第九章 微分方程

dy g( x ) h( y ) dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx


dy y f( ) dx x

dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
可分离变量的微分方程 (分离变量法)
dy 一阶微分方程 f ( x , y )， dx
dy g( x ) h( y ) dx
dy 2dx y x
dy 2dx y x b a
y x ln 2 ln b a b 2 y 2 x a
y
x
例5
dN (n m ) N dt N ( 0) N 0
dN ( n m )dt N N0 0
N
t
N ln ( n m )t N0
P ( x ) dx [ Q( x )e dx c]
P ( x ) dx Q( x )e dx
e
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例7
dy 2 y x2 dx x
xy'2 y x
2 P( x) x
2 dx x
3
dy 2 解: 齐次 y0 dx x
动后，列车行驶了多少时间才停住？且列车
行驶了多少距离？
解：设列车制动后 t秒内行驶了 s s(t )m, 则
d 2s 2 0.4 dt ' s (0) 20 s( 0) 0
定义1
凡表示自变量、未知函数及其未知函数导数 的方程称为微分方程
。
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。
y
x
例3
解:设曲线 y=y(x)与椭圆族中的任一椭圆的 交点为M(x,y),则曲线 y=y(x) 在交点 M 处的切线斜率为k1=y’,椭圆在该点处
x 的切线斜率为 k 2 2y
'
2y y 由k1k2=-1.可得 x ' 2y y 即初值问题 x y(a ) b
即2 x 2 2 xy y 2 C
例13
dy y2 2 dx xy x
y u x
y 2 ( ) dy 解： x dx y 1 x
du u2 u x dx u 1
积分得u ln u ln C ln x
1 1 (1 )du dx u x
通解为y Ce
当Q( x ) 0时， 称为一阶线性齐次方程,
否则称为一阶线性非齐次方程。
dy P( x) y 0 dx
dy P ( x )dx y
一阶线性齐次微分 方程的通解
ln y P ( x )dx ln C
dy P ( x ) dx y
y Ce
P ( x ) dx
dx x tan y 2 sin y dy
dx P ( y ) x Q( y ) dy
此时x看作y的函数，其通解为
xe
P ( y ) dy
P ( y ) dy (C Q( y )e dy )
tan ydy (C 2 sin ye dy)
e
tan ydy
2 2
1 y C (1 x )
2 2
把初始条件代入通解得特解 (1+y2)=2(1+x2)
dy g ( x )h( y ) 对于初值问题 dx y ( x 0 ) y0
法1: 法2: 可以先求通解再求特解 可以直接对方程两边同时求变上限定积分
dy g( x )dx h( y ) x0 y0
f(x,y)可表示成一个
x 的函数与一个 y 的 函数的乘积,
f ( x, y ) g( x )h( y )
dy g( x )dx h( y ) dy h( y ) g( x )dx C
例1
2 ( 2 y cos y ) dy 6 x dx 解:分离变量
( 2 y cos y )dy 6 x dx
dp p 解： k 2 , ( k 0) dT T
3 利用微元法建立微分方程
例 某个地区人口总数 N 是时间 t 的函数,N=N(t).若 这个地区人口的出生率为 n (此时单位时间出生数为 nN),死亡率为m(此时单位时间死亡数为mN).现考察 任一时刻的人口总数. 微元法: [t,t+dt]时间段内, 人口增量=这段时间内出生的人数-死亡的人数 dN=nNdt-mNdt
关键：找到平衡关系来建微分方程
微元法: [t,t+dt]时间段内, 溶质的变化=这段时间内流入的-流出的
x(t ) dx( t ) 0 Qdt V0
齐次方程
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x y 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , 代入原式 dx dx du du f ( u) u u x f ( u), 即 . dx dx x
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
du dx , f ( u) u x
当 u0 ,使 f ( u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x .
dy 2 x y 例12 dx x y y 2 dy x 解： y dx 1 x
N N 0e
( n m ) t
1 建立共焦抛物线族 y 4C ( x C ) （其中C为任意常 数）所满足的微分方程。
2
2 ydx ( x 2 4 x )dy 0
一阶线性微分方程
定义：形如
y' P ( x ) y Q( x ) 的方程，
称为一阶线性微分方程。 Q( x )称为自由项
第九章

微分方程
解决自然科学与工程问题，乃至社会科学中的问 题时，需要建立数学模型。对有关连续量变化规 律的数学模型，则往往要通过对问题的分析，建 立某个未知函数及其导数（或微分）之间所满足 的关系式，这种关系式就是所谓的微分方程。
例1 一条曲线通过点(1，2),且该曲线上任一 点 M (x,y) 处的切线斜率为3x2，求这条曲线 方程。
1 ln x 解：P ( x ) , Q( x ) 2 x x 1 dx 1 dx ln x x x 则通解为 y e (C 2 e dx ) x ln x ln 1 x e (C 2 xdx) x
1 1 2 (C ln x ) x 2
例9
cos ydx ( x 2 cos y ) sin ydy 0
dN (n m ) N dt
例 一个容器中装有体积V0 m3的溶液，溶液中含有 某种溶质x0，现以Q m3/s流量向容器中注入清水 （设容器中装有搅拌器使溶解均匀），并以同样流 量从容器排出溶液，求溶液中溶质含量x随时间变化 的规律x(t)。
一阶微分方程

可分离变量微分方程 一阶线性微分方程 齐次型方程 伯努利方程
2
y sin y 2 x C
2 3
一般得到的 y 是 x 的一个隐函数
例2
解:分离变量
y x dy dx 2 2 1 y 1 x
2 2
1 d (1 y ) 1 d (1 x ) 2 2 1 y 2 1 x2
ln(1 y ) ln(1 x ) ln C
u
y x
du 2 u u x dx u 1
(1 u)du dx 整理得 2 2 2u u x
d ( 2 2u u ) 2dx 凑微分得 2 2 2u u x
2
两边同时积分得 ln(2 2u u ) 2 ln x ln C
2
( 2 2u u2 ) x 2 C
解：设曲线方程为y y( x ), 则 dy 2 2 y' 3 x , 或 3 x 且y(1) 2 dx 2 3 y 3 x dx x C ,
由y(1)=2，得C=1.即所求的曲线方程为
y=x3+1
例2 一列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当
制动时，列车获得的加速度是-0.4m/s2，问制
y x
例14
求方程 ydx ( x y 2 x 2 )dy 0( y 0) 的通解.
建立微分方程举例
1 利用导数的几何意义建立微分方程
例 以点A(0,a)为起点，在第一象限内求一曲线， 使曲线上任一点P处所作切线与x轴交于T，且 |PT|=|OT|
2 利用物理意义建立微分方程
例 某种气体的气压p对于温度T的变化率与气压成 正比，与温度的平方成反比，求函数p(T)满足的微 分方程。
2 d s dy 2 2 0.4 3x dx dt ' y ( 1 ) 2 s (0) 20 s( 0) 0 称不含任意常数的解为微分方程的 特解。
。
一般地，n阶微分方程 其通解为
F ( x , y, y' , y' ' , , y
假设非齐次方程的解为 y C ( x )e
P ( x ) dx C ( x ) Q( x )e dx C
dy P ( x ) y Q( x ), (Q( x )不恒为零) dx
P ( x ) dx
即得通解 y e
Ce
P ( x ) dx
P ( x ) dx
( n)
)0
y y( x, c1 , c2 , , cn )
( n 1 )
方程的初始条件为：
y( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y1 , , y
( x 0 ) y n 1
初值 ( n) F ( x , y , y ' , y ' ' , , y )0 问题 （柯 y( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y1 , , y ( n1) ( x0 ) yn1 西问 题）
定义2 微分方程中出现未知函数的导数的最高阶数， 称为微分方程的阶。
x y' ' '2 y' '3 y e ,
4 x
定义3 若把一个函数及其各阶导数代入微分方程中 能使方程成为恒等式，称此函数为微分方程 的解（或积分曲线）。
定义4 若微分方程的解中含有一些独立的任意常数， 当常数的个数与方程的阶数相同时，就称此 解为微分方程的通解（或通积分）。 定义5 确定微分方程通解中的任意常数的值的条件 称为定解条件（或初始条件）。
dv m mg kv dt
v ( 0) 0
kv
.M
mg
ve

k dt m
e
k t m
k t mg m Ce (C ge dt ) k
(C ge
k t m
k dt m
dt )
dx mg Ce v(t ) k dt
x ( 0) 0
齐次方程的通解 y Ce
常数变易法,设
x
2
y C ( x) x
2
代入非齐次方程中得 C ' ( x ) 1
C ( x) x C
得原方程的通解为 y ( x C )x2
例8
ห้องสมุดไป่ตู้
x y' xy ln x 0
2
dy 1 ln x y 2 dx x x
1 y(1) 2
2
kt m
d x k dx g 2 dt m dt
x(0) 0, x' (0) 0
例 一个容器中装有体积V0 m3的溶液，溶液中含有 某种溶质x0，现以Q m3/s流量向容器中注入清水 （设容器中装有搅拌器使溶解均匀），并以同样流 量从容器排出溶液，求溶液中溶质含量x随时间变化 的规律x(t)。
cos y(C 2 ln cos y )
例10 有一个质量为m的质点，从液面由静止 状态开始垂直下沉，设在沉降过程中质 点所受的阻力与沉降速度v成正比，比 例系数为k (k>0)，试求质点下沉速度v 及位置x与沉降时间t的关系。
解:设竖直向下为正,由牛顿第二运动定律得
一阶线 dv k k v g 性非齐 P ( t ) , Q( t ) g m 次方程 dt m