第九章 微分方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
30第九章 连续时间：微分方程
• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y (K, L) 边际产品为正但递减
Y K
2Y 0, K 2
0
Y L
0,
2Y L2
0
一次齐次（规模报酬不变）性
Y (K,L) Y (K, L)
人均项目表示为
y (k)
净投资：
K I K S K sY K
同除 L可得
K / L sy k s(k) k
yk a
该非齐次方程的通解为 y(x) y y(0)eax
定义
• y(x) y，y 收敛于y ，y 的时间路径是稳定的
在上例中，当且仅当 a 0时，y(x) y
• 伯努利方程
dy ay cym dx
m 其中a 和 c为常数或者 x 的函数， 为任意除0和1之外的
实数，两边同除 ym 可得
形式 P(D)y 0的通解则非齐次方程 P(D) y f (x) 的通解
为 y yc yp 。
第3节 一阶常系数线性微分方程
最简单形式
dy ay f (x) dx
定理 其非齐次方程的特解为
y(x) eax x eas f (s)ds 0
特殊情形 dy ay k dx
其一个特解（潜在均衡点）为
dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
通解为
P
ab
P(t) P cegt
其中c为任意常数而g (b a)
当且仅当 g 0时P(t) P ，因 0条件即为b a
在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足
• 马歇尔供求函数：
PD
a
Q a
PS
b
Q b
动态调整过程：
dQ dt
第九章 连续时间：微分方程
c c 2 4d (b )
m 两根都为负，时间路径收敛，若两根相等， 1 m2 c / d 都小于零，其时间路径也为收敛的。最后，如果为共轭复 数，其实数部分c / d 小于零， P 的时间路径同样为收敛 的，尽管此时带有不断衰减的循环。
第7节 高阶线性微分方程
• 高阶微分方程
Y 2Y 0, 2 0 K K
Y 2Y 0, 2 0 L L
一次齐次（规模报酬不变）性
Y ( K , L) Y ( K , L)
人均项目表示为
y (k )
净投资：
K I K S K sY K
同除 L 可得
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
动态调整过程 dP (QD QS ) dt 代入可得
QD aP QD bP
0
dP (a b) P ( ) dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
P
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r ，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)e
rx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)t
其中 为任意常数而g (b a) 当且仅当 g 0时 P(t ) P ，因 0 条件即为b a 在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足 • 马歇尔供求函数： Q
c
PD
a Q PS b b
a
其中 y1 不是 y 2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2 ， 其中 c1 , c2 为任意常数 • 定义 m2 pm q 0 • 辅助方程:
第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
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例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
第九章 微分方程 4
而 y C2e 2 x 2(C1 C2 x )e 2 x .
4
2x 2x 而 y C2e 2(C1 C2 x )e .
y(0) C1 1 C1 1 由初始条件得: 解得 : C 2 2, y(0) 2C1 C 2 0,
d x 由牛顿第二定律得： 100 2 gx , dt 2 d x g 即 x 0, 2 100 dt
2
O
且满足： x(0) 20, x(0) 0,
x
g t 100
求得通解： x C1e
g t 100
C 2e
,
x
15
C1 10 x (0) 20 由初始条件 , 得: , x ( 0 ) 0 C 2 10
所求的特解为:
y (1 2 x )e 2 x .
( 3) y 2 y 2 y 0.
解： 特征方程： 2 2 0,
2
特征根为： 1， 2 1 i ,
方程通解： y e (C1 cos x C2 sin x ).
5
x
B. 二阶线性常系数非齐次微分方程的通解
bm ,b m 1 ,...,b1 , b0 . 比较两端同次幂系数 , 即可求出：
( ii ) 如果是特征方程： p q 0 的单根
2
则 2 p q 0, 2 p 0, Q( x )是m次的多项式 ,
可设 : Q( x ) x(bm x m bm 1 x m 1 ... b1 x b0 ),
2 2
3A 9 A 3 14 2 4 A 3B 0 B 4 故 y p ( x ) 3 x 4 x 3 , 2 A 2 B 3C 0, C 14 3 ,
第9章微分方程初值问题的数值解法-1
(x k x k 1 )
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( ) y ( x k ) h f ( , y ( ) )
记 K*f(,y()) 称为[xk , xk+1]上的平均斜率. 故
y(xk1)y(xk)hK*
当
y(i) k
y(i)(xk)
时,
有
y(xk1)yk1O (hp1). 此时①为
p 阶Taylor方法. p=1时即为Euler公式.
例2: 取步长 h = 0.1, 用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列初 值问题
y y2
,
y(0) 1
0x1. 2
解: (1) 一阶Taylor法
yk1yk 0.1yk2
Taylor公式推导:
y(xk1)y(xk)hy(xk)h 2 2y(k), xkkxk1
yk1ykhf(xk,yk) k0,1,L,n1
Euler公式几何意义:
y
P2 P1 P0
Pk
也称折线法
x
2. 梯形法
若采用梯形公式计算(★)中的积分项,则有
y(xk1)y(xk)h 2[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))]
y ( x k 1 ) y ( x k ) h y ( x k ) h 2 2 !y ( x k ) L h p p !y (p )( x k ) O ( h p 1 )
令
yk 1ykhyk h 22 !yk Lh p p !yk (p)
①
称之为Taylor级数法. 其中 y k (i)y(i)(x k),i 0 ,1 ,2 ,L,p
y(2y3)6y2y6y4
y(4) 24y3y24y5
第九章 微分方程
二、确定函数关系式 y c1 sin( x c 2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x 1 , yx 0 .
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
第九章 微分方程
第二节 一阶微分方程
§9.2 一阶微分方程 复习：
例 y y，
y y 0，
特解 y 2ex；
特解 y 2sin x cos x；
（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如：
T
t 0
100
y
x 1
2
一般地，一阶微分方程y' f ( x, y)的初始条件为：
y
x x0
y0
一般地，二阶微分方程y'' f ( x, y, y' )的初始条件为：
通解
特殊情形：
dy f ( x) dx
dy g ( y) dx
y f ( x)dx C
1 g ( y)dy x C
解微分方程：xy ' y ln y 0
解 分离变量
1 1 dy dx y ln y x
ln ln y ln x ln C,
两边积分
ln y Cx,
一阶方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
初值问题： y f ( x , y )
y x x0 y 0
这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式 本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
教学任务
• 可分离变 量的微分 方程
分离变量法
• 齐次微分 方程
变量代换
第九章 微分方程与差分方程简介
第九章 微分方程与差分方程简介基 本 要 求一、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
二、掌握变量可分离的方程、齐次方程和一阶线性方程的求解方法。
三、会用降阶法解下列方程：),(),,(),(//////)(y y y y y y f x f x f n ===。
四、会用微分方程解决一些简单的应用问题。
五、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
习 题 九1、试说出下列微分方程的阶数：(1)x yy y x =-'2'2)(； ………………………………一阶 (2) 02)(22=+-xydy dx y x ；…………………………一阶 (3)022'''''=++y x y xy ；………………………………三阶 (4)x y y y =++'2''')1(.…………………………………二阶 2、验证下列各题中所给函数是否是所对应的微分方程的解： (1)y xy x y 2,5'2==；解：由x y x y 105'2=⇒= ∴y x xy 2102'== ∴25x y =为y xy 2'=的解.(2) 02,sin '''=-+=xy y xy xxy . 解：∵2''sin cos )sin (x x x x x x y -==，32''sin 2cos 2sin xxx x x x y +--= ∴0sin 22'''≠-=-+x xy y xy ，即xxy sin =不是02'''=-+xy y xy 的解.3、求下列微分方程的通解：(1)0'2=+y y x ；解：x Ce y C x y x dx y dy 12ln 1ln =⇒+=⇒-=(2) xy dxdyx =+)1(2； 解：)1(ln )1ln(21ln 122222x C y C x y x xdx y dy +=⇒++=⇒+=(3) y yex x dx dy 12+=； 解：C x e ye dx x x dy ye yyy++=-⇒+=2322)1(311(4) 3'ln xy xy xy +=；解：C x y y C x y y dx x x dy y y +=+⇒+=+⇒=+24212423)(ln 22)(ln 2142ln )( 4、解下列初值问题：(1)0)1(,12=+=y y dx dy； 解：∵)tan(arctan 12C x y C x y dx y dy+=⇒+=⇒=+ 由10)1(-=⇒=C y ∴)1tan(-=x y (2)1)0(,==-y e dxdyy x ；解：∵C e e dx e dy e x y x y +=⇒=由11)0(-=⇒=e C y ∴1-+=e e e x y (3)1)0(,)1(212-=-+=y y x dx dy ；解：∵C x x y y dx x dy y ++=-⇒+=-222)12()1(2由31)0(=⇒-=C y ∴3222++=-x x y y (4)2)2(,132=++=y x x yx dx dy .解：∵13ln )1ln(213ln 13222+=+⇒++=+⇒+=+x C y C x y x xdx y dy 由52)2(=⇒=C y ∴)1(5)3(22x y +=+ 5、求下列齐次方程的通解： (1)xyx y -='；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为：xdx u du =-21 积分得：xC x C y Cx u C x u 2222121)21(ln ln 21ln 21-=⇒=-⇒+=--- (2) yx y x y -+='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx x du uu u u u u xu 1)111(1122'=+-+⇒-+=+ 积分得：Cx u e C x du u u u =+⇒+=+--212arctan 2)1(ln ln )1ln(21arctan即Cx xy exy =+-2122)1(arctan(3)xy xe y xy +='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xu d e e u dx du x u u u 1)(=--⇒+=+- 积分得：)ln ln(ln x C x y C x e u --=⇒-=--(4)x xy y x y xy -=sin sin' x x yy x y x y -=sin sin /；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xudu 1sin -=积分得：C x xyC x u +=⇒--=-ln cos ln cos(5) 1,02)3(022==--=x y xydx dy x y .解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为x dx du u u u uu =--++--)]25151(1035[2 积分得：C y x y C x u u u =-⇒+=+----3251225ln ln ln 1065ln 1035ln 216、求下列微分方程的通解：(1) x e y y =-3'；解：2)()(2333xx x x dx x dx eCe C dx e e C dx e e e y -=+=+⎰=⎰⎰-⎰-(2)22'x e y xy =+；解：方程整理为xe y x y x 22'=+∴)2(1)(1)(222222C e xC dx xe x C dx e x e ey x x dx x x dx x+=⎰+=⎰+⎰⎰=-(3)'xy xy e x =+；解：方程整理为xe y y x=-'∴)(ln )1()(C x e C dx xe C dx e x e ey x x dx x dx+=⎰+=+⎰⎰=-⎰ (4))2,2(,1tan ππθθθ-∈=-y d dy ； 解：方程整理为1tan '=⋅-y y θ∴θθθθθθθθθθcos tan )cos (cos 1)(tan tan CC d C d e e y d d +=+=⎰+⎰⎰=⎰- (5))0('>=++-x e y xy xy x；解：方程整理为xe y x x y x-=++1'∴)1()()(ln )ln (11xC e C dx e x e eC dx e xe ey x x x x x x dx xx x dx xx +=+⎰=+⎰⎰=-+-+-⎰+-+-*(6)21y x dx dy +=. 解：方程整理为2'y x x =-∴y y y dydy Ce y y C dy e y e C dy e y e x +---=+=+⎰⎰=⎰⎰-22)()(2227、求下列微分方程的通解： (1)x x y sin ''+=；解：∵12'cos 2)sin (C x x dx x x y +-=+=⎰ ∴⎰++-=+-=21312sin 6)cos 2(C x C x x dx C x x y(2) '''''44y y xy +=； 解：令 (3)0'''=+y xy ；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx xP dP P xP 10'-=⇒=+ 积分得x C P C x P 11ln ln ln =⇒+-=，即211ln C x C y xC dx dy +=⇒= (4) 222x dxy d =； 解：∵132'3C x dx x y +==⎰ ∴2141312)3(C x C x dx C x y ++=+=⎰ (5)xy y xy ''''ln =；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x P x P P ln '=，令dxdu x u P x P u +=⇒=' ∴原方程为xdxu u du =-)1(ln ，积分有2111111)1(1ln ln ln 1ln ln 11C C x C e y e x P x C x P C x u x C x C +-=⇒=⇒=-⇒+=-++(6) '22''')(y y y yy =-； 解：令dy dP Py y P y =⇒=''')(，原方程化为y P ydy dP =-1∴)()1()(11111C y y C dy yy y C dy yeeP dyy dyy +=⎰+⋅⇒+⎰⎰⎰=-∴xC xC e C e C C y dx C dy C y y C y y y 11221111'1)11()(-=⇒=+-⇒+= (7)x x y y sin cot 2'''=+；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x x P P sin cot 2'=+，即)cos cos 31(csc )sin ()sin (1321321cot 2cot 2C x x x C xdx x csx C dx e x e P xdx xdx +-=+⎰⇒⎰+⎰⋅⎰=-∴2121222cot 3sin 3csc 2csc sin sin 1sin sin )sin 1(31C x C x x xdx C x d x xx d x y +--=+--=⎰⎰⎰ (8)'''''y y =；解：令''''''P y P y =⇒=，则原方程为dx pdP=，积分得x e C P 1= ∴21'C e C y x += ∴321C x C e C y x ++= (9)2,1,30'0''=====x x y y y y .解：令dydP P y y P y =⇒=''')(，原方程化为dy y PdP 3=，积分得12324C y P +=∵2,10'0====x x yy∴由上式得01=C ，即43'2y y =∴24124C x y +=，同理可得22=C ∴2241+=x y8、求下列函数的差分. (1)C y x =（C 为常数）； 解：0=-=∆C C y x (2)x x a y =；解：)1(1-=-=∆+a a a a y x x x x (3)ax y x sin =；解：2sin )21(cos 2sin )1(sin a x a ax x a y x +=-+=∆(4) 2x y x =；解：12)1(22+=-+=∆x x x y x 9、确定下列差分方程的阶. (1)23123=+-++x x x y y x y ； 解：∵3)3(=-+x x ∴其阶为3. (2) 242+--=-x x x y y y .解：∵6)4()2(=--+x x ∴其阶为6.第九章 单 元 测 验 题1、指出下列题的叙述是否正确：（1）方程y x y y xy 2'2)(=-是齐次的；…………………………………………错 （2）方程0)13()2(3'22=+++y x xy x 是线性的；………………………………正确 （3）方程1623'-+-=xy x y y 是可分离的.……………………………………正确 2、求下列微分方程的通解：(1))(cos 2'x yx y xy +=；解：∵)(cos 2'x y x y y += 令''xu y y x y u +=⇒=，原方程化为dx x udu 1sec 2=积分得)arctan(ln ln tan C x x y C x u +=⇒+= (2)xy x x y 1ln 1'=+； 解：xCx C dx x x x y C dx e x ey dx x x dxx x ln 2ln )ln (ln 1)1(ln 1ln 1+=⎰+=⇒+⎰⎰⎰=-*(3) 0)2(22=-+-dy x xy y dx y ； 解：原方程整理得1)21(2=-+x y y dy dx ∴)1()1()(121212)21()12(22y y ydyy y dyy y Ce y x C dy e ye y x C dy eex +=⇒⎰+=⇒⎰+⎰⎰=---2(4)0)1('''2=--xy y x ，且满足1,00'0====x x y y .解：：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx x xP dP 21-=，积分得 2121ln 1ln 21ln xC P C x P -=⇒+--= ∴2121arcsin 1C x C y dx x C dy +=⇒-=又∵1,00'0====x x y y ∴代入上式得0,121==C C ∴x y arcsin =3、求曲线方程)(x y y =，它满足方程y x dxdy34=，且在y 轴上的截距等于7. 解：由题得dx x ydy34=，积分有4x Ce y = 又∵曲线在y 轴上的截距等于7 ∴当0=x 时7=y ，代入上式得7=C∴曲线方程为47x e y =.4、求一条曲线，使该曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于2a ，并且该曲线过),(a a 点. 解：设该曲线方程为)(x f y =则曲线上任意一点),(00y x A 的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-设此切线与y 轴交于点C ，过切点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，对梯形ABOC 有：000'0000'0,),()0)((y AB x OB x f x y x x f y OC ==-=-+=∴)](2[22)(0'0002x f x y x a OBAB OC S ABOC -=⇒+=由于点),(00y x A 的任意性，上式可以改写为2'2)2(a xy y x =-整理得22'22xa y x y -=-，积分得)32()2()2(3224222222C xa x C dx x a x C dx e x a ey dx x dxx +=+⎰-=+⎰⎰-⎰=-- 又∵曲线过),(a a 点 ∴a C 31= ∴ax x a y 33222+=。
第九章 常微分方程数值解
k 0, 1, 2,...
( ( 应用改进欧拉法，如果序列 yn0)1 , yn1)1 , 收敛，它的极限便
满足方程
y n 1 h yn f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 ) 2
3．公式的截断误差
二元泰勒公式： 设 z=f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续且直到有n+1阶
首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶 dy f x ( x, y) yi y( x i ) 的前提假设下，使得 f y ( x , y ) 精度，即在 dx 3 Ri y( xi 1 ) yi 1 Oh ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) ( f )
2
Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？
yi1 yi h[ 1 K1 2 K2 ... m Km] K1 f ( xi , yi ) K2 f ( xi 2 h, yi 21 hK1 ) K3 f ( xi 3 h, yi 31 hK1 32 hK2 )
最常用为四级4阶经典龙格-库塔法
4 阶龙格――库塔法
h y n 1 y n ( k1 2 k 2 2 k 3 k 4 ) 6 k1 f ( x n , y n ) 1 h k 2 f x n h, y n k1 2 2 1 h k 3 f x n h, y n k 2 2 2 k f x h, y hk n n 3 4
y( x ) y0 f (t , y(t ))dt
x0
x
是等价的，当x = x1时，
微积分(下册)第二版 第9章 微分方程
又y 0是原方程的解 ,
方程的解为: y C 1 x2 , C为任意常数.
二、齐次方程 形式：
dy dx
f
y x
解法 作变量代换 u y , 即 y xu, x
dy u x du , u x du f (u),
dx
dx
dx
即
1 du f (u) u
1 dx. x
du f (u) u
◆微分方程的分类： 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
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2
分类3: 线性与非线性微分方程: y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x y 0.
1 dx, x
例3
求解 dy x y 1. , 令u y，
dx
x
x
则y xu， dy u x du ,
dx
dx
u x du 2 u, dx
即 x du 2, dx
x du 2, dx
du 2 dx, 两边积分,得 u ln x2 c, x
如: y y, 通解 y cex;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x.
(2)特解: 通解中任意常数为确定值的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
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5
§9.2 可分离变量的微分方程 一、 可分离变量的微分方程 二、 齐次方程
一、可分离变量的微分方程
dx
dx
2 y3 dy 2xy2 2x3 dx
线性微分方程及差分方程
u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
各种 微分方程的概念及其解法
第九章微分方程第一节基本概念一.解释下列名词术语1．微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程.注意：（1）微分方程的一般形式：，在这个方程中是自变量，是的未知函数，是对的一阶、二阶、n阶导数；（2）方程中未知函数及自变量的记号可以不出现，如：；但未知函数的导数则必须出现.2.微分方程的阶：微分方程中所含的未知函数的最高阶导数的阶数.如：是一阶是二阶是n阶3.微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.例如：是的解.4.微分方程的通解：n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解.例如：是的通解；但是的解，而非通解.注意：这里要说明一下“两个常数独立”的含义----即对于任意给定的不同的的取值，则应得到不同的解，则称两个常数是互相独立的.之所以不是的通解，就是因为不是互相独立的.比如：取或者都可得到解.5.微分方程的初始条件：用来确定通解中的任意常数的一种定解的条件.一阶微分方程的初始条件通常为二阶微分方程的初始条件通常为例如：已知是的通解，可由初始条件通常为。
初始条件的个数与微分方程的阶数相同。
6.微分方程的特解：通解中所含的所有任意常数都确定后的解。
比如：是的满足初始条件的特解。
7.积分曲线：微分方程的解的图形（特解是一条积分曲线；通解是一组积分曲线）二。
用微分方程求解实际问题中的未知函数的步骤：1.建立微分方程和初始条件（难点）；------这通常使一部分同学感到为难，因为它除了需要数学知识之外，还往往要用到力学、物理学、化学、电学、工程技术等方面的知识，甚至还要用到语文的知识。
2.求通解；3.求特解。
我们这一章的重点是：给定一个微分方程，如何求其通解或特解.第二节一阶微分方程一.可分离变量的微分方程求解微分方程有一个特点：就是“对号入座”,什么样的微分方程，就用什么方法去解决,这几乎成了一个固定的格式.因此，判定所给的方程是什么类型就是首要问题。
这是本章的特点.今天，就给大家介绍一种最简单的一阶微分方程：可分离变量的微分方程.1.引例求解解：因为，所以是是的一个原函数。
第九章 fx微分方程与差分方程简介
y′ = p(y)
p = ψ ( y , C1 )
dp dy′ =p y′′ = dx dy
y′ = ψ ( y , C1 )
dy ∫ ψ ( y , C1 ) = x + C 2 .
3
第九章 微分方程与差分方程简介
7.
y′′ + py′ + qy = 0
2
λ + pλ + q = 0
x 1 1 2 = − + y + C. y y 2
1 3 x = −1 + y + Cy . 2
′ = ± 1 − u2 xu du dx ± = . 2 x 1− u
7
5. 求以 y = Ce
第九章 微分方程与差分方程简介
− x2
为通解的微分方程 . − x2 y ′ = − 2 xCe = − 2 xy y ′ + 2 xy = 0 . x 2x x −x 6. 已知 y1 = xe + e , y2 = xe + e ,
y 3 = xe x + e 2 x − e − x 为二阶线性非齐次
微分方程的三个解，求 此微分方程 . 微分方程的三个解， 因Y1 = y1 − y3 = e− x , Y2 = y1 − y2 = e2x − e−x , Y3 = Y1 +Y2 = e2x ,
e 和 e 是二阶线性齐次微分方 程线性无关特解， λ1 = −1, λ 2 = 2, (λ + 1)(λ − 2) = 0, λ2 − λ − 2 = 0.
2
5. y′′ = f ( x , y′ ) y′ = p(x) y′′ = p′(x) p′ = f ( x , p ) p = ϕ ( x , C1 ) y′ = ϕ ( x , C1 )
09第九章 质量质量传递概论与传质微分方程
N
总物质的量浓度： 总物质的量浓度： c = ∑ ci =
i =1
ρ
M
(9 - 2)
第一节 质量传递概论
一、混合物组成的表示方法 2. 质量分数与摩尔分数 （1）质量分数 混合物中某组分i的质量占混合物总质量的分数称为该组分 混合物中某组分 的质量占混合物总质量的分数称为该组分 质量分数。以称号a 表示。 的质量分数。以称号 i表示。 Gi ai = (9-7) N G (9 - 8) ∑ ai = 1 （2）摩尔分数
第二节 传质微分方程
一、传质微分方程的推导 2. 通用的传质微分方程 将式(9-34)、(9-35)和(9-36)代入质量守恒定律中，得： 代入质量守恒定律中， 将式 、 和 代入质量守恒定律中
∂ ( ρ A u x ) ∂ ( ρ A u y ) ∂ ( ρ A uz ) ∂j Ax ∂j Ay ∂j Az ∂ρ A + + + + + + − rA = 0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂θ
11以绝对速度表示的传质通量以绝对速度表示的传质通量总传质通量以摩尔浓度表示以摩尔浓度表示第一节第一节质量传递概论质量传递概论三传质的速度与通量三传质的速度与通量传质的通量传质的通量22以扩散速度表示的传质通量以扩散速度表示的传质通量扩散通量扩散速度与浓度的乘积称为以扩散速度表示的传质通量
第九章 质量质量传递概论与传质微分方程
u A = udA + u f uB = udB + u f
达了由于传质所形成的各种速度之间的关系
(9 - 16) (9 - 17)
即是： 绝对速度=扩散速度 主体流动速度” 扩散速度+主体流动速度 即是 ： “ 绝对速度 扩散速度 主体流动速度 ” ， 该式表
微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1
第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。
,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。
第九章 微分方程与差分方程习题解答
练习9.11.指出下列微分方程的阶数：解：(1)一阶 (2)一阶 (3)一阶 (4)二阶2.验证下列各函数是否为所给微分方程的解，并指出哪些是特解哪些是通解。
（21,,C C C 为任意常数）解：(1)通解 (2)特解 (3) 不是解 (4)不是解3.写出以下列函数为通解的微分方程，其中21,,C C C 为任意常数 解：(1)直接求式子求导,可得0)(22=+'−y y yx x(2)直接求式子求导,可得02=−'+''y y y练习9.21.求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：(1)解：xdx ydy sin =两边同时积分-cosx 1cos lny e c y c x =⇒+−=（2）解：22ln 2x e c y c x y xdx ydy⋅=⇒+=⇒=积分（3）解法一：cy x c y x cxy y x xy d dy dx =+−=+−⇒=+−⇒=+−)1)(1()1)(1(0)(或解法二：cy x cc d d x y x dxy dy =+−⇒=⇒+=⇒−=−=+=−=+)1)(1(1ln ln 1,111ξηξηξξηηξη令（4） 解：0011tan cos 0,4)0(22=⇒=+=⇒+=⇒===c c c e x dt e xdx t x t令π故t t e x e x arctan ,tan ==（5）解：dy e e dx e e x y y x )1()1(++−ce e ce e e dy dx e dy e dx e x y y x x y y x y x =+−⇒=+−⇒=+++−⇒++)1)(1(0)(（6）解：1232323230)1()1(c y y x x dy y y dx x x =−−+⇒=+−+c y y x x =−−+⇒23233232e y e xx 2O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令)1ln(21)1ln(211)1(,1e c c e y x +−=⇒++=⇒==由 故)1ln(21)1ln(22e e y x +−++=（8）解：c x y x dx y dy =+⇒=++arctan ln 012令4401)1(,1ππ=⇒=+⇒==c c y x 由故4arctan ln π=+x y2．求下列各微分方程的通解或特解：（1）解：u dxdux dx dy x y u x y x y dx dy +=⇒=−=令112ln )2ln(211c x u u u u u dx du x +=−⇒−=+⇒c y xy x c u u =−⇒⋅=−⇒22222（2）解：令xyu =)ln(0)ln(0)ln(ln ln =+=+⇒=+⇒+=⇒=⇒+=+=−−−−xyxy u u u u ecx ecx e cx c x e x dx edu u e u dx du x dx dy 故原方程的通解为：（3）解：令012=+−−+⇒=u u u dxdux x y u 122ln )1ln(1c x u u xdxu du+=++⇒=+⇒22221cx y x y cx u u =++⇒=++⇒（4）解：令c x u u dx du x x y u +=⇒=⇒=ln 2tan ln sin 01ln 1ln 2,1=⇒+=⇒==c c u x π令x x y x u arctan 2arctan 2=⇒=⇒（5）解：令 u dydu y dy dx y x u +⋅==则 化简得 uu dy du y u u u dy du y 25123122−=⋅⇒−=+⋅ c y u dy udu +=−−⇒=⇒ln 51ln 122 O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MO O C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M OOC令00)0(,1)0(0====c u y x 得则 故151)51(32552=−⇒=−y x y yu （6）解： xyu xy x y dx dy =+−=令,11则11112+−−=⇒+−=+u u dx du x u u dx du x u 令 c x u u x dx u du u +=−+−⇒=++−⇒ln arctan 1ln 21)1()1(22令0,0)1(,0)1(,1====c u y x 得则故 0arctan 2)ln(ln 2arctan 2ln ln arctan 1ln 21222222=++⇒−=++⇒=−+−xyy x x x yxy x x u u 3．求下列微分方程的通解：(1)解：令y x z −= zz z z dx dy dx dz 22211+=++=−= ()()()c x y x n y cx z n z dx z zdz+=+−−−+=+−⇒=+⇒12112 故原方程的通解为： )(1y x ce y x +−=+− （2）解：373737++−−−=y x y x dx dy 0407337≠=−−=∆⎩⎨⎧=+=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++−=−−ηξy x y x y x y x 1010********0故令 得ξξξξηξηξξηξηd du u u d du u d d u =−−=+⇒+−−==277377337令 cy x y x cc u u c u u u cuu u =−+−−⇒=−+⇒=−+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−⇒+=−+−−−⇒5225727527322)1()1()()()1()1(11)1(ln 11ln 1431ln 21ηξξηξξξ （3）解：0111=−−=∆−−−=y x dyO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOO C中国大学M OOC令 1221211−−=−−−+=+=z z z z dx dz yx z cy x y x c x z z dx dz z z =−++++=−+⇒=−−2ln 32 2ln 32212即 （4）解：051=∆++−++−=y x y x dx dy令 54511+−=+++−=−=z z z dx dz xy z c x y x y c x z z dx dz z =−+−⇒+−=+⇒−=+52)(4524)5(22（5）解：分离变量得01122=++−yydyx xdx 两边积分得1221ln 211ln 21C y x =++−−得通解为C xy =−+2211 （6）解：变形得 0223=+x y dydxy 分离变量得并积分得21yCx = 变易常数C ，即令21)(y y C x =，代入原方程有y y C 1)(='， 积分得C y y C +=ln )( 得通解为)(ln 12C y yx +=4．求下列各微分方程的通解或在给定初值条件下的特解：（1）解：()()cdx e x e c dx e x e y x x x dx+⋅=+⋅⎰=⎰⎰−−222244分部积分()[]x x x e c x c x e e 2221212−−⋅+−=+−=（2）解：利用函数变量法：令 x e x Q x p −==)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰−c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()( []()c x e c dx e e e x x x x +=+⋅=−−−⎰ （3）解：cos sin cos c dx e e e y xdx x xdx⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=−−⎰O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOC（4）解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰−⎰=⎰−−−c dx e x x e y dx x xdx x x 12212221cos []1sin 1cos 11222−+−=+−=⎰x xx c c xdx x（5）解：01212=+−+yy dy dx 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−⎰=⎰⎰−+−−−c y dy e e c y dy e ex y y y y dy yy21)ln 21(2121)1( y yye cy y c e e y 122112+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−⋅=（6）解：c t x t dt x dx ++=+⇒+=+)2ln()13ln(31213 令0)0(,0==x t ，得2ln −=c故()()2211331+=+t x （7）解：[]x c e c dx e x c dx e x e e y xx x dx x x dx +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰−1 令1)2(,2==y x ，即22221e c ce −=⇒+= 故xe e y x 22−+=（8）解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−−⎰=⎰⎰−−−−c dx x x x x x x x c dx e x x x e y x x dxx x dx 11)12(11)12()1()1( [][]c x x x x c dx x x x +−−=+−−=⎰21)12(1 令4)2(,2==y x ，即0)24(24=⇒+−=c c故2x y =5．求下列方程的通解：（1）解：23x y yx dydx+= 令1−=x z ，则dydx x dy dz 21−= O学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC331y yz y ydy dz −−=−−= 22222232322222)2()2( y y y y y ydyydy ce y c y e ec dy e y ec dy e y e z −−−−−+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰⎰即：1)2(222=+−−y cex y（2）解： 令3−=y z ，则24333x z xdy dx y dx dz −=−=− []c x x c dx x x c dx e x e z dx x dx x +−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=⎰⎰−ln 3 3333333 即：1)ln 3(33=−x c y x（3）解：xy x dy dx 2−= 令2x z =，则dydx x dy dz 2=y z y x dydz42422−=−= 故[][]yce c y e e c dy ye e x c dy e y e z y y y y y dy dy21)21(4 422222222++=++=+−=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−⎰⎰（4）解： 令x z 1=，则y yz dydxx dy dz −−=−=312 311)(23232323332222−=⇒+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅−⎰=−−−−⎰⎰y y y y ydy ydy cexc e c dy e y e c dy e y e z（5）解： 令xyu =，则u u u u x tan +=+' cx x y cx u cx u dx xudu u dx xdu arcsin sin ln ln sin ln 1cot tan =⇒=⇒+=⇒=⇒=⇒（6）解：其对应的齐次方程分离变量得xdx y dy −= O 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOCO 学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO学MOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学MOOC中国大学M OOCO 学MOC 中国大学MO OC中国大学MOO C中国大学MO O C中国大学MO O C中国大学MOOC中国大学M OOCO 学M O C 中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MOOC中国大学M OOC积分得c x y ln ln ln +−=将c 常数变易为)(x c ，代入得xx c 1)(='，积分得c x x c +=ln )( 于是原方程的通解为)(ln 1c x xy +=6．不作要求。
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建立微分方程举例
1 利用导数的几何意义建立微分方程
例 以点A(0,a)为起点，在第一象限内求一曲线， 使曲线上任一点P处所作切线与x轴交于T，且 |PT|=|OT|
2 利用物理意义建立微分方程
例 某种气体的气压p对于温度T的变化率与气压成 正比，与温度的平方成反比，求函数p(T)满足的微 分方程。
假设非齐次方程的解为 y C ( x )e
P ( x ) dx C ( x ) Q( x )e dx C
dy P ( x ) y Q( x ), (Q( x )不恒为零) dx
P ( x ) dx
即得通解 y e
Ce
P ( x ) dx
P ( x ) dx
N N 0e
( n m ) t
1 建立共焦抛物线族 y 4C ( x C ) （其中C为任意常 数）所满足的微分方程。
2
2 ydx ( x 2 4 x )dy 0
一阶线性微分方程
定义：形如
y' P ( x ) y Q( x ) 的方程，
称为一阶线性微分方程。 Q( x )称为自由项
f(x,y)可表示成一个
x 的函数与一个 y 的 函数的乘积,
f ( x, y ) g( x )h( y )
dy g( x )dx h( y ) dy h( y ) g( x )dx C
例1
2 ( 2 y cos y ) dy 6 x dx 解:分离变量
( 2 y cos y )dy 6 x dx
y
x
例3
解:设曲线 y=y(x)与椭圆族中的任一椭圆的 交点为M(x,y),则曲线 y=y(x) 在交点 M 处的切线斜率为k1=y’,椭圆在该点处
x 的切线斜率为 k 2 2y
'
2y y 由k1k2=-1.可得 x ' 2y y 即初值问题 x y(a ) b
u
y x
du 2 u u x dx u 1
(1 u)du dx 整理得 2 2 2u u x
d ( 2 2u u ) 2dx 凑微分得 2 2 2u u x
2
两边同时积分得 ln(2 2u u ) 2 ln x ln C
2
( 2 2u u2 ) x 2 C
2
y sin y 2 x C
2 3
一般得到的 y 是 x 的一个隐函数
例2
解:分离变量
y x dy dx 2 2 1 y 1 x
2 2
1 d (1 y ) 1 d (1 x ) 2 2 1 y 2 1 x2
ln(1 y ) ln(1 x ) ln C
dp p 解： k 2 , ( k 0) dT T
3 利用微元法建立微分方程
例 某个地区人口总数 N 是时间 t 的函数,N=N(t).若 这个地区人口的出生率为 n (此时单位时间出生数为 nN),死亡率为m(此时单位时间死亡数为mN).现考察 任一时刻的人口总数. 微元法: [t,t+dt]时间段内, 人口增量=这段时间内出生的人数-死亡的人数 dN=nNdt-mNdt
即2 x 2 2 xy y 2 C
例13
dy y2 2 dx xy x
y u x
y 2 ( ) dy 解： x dx y 1 x
du u2 u x dx u 1
积分得u ln u ln C ln x
1 1 (1 )du dx u x
通解为y Ce
dx x tan y 2 sin y dy
dx P ( y ) x Q( y ) dy
此时x看作y的函数，其通解为
xe
P ( y ) dy
P ( y ) dy (C Q( y )e dy )
tan ydy (C 2 sin ye dy)
e
tan ydy
2 d s dy 2 2 0.4 3x dx dt ' y ( 1 ) 2 s (0) 20 s( 0) 0 称不含任意常数的解为微分方程的 特解。
。
一般地，n阶微分方程 其通解为
F ( x , y, y' , y' ' , , y
1 ln x 解：P ( x ) , Q( x ) 2 x x 1 dx 1 dx ln x x x 则通解为 y e (C 2 e dx ) x ln x ln 1 x e (C 2 xdx) x
1 1 2 (C ln x ) x 2
例9
cos ydx ( x 2 cos y ) sin ydy 0
dy 2dx y x
dy 2dx y x b a
y x ln 2 ln b a b 2 y 2 x a
y
x
例5
dN (n m ) N dt N ( 0) N 0
dN ( n m )dt N N0 0
N
t
N ln ( n m )t N0
dN (n m ) N dt
例 一个容器中装有体积V0 m3的溶液，溶液中含有 某种溶质x0，现以Q m3/s流量向容器中注入清水 （设容器中装有搅拌器使溶解均匀），并以同样流 量从容器排出溶液，求溶液中溶质含量x随时间变化 的规律x(t)。
一阶微分方程
可分离变量微分方程 一阶线性微分方程 齐次型方程 伯努利方程
齐次方程的通解 y Ce
常数变易法,设
x
Байду номын сангаас
2
y C ( x) x
2
代入非齐次方程中得 C ' ( x ) 1
C ( x) x C
得原方程的通解为 y ( x C )x2
例8
x y' xy ln x 0
2
dy 1 ln x y 2 dx x x
1 y(1) 2
P ( x ) dx [ Q( x )e dx c]
P ( x ) dx Q( x )e dx
e
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例7
dy 2 y x2 dx x
xy'2 y x
2 P( x) x
2 dx x
3
dy 2 解: 齐次 y0 dx x
dv m mg kv dt
v ( 0) 0
kv
.M
mg
ve
k dt m
e
k t m
k t mg m Ce (C ge dt ) k
(C ge
k t m
k dt m
dt )
dx mg Ce v(t ) k dt
x ( 0) 0
dy g( x ) h( y ) dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx
dy y f( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
可分离变量的微分方程 (分离变量法)
dy 一阶微分方程 f ( x , y )， dx
dy g( x ) h( y ) dx
当Q( x ) 0时， 称为一阶线性齐次方程,
否则称为一阶线性非齐次方程。
dy P( x) y 0 dx
dy P ( x )dx y
一阶线性齐次微分 方程的通解
ln y P ( x )dx ln C
dy P ( x ) dx y
y Ce
P ( x ) dx
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
du dx , f ( u) u x
当 u0 ,使 f ( u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x .
dy 2 x y 例12 dx x y y 2 dy x 解： y dx 1 x
( n)
)0
y y( x, c1 , c2 , , cn )
( n 1 )
方程的初始条件为：
y( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y1 , , y
( x 0 ) y n 1
初值 ( n) F ( x , y , y ' , y ' ' , , y )0 问题 （柯 y( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y1 , , y ( n1) ( x0 ) yn1 西问 题）
动后，列车行驶了多少时间才停住？且列车
行驶了多少距离？
解：设列车制动后 t秒内行驶了 s s(t )m, 则
d 2s 2 0.4 dt ' s (0) 20 s( 0) 0
定义1
凡表示自变量、未知函数及其未知函数导数 的方程称为微分方程
。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
2 2
1 y C (1 x )
2 2
把初始条件代入通解得特解 (1+y2)=2(1+x2)
dy g ( x )h( y ) 对于初值问题 dx y ( x 0 ) y0
法1: 法2: 可以先求通解再求特解 可以直接对方程两边同时求变上限定积分
dy g( x )dx h( y ) x0 y0
解：设曲线方程为y y( x ), 则 dy 2 2 y' 3 x , 或 3 x 且y(1) 2 dx 2 3 y 3 x dx x C ,