传感器原理及应用(第三版)第1章
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=0.0987/（e-1）=5.75%（非线性误差最小，拟合精度最高）
三、精确度（精度）
精确度由三个指标：精密度、正确度和精确度 （一）精密度
它说明测量结果的分散性。即对某一稳定的对象（被测量）由 同一测量者用同一传感器和测量仪表在相当短的时间内连续反复测 量多次其测量量的分散程度。 愈小则说明测量越精密。
常数；对非线性
传感器而言，灵
敏度随输入量的
变化而变化。
从输出曲线看，
曲线越陡，灵敏
度越高。可以通
xmax
过作该曲线某一 点的切线的方法
x （作图法）求得 曲线上任一点的
灵敏度。
灵敏度太高，检测系统的稳定性将降低。
例1 ：已知某传感器静态特性方程y=ex，试分别用切线 法，端基法和最小二乘法，在0<x<1范围内拟合基准直 线方程，并求出相应的线性度。
电阻R/ 765 826 873 942 1032
电阻R随温度t的变化规律必须用MATLAB进行曲线拟合
1100
1000
900
800
700
20
40
60
80
100
例：一组测量数据的曲线拟合
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n，利用MATLAB，可以寻求到一个函数（曲线） y=f(x), 使 y=f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近， 即曲线拟合得最好。
Y a1X a2 X 2 a4 X 4
（4）具有 X奇、偶次阶项的非线性[图1-1(d)]
Y a1X a2 X 2 a3 X 3 a4 X 4
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奇次项的曲 线在原点附 近较接近直 线
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校准曲线的概念：
传感器的静态特性是在静态标准条件 下测定的。在标准工作状态下，利用一 定精度等级的校准设备，对传感器进行 往复循环测试，即可得到输出－输入数 据。将这些数据列成表格，再画出各被 测量值（正行程和反行程）对应输出平 均值的连线，即为传感器的静态校准曲 线(实际特性曲线）
图1-4 端基线性度拟合直线
拟合基准直线方法二：最小二乘法
用最小二乘法原则拟合直线，可使拟合度最高。
令直线方程： 实际校准点：
Y a0 KX
n个
任意校准点Yi与拟合直线 Y a0 KX 间偏差：
i Yi a0 KX i
n
最小二乘法拟合直线的原则就是使 2i 为最小
解：（1）切线法 在 X=0处做切线为拟合直线y=a0+kx 当x=0，则y=1，得a0 =1 当x=1，则y=e，得k=dy/dx|x=0= ex|x=0=1 故切线法基准直线方程为y=1+x 最大偏差在x=1处，则|e x-（1+x）|x=1=0.7182 切线法线性度
=0.7182/（e-1）=41.8%
i 1
值，即使
n
2i
对 K 和 a0的一阶偏导数等于零，
从而求出
和 i1
K
a0
的表达式。
最小二乘法拟合直线： y y=a0+kx
x
函数拟合（曲线拟合）
大多数传感器的输出多为非线性，用一次函 数拟合的结果将产生较大的误差。目前多采用 计算机进行曲线拟合。例如，可用MATLAB求得 近似函数关系式
变化量之比。由下图可知，线性传感器的校准曲线（此时是直线）的斜率就
是静态灵敏度。计算方法为
K
输出变化量 输入变化量
Y X
非线性传感器的灵敏度用 dY / dX 表示，为一变量。
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作图法求灵敏度过程
y
切点
传感器特性曲线
Δy
0
K y x
x1
Δx
对线性传感器而
言，灵敏度为一
时静态特性是由线性项 (a1 X ) 和 (a2 X 2 , , an X n )叠加而成，
一般可分为以下4种典型情况。
（1）理想线性[图1-1(a)]
Y a1X
（2）具有 X奇次阶项的非线性[图1-1(b)]
Y a1X a3 X 3 a5 X 5
（3）具有 X偶次阶项的非线性[图1-1(c)]
（二）正确度 它说明测量结果偏离真值大小的程度，即表示有规则偏离真值
的程度。指所测值与真值的符合程度。
（三）精确度 它含有精密度与正确度两者之和的意思，即测量的综合优良程
度。在最简单的场合下可以取两者的代数和，通常精确度是以测量 误差的相对值来表示的。
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在工程应用中，引入一个精确度等级概念用A来表示。传感器 与测量仪表精确度等级A以一系列标准百分数(0.001，0.005,0.02, 0.05，···,1.5,2.5,4.0···）进行分档。这个数值是传感器和测量仪 表在规定条件下，其允许的最大绝对误差值相对于其测量范围的百 分数。它可以用下式表示
A A 100 % YF S
式中 A — 传感器的精度；
注意: 精度0.5级是指:
A
0.5
0 0
0.005
A — 测量范围内允许的最大绝对误差;
YFS — 满量程输出
传感器设计和出厂检查时，其精度等级代表的误差指传感器测
量的最大允许误差。
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下图是射击弹着点示意图，请你分别说出图a、b、c各是 什么原因造成的，应如何克服？
直线算出来的。因此不能笼统的说线性度或非线性误差，必须同时 说明所依据的基准直线。 （基准直线不同，线性度不同）
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拟合基准直线方法一：端基法
以校准曲线的零点输出和满量程输出值连成 的直线为拟合直线。 （简单直观，拟合精度低）
Y a0 KX
式中 Y—输出量 X—输入量 a0—Y轴上截距 K—直线a0b0的斜率
传感器原理及应用
第一章 传感器的一般特性
第一章 传感器的一般特性
1-1 传感器的静态特性
一、线性度（非线性误差） 二、灵敏度
三、精确度（精度）
四、最小检测量和分辨力
五、迟滞
六、重复性
七、零点漂移
八、温漂
1-2 传感器的动态特性
一、动态特性的一般数学模型 二、传递函数 三、传感器的动态响应及其动态特性指标
=0.2118/（e-1）=12.3%
（3）最小二乘法求拟合基准直线 根据计算公式测量范围分成6等份，取n=6，列表如下
x0 y1 x2 0 xy 0
0.2 1.221 0.04 0.2442
0.4 1.492 0.16 0.597
0.6 1.822 0.36 1.093
0.8 2.226 0.64 1.781
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六、重复性
重复是指在同一工作条件下，输入量按同一方向在全测量范围
内连续变动多次所得特性曲线的不一致性。（属于随机误差）在数
值上用各测量值正、反量程标准偏差最大值的两倍或三倍与满量程
的百分比。
即： k
2 ~ 3
YF S
100 %
k — 重复性； 式中 — 标准偏差；
偏差特别大
弹着点接近 正态分布
弹着点均偏 向右上侧
四、最小检测量和分辨力
最小检测量是指传感器能确切反映被测量的最低极限量。最小 检测量越小，表示传感器测量微量的能力越高。
由于传感器的最小检测量易受噪声的影响，所以一般相当于噪
声的若干倍的被测量为最小检测量，用公式表示
M CN K
注意:该公式中各参数 的单位。
Y a0 a1X a2 X 2 an X n
Y — 输出量； 式中 X — 输入量；
a0 — 零位输入； a1 — 传感器的灵敏度，常用K表示； a2, a3, , an — 非线性项待定常数。
（1—1）
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返回
由（1－1）式可见， a0 0 ，表示静态特性通过原点。此
分辨率（无单位）：将分辨力除以 仪表的满量程就是仪表的分辨率， 分辨率常以百分比或几分之一表示
右表的满量程为99.9A，问：该表 的分辨力、分辨率为多少？
解：分辨力=0.1A 分辨率=0.1A÷99.9A≈0.1%
五、迟滞（又称回差或变差）
迟滞是指在相同工作条件下作全测量范围校准时，在同一次校准中对应
式中 M — 最小检测量（即在能分辨情况下的最小输入量X）；
C — 系数（一般取1 5）；
N — 噪声电平；
K — 传感器的灵敏度。
数字式传感器一般用分辨力表示，即输出数字指示值最后一位 数字所代表的输入量。
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分辨力（有单位）：指传感器能检出 被测信号的最小变化量。当被测量的 变化小于分辨力时，传感器对输入量 的变化无任何反应。对数字仪表而言 ，如果没有其他附加说明，可以认为 该表的最后一位所表示的数值就是它 的分辨力。一般地说，分辨力的数值 小于仪表的最大绝对误差。右表的分 辨力为多少？
标准偏差计算见书中第九页所示。 （贝塞尔公式）
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稳定性
稳定度：仪表在所有条件都恒定不变的情况下，在 规定的时间内能维持其示值不变的能力。以仪表的示 值变化量和时间的长短之比来表示。
例 如 ， 某 仪 表 输 出 电 压 值 在 8h 内 的 最 大 变 化 量 为 1.2mV，则表示该仪表的稳定性为1.2mV/(8h)。
y
+
+
+
+
+ i
+
(xi,yi) +
+
y=f(x)
+
i 为点（xi,yi)与曲线 y=f(x)的距离
x
减少非线性误差的方法：
通常采用差动测量方法来减少传感器的非线性 误差。 例如，某传感器的特性方程为
Y1 a0 a1 X a2 X 2 a3 X 3 a4 X 4 L L
另一个与之相同，但感受方向相反，特性方程为：
一、线性度（非线性误差）
传感器校准曲线与拟合直线（理想直线）间最大偏差与满量程（ F·S）输出值的百分比称为线性度。如下图
用 L 代表线性度，则
L
Ym a x YF S
100 %
式中 Y —校准曲线与拟合直线的最大偏差； YFS —传感器满量程输出，YFS Ymax Y0 此可知，非线性误差是以一定的拟合直线或者理想直线为基准
Y2 a0 a1X a2 X 2 a3 X 3 a4 X 4 L L 在差动输出的情况下，则有：
Y Y1 Y2 2 a1X a3X 3 a5 X 5 L
可见采用此方法后，灵敏度提高一倍，零点偏 差也消除了。
二、灵敏度
传感器的灵敏度指到达稳定工作状态时输出变化量与引起此变化的输入
H — 传感器的迟滞。
例：一个电子秤称重 加砝码 10g—50g—100g—200g 电桥输出 0.5mv—2mv—4mv—10mv 减砝码 10g—50g—100g—200g 电桥输出 1mv—5mv—8mv—10mv
迟滞现象反映了传感器机械结构和制造工艺上的缺陷，如轴承摩擦、间隙、 螺钉松动、元件腐蚀或者碎裂及积尘等。
（2）端基法 在测量两端点间连线为拟合直线y=a0+kx 则a0 =1 k=（e-1）/(1-0)= 1.718 故端基法基准直线方程为y=1+1.718 x 由d[e x-（1+ 1.718 x）] /dx=0，解得x=0.5413处 存在最大偏差， |e x-（1+ 1.718 x）|x=0.5413= 0.2118 端基法线性度
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下一页Leabharlann 1-1 传感器的静态特性传感器在被测量的各个值处于稳定状态时，输出量和输入量之 间的关系称为静态特性。
人们总是希望传感器的输入与输出的关系成正比，即线性关系。 这样可使显示仪表的刻度均匀，在整个测量范围内具有相同的灵敏 度。但大多数传感器的输入输出特性总是具有不同程度的非线性， 输出量和输入量之间的关系可用下列方程式确定
1.0 2.718 1 2.718
由公式得 a0 =0.894， k=1.705 得最小二乘法拟合直线方程为y=0.894+1.705 x
由d[ex-（ 0.894 + 1.705 x ）] /dx=0，解得x=0.5335 处存在最大偏差，
|ex-（1+ 1.718 x）|x=0.5335= 0.0987 得最小二乘法线性度
同一输入量的正行程和反行程其输出值间的最大偏差。（指传感器正向特 性和反向特性的不一致程度）：
其数值用最大偏差或者最大偏差的一半与满量程输出值的百分比表示。
H
H max 100 % YF S
或
H
H max 100 % 2YF S
式中 Hmax — 输出值在正反行程间的最大偏差；
y=f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋···＋ann 使其通过或近似通过传感器所给出的有限序列 的资料点（xi，yi），通过最小二乘法求取到 各项系数，得到传感器的拟合目标函数和近似 数学模型。
例：热敏电阻电阻值的变化规律拟合
已知热敏电阻数据： 温度t/℃ 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7
三、精确度（精度）
精确度由三个指标：精密度、正确度和精确度 （一）精密度
它说明测量结果的分散性。即对某一稳定的对象（被测量）由 同一测量者用同一传感器和测量仪表在相当短的时间内连续反复测 量多次其测量量的分散程度。 愈小则说明测量越精密。
常数；对非线性
传感器而言，灵
敏度随输入量的
变化而变化。
从输出曲线看，
曲线越陡，灵敏
度越高。可以通
xmax
过作该曲线某一 点的切线的方法
x （作图法）求得 曲线上任一点的
灵敏度。
灵敏度太高，检测系统的稳定性将降低。
例1 ：已知某传感器静态特性方程y=ex，试分别用切线 法，端基法和最小二乘法，在0<x<1范围内拟合基准直 线方程，并求出相应的线性度。
电阻R/ 765 826 873 942 1032
电阻R随温度t的变化规律必须用MATLAB进行曲线拟合
1100
1000
900
800
700
20
40
60
80
100
例：一组测量数据的曲线拟合
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n，利用MATLAB，可以寻求到一个函数（曲线） y=f(x), 使 y=f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近， 即曲线拟合得最好。
Y a1X a2 X 2 a4 X 4
（4）具有 X奇、偶次阶项的非线性[图1-1(d)]
Y a1X a2 X 2 a3 X 3 a4 X 4
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奇次项的曲 线在原点附 近较接近直 线
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校准曲线的概念：
传感器的静态特性是在静态标准条件 下测定的。在标准工作状态下，利用一 定精度等级的校准设备，对传感器进行 往复循环测试，即可得到输出－输入数 据。将这些数据列成表格，再画出各被 测量值（正行程和反行程）对应输出平 均值的连线，即为传感器的静态校准曲 线(实际特性曲线）
图1-4 端基线性度拟合直线
拟合基准直线方法二：最小二乘法
用最小二乘法原则拟合直线，可使拟合度最高。
令直线方程： 实际校准点：
Y a0 KX
n个
任意校准点Yi与拟合直线 Y a0 KX 间偏差：
i Yi a0 KX i
n
最小二乘法拟合直线的原则就是使 2i 为最小
解：（1）切线法 在 X=0处做切线为拟合直线y=a0+kx 当x=0，则y=1，得a0 =1 当x=1，则y=e，得k=dy/dx|x=0= ex|x=0=1 故切线法基准直线方程为y=1+x 最大偏差在x=1处，则|e x-（1+x）|x=1=0.7182 切线法线性度
=0.7182/（e-1）=41.8%
i 1
值，即使
n
2i
对 K 和 a0的一阶偏导数等于零，
从而求出
和 i1
K
a0
的表达式。
最小二乘法拟合直线： y y=a0+kx
x
函数拟合（曲线拟合）
大多数传感器的输出多为非线性，用一次函 数拟合的结果将产生较大的误差。目前多采用 计算机进行曲线拟合。例如，可用MATLAB求得 近似函数关系式
变化量之比。由下图可知，线性传感器的校准曲线（此时是直线）的斜率就
是静态灵敏度。计算方法为
K
输出变化量 输入变化量
Y X
非线性传感器的灵敏度用 dY / dX 表示，为一变量。
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作图法求灵敏度过程
y
切点
传感器特性曲线
Δy
0
K y x
x1
Δx
对线性传感器而
言，灵敏度为一
时静态特性是由线性项 (a1 X ) 和 (a2 X 2 , , an X n )叠加而成，
一般可分为以下4种典型情况。
（1）理想线性[图1-1(a)]
Y a1X
（2）具有 X奇次阶项的非线性[图1-1(b)]
Y a1X a3 X 3 a5 X 5
（3）具有 X偶次阶项的非线性[图1-1(c)]
（二）正确度 它说明测量结果偏离真值大小的程度，即表示有规则偏离真值
的程度。指所测值与真值的符合程度。
（三）精确度 它含有精密度与正确度两者之和的意思，即测量的综合优良程
度。在最简单的场合下可以取两者的代数和，通常精确度是以测量 误差的相对值来表示的。
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在工程应用中，引入一个精确度等级概念用A来表示。传感器 与测量仪表精确度等级A以一系列标准百分数(0.001，0.005,0.02, 0.05，···,1.5,2.5,4.0···）进行分档。这个数值是传感器和测量仪 表在规定条件下，其允许的最大绝对误差值相对于其测量范围的百 分数。它可以用下式表示
A A 100 % YF S
式中 A — 传感器的精度；
注意: 精度0.5级是指:
A
0.5
0 0
0.005
A — 测量范围内允许的最大绝对误差;
YFS — 满量程输出
传感器设计和出厂检查时，其精度等级代表的误差指传感器测
量的最大允许误差。
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下图是射击弹着点示意图，请你分别说出图a、b、c各是 什么原因造成的，应如何克服？
直线算出来的。因此不能笼统的说线性度或非线性误差，必须同时 说明所依据的基准直线。 （基准直线不同，线性度不同）
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拟合基准直线方法一：端基法
以校准曲线的零点输出和满量程输出值连成 的直线为拟合直线。 （简单直观，拟合精度低）
Y a0 KX
式中 Y—输出量 X—输入量 a0—Y轴上截距 K—直线a0b0的斜率
传感器原理及应用
第一章 传感器的一般特性
第一章 传感器的一般特性
1-1 传感器的静态特性
一、线性度（非线性误差） 二、灵敏度
三、精确度（精度）
四、最小检测量和分辨力
五、迟滞
六、重复性
七、零点漂移
八、温漂
1-2 传感器的动态特性
一、动态特性的一般数学模型 二、传递函数 三、传感器的动态响应及其动态特性指标
=0.2118/（e-1）=12.3%
（3）最小二乘法求拟合基准直线 根据计算公式测量范围分成6等份，取n=6，列表如下
x0 y1 x2 0 xy 0
0.2 1.221 0.04 0.2442
0.4 1.492 0.16 0.597
0.6 1.822 0.36 1.093
0.8 2.226 0.64 1.781
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六、重复性
重复是指在同一工作条件下，输入量按同一方向在全测量范围
内连续变动多次所得特性曲线的不一致性。（属于随机误差）在数
值上用各测量值正、反量程标准偏差最大值的两倍或三倍与满量程
的百分比。
即： k
2 ~ 3
YF S
100 %
k — 重复性； 式中 — 标准偏差；
偏差特别大
弹着点接近 正态分布
弹着点均偏 向右上侧
四、最小检测量和分辨力
最小检测量是指传感器能确切反映被测量的最低极限量。最小 检测量越小，表示传感器测量微量的能力越高。
由于传感器的最小检测量易受噪声的影响，所以一般相当于噪
声的若干倍的被测量为最小检测量，用公式表示
M CN K
注意:该公式中各参数 的单位。
Y a0 a1X a2 X 2 an X n
Y — 输出量； 式中 X — 输入量；
a0 — 零位输入； a1 — 传感器的灵敏度，常用K表示； a2, a3, , an — 非线性项待定常数。
（1—1）
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由（1－1）式可见， a0 0 ，表示静态特性通过原点。此
分辨率（无单位）：将分辨力除以 仪表的满量程就是仪表的分辨率， 分辨率常以百分比或几分之一表示
右表的满量程为99.9A，问：该表 的分辨力、分辨率为多少？
解：分辨力=0.1A 分辨率=0.1A÷99.9A≈0.1%
五、迟滞（又称回差或变差）
迟滞是指在相同工作条件下作全测量范围校准时，在同一次校准中对应
式中 M — 最小检测量（即在能分辨情况下的最小输入量X）；
C — 系数（一般取1 5）；
N — 噪声电平；
K — 传感器的灵敏度。
数字式传感器一般用分辨力表示，即输出数字指示值最后一位 数字所代表的输入量。
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分辨力（有单位）：指传感器能检出 被测信号的最小变化量。当被测量的 变化小于分辨力时，传感器对输入量 的变化无任何反应。对数字仪表而言 ，如果没有其他附加说明，可以认为 该表的最后一位所表示的数值就是它 的分辨力。一般地说，分辨力的数值 小于仪表的最大绝对误差。右表的分 辨力为多少？
标准偏差计算见书中第九页所示。 （贝塞尔公式）
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稳定性
稳定度：仪表在所有条件都恒定不变的情况下，在 规定的时间内能维持其示值不变的能力。以仪表的示 值变化量和时间的长短之比来表示。
例 如 ， 某 仪 表 输 出 电 压 值 在 8h 内 的 最 大 变 化 量 为 1.2mV，则表示该仪表的稳定性为1.2mV/(8h)。
y
+
+
+
+
+ i
+
(xi,yi) +
+
y=f(x)
+
i 为点（xi,yi)与曲线 y=f(x)的距离
x
减少非线性误差的方法：
通常采用差动测量方法来减少传感器的非线性 误差。 例如，某传感器的特性方程为
Y1 a0 a1 X a2 X 2 a3 X 3 a4 X 4 L L
另一个与之相同，但感受方向相反，特性方程为：
一、线性度（非线性误差）
传感器校准曲线与拟合直线（理想直线）间最大偏差与满量程（ F·S）输出值的百分比称为线性度。如下图
用 L 代表线性度，则
L
Ym a x YF S
100 %
式中 Y —校准曲线与拟合直线的最大偏差； YFS —传感器满量程输出，YFS Ymax Y0 此可知，非线性误差是以一定的拟合直线或者理想直线为基准
Y2 a0 a1X a2 X 2 a3 X 3 a4 X 4 L L 在差动输出的情况下，则有：
Y Y1 Y2 2 a1X a3X 3 a5 X 5 L
可见采用此方法后，灵敏度提高一倍，零点偏 差也消除了。
二、灵敏度
传感器的灵敏度指到达稳定工作状态时输出变化量与引起此变化的输入
H — 传感器的迟滞。
例：一个电子秤称重 加砝码 10g—50g—100g—200g 电桥输出 0.5mv—2mv—4mv—10mv 减砝码 10g—50g—100g—200g 电桥输出 1mv—5mv—8mv—10mv
迟滞现象反映了传感器机械结构和制造工艺上的缺陷，如轴承摩擦、间隙、 螺钉松动、元件腐蚀或者碎裂及积尘等。
（2）端基法 在测量两端点间连线为拟合直线y=a0+kx 则a0 =1 k=（e-1）/(1-0)= 1.718 故端基法基准直线方程为y=1+1.718 x 由d[e x-（1+ 1.718 x）] /dx=0，解得x=0.5413处 存在最大偏差， |e x-（1+ 1.718 x）|x=0.5413= 0.2118 端基法线性度
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人们总是希望传感器的输入与输出的关系成正比，即线性关系。 这样可使显示仪表的刻度均匀，在整个测量范围内具有相同的灵敏 度。但大多数传感器的输入输出特性总是具有不同程度的非线性， 输出量和输入量之间的关系可用下列方程式确定
1.0 2.718 1 2.718
由公式得 a0 =0.894， k=1.705 得最小二乘法拟合直线方程为y=0.894+1.705 x
由d[ex-（ 0.894 + 1.705 x ）] /dx=0，解得x=0.5335 处存在最大偏差，
|ex-（1+ 1.718 x）|x=0.5335= 0.0987 得最小二乘法线性度
同一输入量的正行程和反行程其输出值间的最大偏差。（指传感器正向特 性和反向特性的不一致程度）：
其数值用最大偏差或者最大偏差的一半与满量程输出值的百分比表示。
H
H max 100 % YF S
或
H
H max 100 % 2YF S
式中 Hmax — 输出值在正反行程间的最大偏差；
y=f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋···＋ann 使其通过或近似通过传感器所给出的有限序列 的资料点（xi，yi），通过最小二乘法求取到 各项系数，得到传感器的拟合目标函数和近似 数学模型。
例：热敏电阻电阻值的变化规律拟合
已知热敏电阻数据： 温度t/℃ 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7