洛必达法则 PPT
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《洛必达法则》课件
简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则和泰勒公式共36页PPT
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的ห้องสมุดไป่ตู้诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
洛必达法则和泰勒公式
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
2019年-第三章第2节洛必达法则-PPT精选文档
1. 0型
步骤: 01,或0010.
例8
求limxnlnx(n0). x 0
(0)
1
解
limxnlnx
x0
lxim0 ln1x
lim
x0
ln x x n
lim
x0
x nx n1
xn
lim (
x 0
xn n
)
0.
8
2. 型
xlim1x2x2 1.
例4 求xl im lnxnx(n0).
(
)
1
解 x l im ln xn xx l im nxxn1x l im n1 xn0.
5
例5
求
lim
x
xn e x
(n为正整数, λ> 0)
(
)
解 x l im e x n x x l im n x e n x 1 x l im n (n 2 e 1 )x x n 2
0
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____________， _____________， ____________，
极限不存在
原 式 x l i m (11 xcox)s1.
12
例14 求lim 1 x2 . x x
2x
解
lim 1x2 lim2 1x2 lim
x x
x 1
x
x 1 x2
lim 1 x 2 x 2 1 x2
lim 1 x2 x x
13
例7 求lx im 0txa2tnxanxx.
解 原式 lx im 0taxxn 3xlx i m 0se3c2xx21
高中数学(人教版)洛必达法则课件
第二讲 洛必达法则
洛必达法则一、洛必达法则来自二、其它未定型的处理 三、理论应用
洛必达法则
一、洛必达法则
二、其它未定型的处理 三、理论应用
一、洛必达法则
0 情形下的洛必达法则 0
xa xa
情形下的洛必达法则
xa xa
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0 (2) 在点a的某去心邻域内,
例2 lim ln x x 1 x 1
例4
x 0
1 x 1 lim
x 0
x
lim
sin x
1 arctan 2 x
例5
x 0
lim
sin x
1 arctan 2 x
例6
x
lim 2
arctan x 1 x
ln x 例7 lim n x x
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) (2) 当 | x | N 时, f ( x ), F ( x )
存在， F ( x ) 0
f ( x ) f ( x) 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
f ( x ), F ( x ) 存在， F ( x ) 0 ( x ) f (3) lim 存在(或为 ) x a F ( x )
且
f ( x ) 存在(或为 ) x a F ( x ) ( x ) f ( x ) f 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
(3) lim
且
注 在相应的条件下,对其它过程也成立
一、洛必达法则
应用举例
洛必达法则一、洛必达法则来自二、其它未定型的处理 三、理论应用
洛必达法则
一、洛必达法则
二、其它未定型的处理 三、理论应用
一、洛必达法则
0 情形下的洛必达法则 0
xa xa
情形下的洛必达法则
xa xa
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0 (2) 在点a的某去心邻域内,
例2 lim ln x x 1 x 1
例4
x 0
1 x 1 lim
x 0
x
lim
sin x
1 arctan 2 x
例5
x 0
lim
sin x
1 arctan 2 x
例6
x
lim 2
arctan x 1 x
ln x 例7 lim n x x
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) (2) 当 | x | N 时, f ( x ), F ( x )
存在， F ( x ) 0
f ( x ) f ( x) 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
f ( x ), F ( x ) 存在， F ( x ) 0 ( x ) f (3) lim 存在(或为 ) x a F ( x )
且
f ( x ) 存在(或为 ) x a F ( x ) ( x ) f ( x ) f 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
(3) lim
且
注 在相应的条件下,对其它过程也成立
一、洛必达法则
应用举例
洛必达法则课件
洛必达法则课件洛必达法则（Lombardi's Law）是一种管理和领导原则，以美国著名橄榄球教练文森特·洛必达（Vince Lombardi）的名字命名。
这个法则强调了团队合作、自我超越和不懈努力的重要性。
在这篇文章中，我们将探讨洛必达法则的核心概念，并讨论如何应用这些原则来提高个人和团队的绩效。
洛必达法则的第一个核心概念是团队合作。
洛必达认为，团队合作是成功的关键。
他强调了每个团队成员的重要性，无论他们的角色大小。
在洛必达的眼中，每个人都是团队的一部分，都需要发挥自己的作用，为团队的成功做出贡献。
他曾经说过：“团队的力量在于每个人的个人贡献，但团队的成功在于每个人的合作。
”为了实现团队合作，洛必达提倡建立一个积极的团队文化。
他强调了团队成员之间的互相尊重和支持。
他鼓励团队成员之间建立紧密的联系，共同努力实现共同的目标。
他相信，只有当团队成员之间建立了牢固的信任和合作关系，团队才能取得最好的成果。
洛必达法则的第二个核心概念是自我超越。
洛必达认为，每个人都应该不断追求卓越，超越自己的极限。
他鼓励团队成员不断挑战自己，不断提高自己的能力和表现。
他相信，只有当每个人都努力追求卓越，团队才能取得卓越的成果。
为了实现自我超越，洛必达提倡建立一个积极的学习环境。
他强调了持续学习和发展的重要性。
他鼓励团队成员不断学习新知识和技能，不断提高自己的能力。
他相信，只有通过不断学习和发展，每个人才能不断超越自己的极限，实现个人和团队的成长。
洛必达法则的第三个核心概念是不懈努力。
洛必达认为，成功不是偶然的，而是通过不懈努力和坚持不懈实现的。
他强调了毅力和决心的重要性。
他鼓励团队成员在面对挑战和困难时保持积极的态度，坚持不懈地努力。
他相信，只有通过不懈努力和坚持不懈，每个人才能克服困难，实现个人和团队的成功。
为了实现不懈努力，洛必达提倡建立一个积极的工作环境。
他强调了激励和奖励的重要性。
他鼓励团队成员在工作中感受到成就和满足感，激发他们的动力和热情。
洛必达法则-PPT
arctan x
【例3】求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
【解】 原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
【例4】求 lim lnsinax . x0 lnsinbx
()
【解】原式
a cos ax sinbx
lim
x0 bcos bx sinax
cosax lim x0 cosbx
x0
x2 3x2
1 3
二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0 型未定式解法
【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可 解决的类型 ( 0 ), ( )
0
1. 【0·∞】型
注：以下写法仅是记号
【步骤】 0 1 , 或 0 0 1 0 .
00
【例8】 求 lim x2e x . x
x0 1
【例2】
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
【解】原式
lim
x1
3
3 x2
x2 3 2x
1
lim 6x x1 6 x
2
3. 2
【注意】（1） 上式中 lim 6已x 不是未定式， x1 6 x 2
不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.
（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
2
【例6】
求
xn
lim
x
e
x
(n 为正整数， 0)
新人教版高中数学《洛必达法则在高考中的应用》精品PPT课件
例1.求 lim sinx x0 x
解析： 0 型 0
limsinx x0 x
l i m( s i n x) x0 x
lim
x0
c
os 1
x
1
二、洛必达法则求极限
例2.求 limxlnx x 0
解析：不适合条件，需转化
1
lim
x 0
x
l
n
x
lim
x 0
ln 1 x
cos2 x 2 cos (2 cos x)
x
2
1
0
所以 g(x) g(0) 0 h(x) 1 3
所以 a 1
3
例 3.（10 全国理 2）设函数 f (x) 1 ex .
（1）证明：当 x 1 时， f (x) x ； x 1
（2）设当 x 0 时， f (x) x ， ax 1
c os x
1
x0
x0 2 cosx x sin x 3
为必要条件
下证 h(x) 1 sin x 1 , (x 0) 3 x(2 cos x) 3
g(x) x sin x 0, (x 0) 3 2 cos x
因为
g ( x)
1 3
2 cos x 1 (2 cos x)2
l
n
(
x
1
)
1
x
x
l
n
x
ln(x1)lnx 0(x 0)
所以a 0
说明：对 0 和 哪个端点求极限？
法1、两个都求取小； 法2、取特殊值比较取舍。
第三章 培优点3 洛必达法则-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.
12
2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.
12
当x＝0时，a∈R； 当 x>0 时，x－ln(x＋1)≤ax2⇔a≥1x－lnxx＋2 1， 记 g(x)＝1x－lnxx＋2 1，x∈(0，＋∞)， 则 g′(x)＝－xx2＋＋21x＋x32lnx＋1， 记 h(x)＝－xx2＋＋21x＋2ln(x＋1)，x∈(0，＋∞)，
3x62x－2 1＝xl→i＋m∞
162xx＝12，
∴φ(x)<12，故 a≥12.
故 a 的取值范围为12，＋∞.
能力提升 1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
12
当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2. 当x＝0时，a∈R； 当 x>0 时，x(ex－1)≥ax2 等价于 a≤ex－x 1. 令 g(x)＝ex－x 1，x∈(0，＋∞)，则 g′(x)＝x－1x2ex＋1. 记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝xex>0， 因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，
f(x)＝2＋sincoxs x≤ax， 若x＝0，则a∈R；
若x>0，
则2＋sincoxs x≤ax 等价于 a≥x2＋sincoxs x，
即 g(x)＝x2＋sincoxs x，
则
g′(x)＝2xcos
x－2sin x－sin xcos x22＋cos x2
x＋x .
令h(x)＝2xcos x－2sin x－sin xcos x＋x， h′(x)＝2cos x－2xsin x－2cos x－cos 2x＋1 ＝－2xsin x－cos 2x＋1 ＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)， 因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0) ＝0，故g′(x)<0， 所以g(x)在(0，π)上单调递减，
拉格朗日中值定理洛必达法则PPT共36页
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢！
51游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
拉格朗日中值定理洛必达法则
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
拉格朗日中值定理洛必达法则
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
洛必达法则(课堂PPT)
limF(x)0,可补充定义 f(a)F(a)0.
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
洛必达法则和导数应用ppt课件
第五节
洛必达法则 导数的应用
罗比达法则的注意点
首先确认可以用罗比达法则(用前、用后) 尽量在用之前，使用等价代换 利用四则运算，适当分离非零因子，可以简化计算 罗比达法则并不是万能的
常见不等式
ex 1 x
不等式证明的常用方法
一. 洛必达法则 例1
解法二
例2
例3
在 x = 0点处的可导性
lim 2a(1 3x) 3b(1 2x)
x0
12 x
(上述极限等于1,应有2a 3b 0)
lim 6a 6b a b
x0 12
2
2a 3b 0
a
b 2
1
解得
a 6 b 4
例11
pq
sin p x cosq x p 2 q2 .
证 : 设 f ( x) sin p x cosq x， x [0, π]
2!
3!
(ξ在x,1之间)
e x e e( x 1) e ( x 1)2 eξ ( x 1)3
2
6
当x 1时,
e x e e( x 1) e ( x 1)2 e (1 x2 )
2
2
例4 若a 0,b 0,n 2,证明 n a n b n a b
11
1
证明：设 f x xn bn x bn
则 f 0 0
f
x
1 n
1 1
xn
1x
n
b n1 1
1 n
1
1 1
xn
x
1
b1
1 n
0
f x单调递增. f a f 0 0 .
11
1
11
1
即 an bn a bn 0 an bn a bn
洛必达法则 导数的应用
罗比达法则的注意点
首先确认可以用罗比达法则(用前、用后) 尽量在用之前，使用等价代换 利用四则运算，适当分离非零因子，可以简化计算 罗比达法则并不是万能的
常见不等式
ex 1 x
不等式证明的常用方法
一. 洛必达法则 例1
解法二
例2
例3
在 x = 0点处的可导性
lim 2a(1 3x) 3b(1 2x)
x0
12 x
(上述极限等于1,应有2a 3b 0)
lim 6a 6b a b
x0 12
2
2a 3b 0
a
b 2
1
解得
a 6 b 4
例11
pq
sin p x cosq x p 2 q2 .
证 : 设 f ( x) sin p x cosq x， x [0, π]
2!
3!
(ξ在x,1之间)
e x e e( x 1) e ( x 1)2 eξ ( x 1)3
2
6
当x 1时,
e x e e( x 1) e ( x 1)2 e (1 x2 )
2
2
例4 若a 0,b 0,n 2,证明 n a n b n a b
11
1
证明：设 f x xn bn x bn
则 f 0 0
f
x
1 n
1 1
xn
1x
n
b n1 1
1 n
1
1 1
xn
x
1
b1
1 n
0
f x单调递增. f a f 0 0 .
11
1
11
1
即 an bn a bn 0 an bn a bn
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x 1 lim lim x 0 sin x x 0 cos x
1 .
例8 求 lim
解 为 型，由洛必达法则有
x ( n为正整数） . x x e
n
x nx lim x lim x x e x e n2 n n 1 x n! lim lim x x x x e e 1 n ! lim x 0 x e
f ( x ) 3) lim 存在 ( 或为 xa g ( x)
)
证 不妨假设 f (a) g (a) 0, 在指出的邻域内任取
则 故
f ( x) f ( x) f (a ) g ( x) g ( x) g (a )
在以 x, a 为端点的区间上满足柯
f () g ()
0 注意：对于x 时的 型，同样成立 0
f ( x) (3) lim 存在(或无穷大)， g ( x) f ( x) f ( x) lim . 那么 lim x a g ( x) x a g ( x )
xa
定理条件:
2) f ( x) 与 g ( x) 在 (a )内可导,
e x e x 2x e x e x 2 lim lim x 0 x 0 1 cos x x sin x e e lim x 0 sin x x x e e lim x 0 cos x
2.
x x
0 ( 型) 0
0 ( 型) 0
例6. 求
e x ea ( e x e a ) lim lim xa xa xa ( x a )
e x lim xa 1 e a .
ln 1 x . 例2 求 lim 2 x 0 x 解 由洛必达法则得
ln 1 x ln 1 x lim lim 2 x 0 x 0 x 2 x
x a
(1) lim f ( x) , lim g ( x) ,
(2) 在x a的某邻域内( x a可以除外)，f ( x) 与g ( x)存在, 且g ( x) 0, f ( x) (3) lim 存在(或无穷大)， g ( x) f ( x) f ( x) lim . 那么 lim x a g ( x) x a g ( x )
xa
注意：对于x 时的 型，同样成立
ln cot x 例7 求 lim . x 0 ln x 解 为 型，由洛必达法则有 1 ( csc 2 x) ln cot x lim lim cot x 1 x 0 x 0 ln x x x lim x 0 sin x cos x
第三章
洛必达法则
0 一、 型未定式 0
二、 型未定式
三、其他未定式
本节研究: 函数之商的极限
转化
(
或
型)
洛必达法则
导数之商的极限
0 一、 型的未定式 0
定理 １
xa
如果f(x)和g(x)满足下列条件：
xa
(1) lim f ( x) 0, lim g ( x) 0，
(2) 在点a的某邻域内( x a可以除外), f ( x)与g ( x) 存在, 且g ( x) 0，
1 1 x2 1 2 x
0 型 0
解: 原式 lim
x
型
lim
x2
x 1 x 2
2
1 lim 1 1 x 2 1
x
思考: 如何求 lim
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
二、 的未定式
定理３
xa
如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
3)
( 在 x , a 之间)
f () lim xa g ()
机动
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注
①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ 若 lim f ( x) 还是未定式，且 f ( x), g ( x)满足 x x g ( x)
0
定理中对 f ( x), g ( x)所要求的条件，则可继 续 使用法则，直到不再是 未定式为止
f ( x) f ( x) ( x) f lim lim lim x x x x x x g ( x) g ( x) g ( x)
0 0
0
机动
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e x ea . 例1 求 lim xa xa 0 解 为 型，由洛必达法则有 0
0 0
1 = lim = x 0 2 x 1 x
例3
求 lim
x
cos x x
2 解 由洛必达法则得 0 cos x 0 cos x lim lim x x 2 x 2 2 x 2
2
.
sin x lim =-1 1 x
n
n 1
三、其它类型的未定式
1.如果 lim f ( x) 0, lim g ( x)
xa ( x ) xa ( x )
，则称
xa ( x )
lim [ f ( x) g ( x)]为0 型.
g ( x) lim [ f ( x) g ( x)] lim xa xa 1 ( x ) ( x ) f ( x)
2
例4. 求
0 0
3x 3 解: 原式 lim 2 x 1 3x 2 x 1 0 0 6x 3
2
lim
x 1 6 x 2
2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
6x lim x 1 6 x 2
6 lim 1 x1 6
e x ex 2x . 例5 求 lim x 0 x sin x 0 解 为 型，由洛必达法则有 0