高二数学变换的复合与矩阵的乘法

§2.3变换的复合与矩阵的乘法

教学目标:

一、知识与技能：

通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；掌握二阶矩阵的乘法法则 ，并能运用几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律

二、方法与过程

借助实例的探究，引入复合变换，寻求二阶矩阵的乘法法则，发现矩阵乘法不满足交换律；通过具体情境的观察、类比、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习体会从具体到抽象再到具体的思想方法。

三、情感、态度与价值观

新旧知识的联结，潷学生的求知欲及进一点探索的乐趣。

教学重点:二阶矩阵乘法法则及运用 教学难点：说明矩阵乘法不满足交换律 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念

（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a 称为

二阶矩阵。特别地，称二阶矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。

2、几类特殊线性变换及其二阶矩阵

在平面直角坐标系中，把形如⎩⎨⎧+=+=dy

cx y by

ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常

数）的几何变换叫做线性变换。 （2）旋转变换

坐标公式为⎩⎨⎧+=-=α

αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-αα

αα

cos sin sin cos （3）反射变换

①关于x 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧-==y y x

x ``对应的二阶矩阵为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧=-=y y x

x ``对应的二阶矩阵为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧==x y y

x ``对应的二阶矩阵为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛0110； （4）伸缩变换

坐标公式为⎩⎨⎧==y

k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛21

0k k ； （5）投影变换

①投影在x 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==0``y x x 对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==y

y x ``0对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1000

①平行于x 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧=+=y y sy

x x ``对应的二阶矩阵为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101s ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧+==y

sx y x

x ``对应的二阶矩阵

为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛101s 3、定理1 设A ＝⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛d c b a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111y x X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立：

（1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X

4、定理2 可逆的线性变换具有如下性质：

（1）直线仍变成直线； （2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形

二、新课讲解

例1 设平面上建立了直角坐标系。如图所示，

交每个点

P （y x ,）先绕原点䊑 逆时针方向旋转角α到

`P （`x ，`y ）

，再从`P （`x ，`y ）绕原点䊑 逆时针旋转角β到``P （``x ，``y ）。写出由（y x ,）计算

（``x ，``y ）的关系式。由P （y x ,）到``P （``x ，``y ）的变换能否用矩阵表示？如果能，写出表示这个变换的矩阵。

解法一：由旋转变换可知

⎩

⎨⎧+=-=ααα

αcos sin sin cos `

`y x y y x x （1） ⎩⎨⎧+=-=β

ββ

βcos sin sin cos `

```````y x y y x x （2） 将（1）代入（2），经过整理得⎩

⎨⎧+++=+-+=)cos()sin()

sin()cos(````βαβαβαβαy x y y x x

因此，从P （y x ,）到``P （``x ，``y ）的变换矩阵可以用

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++-+)cos()sin()sin()cos(

βαβαβαβα来表示，它就是绕原点沿逆时针方向旋转角α+β的变换

解法二：先绕原点沿逆时针方向旋转角，再绕原点沿逆时针方向旋

转角β，总的效果是直接将每个点P （y x ,）绕原点沿逆时针方向旋转角α+β到``P （``x ，``y ），由旋转变换可知，这个变换可以用矩阵

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++-+)cos()sin()sin()cos(βαβαβαβα来表示 一般地，设A ，B 是平面上的两个变换，将平面上每个点P 先用变换A 变到`P ，再用变换B 将`P 变到``P ，则从P 到``P 也是平面上的一个变换，称为A ，B 的复合变换，也称为B 与A 的乘积，记作BA 。 注意：为里先施行变换A ，后施行变换B ，但它们的复合变换要记作BA 。原因是：将`P ＝A （P ）代入``P ＝B （`P ）得到``P ＝B （A （P ）），因此，写为``P ＝BA （P ）较为合理，A 在B 的右边，首先接触P ，它先作用于P 得到A （P ）之后再用B 从左边作用于A （P ）