二维拉普拉斯方程的边值问题分析
拉普拉斯方程、水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：上面的方程常常简写作：或其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维拉普拉斯方程狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..
摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。
用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。
本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。
对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。
人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。
事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。
对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。
一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。
本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。
Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。
本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。
对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。
本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。
二维拉普拉斯方程的边值问题解析
n y
n y
(ane a bne a
n1
n
) sin a
x
仍然满足方程和齐次边界条件(32).
(37)
再应用非齐次边界条件 u(x,0) f (x), u(x,b) g(x),
(31)
5
则有关系式
n
(an bn )sin
n1
a
x f ( x),
n b
(ane a
n1
bne
n a
b
)
s
in
则有
1 Rr Rt r ,
Rrr
(Rtt
1) 1 rr
Rt
(
1 r2
)1 r2ຫໍສະໝຸດ Rtt1 r2Rt ,
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cnent Dnent . 再将 t ln r 代入还原得
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
8
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
(39)
u |rr0 f ( ).
(40)
练习：验证拉普拉斯方程 uxx u yy 0 在极坐标
系下的形式为
urr
1 r
u
r
1 r2
u
0
提示：作极坐标变换
x r cos, y r sin,
r x2 y2 , u r
x
arctan y .
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n
( n
a
)2,
nx
X n (x) Bn sin a
2.3二维拉普拉斯方程的边值问题
6
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
A 0
(4 1) B0 ,
0
其中A 0 , B 0 是任意常数。 只有当 A 0 0 时，函数 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) ( ) B . 的解为 2 0 代入问题(42)中的方程 r R ' ' rR ' R 0 , 再将 R 0 ( r ) C 0 ln r D 0 , 其通解为 其中C 0 , D 0 是任意常数。只有当 C 0 0 时，函数 R 0 才满足有界性条件。 | R ( 0 ) | . 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R 0 ( r ) D 0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u ( r , ) B D a .
2
' ' 0 .
由于温度函数 u ( r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u ( r , 2 ) u ( r , ) 成立， 从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u ( 0 , ) | R (r ) 应满足条件
2 2
( n 1, 2 , )
解 作变换 r e t 则有
Rr Rt 1 r ,
t ln r
R rr ( R tt 1 r ) 1 r Rt ( 1 r
2.2二维拉普拉斯方程的边值问题
u
y = 0 = f ( x ),
⇒∑
n =1
∞
{ An + Bn } sin
⇒ A + B = 2 a f (ξ ) sin nπ ξdξ n n ∫
a
0
a
u
y =a
= g (x). ⇒
∑
⇒
n =1
∞
nπb nπb nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin = g ( x). a a a
真空静电势满足拉普拉斯方程： 真空静电势满足拉普拉斯方程：
方程
∆u ( x, y ) = 0
边界条件
或
∂ 2u ∂ 2 u + 2 =0 2 ∂x ∂y
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势零点： 导线的表面是等势面，取其为电势零点： 零点
u u
x 2 + y 2 =a 2
= f 有限
a为导线半径
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
⇒
R' ' Φ + R' Φ / ρ + RΦ' ' / ρ 2 = 0
ρ 2 R' ' / R + R' ρ / R + Φ ' ' / Φ = 0
ρ R ' ' / R + R ' ρ / R = −Φ ' ' / Φ = λ
nπb nπb 2 nπξ An exp[ ] + Bn exp[− ] = ∫ g ( x) sin dξ a a a0 a
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法二维Laplace方程是一个非常典型的偏微分方程，在实际工程领域中应用非常广泛。
其中，Dirichlet问题是一种典型的边界条件，在许多实际问题中常常需要使用直接边界积分方程的Galerkin解法来求解。
Galerkin方法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，它通过将方程的解表示成一组特殊函数的线性组合，然后通过求解一组线性方程组来求解问题。
当然，在求解二维Laplace方程时，我们需要先将方程转化为边界积分方程，然后再运用Galerkin方法求解。
下面是二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin解法的具体步骤：第一步，将二维Laplace方程转化为边界积分方程。
对于Dirichlet问题，我们可以通过定义边界上的势函数来将Laplace方程转化为边界积分方程。
具体来说，我们可以写出边界上的势函数u(x)：u(x) = ∫ f(y)G(x,y)ds(y)其中，f(y)是边界上的已知函数，G(x,y)是方程的格林函数，s(y)是边界上的曲面元素。
利用Green第一恒等式可以证明，该势函数u(x)满足Laplace方程，且在边界上满足给定的Dirichlet条件，即u(x) = f(x)。
第二步，选择基函数。
为了应用Galerkin方法求解问题，我们需要选择一组特殊函数作为基函数。
一般来说，我们可以选择分段线性函数、分段多项式函数或者N次样条函数等作为基函数。
第三步，确定权函数。
在Galerkin方法中，我们需要定义一个权函数作为线性组合的系数。
对于二维Laplace方程的边界积分方程，我们可以选择δ函数（Dirac函数）作为权函数，即：∫ w(x)u(x)dm(x) = ∫ w(x)∫ f(y)G(x,y)ds(y)dm(x)其中，w(x)是δ函数，m(x)是边界的度量，即曲面元素。
二维拉普拉斯方程的基本解
二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。
本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。
二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。
三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。
2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。
3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。
4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。
四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。
然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。
2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。
拉普拉斯方程的格林函数法
则 u(M 0)u (M ) n(4整r 1 M 理M 课0 件v)d S
19
2v0，in
令G(M,M0)41rM1M0 v, 其中调和函数v满足v4r1MM0
则 u(M0)u(M)G ndS.
称 G ( M ,M 0 ) 为 三 维 L a p l a c e 方 程 狄 氏 问 题 的 格 林 函 数 。 这 种 由 格 林 函 数 或 其 导 数 的 积 分 来 表 示 解 的 方 法 称 为 格 林 函 数 法 。
的 值 来 表 示 。
2） 若 M0为 外 或 边 界 上 的 点 ， 类 似 推 导 有
u(M)nrM 1M0
1 rMM0
u ndS 24uu(0 (M ， M00 M ))， ， 0在 M M 00在 在 外 上 内
整理课件
13
3 ） 若 u C 2 ( ) C 1 ( ) ， 且 2 u = F , 我 们 可 以 得 到 类 似 公 式
取 v1,则 可 得 牛 曼 问 题 u n=f有 解 的 必 要 条 件 是 fdS0
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14
（3）平均值公式
定 理 ： 设 函 数 u(M )在 区 域 内 调 和 的 ， M 0(x0,y0,z0)为 其 中 任 一 点 ，
Ka表 示 以 M 0(x0,y0,z0)为 中 心 ， 以 a为 半 径 且 完 全 落 在 内 部 的 球 面 ，
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15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
常 数 外 解 也 是 唯 一 确 定 的 。
证明：
设 u1,u2为 上 述 两 类 问 题 的 解 ， 则 它 们 的 差 vu1u2必 是 原 问 题 的 满 足 零 边 界 条 件 的 解 ， 即 对 于
齐次方程 边值问题
Cm 0 (m 1) Dm 0 (m 1)
u( , ) D0 ln
a
E0 con E0
a
2
con
物理意义
u1 D0 ln
a
圆柱体原来所带电量的电势分布
（静电学中正是均匀圆柱体周围的电势）。 原来（未放导体）时的电势分布。
u 2 E0 con
m
m
(m 0)
(m 0)
u( , ) C0 D0 ln ( Amconm Bm sin m )
m (Cmconm Dm sin m )
m 1
m 1
一个傅里叶级数等于零,意味着所有傅里叶系数为零,
C0 D0 ln a a m ( Am conm Bm sin m )
u E0 cos
分离变数形式的试探解
代入拉普拉斯方程式，并移项、整理后得：
1 d dR 1 ( ) " R d d
令
1 d dR 1 ( ) " R d d
分离为两个常微分方程
" 0
( 2 ) ( )
4(U u0 )
二、圆域上的拉普拉斯方程的边值问题： （二维极坐标系下的问题）
看一个极坐标的例子。带电的云跟大地之间的静 电电场近似是匀强静电场， 其电场强度 E0是竖直的，方向向下 水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆 柱型。柱面由于静电感应出 现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就 不再是匀强的了，如图所示．不过 离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为 匀强的．现在研究导体圆柱怎样改变了 匀强静电场,求出柱外的电势分布． 解题分析：首先需要把这个物理问题表示 为定解问题．设输电导线半径为 a ，取圆柱的轴为Z轴．如果圆柱“无限长”，
二维拉普拉斯方程的边值问题
un
x, y
n y
( An e a
Bn
e
n a
y
)
sin
n
a
x
方程(2.3.1)和边界条件(2.3.3)都是线性齐次的，由 叠加原理
u
x, y
n y
( An e a
n1
Bn
e
n a
y
)
sin
n
a
x
仍满足方程(2.3.1)和条件(2.3.3)。
考虑到 (2.3.2)：u(x,0) = f (x), u(x,b) = g (x), 得
0, 0 ,
0 0,
2R R R 0,
R0
.
特征值 n n2, n 1,2,...
特征函数 n bn sin n , n 1,2,...
R( ) cn n, n 1,2,...
a0 2
n1
n
an
cos
n
bn
sin
n
其中 a0 2a0' c0 , an an' cn , bn bn' cn.
应用条件 u |0 f ,
f
( )
a0 2
n1
0n
an cos n bn sin n
因此，a0 , 0nan , 0nbn 就是 f ( ) 展为Fourier 级数
2u
2
1
u
1
2
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
二维laplace方程dirichlet问题的数值解法
二维laplace方程dirichlet问题的数值解法本文从理论上研究二维Laplace方程Dirichlet问题的数值解法，目的是开发一种可以快速求解问题的数值方法。
首先回顾了二维Laplace方程的基本概念，它是描述物理系统的变量随空间变化的基础，其标准型为：$$frac{partial^{2} phi}{partial x^{2}} + frac{partial^{2} phi}{partial y^{2}} = 0$$其中Φ是函数空间中的变量，其在X、Y方向上的二阶导数表明空间变量的变化趋势，而Dirichlet问题相当于给出了此方程在边界处的边界条件，可以求出满足此边界条件的解，如下式所示：$$phi(x,y)= Psi(x,y) + int_{Omega}G(x,y,xi,eta)Phi(xi,eta)dxi deta$$其中，Ψ(x，y)是被称为Dirichlet函数的边界函数，G(x，y，ξ，η)是称为格拉德积分核的偏微分方程的同一分量解，σ是有界的较小的空间域Ω。
求解二维Laplace方程的Dirichlet问题的一般方法有两种：一是准极限法(PML)，二是有限元法(FEM)。
PML是一种四阶精确的数值求解方法，二维空间Laplace方程Dirichlet问题的多项式系数矩阵是方阵，可以使用Gauss-Seidel迭代求解解析解。
此外，有限元法也可以用于解决二维Laplace方程的Dirichlet问题，它是一种广泛应用于有限元和曲面建模的技术，将实际场景抽象为有限个元素，用有限元函数描述空间中的变量特性，经过迭代求解可以获得问题的数值解。
本文将介绍一种称为“自适应积分网格法”的新型数值求解方法，它使用自适应网格可以更好地求解准确度要求较高的Laplace方程Dirichlet问题。
首先，根据二维Laplace方程的基本原理，构建网格系统，将问题划分为一系列的小型网格，网格的形状可以是正方形、三角形或混合形，划分的小型网格由带有不同边界条件的方程构成。
圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
这个解，称为圆域内的泊松公式，它的理论 意义是把解写成了积分的形式，方便研究
2 Euler 方程 R R R 0 的通解为 R 0 c0 d 0 ln , 0 R n cn n d n n , n2
(n 0,1,2,3,)
为了保证 R (0) ，那么只有 d n 0 (n 1,2,)，即
为了应用方便，我们将求出的系数代入： a0 n u ( , ) (an cos n bn sin n ) 2 n 1 经过简化后得到：
u ( , ) 1
2ຫໍສະໝຸດ 01 n f ( t ) ( ) cos n ( t ) d t 2 n 1 0
本题可写为求以下方程组的解：
2 1 u 1 2u ( ) 0 , 0 , 0 2 u 2 2 u ( 0 , ) f ( ) , 0 2 u ( 0 , ) u ( , ) u ( , 2 ) ① ② ③ ④
式中： a0 a c 0 0 2 a n a n cn bn bn cn
（4）. 确定系数 a0,an,bn。 利用边界条件 u ( 0 , ) f ( ) , 0 2 , 得
a0 n f ( ) 0 (an cos n bn sin n ) 2 n 1
2 R R R 0
u ( 0 , ) ③
R (0)
u ( , ) u ( , 2 ) ④ ( 2 ) ( )
因此，得到两个常微分方程的定解问题：
0 ( 2 ) ( )
拉普拉斯方程的完整求解
拉普拉斯方程的完整求解△u=0其中△是拉普拉斯算子，表示空间坐标的二阶导数之和。
如果对二维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²如果对三维空间来说，拉普拉斯算子可以表示为：△=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²接下来我们将分别介绍二维和三维情况下的拉普拉斯方程的求解方法。
一、二维情况下的拉普拉斯方程求解。
在二维空间中，拉普拉斯方程的解可以用解析函数来表示。
由于存在解析函数的特性，我们可以采用分离变量法求解。
假设解为u(x,y)=X(x)Y(y)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)=0由于等式两边的第一项仅依赖于x，第二项仅依赖于y，所以它们必须都等于一个常数，记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=k²对于上面的两个常微分方程，我们可以分别求解。
对第一个方程，可得到：X(x) = Ae^(kx) + Be^(-kx)对第二个方程，可得到：Y(y) = Ccos(ky) + Dsin(ky)将X(x)和Y(y)代回原方程，得到解为：u(x,y) = (Ae^(kx) + Be^(-kx))(Ccos(ky) + Dsin(ky))其中A、B、C、D都是常数，通过边界条件可以确定它们的值。
二、三维情况下的拉普拉斯方程求解。
在三维空间中，拉普拉斯方程的求解方式可以类似于二维情况，通过分离变量法得到解析函数。
假设解为u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)，将其代入方程可得：X''(x)Y(y)Z(z)+X(x)Y''(y)Z(z)+X(x)Y(y)Z''(z)=0将上式两边同时除以X(x)Y(y)Z(z)，得到：X''(x)/X(x)+Y''(y)/Y(y)+Z''(z)/Z(z)=0同样地，等式两边的第一、第二、第三项都只依赖于x、y、z，所以它们必须都等于一个常数，分别记为-k²（k是常数），即：X''(x)/X(x)=-k²Y''(y)/Y(y)=-k²Z''(z)/Z(z)=k²对于上述的三个常微分方程，我们可以分别求解。
第七节 拉普拉斯方程的边值问题.
一、问题的提出 二、定理 三、应用举例 四、小结与思考
一、问题的提出
问题: 求一个二元实变函数，使其在已知区域中 调和，并且在区域的边界上满足已知条件. 解决方法: 1. 对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解. 2.对于复杂区域可通过一适当的共形映射将其变 为简单区域, 再求解.
例 一块金属薄板吻合于z平面中的第一象限, 上
下均绝缘, 因此热流严格限制在平面内. 如果边
界上的温度分布如图示, 求金属板上定常的温度
分布.
y
T2 100
1
T1 0
T1 0 T0 100 x
解 所求的定常温度分布T必满足拉普拉斯方程
2T x 2
2T y2
0,
且满足第一象限边界上的条件.
用 w z2 x2 y2 2ixy 将 z平面中的第一象
限映射成 w平面中的上半平面.
v
w1
1
T2 100 1 O T1 0
w(u, v )
w4
0
4 T0 100 u
w在实轴上4的右边:
arg( w 4) 0 0, arg( w 1) 1 0,
tan1
u
v
. 1
即为拉普拉斯方程在w平面中的解.
变形后得
tanπ T 100
(x2
10xy y2 )2 3x2
3 y2
. 4
原问题的解为
T
100 arctan B, B π arctan B π , B
0
0
其中
B
(x2
二次拉普拉斯方程边值问题本质特点探讨
二次拉普拉斯方程边值问题本质特点探讨引言：在数学和物理学领域中，拉普拉斯方程广泛应用于描述众多自然现象。
在许多实际问题中，我们经常遇到需要求解二次拉普拉斯方程边值问题的情况。
通过研究这类问题的本质特点，我们可以更好地理解拉普拉斯方程的性质，为实际应用提供指导。
本文将探讨二次拉普拉斯方程边值问题的本质特点。
我们将从两个方面进行讨论：边值条件的影响和解的唯一性。
一、边值条件的影响二次拉普拉斯方程边值问题的解依赖于所给定的边界条件。
我们将通过以下几个方面来分析边值条件对问题解的影响。
1. 定解性二次拉普拉斯方程边值问题是一个定解性问题，即当边界条件和方程形式都给定时，解法是唯一确定的。
这一特点使得边值问题可以应用到实际问题中，并提供准确的解析解。
2. 边界条件的类型二次拉普拉斯方程边值问题的边界条件可以分为三类：第一类边界条件为Dirichlet边界条件，即给定函数在边界上的值；第二类边界条件为Neumann边界条件，即给定函数在边界上的法向导数的值；第三类边界条件为Robin边界条件，即给定函数在边界上的线性组合。
这些边界条件的不同类型将直接影响问题的解的性质。
例如，Dirichlet边界条件会导致解在边界上有特定的函数值，而Neumann边界条件则决定了解在边界上的斜率。
这些特定的边界条件可以约束解的形态，使得问题有明确的解析解。
3. 边界条件的光滑性边界条件的光滑性也会对问题的解产生影响。
如果边界条件是光滑的，并且在边界上的一阶导数满足某种条件，那么问题的解也会光滑。
这种光滑性可以使得边界周围的解具有良好的物理性质，并且更易于用数值方法求解。
而如果边界条件不光滑，解可能会在边界附近出现奇异性，这对于实际问题的建模和求解会带来一定的挑战。
二、解的唯一性对于二次拉普拉斯方程边值问题，解的唯一性是一个重要的性质。
解的唯一性指的是，在给定边界条件下，问题的解是唯一确定的，不存在其他满足边界条件的解。
解的唯一性与边界条件密切相关。
分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2(DOC)
分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的拉普拉斯方程的边值问题33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼分离变量法又称fourier 级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。
从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。
● 分离变量法的主要步骤：（1） 根据区域边界的形状，适当选择坐标系。
选取的原则是使坐标面与边界面一致，这样可使边界条件简化，即使在该坐标系中边界条件的表达式最为简单。
（2） 将满足齐次偏微分方程和齐次边界的解通过变量分离，使其转化为常微分方程的定解问题。
（3） 确定特征指和特征函数。
当边界条件是齐次时，求特征值和对应的特征函数就是求一个满足常微分方程和零边界条件的非零解。
（4） 定出特征值和特征函数后，再求其他常微分方程的解，然后把该解与特征函数相乘，得到变量分离的特解。
（5） 为了得到原定解问题的解，将所有变量分离的特解叠加成级数，成为形式解，其中任意常数有其他条件确定。
（6） 为了使形式解成为古典解，必须对定解条件附加适当的光滑性要求和相容性要求，以保证微分运算得以进行，并使微分后的级数任然是收敛的。
● 用分离变量法解拉普拉斯方程的边值问题常用的结论和规律： 1.设)(),...,('),(x f x f x f n 在区间【0，L 】上连续，)0(1+m f在【0，L 】上分段连续，,22....2,0,0)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡===m n L f f n n其中【x 】表示不超过x 的最大整数。
那么，如果函数f （x ）在区间【0，L 】上可以张开傅里叶正弦级数)1(],,0[,sin~)(1L x Lxn b x f n n ∈∑∞=π 则级数∑∞=1||n n mb n是收敛的。
类似的，如果)(x f 在],0[L 上可以展开成傅里叶余弦级数)2(],,0[,cos 2~)(10L x Lx n a a x f n n ∈+∑∞=π则级数||1n n m a n ∑∞=是收敛的。
拉普拉斯(Laplace)方程
(1.13)
实例三：膜平衡方程 在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移 函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
位质量的质点的引力−→F (x,
y,
z)其大小为
m r2
，而作用的方向为−P−P→0，即作用方向沿着这
两点的连线指向P0点，其中r = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2表示点P0与点P 的距
离。−→F (x, y, z)可以写成下述向量的形式
−→F (x,
y,
z)
=
第五章 Laplace方程
Laplace方程(又称调和方程)和Poisson方程是最典型的椭圆型方程，它们具有广泛 的应用背景，譬如静电学中的电势以及牛顿万有引力理论中的引力势均满足这类椭圆 型方程(它们在静电学和引力理论中分别被称为静电场方程和静态引力场方程)。本章我 们介绍关于Laplace方程和Poisson方程的一些基本知识、方法和结果。在第一节中我们 介绍了Laplace方程和Poisson方程的导出以及定解条件的提法。在第二节中我们介绍变 分法，着重介绍在物理、力学等领域中具有重要应用的变分问题及变分原理(实际上， 许多常微分方程问题和数学物理方程的定解问题常常可归结为变分问题)。在第三节中 我们应用Green公式，建立了Laplace方程解的平均值定理，并证明了关于调和函数的 极值原理，进而应用该极值原理证明了第一边值问题解的唯一性和稳定性。在第四节 中，我们首先引入著名的Green函数，讨论了它的一些基本性质，并着重介绍了求解特 殊区域(球、半空间和圆)上的Laplace方程的第一边值问题解的表达式的静电源法。在 第五节中，我们利用在第四节中建立的Poisson公式进一步讨论了调和函数的另外一些 重要性质，譬如Harnack定理等等。在第六节中我们证明了Laplace方程的强极值原理， 并利用它讨论了Laplace方程的第二边值问题解的唯一性。
数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3
将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条 件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定 解问题！
下一步如何进行？
深圳大学电子科学与技术学院
寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度:
0
A cos
1 u 1 2u 2 2 0 0 0 2
(1) (2)
0
u A cos
0
( 0 2 )
深圳大学电子科学与技术学院
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
一般解:
a0 n u ( , ) an cos n bn sin n 2 n1
a0 an 1
2
f ( ) A cos
A cos d 0
0 2
bn
1
2 n 0
A cos sin n d 0
0
1
0n
A cos cosn d
(10)为欧拉方程，其通解为
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
边值问题的分类与解的唯一性定理
p
q q
q q 2 4 π 2 R
q q ˆ D2 a 2 R 4 πR
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相 等的边界条件：
1 2
q q
D1n D2n
1
q q
2
q q q q
q a b q d a
a q q d
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 2
a2 b d
l l
两平行线电荷的电位分布
空间电位为： l r2 ln c 2π 0 r1
2 2 r r d 2dr cos 其中： 1
r2 r 2 b 2 2br cos
电动力学
第2章 静电场
8. 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像
r2 a 2 b 2 2ab cos
电动力学
第2章 静电场
在柱面上取两个特殊点M和N，则 l l N ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
l l M ln(d a) ln(a b) 2π 0 2π 0
电动力学
第2章 静电场
例3： 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。 求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
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(33)
将(33)代入方程(30),分离变量得
X ''( x) Y ''( y)
X(x) Y( y)
其中 是常数。 因此我们得到两个常微分方程
2
X ''(x) Y ''( y)
X (x) Y (y)
X ''(x) X (x) 0, (34) Y ''( y) Y ( y) 0, (35)
9
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
u |rr0 f ( ). 设方程(39)的解为
u(r,) R(r)(), 代入方程(39)得
R'' 1 R' 1 R'' 0
分离变量则有
r
r2
r 2R''rR' ''
R
其中比值 为常数。
(39) (40)
10
由此可得两个常微分方程 r 2 R''rR'R 0,
则有
1 Rr Rt r ,
Rrr
(Rtt
1) 1 rr
Rt
(
1 r2
)
1 r2
Rtt
1 r2
Rt ,
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cnent Dnent . 再将 t ln r 代入还原得
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
'' 0. ( 2 ) ( ).
(41)
r 2 R''rR'R 0, | R(0) | .
n
a
x
g( x),
利用傅里叶系数公式得
2 a
n
an bn a 0 f ( x)sin a xdx,
(n 1, 2,).
n b
ane a
n b
bne a
2 a
a
n
g( x)sin
0
a
xdx,
由上式解出 an , bn , 代回(37)式即得问题(30)-(32) 的解。
6
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
Y ( y) Cne a Dne a
(n 1, 2,).
4
这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界
条件(32)的一系列特解
n y
un ( x, y) (ane a
n y
bne a
n
) sin a
x
(n 1, 2,),
由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此
u( x, y)
求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u(x, y) 来表示板上点 (x, y) 处的温度，即
1
解下列定解问题：
uu(xxx,0)uyy
0 (0 x f (x), u(x,b)
a, 0 y g(x),
b),
u(0, y) 0, u(a, y) 0.
(30) (31) (32)
应用分离变量法，设 u(x, y) X (x)Y (y),
(n 1, 2,)
7
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题
考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度
分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f () (0 2 ), 且 f (0) f (2 ).
试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯， 并且区 域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u(r, )来表示圆形薄板内 (r, )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
8
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
(39)
u |rr0 f ( ).
(40)
练习：验证拉普拉斯方程 uxx u yy 0 在极坐标
系下的形式为
urr
1 r
u
r
1 r2
u
0
提示：作极坐标变换
x r cos, y r sin,
r x2 y2 , u r
x
arctan y .
'' 0.
由于温度函数 u(r,) 是单值的，所以当 从
变到 2 时，u(r, 2 ) u(r, ) 成立，
从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度
应该是有界的，因而 | u(0, ) | 成立，由此知
R(r)应满足条件
| R(0) | .
11
这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题
n y
n y
(ane a bne a
n1
n
) sin a
x
仍然满足方程和齐次边界条件(32).
(37)
再应用非齐次边界条件 u(x,0) f (x), u(x,b) g(x),
(31)
5
则有关系式
n
(an bn )sin
n1
a
x f ( x),
n b
(ane a
n1
bne
n a
b
)
s
in
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
(32)
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ''(x) X (x) 0, X (0) X (a) 0, (36)
的非0解。
(1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。
(2)当 0 时，问题(36)也没有非 ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx
u yy (urr ry ur y ) ry ur ryy (u r ry u y ) y u yy
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。
一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。
设薄板上下两面绝热，板的两边 (x 0, x a) 始终保持0度，另外两边 (y 0, y b) 的温度分别 为 f (x) 和 g(x).
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n
( n
a
)2,
nx
X n (x) Bn sin a
(n 1, 2,).
接着考虑方程 Y ''( y) Y ( y) 0,
(35)
将 n 代入方程(35)可得
其通解为
Y ''( y) ( n )2Y ( y) 0,
a
n y
n y
x n y(n) P1 x n1 y(n1) Pn1 xy' Pn y f ( x).
其中 P1 Pn 是常数， f (x) 是已知函数。
问题：求满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R(r)
r 2 Rrr rRr n2 R 0, (n 1, 2,)
解 作变换 r et
t ln r