西南交通大学管理运筹学929 2018年试题和解析

机密★启用前西南交通大学2018年硕士研究生招生入学考试试卷试题代码：929 试题名称：管理运筹学一考试时间：2017年12月考生注意：1.本试题共三大题，共3页，满分150分，请认真检查；2.答题时，请直接将答题内容写在考场提供的答题纸上，答在试卷上的内容无效；3.请在答题纸上按要求填写试题代码和试题名称；4.试卷不得拆开，否则遗失后果自负。

一、 问答题（60分，共10小题，每小题6分）（答在试卷上的内容无效） 1、线性规划模型中，何谓自由变量？自由变量和决策变量是什么关系？解答：用设定的未知数来表示线性规划问题问题中的未知量，这个设定的未知量就叫做决策变量，决策变量没有非负约束即为自由变量；自由变量一定是决策变量，但决策变量不一定是自由变量。

2、 请分别解释无可行解、无界解、最优解的概念。

解答：无可行解：约束方程组没有公共解，造成线性规划模型无解的解。

无界解：没有任何一个可行解能使得目标函数达到最优，即目标函数没有上界或下界。

最优解：在线性规划模型的所有可行解中，使得目标函数达到最优的解。

3、 说明下面的数学模型不符合线性规划模型的什么特点？123312232131264323018..3()249,0z x x x x x x x x s t x x x x =+++≠⎧⎪+≥⎨+≤⎪≥⎩ 解答：（1） 此模型不符合线性规划模型目标函数应该是线性函数的特点；（2） 此模型不符合线性规划模型目标函数求最大值最小值的特点； （3） 此模型不符合线性规划模型约束条件方程组由线性的等式或线性的不等式的特点。

4、 以目标函数Min 型为例，从基本可行解、求检验数以及基本可行解改进三个方面说明单纯形法和表上作业法的区别。

解答：（1） 基本可行解：单纯形法是通过构造单位矩阵来确定初始基本可行解，而表上作业法是通过另外的西北角法、最小元素法或差值法来确定初始基本可行解。

（2） 检验数：单纯形法是算出机会费用j z 以后，直接计算检验数的代数式j j c z -，而表上作业法是通过另外的闭回路法或者位势法来计算检验数。

（3） 基本可行解改进：单纯形法和表上作业法均是在当0j j c z -≤的情况下进一步改进基本可行解，即若基本可行解不是最小值，那么需要迭代调整。

二者在确定换入变量和换出变量的原则是一样的，但是方法不同，表上作业法是通过闭回路的方法来确定换入变量和换出变量；单纯形法通过行运算进行迭代。

5、 用表上作业法求运输问题的检验数的方法有闭回路法和位势法，位势法的思路是针对基变量ij x 给定系数i u 和j v ，建立方程i j ij u v c +=。

请利用闭回路法的思路及以下图形的回路，证明位势法求非基变量检验数的公式ij ij i j c u v λ=--。

非基变量基变量基变量基变量证明：因为'''',,ij i j i j x x x 是基变量，由已知条件有以下方程：'''''''',,i j j ij i j i j i i j u v c u v c u v c +=+=+=根据闭回路法，非基变量的检验数为''''''''()()ij ij ij i j ij i j ij i j i j c c c c c c c c λ=+-+=-+- 即：''''ij ij i j ij i j j i j i c u v u v u v c u v λ=--++--=-- 故证得ij ij i j c u v λ=--。

6、 针对整数规划的分枝定界法：（1） 先使用什么方法求出不考虑整数约束的最优解？（3分）（2） 在整数规划模型中，设定决策变量k x 取值为整数，但用分支定界算法求出k b 的值不是整数，那么需要使用什么方法求出分支以后的解？（3分）解答：（1） 先不考虑原问题的整数约束，求解相应的松弛问题。

用图解法或单纯形法求得最优解。

（2） 分枝法：在最优解中选择一个不符合整数约束条件的j x 其值为j b ，以j b ⎡⎤⎣⎦表示小于j b 的最大整数。

构造两个约束条件: j x b ⎡⎤≤⎣⎦和j x b ⎡⎤≥⎣⎦分别加入原LP 问题形成两个子问题，因为j b ⎡⎤⎣⎦与1j b ⎡⎤+⎣⎦之间无整数，故这两个子集内的整数解必定与原可行解集合整数解一致。

7、 利用Ford-Fulkerson 算法对网络的流量进行调整时，必须遵守容量约束条件和流量守恒条件。

请利用以下图形示例解释：在增加网络的流量时，为何增流链前向边的流量要加上调整量δ？（其中假设有增流链345xv v v y ）xy点接受流量之和为84v 点发出流量之和4v解析：针对中间点4v ，接收流量之和与发出流量之和均为8，满足流量守恒，针对增流链345xv v v y ，边34(,)v v 是4v 接收流量的边，而边45(,)v v 是中间点4v 发出流量的边。

若给增流链345xv v v y 加上调整量δ，就会导致中间点4v 接收量之和为8+δ，为了满足流量守恒的条件，中间点4v 的发出量之和也应该为8+δ，所以需要把增流链前向边的流量要加上调整量δ。

8、假设某统筹图的关键路线有2条，如果某一个非关键工序的工序时间延长，关键路线的状态有什么变化？解析：若该非关键工序的工序时间延长后不超过关键工序的工序时间，那么统筹图的关键路线不变；若该非关键工序的工序时间延长后超过关键工序的工序时间，那么统筹图的关键路线变为该路线。

9、对线性规划模型目标函数的j c 进行灵敏度分析时，如果j c 在允许范围内变动，那么模型的目标函数值是否会改变？为什么？解析：当j c 对应的变量j x 为非基变量时，若j c 在允许范围内变动，最优解不会改变。

另外，目标函数值也不会改变。

尽管j c 发生了变动，但作为非基变量j x 的取值为0，所以目标函数中j j c x 项的取值仍然为0。

当j c 对应的变量j x 为基变量时，如果j c 在允许范围内变动，最优解不会改变，但是目标函数值会发生改变。

因为尽管基变量j x 没有改变，但j c 发生了变动，所以目标函数j j c x 项的取值也发生了变动，从而造成目标函数值变动。

10、在排队系统中，如果顾客到达时间的间隔是均衡固定的，是否会产生排队现象？为什么？解析：会产生排队现象。

理由是：排队现象的产生是由于顾客到达的时间存在随机性或者服务员的服务时间存在随机性，因此在顾客到达的时间间隔均衡固定的情况下，服务时间不均衡固定是会产生排队现象的。

二、 计算题（75分，共3小题）（答在试卷上的内容无效）1. (25分)某企业利用有限的设备台时以及A 、B 两种原材料，制定出生产甲、乙两种产品获利最多的生产方案，此方案求解过程如下表所示。

已知12x x 、分别表示甲、乙两种产品数量，345,,x x x 均为松弛变量。

（1） 求解该企业获利最多的生产方案以及获得的最大利润。

（10分） （2） 如果该企业打算制定将设备出租、A 和B 两种原材料出售的获利方案，此方案的线性规划模型是什么？（10分）（3） 上面第（2）个问题中的线性规划模型的最优解是什么？（5分）解答：（1）题中单纯性表中仍然有正检验数551/4c z -=，所以没有达到最优解，并且存在有0ij a >，需要迭代循环求解，迭代后的单纯形表如下：12345(,,,,)(4,2,0,0,4)x x x x x =，即生产了4个单位甲产品和2个单位乙产品，可获得最大利润为14z =元。

（2）此问题即是写出对偶问题的线性规划模型，但必须先写出原问题的的线性规划模型。

利用最优单纯形表求解原问题线性规划模型如下：因为345,,x x x 均为松弛变量，所以在初始单纯形表中，它们对应的矩阵是单位矩阵，这需要在对最优单纯形表中进行行运算，使得345,,x x x 对应的矩阵变为单位矩阵，结果如下：121212max 23284164120,1,2jz x x x x x x x j =++≤⎧⎪≤⎨≤⎪≥=⎩ 如果把生产方案看作原问题，那么将设备出租、A 和B 两种原材料出售获利的方案可以看作是对偶问题。

基于生产方案原问题的模型，即可写出对偶问题的线性规划模型：1231213min 81612422430,1,2,3j q y y y y y y y y j =++⎧+≥⎪+≥⎨≥=⎪⎩ （4） 上面第（2）问的中线性规划模型的最优解即是对偶问题的最优解，从第（1）个问题中的最优单纯形表即可读出对偶问题决策变量的最优解：1132243353/2,1/8,0,m m m y z z y z z y z z +++=========其中2m =。

则最优解为：123(,,)(3/2,1/8,0)y y y =2. （25分）假设下图是某物流公司交通运输线网，可知当前总运输量为5个单位，边旁数字分别表示线路运输能力、当前运输量、单位运输费用。

预测半年内，总的运输量将达到7个单位。

请在保证总运输费用最小的前提下，请设计半年以后的运输方案。

解答：首先找到增流链1346v v v v →→→取调整量2δ=，得到运输量为7单位的网络图如下：然后构建此时运输量为7的网络图的增流网络f G ，如下图所示：此时不存在负回路，说明当前已是运输量为7的最小费用流，总费用为：()32333243434357A W f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3. (25分)根据某交通工程项目的相关资料，分析出有关工序关系及所需时间如下表所示：（1）绘制上述建设工程的统筹图。

（5分）（2）利用事项的最早时间和最迟时间，确定出关键路线和工期（10分）（3）通过改进管理措施可使c工序节省出一台挖掘机，而一台挖掘机投入到其他工序，可使其它工序的工序时间减少2天，需要把这台挖掘机投入到哪个工序可使工程的工期提前？为什么？（10分）解答：（1）针对上表绘制出该建设工程的统筹图如下：（2）利用事项的最早时间和最迟时间，确定出关键路线为：即有两条关键工序工期均为25天：①→②→④→⑥→⑦以及①→②→⑤→⑥→⑦（3）需要把挖掘机放到工序a或h，则可使得整个工期由原来的25天缩减为23天。

理由如下：该工程有两条关键路线，其中有2条非关键工序，4条非共有关键工序，2条共有关键工序，要使得工程时间缩短首先排除将挖掘机放到非关键工序b和c；而单个非共有关键工序的缩短并不会改变另一个关键路线，所以4条非共有关键工序也排除；所以只能是将挖掘机放到共有很关键工序a或h中的一个。