传热学第二章-导热理论基础-2
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阻 R
B
A
C
E
D
如B、C、D的导热系数相 差不大时，把A和E相应地 划分三块，则其热阻的计 算相当于复合电路电阻的 计算。
等效热流路图：
A1
B
E1
t w1
A2
C
E2
tw2
A3
D
E3
1
1
1
1
Rt RA1 RB RE1 RA2 RC RE2 RA3 RD RE3
因实际中组成复合平壁的各向材料导热系数差别较大， 其热阻值与真实热阻值可能会有较大出入，目前一般采用 修正系数加以校正。
bt
dt dx
0
对于第一类换热边界，对上式积分求解后可得：
t
1 2
b
t
w1
1 2
b
2 b
tw1
tw2
t w1
tw2
x
此时，通过平壁的热流为：
q
dt dx
t w1
tw2
0
1
b 2
t w1
tw2
2）平壁边界为第三类边界条件，即
dt dx
x0
h1
t f1
t
x0
t f1
tf2
热扩散方程为：
T h
初始条件
1 a
t
2t x 2
qv
tx,0 T0
qv
T0
x
边界条件
t
0,
T0
t x
xL
h
tL, t f
例2：一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3的水泥珍珠岩制
作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500℃，外壁温度 t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。
tf1 tf2
1
n
i
1
h1 A i1 i A h2 A
5）通过复合平壁的导热
一般而言，因各向材料的导热系数不同，复合平壁的温度场 是二维或三维的，但当各向不同材料的导热系数相差不大时， 仍可把复合平壁的导热问题近似地作一维处理，写成
Q t
R
求解复合平壁导热问题的关键仍是确定其各种形态下的总热
通解为：
t c1x c2
， 无内热源，一维导热
1）平壁边界为第一类边界条件，即
t x0 t w1 t x t w2
代入可得：
t
t w1
t w1
tw2
x
通过平壁的热流通量（密度）q为：
q dt tw1 tw2 tw1 tw2
dx
当然，对于一维稳态导热，由于 q=const
由
(500
50)
423
W/m2
若是多层壁，t2、t3的温度未知：
可先假定它们的温度，从而计算出平均温度并查出导热系
数值，再计算热流密度及t2、t3的值。
若计算值与假设值相差较大，需要用计算结果修正假设值，
逐步逼近，这就是迭代法。
例3：一双层玻璃窗，高2m，宽1m，玻璃厚0.3mm，玻璃
的导热系数为1.05 W/(mK)，双层玻璃间的空气夹层厚度
tw1
tw2 2
例1：一矩形截面长铜排，宽度w》厚度L，铜排下表面与冰浴
接触，因此开始时整个铜排的温度大致等于冰的温度T。，突 然对铜排通以电流，同时一股温度为T∞的气流吹过上表面，此 时铜排下表面继续维持T。，试列出扩散方程以及求解该铜排 温度分布的初始条件和边值条件。
分析：因W》L，导热可以认为是x方向上的一维传热
q dt q dx dt
dx
两边积分后有
q
dx
tw2 dt q
t w1 t w2
0
tw1
这种直接积分法特别适合于求解变截面一维稳态导热问题
如果构成平壁的材料的导热系数随温度发生变化，即
0 1 bt
则可改写其导热方程为： d dt 0
dx dx
d dx
0 1
解：材料的平均温度为：
t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃
由p318附录4查得：
{}W/(mk) 0.0651 0.000105 {t}C
得：
0.0651 0.000105 275
0.0940 W/(m k)
则：
q
(t1
t2
)
0.0940 0.1
2-3 通过平壁与圆筒壁的稳态导热
本节研究内容： 1. 平壁的一维稳态导热
2. 圆管壁的一维稳态导热
回顾：
稳态导热特征： t 0
热扩散方程：
2t x 2
2t y 2
2t z 2
qv
0
无内热源时
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
2-3-1 通过平壁的导热
条件：平壁厚度 ，导热系数
导热方程为： d 2t 0 dx2
Rreal Rt
6）具有内热源时复合平壁的导热
条件：常物性；稳态；各向同性；一维导热
热扩散方程为：
d 2t dx2
qv
0
通解为： 对于第一类边界条件
t
qv
2
x2
c1x
c2
t x
t w.1
t x
t w.2
则最后可得其温度分布为：
tx
qv 2
1
x
2
tw1
tw2 2
x
Q
q
A
tw1 tw(n1)
n i
i1 i A
4）多层平壁导热，第三类边界条件
t f1
tf2
相当于多电阻串联电路
t f1
1
1
h1
1
Rt
1 h1
n Fra Baidu bibliotek 1
i i
1 h2
对于面积为A的平壁， 其热流量Q为：
h1
h2
1
2 3
tf2
2
3
1
2
3
h2
q t t f 1 t f 2
Rt Rt
Q qA
dt dx
x
h2
t f 2 t x
t w1
这里，h
1 , h2
,t
f1,t
f
，
2
已知
h1
tw2
h2
对于常物性，当稳态情况下可得：
q
tf1 tf2
1 1
k tf1 tf2
h1 h2
其中， 1 1 1 又根据傅里叶定律 q dt
k h1 h2
dx
则得
dt dx
q
1
tf1 tf2
1 1
h1 h2
dt q dx 温度分布微分方程式
t f1
t w1
tw2
tf2
1
1
h1
h2
3）多层平壁导热，第一类边界条件
t w1
tw4
相当于多电阻串联电路
1
2 3
t w1
tw2
1
2
tw3
3
tw4
1
2
3
Rt
n i 1
i i
q t tw1 tw4
Rt Rt
对于n层平壁，其热流量Q为：
为5mm，夹层中的空气完全静止，空气的导热系数为
0.025W/(mK)。如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为 15℃和5℃，试求玻璃窗的散热损失，并比较玻璃与空气
夹层的导热热阻。
分析： 这是一个三层平壁的稳态导热问题。散热损失
为：
Q
tw1 tw4 δ1 δ2 δ3
tw1 tw4
Rλ1 Rλ2 Rλ3
Aλ1 Aλ2 Aλ3
0.003
15 5 0.005
0.003 94.3W
2 0.5 2 0.025 2 0.5
可见，单层玻璃的导热热阻为0.003 K/W，而空气夹层的 导热热阻为0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为
B
A
C
E
D
如B、C、D的导热系数相 差不大时，把A和E相应地 划分三块，则其热阻的计 算相当于复合电路电阻的 计算。
等效热流路图：
A1
B
E1
t w1
A2
C
E2
tw2
A3
D
E3
1
1
1
1
Rt RA1 RB RE1 RA2 RC RE2 RA3 RD RE3
因实际中组成复合平壁的各向材料导热系数差别较大， 其热阻值与真实热阻值可能会有较大出入，目前一般采用 修正系数加以校正。
bt
dt dx
0
对于第一类换热边界，对上式积分求解后可得：
t
1 2
b
t
w1
1 2
b
2 b
tw1
tw2
t w1
tw2
x
此时，通过平壁的热流为：
q
dt dx
t w1
tw2
0
1
b 2
t w1
tw2
2）平壁边界为第三类边界条件，即
dt dx
x0
h1
t f1
t
x0
t f1
tf2
热扩散方程为：
T h
初始条件
1 a
t
2t x 2
qv
tx,0 T0
qv
T0
x
边界条件
t
0,
T0
t x
xL
h
tL, t f
例2：一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3的水泥珍珠岩制
作，壁厚 = 100 mm，已知内壁温度t1=500℃，外壁温度 t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。
tf1 tf2
1
n
i
1
h1 A i1 i A h2 A
5）通过复合平壁的导热
一般而言，因各向材料的导热系数不同，复合平壁的温度场 是二维或三维的，但当各向不同材料的导热系数相差不大时， 仍可把复合平壁的导热问题近似地作一维处理，写成
Q t
R
求解复合平壁导热问题的关键仍是确定其各种形态下的总热
通解为：
t c1x c2
， 无内热源，一维导热
1）平壁边界为第一类边界条件，即
t x0 t w1 t x t w2
代入可得：
t
t w1
t w1
tw2
x
通过平壁的热流通量（密度）q为：
q dt tw1 tw2 tw1 tw2
dx
当然，对于一维稳态导热，由于 q=const
由
(500
50)
423
W/m2
若是多层壁，t2、t3的温度未知：
可先假定它们的温度，从而计算出平均温度并查出导热系
数值，再计算热流密度及t2、t3的值。
若计算值与假设值相差较大，需要用计算结果修正假设值，
逐步逼近，这就是迭代法。
例3：一双层玻璃窗，高2m，宽1m，玻璃厚0.3mm，玻璃
的导热系数为1.05 W/(mK)，双层玻璃间的空气夹层厚度
tw1
tw2 2
例1：一矩形截面长铜排，宽度w》厚度L，铜排下表面与冰浴
接触，因此开始时整个铜排的温度大致等于冰的温度T。，突 然对铜排通以电流，同时一股温度为T∞的气流吹过上表面，此 时铜排下表面继续维持T。，试列出扩散方程以及求解该铜排 温度分布的初始条件和边值条件。
分析：因W》L，导热可以认为是x方向上的一维传热
q dt q dx dt
dx
两边积分后有
q
dx
tw2 dt q
t w1 t w2
0
tw1
这种直接积分法特别适合于求解变截面一维稳态导热问题
如果构成平壁的材料的导热系数随温度发生变化，即
0 1 bt
则可改写其导热方程为： d dt 0
dx dx
d dx
0 1
解：材料的平均温度为：
t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃
由p318附录4查得：
{}W/(mk) 0.0651 0.000105 {t}C
得：
0.0651 0.000105 275
0.0940 W/(m k)
则：
q
(t1
t2
)
0.0940 0.1
2-3 通过平壁与圆筒壁的稳态导热
本节研究内容： 1. 平壁的一维稳态导热
2. 圆管壁的一维稳态导热
回顾：
稳态导热特征： t 0
热扩散方程：
2t x 2
2t y 2
2t z 2
qv
0
无内热源时
2t x 2
2t y 2
2t z 2
0
2-3-1 通过平壁的导热
条件：平壁厚度 ，导热系数
导热方程为： d 2t 0 dx2
Rreal Rt
6）具有内热源时复合平壁的导热
条件：常物性；稳态；各向同性；一维导热
热扩散方程为：
d 2t dx2
qv
0
通解为： 对于第一类边界条件
t
qv
2
x2
c1x
c2
t x
t w.1
t x
t w.2
则最后可得其温度分布为：
tx
qv 2
1
x
2
tw1
tw2 2
x
Q
q
A
tw1 tw(n1)
n i
i1 i A
4）多层平壁导热，第三类边界条件
t f1
tf2
相当于多电阻串联电路
t f1
1
1
h1
1
Rt
1 h1
n Fra Baidu bibliotek 1
i i
1 h2
对于面积为A的平壁， 其热流量Q为：
h1
h2
1
2 3
tf2
2
3
1
2
3
h2
q t t f 1 t f 2
Rt Rt
Q qA
dt dx
x
h2
t f 2 t x
t w1
这里，h
1 , h2
,t
f1,t
f
，
2
已知
h1
tw2
h2
对于常物性，当稳态情况下可得：
q
tf1 tf2
1 1
k tf1 tf2
h1 h2
其中， 1 1 1 又根据傅里叶定律 q dt
k h1 h2
dx
则得
dt dx
q
1
tf1 tf2
1 1
h1 h2
dt q dx 温度分布微分方程式
t f1
t w1
tw2
tf2
1
1
h1
h2
3）多层平壁导热，第一类边界条件
t w1
tw4
相当于多电阻串联电路
1
2 3
t w1
tw2
1
2
tw3
3
tw4
1
2
3
Rt
n i 1
i i
q t tw1 tw4
Rt Rt
对于n层平壁，其热流量Q为：
为5mm，夹层中的空气完全静止，空气的导热系数为
0.025W/(mK)。如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为 15℃和5℃，试求玻璃窗的散热损失，并比较玻璃与空气
夹层的导热热阻。
分析： 这是一个三层平壁的稳态导热问题。散热损失
为：
Q
tw1 tw4 δ1 δ2 δ3
tw1 tw4
Rλ1 Rλ2 Rλ3
Aλ1 Aλ2 Aλ3
0.003
15 5 0.005
0.003 94.3W
2 0.5 2 0.025 2 0.5
可见，单层玻璃的导热热阻为0.003 K/W，而空气夹层的 导热热阻为0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。
如果采用单层玻璃窗，则散热损失为