离散数学复习题及答案

1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。

答案：

2.证明 答案：

3. 证明以下蕴涵关系成立：

答案：

4. 写出下列式子的主析取范式： 答案：

5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t

q 答案： )

()(R P Q P ∨∧∧⌝)

()(R P Q P ∨∧⌝∨⌝⇔)

)(())(R Q P P Q P ∧⌝∨⌝∨∧⌝∨⌝⇔)

()()()(R Q R P P Q P P ∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∨∧⌝⇔)

()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)

()()(P R Q P R Q Q R P ⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨)

()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝⇔)

(Q R P ⌝∧∧⌝∨)

()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔Q)

P (Q)(P P)

(Q P)P (Q)(Q Q)P (P)

Q)P ((Q)Q)P (P)

Q (Q)P (Q P ⌝∧⌝∨∧⇔∧∨∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∧∨⌝∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔↔Q Q P P ⇒∨∧⌝)()

()(R P Q P ∨∧∧⌝

①s →t 前提

②t 前提

③s ①②拒取式I12

④s →r 前提

⑤r ③④假言推理I11

⑥p →r 前提

⑦p ⑤⑥拒取式I12

⑧p ∨q 前提

⑨q ⑦⑧析取三段论I10

6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q

7. 请将下列命题符号化：

所有鱼都生活在水中。

答案：

令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中

))((W(x)F(x)x →∀

8. 请将下列命题符号化：

存在着不是有理数的实数。

答案：

令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数

Q(x))x)(R(x)(⌝∧∃

9. 请将下列命题符号化：

尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。

答案：

令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的

则上述命题符号化为

10. 请将下列命题符号化：

对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。

答案：

令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x

11. 请将下列命题符号化：

每个人都要参加一些课外活动。

答案： )))

()((())()((x C x M x x C x M x →⌝∀∧∧∃))

,()()((y x S y P x P y x →∧∀∀

令P(x):x 是人 Q(y): y 是课外活动 S(x,y):x 参加y

12. 请将下列命题符号化：

某些人对某些药物过敏。

答案：

令P(x):x 是人 Q(y): y 是药 S(x,y):x 对y 过敏

13. 求)())()((y yR y Q x P y ∀→→∃的对偶式:

答案：

14. 求下列谓词公式的前束范式： 答案：

15. 证明：

答案：

16. 用反证法证明：

x(P(x)∧Q(x)) , xP(x)

xQ(x)

答案：

17. 证明： )

,,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀)

,,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃∨∧∃∀⌝∀⇔)

,,()),(),((u y x uQ z y P z x P z y x ∃∨⌝∨⌝∀∃∃⇔)

,,()),(),((u t s uQ z y P x P y x ∃∨⌝∨⌝∀∃∃⇔ωω))

,,(),(),((u t s Q z y P x P u y x ∨⌝∨⌝∃∀∃∃⇔ωω))(),()((y Q y x S x P y x ∧→∃∀))(),()((y Q y x S x P y x ∧∧∃∃)

,,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀

前提：x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)).

结论：x(Q(x)∧R(x)).

答案：

(1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引入

(2) C(a)∧Q(a) (1)ES

(3) C(a) (2)化简规则

(4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引入

(5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US

(6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理

(7) R(a) (6)化简规则

(8) Q(a) (2)化简规则

(9) R(a)∧Q(a) (7)(8)合取引入规则

(10) x(Q(x)∧R(x)) (9)EG

18. 判断：下列命题是否正确？

答案：

(1) √

(2) ×

(3) √

(4) √

(5) √

(6) √

(7) √

(8) ×

19. 列出下列集合的元素

(1) {x|x∈N∧t(t∈{2,3}∧x=2t)}

(2) {x|x∈N∧t s(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t

(3){x|x∈N∧t(t整除2x≠t)}

答案：

(1) {4,6}

(2) {1,2,3}

(3) {3,4,5…}

20.

S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}

B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}

答案：

21. 一个学校有507，292，312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。有14人选了A和B，213人选了A和D，211人选了B和C ，43人选了C和D。没有学生同时选择A和C，