中点弦问题PPT

二、过定点的弦的中点坐标问题
例3 ：已知椭圆x2 y2 1一条弦的 75 25
斜率是3，它于直线x= 1的交点恰是 2
这条弦的中点M，求点M的坐标。
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三、求与中点弦有关的圆锥曲线方程 例4 ：已知中心在原点，一个焦点是 F(0, 50)的椭圆被直线L：y=3x-2 截得的弦的中点的横坐标是1
4 y 1y 2 ]
(1
1 k2
)
y1
y2
本公式适用于圆、椭圆、双曲线、抛物线 12
例5：报纸15期第2版 方法导学二：变式训练6
若直线L：y=kx-2交抛物线 y2 8x于A,B两点，且AB的 中点是M(2, y0),求y0及弦AB长.
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抛物线弦的斜率与中点P的关系
若圆锥曲线是抛物线 y2 2px,( p 0) 则A(x1, y1)，B(x2, y2)满足抛物线方程 所以：y12 2px1,(1)； y22 2px2,(2) (1) (2) : k p
n
对于其它三种开口的情况类似！
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验证直线L是否存在
前面已算出弦的斜率k，设P(m,n)是弦的中点 若这样的直线存在则L方程是 y - n = k(x - m)
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一、以定点为中点的弦所在直线问题
问题：设圆锥曲线为C，定点是P(m,n) 是否存在过P的直线L交C于两点A,B， 使P是A,B的中点
解法：设这样的直线L存在，与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点
1、先求直线L的斜率与中点P的关系 2、验证直线L是否存在
（是否交圆锥曲线于两点，验证判别式）
把直线方程代入圆锥曲线中计算判别式
若 0,有两个交点 这样的直线存在 若 0,有一个或无交点 这样的直线不存在
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例题分析
例1 ：过椭圆x2 y2 1内点M(2,1) 16 4
引一条弦，使弦被M点平分， 求这条弦所在的直线方程。
例2：报纸14期，B8(2) 已知双曲线2x2 y2 2,点P(1,2)， 是否存在过点P的直线L交双曲线于 A、B两点，且满足P是A,B的中点？ 9
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椭圆弦的斜率与中点P的关系
若圆锥曲线是椭圆 x2 y2 1 a2 b2
则 A( x1, y1 )， B ( x2 , y2 )满 足 椭 圆 方 程
所 以 ：x12 a2
y12 b2
1, (1)；
x22 a2
y22 b2
1, (2)
(1)
(2) :
k
b2m a2n
对于焦点在y轴上的情况类似！ 5
2 求椭圆的方程。
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四、圆锥曲线统一的弦长公式
设圆锥曲线是C，直线方程是y=kx+b若直线 交曲线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则
A B (1 k 2 ) [ ( x 1 x 2 ) 2 4 x 1x 2 ]
(1 k 2 ) x 1 x 2
(1
1 k2
)[(y
1
y 2 )2
双曲线弦的斜率与中点P的关系
若圆锥曲线是双曲线
x2 a2
y2 b2
1
则 A( x1, y1 )， B ( x2 , y2 )满 足 双 曲 线 方 程
所 以 ：x12 y12 1, (1)； x22 y22 1, (2)
a2 b2
a2 b2
(1)
(2)
:
k
b2m a2n
对于焦点在y轴上的情况类来自百度文库！ 6
中点弦问题
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概念：与圆锥曲线弦的中点有关的 问题称为中点弦问题。
解题方法：点差法
设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）是 A(x1,y1),B(x2,y2)则这两点满足圆锥曲线方程， 代入方程两式相减可得直线斜率和AB中点的 关系，所以称为点差法。
注意：保证交点有两个才能构成弦！
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题型
1、以定点为中点的弦所在直线问题 2、过定点的弦的中点坐标问题 3、求与中点弦有关的圆锥曲线方程 4、圆锥曲线统一的弦长公式