插值法综述《计算方法》学习报告.讲义
计算方法插值法.ppt
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
3!
(x
-
6
)(
x
-
4
)(
x
-
3
)
;
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
计算方法Newton插值 ppt课件
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
插值法综述《计算方法》学习报告
插值法综述《计算方法》学习报告一、引言计算方法是计算机科学与技术专业的一门重要基础课程，主要介绍了插值法在数值计算中的应用。
插值法是一种用已知的离散数据拟合出连续函数的方法，广泛应用于数据分析、数据处理以及图像处理等领域。
本学期我在学习《计算方法》过程中，对插值法进行了深入学习与研究，现将所学内容进行总结。
二、插值法的基本概念插值法是指在给定的有限数据点集上，通过构造插值多项式来拟合出一个连续的函数，从而可以用于求解数据点之间的未知函数值。
插值法的基本思想是利用已知的数据点，通过构造插值函数来拟合这些数据点，并且能够满足特定的插值条件。
常见的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
三、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日在18世纪中叶提出的，它利用了多项式的唯一性和插值条件，通过巧妙选择权重系数来构造插值多项式。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于计算，而且适用于实际问题中的绝大多数情况。
四、牛顿插值法牛顿插值法是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的，它通过不断增加插值点，逐步逼近所需插值函数。
牛顿插值法的优点是计算过程简单直观，当新增一个数据点时，只需重新计算差商即可，不需要重新计算整个插值多项式。
五、埃尔米特插值法埃尔米特插值法是由19世纪德国数学家埃尔米特提出的，它是拉格朗日插值法和牛顿插值法的推广和扩展。
埃尔米特插值法在插值点不仅给定数据值，还给定导数值的情况下，构造一个既满足插值条件又满足切线条件的插值多项式。
埃尔米特插值法的优点是在一定程度上提高了插值函数的光滑性和拟合精度。
六、插值法的应用插值法在计算机科学与技术中有广泛的应用，例如在数据处理与分析中，可以利用插值法来填补缺失数据、修复损坏数据和平滑噪声数据；在图像处理中，可以利用插值法来实现图像的放大缩小、旋转变换和形状重建等操作。
插值法还可以应用于科学计算中的数值积分、数值微分以及数值解常微分方程等问题的求解。
计算方法——插值法综述
计算方法——插值法11223510 李晓东在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。
有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。
解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ϕ逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ϕ的函数值近似替代)(x f 的函数值。
插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ϕ作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
一、 理论与算法（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即⎩⎨⎧≠==k i ki x l i k 01)( （1.1）上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设)())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-其中，k A 为待定系数。
由条件1)(=k k x l 立即可得)())(()(1110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-（1.2）故 )())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+-（1.3）由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。
计算方法第二章插值法
插值法的基本原理
插值函数(x)在n+1个互异插值节点 xi (i=0,1,…,n )
处与 f (xi ) 相等,在其它点 x 就用(x) 的值作为f(x)
的近似值。这一过程称为插值，点 x 称为插值点。 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插 出”所要点的函数值。用(x) 的值作为f(x)的近似值 ,不仅希望(x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算 简单 。
第2章 插值法
§2.1 引言
§2.2 拉格朗日插值
§2.3 均差与牛顿插值多项式
§2.4 埃尔米特插值
§2.5 分段低次插值
§2.6 三次样条插值
1
§2.1 引言
1 问题的提出 –函数f(x)表达式复杂不便于计算 – 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即 在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) – 或者给出函数表
ai
Di V
i 0,1,2,n
10
解的存在和惟一性
an x0 n an1 x0 n1 a1 x0 a0 f (x0 ) an x1n an1 x1n1 a1 x1 a0 f (x1 ) an xn n an1 xn n1 a1 xn a0 f (xn )
这是一个关于待定参数 a0 , a1 ,, an 的n+1阶线性方 程组。按照克兰姆（Cramer）法则，其解为
ai
Di V
i 0,1,2,n
11
解的存在和惟一性
系数矩阵V 的行列式为
1 x0
1 V
x1
1 xn
x02 x0n
x12
x1n
n i 1
i 1
(xi x j )
计算方法-插值法报告
计算方法报告——插值1.原理简介插值法是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
根据算法和插值要求的不同，有多种插值方法。
拉格朗日插值：有平面上点集{（x i,y i）}共n个点，现作函数f(x)图像使其过这n个点P i(x)=∏x−x j x i−x jnj=0 j≠i L n(x)=∑P i(x)×y ini=1则f(x)=L n(x)牛顿插值：同样点集，用不同方法构造插值多项式。
定义差商：f[x0，x1]=f(x0)−f(x1) x0−x1f[x0，x1……x k]=f[x0，x1……x k−1]−f[x1，x2……x k]x0−x k则有：N(x)=f[x0]+∑f[x0，x1……x k](x−x0)(x−x1)…（x−x k−1）nk=1理论上牛顿插值与拉格朗日插值所得插值多项式完全相同，只是不同写法。
2.算法描述分析函数：homework1.C 画图函数：DrawPlot.cpp为简化程序，将Lagrange插值与Newton插值算法作为子函数调用。
子函数Lagrange()中，输入插值点个数n，插值点集x[n]，y[n]，即可得到x点的Lagrange插值函数值L(x)。
同样，Newton()中输入相同信息可得到x点Newton插值函数值N(x)。
主函数main()中，先根据设定选择样点为等距分割还是Chebyshev分割，取得点集point_x[n+1]和point_y[n+1]，取点范围（-1，1）。
再调用子函数分别计算各x[i]点下的真实函数值，牛顿插值函数值，拉格朗日插值函数值及各种误差，在循环结束后将需要的误差L_inf 和L1输出到屏幕。
最后利用root TGraph把计算得到的数组画出函数图像，并存到rootfile 中。
在误差计算中只用了-1~0上的点，画图时扩大范围画到-1~1全部点DrawPlot函数中读取了homework1.C中画的函数图像，将其整合到一起，设置线条颜色及宽度，加上一个图例，重新生成一张图像。
《计算方法》学习报告
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。
有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。
解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。
插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如cosx,sinx等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。
逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。
在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。
被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。
因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。
这种方法就叫插值逼近或者插值法。
插值法要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定一个简单的函数P(x)作为f(x)的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
2.国内外研究进展插值理论是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。
拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。
1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。
近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
插值方法综述报告
实用数值方法(Matlab)综述报告题目：插值方法综述小组成员姓名：毛晓雯学号：201202070607 班级：机自6 班2014-2015(1)学期提交日期：2014年12月29日插值方法综述1 插值方法总结在离散数据基础上补插出连续函数是计算数学中最基本最常用的手段，是函数逼近的重要方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取值状况估算该函数在其它点处的值。
因此，插值方法是观测数据处理、函数近似表示、计算几何造型等所常用的工具，又是导出其它许多数值方法的依据。
在教材的第二章中我们重点学习了Lagrange 插值、Aitken 逐步插值、Taylor 插值和Hermite 插值，另外也初步了解了分段插值和样条插值。
下面对此做一简单介绍：首先，Lagrange 插值要求其插值函数()p x 与所逼近的函数()f x 在一系列节点上取相同的函数值，其形式为00nnji i j i jj ix x y y x x ==≠⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭∑∏。
Aitken 逐步插值是对Lagrange 插值的改进，它是将多点的Lagrange 插值化归为两点插值的重复，是一个规模递减的过程。
Talor 插值则是要求插值函数与原来的函数在一系列节点上导数相同，其形式''()'20000000()()()()()()()()2!n n n f x f x p x f x f x x x x x x x n =+-+-++-L 。
Hermite 插值综合了Lagrange 插值和Talor 插值，它既要求插值函数与原来的函数在节点上具有相同的函数值，又要求其在节点上导数相同。
Hermite 插值函数可通过待定系数法、余项校正法、基函数法这三种方法构造。
分段插值是将插值函数逐段多项式化，选取分段多项式最为插值函数。
最后样条插值是指选取样条函数作为插值函数，是一种改进的分段插值，具有光滑性和间断性。
实验2— 插值法
《计算方法》实验报告二级学院：计算机学院专业：指导教师：班级学号：姓名：实验二插值法1、实验目的1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。
2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。
2、实验设备PC机一台，C语言、PASCAL语言、Matlab任选3、实验要求1）认真分析题目的条件和要求，复习相关的知识，选择适当解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3）上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4）分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；4、实验内容1）已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求 x=0.5635时函数近似值。
2)给出函数y=f(x)=shx在x属于[0.5,0.8]的部分函数值（0.50,0.521095）, (0.55,0.578152),(0.60,0.63654),(0.65,0.696748),(0.70 ，0.758584), (0.75,0.822317),(0.80,0.888106)用等距结点差值来计算 x=0.52处的值。
5、原理：拉格朗日法求解原理：通过给出的4个点，根据拉格朗日的基函数构造拉格朗日函数，然后把 x=0.5635代入函数求出函数值。
差分的原理：通过给的点构造差分表，然后根据差分表写出差分函数，把x=0.52代入差分公式求出函数值。
6、设计思想：1)通过拉格朗日函数的构造，把x的值代入函数。
2)写出差分函数，然后把x的只代入函数求值。
7、对应程序：拉格朗日法求解#include<stdio.h>#include<math.h>void main(void){float x=0.5635;float x0=0.56160,x1=0.56280,x2=0.56401,x3=0.56521;float y0=0.82741,y1=0.82659,y2=0.82577,y3=0.82495;float L0=((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)) /((x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3));float L1=((x-x0)*(x-x2)*(x-x3)) /((x1-x0)*(x1-x2)*(x1-x3));float L2=((x-x0)*(x-x1)*(x-x3)) /((x2-x0)*(x2-x1)*(x2-x3));float L3=((x-x0)*(x-x1)*(x-x2)) /((x3-x0)*(x3-x1)*(x3-x2));float L=L0 * y0+L1*y1+L2*y2+L3*y3;printf("%.3f\n",L);}差分法求解#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float x=0.52;float t=0.4;float y0=0.521095,y1=0.578152,y2=0.636654,y3=0.696748;float m0=y1-y0;float m1=y2-2*y1+y0;float m2=y3-3*y2+3*y1-y0;float N=y0+t*m0+t*(t-1)*m1/(2*1)+t*(t-1)*(t-2)*m2/(3*2*1);printf("%.4f\n",N);}8、实验结果：拉格朗日法的结果：0.826；差分的结果：0.5438;9、图形（如果可视化）拉格朗日截图：差分截图：10、实验体会通过上机对拉格朗日和差分的进一步理解，更好地把实验与实际计算相结合。
计算方法讲义课件 五 插值
第五章插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n对应的值y0, y i,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：存在性、唯一性、表示方法以及误差分析。
插值和逼近有广泛应用，例如构造曲线曲面等。
5.1 代数插值用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
插值插值问题就是根据已知数据来构造函数y = f (x )的近似表达式。
常用方法就是利用多项式P n (x )，使n i y x P i i n ,2,1,0,)( == ，作为f (x )的近似。
多项式求值方便，且有导数。
称P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点。
用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设x 0 < x 1< …< x n ，记a = x 0, b = x n ，则[a, b]为插值区间。
设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件 n i y x P i i n ,,1,0,)( ==。
得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i ,2,1,0,110==+++⋅。
该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD212112)(111，为范得蒙行列式。
当jixx≠，;,2,1ni=nj,2,1=时，D ≠0，所以P n(x)由a0, a1,…, a n唯一确定。
5.2 Lagrange插值已知y = f (x)在给定点x0, x1上的值为y0，y1。
线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b，使它满足条件P1 (x0) = y0，P1 (x1) = y1。
几何解释就是一条直线。
由解析几何，)()(111xxxxyyyxP---+=或11111)(yxxxxyxxxxxP--+--=。
《计算方法》第四章 插值方法
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
k 0
n
n
其中,
l k ( x)
j 0 j k
x xj x k x j (k 0,1,...n) .
20
构造插值多项式的方法：
(1) (2) 先求插值基函数. 构造插值多项式.
以下的问题：如何分析插值的余项？
21
例题 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
Return
13
§4.2 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
1. 构造线性插值基函数的方法:
n=1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x) = a0 + a1 x 使得
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
由 l k ( xk ) 1, 得:
1 A ( xk x0 ) ( xk xk 1 ) ( xk xk 1 ) ( xk xn )
l k ( x)
k = 0, 1 ,⋯, n .
( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ) ， ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
18
一般情形
希望找到 li (x)，i = 0, …, n 使得 li (xj) = ij ；然后令
Ln ( x ） f ( x k ) l k ( x )，则显然有 Pn(xi) = yi 。
k 0 n
插值计算的原理及应用方法
插值计算的原理及应用方法概述插值计算是基于已知一些数据点，通过建立一个合理的数学函数来估计未知位置的值的一种方法。
它广泛应用于数据分析、数值计算、图像处理等领域。
本文将介绍插值计算的原理以及常见的应用方法。
原理插值计算的原理是基于一个假设：在已知的数据点之间的未知位置上的值可以由数据点之间的函数关系来表示。
通过建立一个合适的插值函数，我们可以预测未知位置上的值。
插值方法可以分为两种类型：多项式插值和非多项式插值。
多项式插值使用多项式函数来逼近数据点之间的关系；非多项式插值使用其他函数形式，如三角函数、指数函数等。
以下是常见的插值方法：1.线性插值–原理：通过连接两个相邻数据点之间的直线来估计未知点的值。
–公式：假设已知数据点为(x0,y0)和(x1,y1)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = y_0 + \\frac{(x - x_0)(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)}$来计算。
–适用场景：适用于数据点之间的变化趋势比较平滑的情况。
2.拉格朗日插值–原理：通过一个多项式函数的线性组合来逼近数据点之间的关系。
–公式：假设已知数据点为(x i,y i)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = \\sum_{i=0}^n y_i \\cdot L_i(x)$来计算，其中L i(x)为拉格朗日基函数。
–适用场景：适用于不等间隔的数据点。
3.牛顿插值–原理：通过一个n次多项式来逼近数据点之间的关系。
–公式：假设已知数据点为(x i,y i)，则未知位置(x,y)的值可以通过公式$y = f[x_0] + f[x_0, x_1](x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x-x_0)(x-x_1) +\\ldots$来计算，其中$f[x_0], f[x_0, x_1], f[x_0, x_1, x_2], \\ldots$为差商。
–适用场景：适用于等间隔的数据点。
应用方法插值计算在许多领域中都有广泛应用。
计算方法读书报告
读书报告《计算方法》学院：数学与统计学院姓名：蒋旭辉学号：0501090132专业：数学与应用数学（教育方向）浅论拉格朗日与牛顿插值法计算方法是一种以计算机为工具，研究和解决有精确解而计算公式无法用手工完成和理论上有解而没有计算公式的数学问题的数值近似解的方法。
在实际中，数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响，科学技术各领域的问题通过建立数学模型和数学产生密切的联系，并以各种形式应用于科学与工程领域。
而所建立的这些数学模型，在许多情况下，要获得精确解是十分困难的，甚至是不可能的，这就使得研究各种数学问题的近似解变的非常重要了，计算方法就是这样一门课程，一门专门用来研究各种数学问题的近似解的一门课程。
计算方法的一般步骤四：实际问题抽象出实际问题的物理模型，再有物理模型具体出数学模型，根据相关的数值方法利用计算机计算出结果。
从一般的过程可以看出，计算方法应该具有数学类课程的抽象性和严谨性的理论特性和实验课程的实用性和实验性的技术特征等。
随着计算机的飞速发展，数值计算方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算机经济学等各个领域，并且在航天航空、地质勘探、桥梁设计、天气预报和字形字样设计等实际问题领域得到广泛的应用。
我们所学习的《计算方法》这门课程可以分为三大块：数值逼近，数值代数，常微分方程。
1.数值逼近模块这模块的知识点主要分布在第一章到第三章。
第一章：数值计算中的误差。
主要的知识点是绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数字等概念的引入和计算绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限及有效数字的方法。
第二章：插值法。
在这一章中，主要的就是拉格朗日插值法与牛顿插值法的讲述。
拉格朗日插值法中核心就是去求插值结点的插值基函数，牛顿插值法中核心就是计算插值结点的差商，还有就是截断误差的说明。
第三章：曲线拟合的最小二乘法。
重点是最小二乘法的法则和法方程组列写，如何利用法方程组去求一个多项式各项的系数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
插值法综述一、插值法及其国内外研究进展1.插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。
2.国内外研究进展● 插值法在预测地基沉降的应用● 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 ● 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用 ● 插值法在结构抗震可靠性分析中的应用● 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用 3.代表性文献● 不等时距GM(1%2c1)模型预测地基沉降研究 秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) 2008.2● 不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法 牛志伟 岩土力学 2008.3 ● 基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10 ● 响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程 1997 ● 小议应力集中应变分布规律的实验方法 查珑珑 淮海工学院学报（自然科学版）2004.6二、插值法的原理【原理】设有n+1个互不相同的节点（i x ，i y ） （i=0，1，2，...n ）则存在唯一的多项式： 2012()...(1)nn n L x a a x a x a x =++++使得()(0,1,2,...)(2)n j j L x y j n ==证明：构造方程组20102000201121112012......(3)...n n nn n nn n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩令：0011111nn n nn x x x x A x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n a a X a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的矩阵形式如下：(4)AX Y=由于110()0nn i j i j A x x -===-≠∏∏所以方程组（4）有唯一解。
从而2012()...n n n L x a a x a x a x =++++唯一存在。
三、常用插值法3.1 Lagrange 插值法3.1.1 Lagrange 插值法的一般提法给定))(,(i i x f x ),,1,0(n i =，多项式∑∏∑=≠==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==n i nij j j i j i ni i i n x x x x y x l y x 000)()(ϕ 称为)(x f 关于n x x x ,,,10 的n 次Lagrange 插值多项式。
3.1.2 Lagrange 插值多项式的构造 已知n+1个节点(,)(0,1,,j j x y j n =其中j x 互不相同，不妨设01),n a x x x b =<<<=要求形如：1110()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ 的插值多项式。
若n 次多项式()(0,1,,)j l x j n =在n+1个节点01n x x x <<<上满足条件：1,;()(,0,1,,)0,.j k k j l x j k n k j =⎧==⎨≠⎩就称这n+1个n 次多项式01(),(),,()n l x l x l x 为节点01,,,n x x x 的n 次插值基函数。
3.1.3 Lagrange 插值法的程序设计 f[x_]:=Exp[x]A=Table[{x,f[x]},{x,0,0.8,0.2}]//Ng1=ListPlot[Table[A],Prolog->AbsolutePointSize[18]]; Interpolation[A,InterpolationOrder->3] g2=Plot[%[x],{x,0,0.8}] Show[g1,g2] N[%%%[0.12],20] N[%%%%[0.72],20] N[f[0.12],20] N[f[0.72],20]3.1.4 Lagrange 插值法典型例题及其解法5===，构造二次拉格朗日插值多项式。
（1）计算（2）估计误差并与实际误差相比较。
解（1）以插值点(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得222()()2000x x j x y l x y i i ix x i i j i j j iφ⎛⎫⎪-⎪==∑∑∏⎪-===⎪ ⎪≠⎝⎭=(64)(125)(27)(125)(27)(64)345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)x x x x x x ------⨯+⨯+⨯------(100)2(10064)(100125)(10027)(100125)(10027)(10064)345(2764)(27125)(6427)(64125)(12527)(12564)ϕ≈------=⨯+⨯+⨯------ 4.68782=(2) 由误差公式有(3)()()(27)(64)(125)3!f R x x x x ξ=---记810(3)(3)3()(),()27f x f x x f x -==在[27，125]上是单调递减函数。
(3)(3)5()(27) 5.6450310f x f-≤≈⨯(3)()(100)(10027)(10064)(100125)0.6181316f R ξ∴≤---≈2(100)0.04623ϕ=。
3.1.5 Lagrange 插值法误差估计(1)0()()()()(),(,)(1)!n nn n j j f R x f x L x x x a b n ξξ+==-=-∈+∏ (1)1()n n fM ξ++≤10()(1)!nn n j j M R x x x n +=⇒≤-+∏ 3.2 Newton 插值法3.1.1 Newton 插值法的一般提法],,,[)())((],,[))((],[)()()(1011021010000n n n x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x N----++--+-+=称为Newton 插值多项式。
3.1.2 Newton 插值多项式的构造()(-)(-)(-)(-)(-)0102010-1N x a a x x a x x x x L a x x L x x n n n =++++由插值条件()(0,1,,)N x f j n n j j == 当0x x =时,()000N x a f n ==.当1x x =时,1()()1010N x a a x x f n =+-=,推得 1000110f fa fa x x-==-. 当2x x =时，()()()()20120220212N x a a x x a x x x x f n =+-+--=20102010221f f f fa x x---=- 则引入记号：[][]10[][,]0110f x f x f f x f x x k k x x -==- [,][,]0201[,,]01221f x x f x x f x x x x x -=-2010201021f f f f x x x x x x-----=- 依次递推可得a k 的一般表达式：[,,...,][,,...]012011[,,...,]011f x x x x f x x x k k k f x x x k x xk k ---=--3.1.3 Newton 插值法的程序设计{x[0],x[1],x[2],x[3],x[4]}={10,11,12,13,14}; y[k_]:=Log[x[k]] Table[y[k],{k,0,4}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_]:=(y[j]-y[i])/(x[j]-x[i]) Table[f[i,i+1],{i,0,3}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_]:=(f[j,k]-f[i,j])/(x[k]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2],{i,0,2}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_,l_]:=(f[j,k,l]-f[i,j,k])/(x[l]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2,i+3],{i,0,1}]//N; MatrixForm[%]f[i_,j_,k_,l_,m_]:=(f[j,k,l,m]-f[i,j,k,l])/(x[m]-x[i]) Table[f[i,i+1,i+2,i+3,i+4],{i,0,0}]//N; MatrixForm[%]A={{y[0],y[1],y[2],y[3],y[4]},{0,f[0,1],f[1,2],f[2,3],f[3,4]}, {0,0,f[0,1,2],f[1,2,3],f[2,3,4]},{0,0,0,f[0,1,2,3],f[1,2,3,4]}, {0,0,0,0,f[0,1,2,3,4]}};Transpose[A]//N; MatrixForm[%] a[0]=y[0]; a[1]=f[0,1]; a[2]=f[0,1,2]; a[3]=f[0,1,2,3]; a[4]=f[0,1,2,3,4];N[x]=Sum[a[k]*Product[(x-x[m]),{m,0,k-1}],{k,0,4}]//N Expand[%]3.1.4 Newton 插值法典型例题及其解法 已知函数()f x 的函数表如下：求四次牛顿插值多项式，并由此求()596.0f 的近似值。
分析 表中给出六对数据，故最高可构造五次多项式。
但由于0.596接近于40.00=x ，因此可取前五对数据来做差商表。
解 构造差商表如下：故四次牛顿插值多项式为()()()()+--+-+=55.04.028000.04.011600.141075.04x x x x P ()()()()()⨯--+---55.04.003134.065.055.04.019733.0x x x x x()()80.065.0--x x于是()596.0f ≈()596.04P ＝0.631 95。
3.1.5 Newton 插值法误差估计(1)1(1)()()()()()(1)!n n t t t n h fR x f x N x th n n nn ξ++++=-+=+ 其中(,).0x x nξ∈四、插值法的比较Lagrange 插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上十分重要，但计算不太方便。