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中点弦问题(基础知识)

圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。

注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

2、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。

∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

八年级下学期期末复习专题之中点问题课件(共22张PPT) 人教版初中数学八年级下册

八年级下学期期末复习专题之
中点问题
复习导入
说一说与中点有关的性质定理有哪些？
中位线定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半垂直平分线的性质等腰三角形的“三线合一” 垂径定理
中点问题七个类型： 1、三角形面积＋中点 2、多个中点或平行＋中点 3、直角三角形＋斜边中点 4、等腰三角形＋底边中点 5、同一边遇垂直＋中点 6、三角形＋中点有关的线段 7、圆＋弦或弧的中点
针对练习
4.如图，在△ABC中,AD是高，CE是中线，点G
是CE的中点，DG ⊥CE,垂足为G.
求证: DC=BE
证明：连接DE, ∵AD是高，CE是中线， ∴DE=BE=AE, 又G是CE的中点，DG ⊥CE ∴DE=DC ∴DC=BE
问题六三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)
如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形。
3.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90 °, BC= 6 , AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD=5,则
25 AE=_____4____
专题提升
4．★如图，⊙O 中，AB 是直径，AB＝10，BC＝8，E 是BC 的中点，连接 AE 交 BC 于点 D，则 AD＝__3__5____．
中线等分面积构造中位线直角三角形斜边中线性质
等腰三角形“三线合一” 垂直平分线性质倍长中线构造全等垂径定理及圆周角定理
问题一三角形面积＋中点
1 AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝ 2 S△ABC.
(△ABD与△ACD是等底同高的两个三角形)
针对练习
1. 在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且 S△ABC＝16，则S△DEF＝( A ) A. 2 B. 8 C. 4 D. 1

中点弦课件

x12 y12 1 (1) a 2 b2 2 2 x y 2 2 1 ( 2) a 2 b2
(1) (2) : a ( y y ) b ( x x ) 0
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2
y1 y2 b2 x1 x2 b2 x 2 2 x1 x2 a y1 y2 a y
2 2
2
2
法二: 设椭圆方程为y x 1(a b 0) 2 2 直线y=3x-2与椭圆交与A、B两点.
y12 x12 2 1 (1) 2 A(x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),则 a 2 b 2 y2 x2 1 (2) a 2 b2
2
2
a
b
( y1 y2 )( y1 y2 ) ( x1 x2 )( x1 x2 ) (1) (2)得 2 2 a b
y1 y2 a 2 ( x1 x2 ) a 2 x1 x2 即 2 2 x1 x2 b ( y1 y2 ) b y1 y2
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.
练习：在椭圆 x 4 y 16中，求过点 M(2,1) 且
2 2
被这点平分的弦所在的直线方程 .
解：法一：设弦两端点为P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )
x1 x2 4 y y 2 1 2 2 2 x 4 y 1 1 1 2 2 x 4 y 2 1 2 (1) ( 2) (3) ( 4)
1. 直线与椭圆的位置关系的判定: 几何角度:交点的个数代数角度:方程组解的个数
2 故需研究判别式 b 4ac 的取值的正负.

高考理数复习---弦长及中点弦问题考点与例题PPT课件

ax22＋by22＝0，② 由①－②得a(x21－x22)＝－b(y21－y22)，整理得xy11＋＋xy22·xy11－－xy22＝－ ab，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝yx00＝22yx00＝xy11＋＋xy22＝－ 23，又知 kAB＝－1，∴－ 23×(－1)＝－ab，∴ab＝－ 23，故选A.]
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
6
由题意知y1＋2 y2＝1， ∴y1＋y2＝14（10bb22＋＋44）＝2，解得b2＝8. ∴所求椭圆方程为x82＋1y22 ＝1. 法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为b2y＋2 4＋bx22＝1(b>0)．
高考理数复习---弦长及中点弦问题考点与例题 PPT课件
弦长及中点弦问题中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
2
(1)过椭圆1x62 ＋y42＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦
所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
因为k≠0，所以－12<xG<0，即点G横坐标的取值范围为(－12，0)．]
16
弦长问题求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ 1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．

椭圆的中点弦课件

06
课后作业布置与要求
书面作业：完成教材上相关练习题
1 2
习题1
求解给定椭圆方程的中点弦方程。
习题2
证明椭圆的中点弦方程与椭圆方程的关系。
3
习题3
利用中点弦方程求解椭圆上的两点距离等问题。
思考题
思考1
当椭圆离心率变化时，中点弦的长度和斜率如何变化？
思考2
当椭圆长轴和短轴的长度比例变化时，中点弦的位置和形状有何规律？
椭圆方程及其特点
标准方程
椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴。
特点
椭圆方程是一个二次方程，具有两个独立的变量，描述了椭圆上任意一点的坐标满足的关系。
焦点、长轴和短轴等概念
焦点
椭圆上的两个定点，位于长轴上，距离椭圆中心为$c$，满足 $c^2=a^2-b^2$。
中点弦经过椭圆中心，与椭圆长轴、短轴分别交于两点，这两点与椭圆中心构成的线段互相垂直。
中点弦与椭圆离心率关系
中点弦的斜率与椭圆的离心率有关，离心率越大，中点弦的斜率绝对值越大。
求解中点弦方法论述
联立方程法
利用椭圆方程和中点坐标，联立求解得到中点弦的方程。
点差法
利用椭圆上两点坐标的差和中点坐标，通过计算求解得到中点弦的方程。
长轴
通过椭圆中心的线段，连接两个焦点，长度为$2a$。
短轴
与长轴垂直的线段，通过椭圆中心，长度为$2b$。
02
中点弦定理介绍
中点弦定义及性质
中点弦定义
椭圆上任意两点连线的中点所在直线称为中点弦。

3.2.2双曲线的简单几何性质第四课时(双曲线中点弦问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性

x1 x2 4, y1 y2 2
由x12
y12 3
1, x22
y22 3
1得x12
x22
y12 3
y22 3
y1 y2 3 x1 x2 6k 6 x1 x2 y1 y2
MN直线方程为y 1 6(x 2),代入x2 y2 1得 3
33x2 132x 124 0, 1322 132124 0
x1
x2
2m 3
AB中点横坐标为1 3
x1
x2
2 ， 2m 33
2 3
m 1, 代入方程得： 3x2 2x 5 0
(2)2 60 62 0符合题意
m 1
三、例题讲解：
例1：已知直线 y x m与双曲线 x2 y2 1相交于A, B两点，AB中点横坐标为 1，
4
3
求m的值。
A(3. 1)是弦CD的中点 x1 x2 6, y1 y2 2
x12 4
y12
1,
x22 4
y22
1 x12
x22 4
y12
y22
k y1 y2 x1 x2 3 x1 x2 4( y1 y2 ) 4
直线CD所在方程为: y 1 3 (x 3) 4
整理得：3x 4 y 5 0代入 x2 y 2 1得：5x2 30x 41 0 4
b 0)
x a或x a, y R
A1(- a,0) A2(a,0)
e c (e 12
1
b2 a2
ybx a
c2 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y a或y a, x R
A1(0,-a) A2(0,a)
e 2c | F1F2 | 2a || PF1 | | PF2 ||

数学-22届高考数学精品微专题：中点弦问题

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k AB OE -=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a a y b x ，则22ba k k AB OE -=⋅.2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=-by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=-bx a y ，则22b a k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=二、典例【选填+解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b b x x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222-=-=⋅e a b k k AB OM ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⨯-1011212e e，故e =．3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ．【解析】22a b k k AB MF -=⋅，得22)1(13)1(0ab -=-⨯---，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12-C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b -2b 2a 221189x y +=4.（2018全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <-．【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则4322-=-=⋅a b k k AB OM ．由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43-=⋅m k ，于是34k m=-．由⎪⎩⎪⎨⎧<+>134102m m 得302m <<，故12k <-．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=， ∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==，∴2222223c a b a a -==，∴c e a ==．故选B ．方法2：（秒杀解）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-⇒-=-=⋅1031112222e e e a b k k OM AB ，得36=e ．故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+，则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，∴22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ∴:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-，故选：C)(4R m m x y ∈+=C 12322=+y x B A ,AB M M 16.+-=x y A 6.xy B -=)33(16.<<-+-=x x y C )526526(6.<<--=x x y D8．（2020·四川成都市·成都七中）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1-），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得AB k 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b -，即可求解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又ABk =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2- 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =-，21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>∴222112b e a =-=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +-=-=-+-．11·2OD k k ∴=-，同理21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，故B 错，C 正确．又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >-=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．2±B ．2± C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b---=-⨯--⨯=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x -=⋅==-∴，则ba=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y -=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB 的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116- B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121228x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 代入双曲线2214x y -=得，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：()()22221212104y y x x ---=，整理得：1212121214y y x x x x y y -+=⋅-+，所以12121214816ABy y k x x -==⨯=-.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D．2【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b-=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ， AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b-+-+=，即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又M F ABM F y y kx x -===-，即2255a -=-，解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y --= B.2100x y +-= C.20x y -= D.280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C16．（2020·河南周口市·高三）已知双曲线2218y x -=上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=-（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，221118y x -=，222218y x -=,两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +--+=，整理可得0121208y x x y y x -=-，即18OD AB k k =，同理得18OE BC k k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=-，所以1111AB BC ACk k k ++=-.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b -+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y -=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k -⋅=--，所以1k =，()22224512b =-+=，即21b =，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +-=====-+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y -=.18．（2017·河北衡水中学高考模拟）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.22134x y -= B.22143x y -= C.22152x y -= D.22125x y -= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（） A.B.C. D. 2【答案】D 【解析】【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>(,0)F c -(2,0)Pc()00,M x y 11,1,MF MP k k ==-AB M ,a c ()00,x y 0000112y x c y x c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b-=-=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】A【分析】利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-，即()()()1212124y y y y x x +-=-，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P（x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），1212121222()()()()1x x x x y y y y a b -+-+-=002210x y a b -⋅=2213,a b=223b a =2,c a ∴=2e =设直线l 为：x ＝my +，且k ＝，A （x ，y ），B （x '，y '），直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x .24．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ，则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --，又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =，而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=，又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（1）若l 的方程为21y x =-，求AB ；（2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1）4；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解；（2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程.【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===．（2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-，因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=．。

中点弦三种题型

1）求弦所在的直线方程；（2）求弦的中点的轨迹方程；（3）求弦的中点坐标。

一、以定点为中点的弦所在直线的方程
1、过椭圆{ EMBED Equation.3 |14
162
2=+y x 内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

2. 已知直线L 和椭圆相交于A,B 两点，为A,B 的中点，求直线L 的方程。

3：已知直线L 与双曲线相交于A,B 两点，为A,B 的中点，求直线L 的方程
4、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。

若存在这
样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

2.求弦中点的轨迹方程
5、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

6. 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
7. 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 3. 求弦的中点坐标
8、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标
二、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
9、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。

第97课--中点弦问题

第97课中点弦问题基本方法：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识，中点弦问题主要涉及点差法和中点坐标公式.常用到的公式：中点坐标公式1202x x x +=.涉及到中点和斜率问题，也可以考虑设而不求法，利用点差法求解.一、典型例题1.已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值.答案：3m =解析：根据题意，,A B 所在直线的斜率存在，设:AB l y kx n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y kx nx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx n --=，所以122x x k +=，得()2,M k k n +.又121y y m ++=即1221kx kx n m +++=，得2221k n m ++=（*）.又1MC k k =-，即221k n +-=-，整理得21k n =-，代入（*）式，得3m =.2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为()0,1B ，半焦距为c ，离心率2e =，又直线():0l y kx m k =+≠交椭圆于()11,M x y ，()22,N x y 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1,1k m ==-，求弦MN 的长；（3）若点11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭恰好平分弦MN ，求实数,k m .答案：（1）2214x y +=；（2）825；（3）12k =-，1m =解析：（1）根据题意222132b c ab c a =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）联立直线方程和椭圆方程:22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2580x x -=，解得0x =或85x =，所以()0,1M -，83,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN =.（3）11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭恰好平分弦MN ，所以121212122x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.,M N 在椭圆上，则22112222114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下相减得()()()()12121212+++04x x x x y y y y --=，即()()1212+02x x y y --=，则121212y y x x -=--，即12k =-，点Q 在直线上，所以直线()11:122l y x -=--，整理得112y x =-+，所以1m =.综上所述，12k =-，1m =.二、课堂练习1.已知()(2,0),2,0A B -，斜率为k 的直l 上存在不同的两点,M N满足MA MB -=，NA NB -=，且线段MN 的中点为()6,1，求直线的斜率k .答案：2解析：∵04MA MB <-=<，04NA NB <-=<，∴,M N 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线的方程为2213x y -=.设()()1122,,,M x y N x y ，则221113x y -=，222213x y -=，两式相减得()()()()121212123x x x x y y y y -+=-+，又∵线段MN 的中点为()6,1，∴1212122x x y y +=⎧⎨+=⎩，故有12122y y x x -=-，即2k =.2.已知椭圆C ：22143x y +=，若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆C 相交时，证明：这组平行线被椭圆C 截得的线段的中点在同一条直线上.答案：见解析解析：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，它们的中点坐标为()00,x y .由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得()()()()21212121043x x x x y y y y -+-++=，()()()()21212121043x x y y y y x x +-++=⨯-，由已知21212y y -=-，所以00380x y +=，故直线被椭圆C 截得的线段的中点都在直线380x y +=上.三、课后作业1.已知椭圆22:1164x y C +=，过点()2,1P 作直线l 与该椭圆相交于,A B 两点，若线段AB 恰被点P 所平分，求直线l 的方程．答案：240x y +-=解析：设()()1122,,,A x y B x y ，∴2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=.∵AB 的中点为()2,1P ，∴124x x +=，122y y +=，代入上式得()()1212420164x x y y --+=，则12AB k =-，∴l 的方程为11(2)2y x -=--即为240x y +-=．2.已知抛物线26y x =，过点()2,1P 引一条弦12P P 使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及12PP .答案：350x y --=；21103解析：设直线上任意一点坐标为(),x y ，弦两端点111222(,),(,)P x y P x y ．∵()2,1P 12,P P 在抛物线上，∴2211226,6y x y x ==，两式相减，得121212()((6))y y y y x x +-=-．∵()2,1P 平分12P P ，∴122y y +=，∴12121263y y k x x y y -===-+，∴直线的方程为(12)3y x -=-，即350x y --=.联立26350y x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，得22100y y --=，∴12122,10y y y y +=⋅=-，∴12P P =＝21103.3.已知椭圆22:12x E y +=，设直线:(0)l y x m m =+<与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当点T 到直线l 距离为26时，求直线l 方程和线段AB 长.答案：102x y --=；2113解析：设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得2234220x mx m ++-=.由()()22412220m m ∆=-->，又0m <，得0m <<.又21212422,33m m x x x x -+=-=，设,A B 中点为C ，C 点横坐标122,233C C C x x m m x y x m +==-=+=，即2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭.∴T 点坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，T 到AB的距离6d ==，又0m <，12m ∴=-，即直线l 方程为102x y --=.∴2113AB =.。

1.-中点弦问题(点差法)

圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题------点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。

四、弦中点问题

（四）圆锥曲线问题之——弦中点问题
1.过椭圆14
162
2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。

2 .过椭圆136
642
2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

3.求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。

4..已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为63
，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点(0,1)P ，且PA PB =，求直线l 的方程.
5. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为23，离心率63e =. （I ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M N 、，点(0
,1)D -，当||||D M D N =时，求实数m 的取值范围.。

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抛物线弦的斜率与中点P的关系
若圆锥曲线是抛物线 y2 2px,( p 0) 则A(x1, y1)，B(x2, y2)满足抛物线方程所以：y12 2px1,(1)； y22 2px2,(2) (1) (2) : k p
n
对于其它三种开口的情况类似！
7
验证直线L是否存在
前面已算出弦的斜率k，设P(m,n)是弦的中点若这样的直线存在则L方程是 y - n = k(x - m)
二、过定点的弦的中点坐标问题
例3 ：已知椭圆x2 y2 1一条弦的 75 25
斜率是3，它于直线x= 1的交点恰是 2
这条弦的中点M，求点M的坐标。
10
三、求与中点弦有关的圆锥曲线方程例4 ：已知中心在原点，一个焦点是 F(0, 50)的椭圆被直线L：y=3x-2 截得的弦的中点的横坐标是1
把直线方程代入圆锥曲线中计算判别式
若 0,有两个交点这样的直线存在若 0,有一个或无交点这样的直线不存在
8
例题分析
例1 ：过椭圆x2 y2 1内点M(2,1) 16 4
引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在的直线方程。
例2：报纸14期，B8(2) 已知双曲线2x2 y2 2,点P(1,2)，是否存在过点P的直线L交双曲线于 A、B两点，且满足P是A,B的中点？ 9
4
椭圆弦的斜率与中点P的关系
若圆锥曲线是椭圆 x2 y2 1 a2 b2
则 A( x1, y1 )， B ( x2 , y2 )满足椭圆方程
所以：x12 a2
y12 b2
1, (1)；
x22 a2
y22 b2
1, (2)
(1)

(2) :
k
b2m a2n
对于焦点在y轴上的情况类似！ 5
4 y 1y 2 ]
(1
1 k2
)
y1
y2
本公式适用于圆、椭圆、双曲线、抛物线 12
例5：报纸15期第2版方法导学二：变式训练6
若直线L：y=kx-2交抛物线 y2 8x于A,B两点，且AB的中点是M(2, y0),求y0及弦AB长.
13
2 求椭圆的方程。
11
四、圆锥曲线统一的弦长公式
设圆锥曲线是C，直线方程是y=kx+b若直线交曲线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则
A B (1 k 2 ) [ ( x 1 x 2 ) 2 4 x 1x 2 ]
(1 k 2 ) x 1 x 2
(1
1 k2
)[(y
1
y 2 )2
3
一、以定点为中点的弦所在直线问题
问题：设圆锥曲线为C，定点是P(m,n) 是否存在过P的直线L交C于两点A,B，使P是A,B的中点
解法：设这样的直线L存在，与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点
1、先求直线L的斜率与中点P的关系 2、验证直线L是否存在
（是否交圆锥曲线于两点，验证判别式）
中点弦问题
1
概念：与圆锥曲线弦的中点有关的问题称为中点弦问题。
解题方法：点差法
设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）是 A(x1,y1),B(x2,y2)则这两点满足圆锥曲线方程，代入方程两式相减可得直线斜率和AB中点的关系，所以称为点差法。
注意：保证交点有两个才能构成弦！
2
题型
1、以定点为中点的弦所在直线问题 2、过定点的弦的中点坐标问题 3、求与中点弦有关的圆锥曲线方程 4、圆锥曲线统一的弦长公式
双曲线弦的斜率与中点P的关系
若圆锥曲线是双曲线
x2 a2
y2 b2
1
则 A( x1, y1 )， B ( x2 , y2 )满足双曲线方程
所以：x12 y12 1, (1)； x22 y22 1, (2)
a2 b2
a2 b2
(1)
(2)
:
k
b2m a2n
对于焦点在y轴上的情况类似！ 6