯------

(100)

2

(10064)(100125)(10027)(100125)(10027)(10064)

345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)

ϕ≈------=⨯+⨯+⨯------ 4.68782=

(2) 由误差公式有

(3)()

()(27)(64)(125)3!

f R x x x x ξ=---

记810(3)(3)

3()(),()27

f x f x x f x -==在[27，125]上是单调递减函数。

(3)(3)

5()(27) 5.6450310f x f

-≤≈⨯

(3)()

(100)(10027)(10064)(100125)0.6181316f R ξ∴≤---≈

2(100)0.04623ϕ=。

3.1.5 Lagrange 插值法误差估计

(1)0

()()()()(),(,)(1)!n n

n n j j f R x f x L x x x a b n ξξ+==-=-∈+∏ (1)

1()n n f

M ξ++≤10

()(1)!n

n n j j M R x x x n +=⇒≤-+∏ 3.2 Newton 插值法

3.1.1 Newton 插值法的一般提法

]

,,,[)())((],,[))((],[)()()(1011021010000n n n x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N

----++--+-+=

称为Newton 插值多项式。

3.1.2 Newton 插值多项式的构造

()(-)(-)(-)(-)(-)0102010-1

N x a a x x a x x x x L a x x L x x n n n =++++