最小公倍数最大公因数与两数的关系

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如何求两个数的最小公倍数

④短除法：
用短除法求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。例如：求18和30的最小公倍数，先用用公有的质因数2除，再用用公有的质因数3除，除到两个商是互质数为止。
②最大公因数除乘积法：把两个数的乘积除以这两个数的最大公因数，得到的商就是这两个数的最小公倍数。因为两个数的乘积等于这两个数的最大公因数与最小公倍数相乘的积。（例如，12和16的最大公因数是4，最小公倍数48，则12×16=4×48）。也可以把两个数中的任意一个数除以它们的最大公因数，然后再和另一个数相乘。例如，18 和24的最大公因数是6，可以用18除以6得3，再用3和24相乘便可得到最小公倍数72.。
③分解质因数法：分别把这两个数分解质因数，从质因数中，先找到两个数公有的质因数，再找到两个数独有的质因数，把它们相乘的积，就是这两个数的最小公倍数。例如：求18和30 的最小公倍数，18＝ 2 × 3 × 3；30＝ 2 × 3 × 5；公有的质因数：2、3，18 独有的质因数是3；30独有的质因数：5，所以18和30的最小公倍数：2 × 3× 3 × 5＝90；
如何求两个数的最小公倍数
情况一
1、两个数是互质数（两个数只有公因数1）关系。
两个数的最小公倍数就是它们的乘积。例如，8和9是互质数， 8和9的最小公倍数就是 8×9=72.
情况二
2、两个数是倍数关系。那么，较大的那个数就是两个数的最小公倍数。例如， 25是5的倍数个数是一般的关系。 ①翻倍法：把较大的数依次扩大2倍、3倍……直到扩大的数成为较小的倍数，这个数就是这两数的最小公倍数。例如，求 18和24的最小公倍数，把较大的数24 扩大2倍得48，48不是18的倍数；再把24扩大3倍得72，72是18的倍数，那么，72是18和24的最小公倍数。

简单数论：最大公因数与最小公倍数问题

简单数论：最⼤公因数与最⼩公倍数问题1.最⼤公因数最⼤公因数，也即最⼤公约数。

最⼤公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。

我们求出最⼤公因数可以⽤于分数的约分问题，只要分⼦、分母都除以最⼤公因数d。

最常⽤的求最⼤公因数的⽅法时欧⼏⾥得算法，也即辗转相除法。

时间复杂度为O(logn)。

欧⼏⾥得算法基于下⾯的定理：设a，b为均正整数，则gcd(a,b) = gcd(b,a%b)。

1.1递归写法// 常规写法int gcd(int a,int b){if (b == 0) return a; // 退出边界else return gcd(b,a % b);//递归}// 简化写法int gcd(int a,int b) {return !b?a:gcd(b,a%b);} // 注意加上{}1.2循环写法int gcd(int a,int b){int r;while (b != 0){r = a%b,a = b,b = r; // 辗转相除}return a;}总结：循环写法相对代码多⼀点，但是递归写法内存消耗⼤⼀点。

个⼈还是推荐递归写法，毕竟码字快⼀点。

tips：这⾥要求a>b，但是a<b也能计算，会多递归⼀次，相当于交换。

2.最⼩公倍数接下来我们介绍如何求解最⼩公倍数（Least Common Multiple, LCM）。

我们容易发现，对于两个正整数a和b，它们的最⼩公倍数是ab/d(d是最⼤公因数)。

注意：为了避免a*b可能存在的溢出问题，我们可以改写为a/d*b。

3.例题题⽬链接：。

题⽬描述已知⼀个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最⼩公倍数最⼤可以为多少。

输⼊输⼊⼀个正整数N。

1 <= N <= 10^6。

输出输出⼀个整数，表⽰你找到的最⼩公倍数。

思路：参考⾃。

题⽬要求我们在1 ~ N之间任意选择三个数，使得它们的最⼩公倍数最⼤。

公倍数和公因数

公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。

只有最小公倍数，没有最大公倍数。

3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。

4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的。

最小的公因数是1.6、求两个数的最大公因数的特殊情形：1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。

2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。

3）假如两个数都是质数或者两个数是继续的天然数，那末这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。

7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。

8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。

合数：除了1和它本身外另有别的的因数叫做合数。

9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。

例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=2424是它们的最小公倍数。

10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1.11、1与任意非零天然数的公因数只要1个，就是1.12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。

而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。

公因数和公倍数知识点

公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。

在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。

首先，我们需要了解一些基本知识。

两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。

而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。

求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。

最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。

对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。

对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。

对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。

最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。

还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。

对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。

两数最大公因数和最小公倍数关系

两数最大公因数和最小公倍数关系好吧，今天咱们来聊聊数学里的两位“老朋友”：最大公因数和最小公倍数。

这两位，听起来有点严肃，但其实它们的关系可有趣了，像一对打打闹闹的兄弟，让我们慢慢来捋一捋。

你想想，最大公因数就像是最强的“拼图块”，它把两个数的共同因素都找出来，找出最大的那个。

而最小公倍数嘛，就像是“团结就是力量”，把两个数的共同倍数都找出来，最小的那个。

所以啊，这俩在一起，就像是麻辣火锅里的豆腐和牛肉，缺一不可。

想象一下，咱们有两个数字，嘿，假设是12和18。

先说最大公因数，咱们来找找这俩数字的“亲戚”。

12的因数是1、2、3、4、6、12，18的因数是1、2、3、6、9、18。

看吧，最大的共同因数就是6。

没错，6就是这俩数的“家长”，把它们紧紧联系在一起，真是个好家长啊，给它们找到了共同的根源。

再来看看最小公倍数，咱们要找的就是12和18的最小倍数。

12的倍数有12、24、36、48……18的倍数有18、36、54……你瞧，最小的共同倍数就是36！这就像是说，兄弟俩有了共同的“舞台”，在36这个时刻一起闪亮登场。

可能有的小伙伴就会问了，哎，这俩有啥关系呢？让我告诉你，最大公因数和最小公倍数之间有个神奇的关系，那就是：这俩数相乘等于最大公因数乘以最小公倍数。

也就是说，12乘以18，结果是216，而6乘以36也是216。

简直是巧合吧，像偶然间碰到的老友，仿佛命中注定要相遇。

数学里就是这么神奇，貌似毫不相干的东西，竟然可以联手搞出这么大的新闻。

我常常想，这就像人生一样。

有时候你觉得两个看似不搭界的人，竟然能在某个时刻产生奇妙的联系。

就像最大公因数和最小公倍数，都是为了更好地理解和解决问题。

听起来有点高大上，但其实就是把复杂的事情简单化，和朋友一起分享生活中的小乐趣。

说到这里，咱们不妨想想，生活中其实也充满了这样的例子。

比如说，团队合作，大家各自带着不同的技能，有的人擅长沟通，有的人擅长分析，结合起来就是最大的力量。

公因数和公倍数知识点

公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。

(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。

(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。

2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。

3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。

）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。

两数乘积和最大公因数最小公倍数的关系_概述及解释说明

两数乘积和最大公因数最小公倍数的关系概述及解释说明1. 引言1.1 概述本篇文章旨在探讨两个数的乘积与它们的最大公因数和最小公倍数之间的关系。

最大公因数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个，而最小公倍数则是指能同时被给定整数整除的最小正整数。

通过研究这三者之间的联系，我们可以深入了解数字之间的特性以及其在实际生活中的应用。

1.2 文章结构本文主要分为四个部分：引言、正文、解释说明和结论。

首先，我们将在引言部分介绍文章的背景和目标，并概述该文章所要探讨的内容。

接着，在正文部分，我们将具体阐述两个数的乘积与其最大公因数以及最小公倍数之间的关系。

然后，在解释说明部分，我们将详细解释这种关系背后的原理和现象。

最后，在结论部分，我们将总结这种关系对于理解数字性质和应用领域的重要性，并提供进一步研究展望或实际应用建议。

1.3 目的本文旨在帮助读者深入了解两个数字之间乘积与其最大公因数和最小公倍数之间的联系。

通过阐述相关原理和现象，我们希望读者能够认识到这种关系的重要性，并在实际应用中运用这些知识。

同时，本文也为进一步研究提供了展望，鼓励读者在相关领域深入探索，并提出其他可能的应用建议。

2. 正文：2.1 两数乘积与最大公因数的关系在本节中，我们将讨论两个数的乘积与它们的最大公因数之间的关系。

首先，让我们假设两个正整数为a和b，它们的乘积为c（c = a * b）。

同时，令d为a和b的最大公因数。

根据最大公因数的定义，d是能够同时整除a和b 的最大正整数。

我们可以观察到一个有趣的现象：c同样能够被d整除。

这是因为d能够整除a 和b，所以它也一定能够整除它们的乘积c。

举个例子来说明这个关系：假设a = 10，b = 15，则c = 10 * 15 = 150。

而它们的最大公因数是d = 5。

我们发现5既可以整除10和15，也可以整除150。

通过上述例子和推理, 我们可以得出结论：两个正整数乘积的值一定是它们最大公因数的倍数。

上海市六年级(上)数学同步讲义第3讲 (难)分解素因数(二)(解析版)

分解素因数（二）内容分析分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；2/ 15（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45；（3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________．【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数．【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60．【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，．则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105．【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．4 / 15【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a ，4b (a 、b 互素)，则44144a b ⨯=．所以9ab =．因为a 、b 互素，所以a =1×4=4，b =9×4=36．即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【难度】★★★ 【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．1、两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例10】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144；（2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81．【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合6 / 15【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例11】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24；（2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450．【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例12】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________，最小公倍数是_________．【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例13】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？【答案】15【解析】设另一个数是x ，则：6 x =3×30 解得：x =15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例14】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．（1）两个数的公倍数的个数是有限的． ( ) （2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．( )（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．( )【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例15】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积【例16】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例17】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．8 / 15∴ab =35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数 ∴a =5，b =7，这两个数是20、28．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60．所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3；（2）b =5，这三个数是4，60，3；（3）c =5，这三个数是4，12，151；答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【习题1】如果数a 能被数b 整除，则a 和b 的最大公约数是______，最小公倍数是______．【难度】★ 【答案】b ， a ．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b 的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）随堂检测【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．10/ 15【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：12 / 151与299（） 12与36（） 12与13（） 13与52（） 10与14（） 21与49（） 6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299； 36； 156； 52； 70； 147； 30； 66； 175；【解析】略【作业2】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值．【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42，解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业3】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数．【答案】20【解析】设这两个数的最小公倍数是x ，则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业4】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a，42b(a、b互素)，则：42ab=2940，42（a+b）=714．∴ab=70，a+b=17∴a=7，b=10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业5】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业6】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业7】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业8】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业10】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．14/ 15。

求最大公因数和最小公倍数的方法(简单实用)

求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。

）2、互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：1求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数：先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27 1、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9> ③短除法：3 18 273 6 9 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘2 3 3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。

18. 9就是18和27的最大公因数 27)2、求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。

①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48 :②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

最小公倍数和最大公因数的关系例1,例2、例3、例4

例一。两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
解：设一个数是A，得短除式如下： 4
28 7 A a
那么252=4×7×a
a=9
A=4×9=36 定理：两个数的最大公因数和最小公倍数之积，等于这两个数之积。 [a,b] ×(a,c)=a×b 所以上题可以这样做：
4×252=28×A
A=4×252÷28=9
例二.两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这
两个数的差。

解： 5
A a
B b
则 A=5a B=5b 5a+5b=50 5(a+b)=50 a+b=10
a=3 b=7
A=5×3=15 B=5×7=35 A=5×1=5 B=5×9=45
差：35-15=20
或：
a=1 b=9
差：45-5=40
例三.两个数的最大公因数为21，最小公倍数为126，求这两个数的和。
解： 21
A a
B b
21×a×b=126 a×b=126÷21=6 6=1×6 6=2×3 A +B=21+126=147
a=1 b=6
A=1×21=21 B =6×21=126 A=2×21=42 B =3×21=63
（114,54）=6 因为6的因数有1,2,3,6，所以，m可能是1,2,3,6.
பைடு நூலகம்
只有m=6满足条件，a+b=9 a×b=20
20=4×5,且4+5+9 所以，m=6. 那么A=6×4=24
B =6×5=30
a=2 b=3
A +B=42+63=105
例4.两个数的和是54，它们的最小公倍数与最大公因数的差是114，求这两个自然数。

最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)

最大公因数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。

例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。

例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]= 3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。

3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。

例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”例3 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。

再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。

[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

习题四1．已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。

最大公约数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常见的概念。

它们在计算、代数和数论等领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及它们的计算方法。

一、最大公约数的定义和性质最大公约数，也被称为最大公因数，指的是几个数共有的最大的约数。

对于两个数a和b来说，最大公约数通常用符号（a，b）表示。

最大公约数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最大公约数（a，b）大于等于1，即最大公约数不会小于1。

2. 若（a，b）=1，则称a和b互质。

互质的两个数的最大公约数为1.3. 若（a，b）=d，则a和b可以被d整除，即d是a和b的公倍数。

二、最小公倍数的定义和性质最小公倍数，也被称为最小公倍数，指的是几个数共有的最小的倍数。

对于两个数a和b来说，最小公倍数通常用符号[a，b]表示。

最小公倍数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最小公倍数[a，b]大于等于a和b中的最大数，即最小公倍数不会小于a和b中较大的数。

2. 若a和b互质，则它们的最小公倍数为a*b。

3. 若（a，b）=d，则可以用最小公倍数来表示最大公约数，即（a，b）=a*b/[a，b]。

三、最大公约数和最小公倍数的计算方法1. 辗转相除法：利用辗转相除法可以逐步求得最大公约数。

具体步骤如下：a. 用较大数除以较小数，得到余数。

b. 将较小数作为被除数，将余数作为除数，再进行一次相除。

c. 依次类推，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。

2. 公式法：最小公倍数可以通过最大公约数计算得到。

根据[a，b]= a*b / (a，b) 的公式，可以用辗转相除法求得最大公约数，然后将其带入公式计算最小公倍数。

四、最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数在数学中有着广泛的应用，特别是在分数的化简、方程的解法以及倍数关系的确定等方面。

以下是一些具体的应用实例：1. 分数的化简：通过计算分子和分母的最大公约数，可以将分数化简为最简形式，从而方便进行运算和比较大小。

五年级数学最大公因数和最小公倍数知识点份

五年级数学最大公因数和最小公倍数知识点份GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-第三单元最大公因数和最小公倍数知识点：一、公倍数：2×4=8，8既是2的倍数，也是4的倍数，那么就称8是2和4的公倍数。

2和4的公倍数不止一个，还有4、12、16、20……，其中最小的那个叫做2和4的最小公倍数。

（两个数的公倍数的个数是无限的）二、公因数：2既是8的因数，也是12的因数，那么就称2是8和12的公因数。

8和12的公因数不止一个，还有 1、4，其中最大的那个就叫做8和12的最大公因数。

（两个数的公因数的个数是有限的）例如：求24和36的公因数和最大公因数24的因数：1、2、3、4、6、12、2436的因数: 1、2、3、4、6、9、12、18、3624和36的公因数：1、2、3、4、6、1224和36的最大公因数：12【练习】1.写出下面每组数的最大公因数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 4和9 （） 17和51 （）21和36 （） 22和55 （）2.写出下面每组数的最小公倍数。

3和5 （） 4和8 （） 1和13 （）13和26 （） 22和55 （） 21和36 （）4和9 （） 17和51 （） 30和45 （）三、最小公倍数与最大公因数的求法：1.用大数除以小数，若能整除，最小公倍数就是大的那个，最大公因数就是小的那个。

2.若不能整除，再看两数是否互质，若互质，最小公倍数是两数相乘，最大公因数是1。

3.若不互质，运用短除法计算。

2 ∣24 36 将两个数同时除以相同的质因数，所得结果2 |12 18 对齐写在相应的数字下面，直到不能分解为止3 |6 9 最大公因数：2×2×3=122 3 最小公倍数：2×2×3×2×3=72四、性质一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

求最大公因数和最小公倍数课件

小组讨论
鼓励学员分组讨论，分享解题思路和计算方法，提升团队协作能力。
进阶练习
复杂数字处理
设计包含多个数字、有一定难度的题目，如求多组数字的最大公因数和最小公倍数，让学员学会处理复杂数字和多个数字之间的
关系。
一题多解
设计具有多种解法的题目，引导学员思考不同解题思路，拓展数
学思维。
错题解析
探索规律
探索最大公因数和最小公倍数在计算中的规律，如倍数关系、互质关系等。
综合运用
将最大公因数和最小公倍数的知识与其他数学知识相结合，
综合运用解决实际问题。
THANKS
感谢观看
06
总结与回顾
主要知识点回顾
最大公因数和最小公倍数的定义
最大公因数的求法
最大公因数是指两个或多个整数共有的最大的正整数，最小公倍数是指两个或多个整数的公有的最小的倍数。
使用质因数分解法，先将两个数进行质因数分解，然后找出所有公共的质因数并相乘，得到最大公因数。
最小公倍数的求法
最大公因数和最小公倍数的应用
最小公倍数
两个或多个整数的公有的最小的倍数，且该倍数能够被这几个整数共同整除。
最大公因数和最小公倍数的意义
最大公因数
反映了几个整数共有的因子个数，是数学中的一个重要概念。
最小公倍数
反映了几个整数的公共倍数情况，对于解决与时间相关的应用问题有重要作用。
最大公因数和最小公倍数的应用
01
02
定义法
最小公倍数的定义
两个或多个整数公有的倍数中最小的一个，称为它们的最小公倍数。
求法
利用最小公倍数的定义，我们可以先求出两个数的最大公因数，再用这个最大公因数去除这两个数，得到它们的最小公倍数。

公倍数公因数最大公因数最小公倍数的定义

公倍数公因数最大公因数最小公倍数的定义1. 引言1.1 什么是公倍数公倍数是指两个或多个数同时存在的倍数。

换句话说，公倍数就是能同时整除这些数的数。

2和3的公倍数包括6、12、18等等。

公倍数是数学中常见的概念，它在简化分数、求解方程等问题中起着重要作用。

通过找到两个数的公倍数，我们可以简化计算过程，使问题变得更加简单。

在求解两个数的最小公倍数时，我们只需要找到它们的公倍数中最小的那个数即可。

这样一来，我们可以节省时间和精力，提高计算的效率。

通过理解和掌握公倍数的概念，我们可以更好地理解数学中的相关知识，提高解决问题的能力。

掌握公倍数这一概念对于数学学习和应用来说是非常重要的。

希望大家能够认真学习公倍数的概念，并灵活运用于实际问题的解决中。

这样一来，我们能更好地理解数学，提高数学水平。

1.2 什么是公因数公因数，顾名思义是指能够同时整除两个或多个数的数。

换句话说，如果一个数能够同时整除两个数，那么这个数就是这两个数的公因数。

公因数在数学中具有重要的作用，它可以帮助我们简化分数、化简多项式、求解方程等。

对于数字12和18，它们的公因数包括1、2、3、6。

因为这些数字都可以整除12和18，所以它们是12和18的公因数。

而最大的公因数就是能够同时整除两个数中最大的那个数，即12和18的最大公因数是6。

公因数的概念在数学中有着广泛的应用，特别是在分解质因数、求解最大公约数等方面。

通过寻找两个或多个数的公因数，我们可以更快地找到它们的最大公因数，从而简化计算过程。

公因数是能够同时整除两个或多个数的数，它在数学中扮演着重要的角色，能够帮助我们简化计算、解决问题。

通过深入理解公因数的概念，我们可以更好地应用它们在数学中的各种场景中，提高计算效率，优化解决方案。

1.3 什么是最大公因数最大公因数是指一组数中可以同时整除这组数的最大整数。

换句话说，最大公因数是该组数的所有公因数中最大的一个。

最大公因数的概念在数论和代数中非常重要，它可以帮助我们简化分式运算、化简等式以及解决整数问题。

最小公倍数最大公因数与两数的关系

学生已掌握两数的乘积等于两数的最大公因数与最小公倍数的乘积，但对于只知道两数中的一数及最小公倍数，求出另一数的情况不知从何下手。

在五年级下册的数学典中点中已经出现此类题目，下面我将方法呈现如下：已知两数的最小公倍数和其中一个数，如何求另一个数的做法及练习题和答案例：已知36和另一个数的最小公倍数是144,问另一个数可能是多少？方法：144÷36=4=2×236=2×2×3×3 用短除法分解质因数144=2×2×3×3×2×2直接用36分解后的结果再乘以2个2就可以了分解后，完全相同项（因数及其个数完全相同）为3×3，排除完全相同项后，最小公倍数剩下的是2×2×2×2＝16,然后16不乘或分别乘以完全相同项的不同组合，得出结果。

所以，本题另一个数的可能性：（1）16 （2）16×3=48（3）16×3×3=144共三种。

再举个例子看一下已知70与另一个数的最小公倍数是210,求另一个数可能是多少？210÷70=370=2×5×7210=2×5×7×3另一个数可能是（1）3（2）3×2（3）3×5（4）3×7（5）3×2×5（6）3×2×7（7）3×5×7（8）3×2×5×7注：如果分解后没有完全相同项，则只有一种可能即最小公倍数。

例：12=2×2×372=2×2×3×2×3则另一数只能是72练习题1、已知27与另一数既不互质又不是倍数关系，且两数的最小公倍数是108，另一数可能是多少？2、已知48与另一数的最小公倍数是144，另一数可能是多少？3、已知24与另一数的最小公倍数是144，另一数是多少？4、已知24与另一数的最小公倍数是96，另一数是多少？5、已知36与另一数不是倍数关系，且它们的最小公倍数是108，求另一数是多少？6、已知60与另一数的最小公倍数是120，求另一数。

最小公倍数最大公因数与两数的关系

如何求两个数的最小公倍数

简单数论：最大公因数与最小公倍数问题

公倍数和公因数

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两数最大公因数和最小公倍数关系

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