力矩力偶与讲义平面力偶系
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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
力对点的矩与平面力偶系—平面力偶系的合成与平衡(建筑力学)
平面力偶系
例3-4 如图示的梁AB，受一力偶的作用，已知力偶， M=20kNm，梁长l=4m,梁自重不计，求A、B支座处反力。
解 取梁AB为研究对象。
梁在力偶和A、B两处支座反力作用下平衡。
M 0
FByl M 0
FBy
M l
20 kN 5kN 4FAyLeabharlann FBy 5kN平面力偶系
第三节 平面力偶系的合成与平衡
作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。 作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。 一、平面力偶系的合成
平面力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各个 力偶矩的代数和。即
M R M1 M 2 M n M
式中MR表示合力偶矩, M 、M … … Mn表示原力偶系中各 力偶的力偶矩。
合力偶矩大小为
M M1 M 2 M 3 (64 60 24)N m 28N m （ ）
平面力偶系
二、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系合成的结果为一个合力偶，力偶系的平衡就
要求合力偶矩等于零。 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各
力偶矩的代数和等于零。
M 0
上式又称为平面力偶系的平衡方程。利用其可以求解一 个未知量。
平面力偶系
例3-3 如图示有三个力偶同时作用在物体某平面内。已知 F1=80N，d1=0.8m，F2=100N ，d2=0.6m，M3=24N.m ，求其合 成的结果。
解 三个共面力偶合成的结果是一个合力偶。各力偶矩为
M1 F1d1 80 0.8 64N m M 3 24N m
M 2 F2d2 100 0.6 60N m
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
第三章_力对点的矩_平面力偶系
4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩
静力学第3章力矩平面力偶系
根据静力学的原理，当一个物体在平面力偶的作用下处于平衡状态时，其合力矩必须为零。
平面力偶由两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力组成，其合力矩等于两力与两力之间的距离的乘积。
平面力偶平衡方程的应用
平面力偶平衡方程的应用主要涉及确定物体在平面力偶作用下的平衡位置。 通过将物体的重力、支持力和已知力矩表示为未知数的函数，可以建立平面力偶平衡方程并求解未知数。 求解平面力偶平衡方程时，需要利用代数方法，如加减消元法、代入法等。
力矩具有方向性，遵循右手定则。
力矩的简化表示
力矩可以表示为代数和，即所有力和力臂的乘积相加。
1
力矩可以用矢量表示，包括大小和方向。
2
力矩可以用单位表示，例如牛顿·米（N·m）。
3
在某些情况下，力矩可以简化为更简单的形式，例如在某些坐标系中。
4
02
平面力偶系
平面力偶的定义
表示方法
定义
用实线表示主动力，用虚线表示反作用力，箭头指向表示力的方向。
平面力偶的性质
合成规则
合成结果
合成结果的应用
平面力偶系的合成
合成的力偶大小等于各分力偶大小之和，方向与各分力偶方向相同或相反，取决于各分力偶的方向是相同还是相反。
通过平面力偶系的合成，可以求出作用于刚体的总力偶，从而进一步分析刚体的平衡状态和运动状态。
当有多个平面力偶作用于同一刚体时，这些力偶可以按照平行四边形法则进行合成。合成结果是一个单一的力偶，其大小和方向由合成规则确定。
平面力偶是两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力，它们不在同一直线上。
力偶无合力
力偶无作用点
力偶无转动中心
平面力偶由两个大小相等、方向相反的力组成，它们在同一直线上但不在同一点上，因此无法合成一个合力。
平面力偶由两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力组成，其合力矩等于两力与两力之间的距离的乘积。
平面力偶平衡方程的应用
平面力偶平衡方程的应用主要涉及确定物体在平面力偶作用下的平衡位置。 通过将物体的重力、支持力和已知力矩表示为未知数的函数，可以建立平面力偶平衡方程并求解未知数。 求解平面力偶平衡方程时，需要利用代数方法，如加减消元法、代入法等。
力矩具有方向性，遵循右手定则。
力矩的简化表示
力矩可以表示为代数和，即所有力和力臂的乘积相加。
1
力矩可以用矢量表示，包括大小和方向。
2
力矩可以用单位表示，例如牛顿·米（N·m）。
3
在某些情况下，力矩可以简化为更简单的形式，例如在某些坐标系中。
4
02
平面力偶系
平面力偶的定义
表示方法
定义
用实线表示主动力，用虚线表示反作用力，箭头指向表示力的方向。
平面力偶的性质
合成规则
合成结果
合成结果的应用
平面力偶系的合成
合成的力偶大小等于各分力偶大小之和，方向与各分力偶方向相同或相反，取决于各分力偶的方向是相同还是相反。
通过平面力偶系的合成，可以求出作用于刚体的总力偶，从而进一步分析刚体的平衡状态和运动状态。
当有多个平面力偶作用于同一刚体时，这些力偶可以按照平行四边形法则进行合成。合成结果是一个单一的力偶，其大小和方向由合成规则确定。
平面力偶是两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力，它们不在同一直线上。
力偶无合力
力偶无作用点
力偶无转动中心
平面力偶由两个大小相等、方向相反的力组成，它们在同一直线上但不在同一点上，因此无法合成一个合力。
第三章力矩和平面力偶系第四章平面任意力系
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、平面力偶系的合成
作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。
m1＝F1•d1，m2＝F2•d2， m3＝－F3•d3，
P1•d=F 1•d1 ，P2•d＝F2•d2 ， －P3•d ＝－F3•d3
FR＝P1＋P2－p3
FR′＝P1′＋P2′－P3′
M＝FR d＝（P1＋P2－P3）d
二、力偶的性质
▪ 力和力偶是静力学中两个基本要素。力 偶与力具有不同的性质：
▪ （1）力偶不能简化为一个力，即力偶不 能用一个力等效替代。因此力偶不能与 一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
▪ （2）无合力，故不能与一个力等效；
▪ （3）力偶对其作在平面内任一点的矩恒 等于力偶矩，与矩心位置无关。
结论：
第三章 力矩与力偶
第一节 力对点之矩
一、 力矩的概念
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。
B
F
A d
O
L
力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号， 以符号mo(F) 表示，记为 :Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
▪ 力 F 对O 点之矩的大小，
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
力矩和平面力偶系
（力偶三要素：力偶矩旳大小；力偶旳转向和力 偶旳作用面。）
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
所以两个力偶等效，必须是该两个力偶旳力偶矩 大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体， 可作用面平行。）
例题：
F
1.习题3-2
a
b
Fx F cosa
a
Fy f sin a
M A (F ) -Fx b Fy 0 -Fb cosa
M B (F ) -Fx b Fy a F (a sin a - b cosa )
2．习题3-7
正三角形ABC
B F2
F1 F2 F3 F
X F1 cos 60 F2 cos 60 - F3 0
F1
Y F1 sin 60 - F2 sin 60 0
A
即合力FR=0
F1x
F
cos 60
第三章: 力矩与平面力偶系
本章研究力矩和力偶旳概念、力偶旳 性质、平面力偶系旳合成与平衡。本 章与第二章旳理论是研究平面一般力 系旳基础。
§3-1 力矩旳概念和计算
一般情况下，力对物体作用时能够产 生移动和转动两种外效应。力旳移动 效应取决于力旳大小和方向。为了度 量力旳转动效应，需要引入力矩旳概 念。
设物体上作用有一 力偶臂为d旳力偶 （Ｆ，Ｆ‘）
该力偶对作用面内任 一点Ｏ之矩为：
Ｏ x
F
F’ d
Ｍo(F)+Mo(F’)=F(x+d)-Fx=Fd
力偶对作用面内任一点旳矩之大小恒等于力偶中 一力旳大小和力偶臂旳乘积，而与矩心旳位置无关。
力偶对物体旳转动效应可用力与力偶臂旳乘积Fd 及转向来度量，该物理量称为力偶矩。
互成平衡旳二力对同一点旳力矩之和为 零
虽然力矩概念由力对物体上固定点旳 作用引出。实际上，作用于物体上旳力 能够对任意点取矩，即矩心可是空间中 旳任意点。
工程力学5 力偶及平面力偶系的合成
M 60° 30°
0.25m
数值为正，M使物体顺时针转动，计算时数值为负。
M1=P1d1=200 ×1=200(N·M) M2=P结2d果2=为60正0 数×，0.2代5/表si最n3后0°合=成300(N·M)
M3=-M的=合-1力00偶(N为·M逆) 时针，即：物
P2
P1
则合力体偶最M后合为将：逆时针转动。
即： M i 0
平面力偶系的平衡条件有何作用呢？
例题2：如图所示，梁AB受荷载作用。M=10kN·m，P=P’=5kN，
不计梁自重，求支座A、B的反力。
解：取AB为研究对象。作用在梁
P
M 上的力有：M、P和P’形成的力
A
B
偶，以及支座A和B的反力形成的
P'
力偶。由于梁处于平衡状态，因
此，整个体系力偶矩之和为零。
力偶三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面。
10KN 2m
5KN
20KN
1m
M=20KN ·m
10KN
5KN
20KN
3.平面力偶系的合成
10KN 5KN
2m
20KN
10KN
5KN
1m 20KN
在物体的某一平面内同时作用有两个或两个以上的力偶时， 这些力偶就称为平面力偶系。
（1）平面力偶系的合成
1m
M合=M1+M2+M3
=200+300-100=400(N·M)
3.平面力偶系的合成
（2）平面力偶系的平衡条件
平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则 力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态； 反之，当合力偶不等于零时，物体必有转动效应而不平衡。平面力 偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。
02-4.3 平面力对点的矩和平面力偶(课件)
面称为力矩作用面
• O到力的作用线的垂直距 离 h称为力臂
•力F 使物体绕O点的转动效果，完全 由两个要素决定： a. 大小：力F与力臂h的乘积 F·h b. 转向：使物体绕O点转动方向
用数学式子来表示：
MO (F ) F h
F
O
h
平面力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为 负.常用单位N.m或kN.m
3平面力对点的矩和平面力偶平面汇交力系和平面力偶系3力偶由两个大小相等等值方向相反反向不共线的平行力组成的力系称为力偶记作力偶和力一样是力学中的一个基本要素
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（1）平面力对点的矩
3、平面力对点的矩和平面力偶
• O称为矩心 • O与力矢量的首尾确定的平
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面汇交力系和平面力偶系
（2）合力矩定理与力矩的解析表达式
MO(FR ) MO (Fi )
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对该点 的矩的代数和。
该结论适用于任何存在合力的力系!
y
力矩的解析表达式：
MO(F) MO(Fy ) MO(Fx ) x F sin θ y F cos θ xFy yFx
M F d 2 AABC
两个要素 a. 大小：力与力偶臂乘积
b. 转向：作用面内的转动方向
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（5）同平面内力偶的等效定理
定理：在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此相等。 推论(1)：力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。力偶对 刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 推论(2)：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
• O到力的作用线的垂直距 离 h称为力臂
•力F 使物体绕O点的转动效果，完全 由两个要素决定： a. 大小：力F与力臂h的乘积 F·h b. 转向：使物体绕O点转动方向
用数学式子来表示：
MO (F ) F h
F
O
h
平面力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为 负.常用单位N.m或kN.m
3平面力对点的矩和平面力偶平面汇交力系和平面力偶系3力偶由两个大小相等等值方向相反反向不共线的平行力组成的力系称为力偶记作力偶和力一样是力学中的一个基本要素
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（1）平面力对点的矩
3、平面力对点的矩和平面力偶
• O称为矩心 • O与力矢量的首尾确定的平
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面汇交力系和平面力偶系
（2）合力矩定理与力矩的解析表达式
MO(FR ) MO (Fi )
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对该点 的矩的代数和。
该结论适用于任何存在合力的力系!
y
力矩的解析表达式：
MO(F) MO(Fy ) MO(Fx ) x F sin θ y F cos θ xFy yFx
M F d 2 AABC
两个要素 a. 大小：力与力偶臂乘积
b. 转向：作用面内的转动方向
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（5）同平面内力偶的等效定理
定理：在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此相等。 推论(1)：力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。力偶对 刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 推论(2)：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
大学本科理论力学课程第3章力矩与平面力偶理论
理论力学电子教程
O2
第三章 力矩与平面力偶理论
A D
FB B
O1
E
F
H
FC AC
C
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第A三章 力矩与平面力偶理论
O
O1
FD 沿O1DO2
F
E
D
H
FE AC
O2 A
FA 沿AO2， AC
FD 沿O2DO1 D
D
FB B
A
FA 沿AO2， AC
O2
FB
B
E
F
D
FD
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第三章 力矩与平面力偶理论
思考题 不计自重的三杆组成系统，判断固定铰支座B和C处约 束反力方向（即画整体受力图）
A
a D
a B
E
F
H
C
a
a
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第三章 力矩与平面力偶理论
A O1
D
E
F
H
O2
FB B
C
（1）分析整体，FC的作用点为C，故无论其方向如何FC与F二者的 力的作用线必交于C点，利用三力平衡汇交原理判断固定铰支座对 DB处提供的约束反力合力的方位（沿BC）指向待定，FC的方向待 定。
H
FC AC
C
O1
E FE AC FC A
C
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第三章 力矩与平面力偶理论
第三章 力矩与平面力偶理论
§3－1力矩的概念与计算 §3－2力偶及平面力偶系
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第三章 力矩与平面力偶理论
力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。 力的移动效应取决于力的大小和方向； 为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。
建筑力学课件 第四章 力矩与平面力偶系
力矩的概念可以推广到普遍的情形。在具 体应用时，对于矩心的选择无任何限制， 作用于物体上的力可以对平面内任一点取 矩。
4.1力对点之矩、合力矩定理
3.力矩的性质 综上所述，得出如下力矩性质：
（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大 小，同时与矩心的位置有关。矩心的位 置不同，力矩随之而异。
（2）力F对任一点的矩，不因为F的作用 点沿其作用线移动而改变，因为力和力 臂的大小均未改变。
2.力矩的计算
在平面问题中,我们把乘积Fd加上适当的正负号,
作为力F使物体绕点O转动效应的度量,并称为
力F对点O的矩,简称力矩,用Mo(F) 或MO表示
即 MO (F)=± Fd
（4-1）
点O称为矩心，力作用线到矩心的垂直距离d称
为力臂。正负号通常用来区别力使物体矩心
转动的方向，并规定：若力使物体绕矩心作
4.1力对点之矩、合力矩定理
（3）力的大小等于零或力的作用线通过 矩心，即公式（4-1）中的F=0或者d = 0,则 力矩等于零。
（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的 代数和等于零。（相互抵消）
4.关于力矩的量纲单位：
在国际单位制中，力矩的单位是牛·米（ N·m）或千牛·米（kN·m）。
4.1力对点之矩、合力矩定理
M1 = F1 d1 M2 = F2 d2 M3 = －F3d3
4.3 平面力偶系
在力偶作用面内取任意线段AB = d，在保持力偶 矩不改变的条件下将各力偶的臂都化为d，于是 各力偶的力的大小应改变为
4.3 平面力偶系
然后移转各力偶,使它们的臂都 与AB重合,则原平面力偶系变换 为作用在点A及B的两个共线力 系。
在同一平面内的两个力偶，只要两力 偶的力偶矩（包括大小和转向）相等 ，则此两力偶的效应相等。这就是平 面力偶的等效条件。
4.1力对点之矩、合力矩定理
3.力矩的性质 综上所述，得出如下力矩性质：
（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大 小，同时与矩心的位置有关。矩心的位 置不同，力矩随之而异。
（2）力F对任一点的矩，不因为F的作用 点沿其作用线移动而改变，因为力和力 臂的大小均未改变。
2.力矩的计算
在平面问题中,我们把乘积Fd加上适当的正负号,
作为力F使物体绕点O转动效应的度量,并称为
力F对点O的矩,简称力矩,用Mo(F) 或MO表示
即 MO (F)=± Fd
（4-1）
点O称为矩心，力作用线到矩心的垂直距离d称
为力臂。正负号通常用来区别力使物体矩心
转动的方向，并规定：若力使物体绕矩心作
4.1力对点之矩、合力矩定理
（3）力的大小等于零或力的作用线通过 矩心，即公式（4-1）中的F=0或者d = 0,则 力矩等于零。
（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的 代数和等于零。（相互抵消）
4.关于力矩的量纲单位：
在国际单位制中，力矩的单位是牛·米（ N·m）或千牛·米（kN·m）。
4.1力对点之矩、合力矩定理
M1 = F1 d1 M2 = F2 d2 M3 = －F3d3
4.3 平面力偶系
在力偶作用面内取任意线段AB = d，在保持力偶 矩不改变的条件下将各力偶的臂都化为d，于是 各力偶的力的大小应改变为
4.3 平面力偶系
然后移转各力偶,使它们的臂都 与AB重合,则原平面力偶系变换 为作用在点A及B的两个共线力 系。
在同一平面内的两个力偶，只要两力 偶的力偶矩（包括大小和转向）相等 ，则此两力偶的效应相等。这就是平 面力偶的等效条件。
工程力学力偶和平面力偶系
力偶臂
力偶和平面力偶系
1）力偶矩的大小
力偶对物体作用 效果的决定因素
2）力偶在作用平面
内的转向
影响力偶作用效果的因素与距心的位置无关
力偶和平面力偶系
2.力偶的等效条件
同平面内的力偶等效条件：力偶距大小相等，力偶转向相同
力偶和平面力偶系
由此可得出以下两个重要推论
（1）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶就可以 在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效 果。
复习
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
一、力偶的概念和性质
1.力偶与力偶矩
力偶：由大小相等、方向相反且不共线的 两个平行力组成 力偶的作用面：两力作用线所决定的平面 力偶臂：力作用线间的垂直距离
力偶和平面力偶系
力偶距：力与力偶臂的乘积 M=F· d 方向：逆时针为正，顺时针为负
2.力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须 用力偶来平衡。 3.力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，而与矩 心位置无关。
n
4.平面力偶系的平衡方程 Mi 0 i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
作业
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻4个等直径的孔， 每个钻头的力偶矩M1= M2= M3= M4=15N·m，求工件的总切削力偶 矩和A、B端水平约束力。
力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。
力偶和平面力偶系
二、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
在物体上同时作用有两个或两个以上的力偶时，这些力偶组 成力偶系。在同一个平面内的力偶系叫作平面力偶系。
n
M Mi i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
1）力偶矩的大小
力偶对物体作用 效果的决定因素
2）力偶在作用平面
内的转向
影响力偶作用效果的因素与距心的位置无关
力偶和平面力偶系
2.力偶的等效条件
同平面内的力偶等效条件：力偶距大小相等，力偶转向相同
力偶和平面力偶系
由此可得出以下两个重要推论
（1）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶就可以 在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效 果。
复习
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
一、力偶的概念和性质
1.力偶与力偶矩
力偶：由大小相等、方向相反且不共线的 两个平行力组成 力偶的作用面：两力作用线所决定的平面 力偶臂：力作用线间的垂直距离
力偶和平面力偶系
力偶距：力与力偶臂的乘积 M=F· d 方向：逆时针为正，顺时针为负
2.力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须 用力偶来平衡。 3.力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，而与矩 心位置无关。
n
4.平面力偶系的平衡方程 Mi 0 i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
作业
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻4个等直径的孔， 每个钻头的力偶矩M1= M2= M3= M4=15N·m，求工件的总切削力偶 矩和A、B端水平约束力。
力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。
力偶和平面力偶系
二、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
在物体上同时作用有两个或两个以上的力偶时，这些力偶组 成力偶系。在同一个平面内的力偶系叫作平面力偶系。
n
M Mi i 1, 2,..., n i 1
理论力学 第三章 平面力偶系
M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
力矩的符号 M O F
力偶矩的符号 M
13
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等， 转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体的某一平面 FR F’R
B
A
m2 m1 FA
m3
B FB
解：1 以梁为研究对象，受力如图。
（力偶只能与力偶平衡）
m 0 : FAl m1 m2 m3 0
解之得：
m1 m2 m3 FA FB l
20
[例2] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
动的效果或效应，就称为
力对点的矩，简称力矩。 矩心：在力矩作用面，O称为矩心。 力臂：O到力的作用线的垂直距离h
1.大小：力F与力臂的乘积 两个要素： 2.方向：转动方向
3
大小和转向：
M O ( F ) F d
+
-
说明： ① M O ( F )是代数量。
② M O ( F )是影响转动的独立因素。 ③单位Nm，工程单位kgfm。 ④ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。 力矩的性质： 1）力矩取决于力F的大小，也取决于矩心的位置。 2）力矩不因力沿其作用线移动改变。 3）力矩的力F=0或力F过矩心时，力矩为零。
FR
由上述证明可得下列两个推论： ②只要保持力偶矩大小和转向 ①力偶可以在其作用面内任 意移动，而不影响它对刚体 的作用效应。
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短， 而不改变它对刚体的作用效应。
力对点的矩与平面力偶系—力偶及其基本性质(建筑力学)
力偶
第二节 力偶及其基本性质
一、力偶和力偶矩 . 力偶
力学中，把作用于物体上的一对 等值、反向、平行的力组成的力系称 为力偶，记作（F，F′）。
力偶中，二力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，二力 所在的平面称为力偶的作用面。
力偶
力偶与单个力一样，是构成力的基本元素。 2. 力偶矩
力偶对物体的转动效应由组成力偶的力的大小与力偶臂 的乘积，即力偶矩确定。记作：记作M（F，F′）或M，即
3）在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小 相等，转向相同，则这两个力偶是等效的。
力偶
推论1 力偶可以在其作用平面内任意移动或转动，只要 不改变力偶的三要素，就不会改变它对物体的转动效应。即 力偶对刚体的转动效应与它在作用平面内的位置无关。
力偶
推论2 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可 同时改变组成力偶的力的大小和力偶臂的长度，而不改变 它对物体的转动效应。
M（F，F′）= M =±Fd
在平面力系中，力偶矩为代数 量，力偶使物体做逆时针转动时， 力偶矩为正；反之为负。
单位：KN.m或N.m
力偶
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素，即力偶 矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面。
改变其中任何一个要素，都将改变这个力偶的作用效应。 力偶在其作用面内除可用两个力表示外，通常还可用一 带箭头的弧来表示，其中箭头表示力偶的转向，M表示力 偶矩的大小。
力偶
二、力偶的基本性质
）力偶不能合成为一个合力，所以不能用一个力来代替。 由力偶的定义和力的合力投影定理可以得出，力偶在任一 轴上的投影恒为零。由此可知，力偶不会使物体移动，只会 使物体转动。力偶和力对物体作用的效应不同。 力偶不能和一个力平衡，力偶只能和力偶平衡。
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平面力偶系—— 作用在物体同一平面内的若干个 力偶所组成的力系。
一、平面力偶系的合成
F1 d1
F2
d2 F 2 F1
F3
F 4
Ad B
F4
F 3
F
A dB F
F3dF1d1M1 F4dF2d2M 2
F F4 F3 F F4 F3
M F d (F 4 F 3 )d M 2 M 1
15
平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和，即
O
B
Fx
A
M A(F )M A(F x)M A(F y)
F yrF xRF (rsinRcos)
7
补充例题，水平梁AB 受三角形分布的载荷作用，如图所示。 已知：q，l；试求合力及合力作用线的位置。
A l
qx
A
l
解：在距A端为x的微段dx的
q
B x 梁上，作用力的大小为qx， 由相似三角形关系可知
4
例 3-1 如图所示，F1 50kN，F2 100kN，AB6m。
试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
B
30
A
解：力F1使杆 AB 绕 A 点逆时针转动
MA(F1)F1AB
F2
506kNm300kNm
C
力F2 将使AB杆绕 A 点顺时针转动
MA(F2)F2AC 1003kNm300kNm
5
力矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
2
2、力矩的性质 （1）力沿作用线移动时，对某点的矩不变; （2）力作用过线矩心时，此力对矩心之矩等于零; （３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
3、力矩的两个要素 （1）大小：力与力臂的乘积 （2）方向：转动方向
3
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系合力对于平面内任一点之矩 等于其各分力对于该点之矩的代数和。
力矩力偶与平面力 偶系
精品
第一节 力对点的矩
一、平面力对点的矩（力矩）
力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。
BF
1、力矩的定义
MO(F)Fd
A O —— 矩心 d —— 力臂
d
M O (F ) 2AO A B
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； MO（F）——代数量 “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
（2）画受力图 （3）列平衡方程
M i 0 , F A l M 0
解得：
M100
F BF Al
kN20kN 5
FA 、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。
17
例 3-5 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力
偶的矩分别为 M 1M 210Nm 、M3 20Nm；固定 螺柱 A 和 B 的距离 l200mm。若不计摩擦，试求两个
力偶矩的两个要素 （1）大小：力与力偶臂的乘积 （2）方向：转动方向
力偶矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
11
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。
力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应; 力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和均为零； 力与力偶是静力学的二基本要素。
2、力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代 数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。
M
13
力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转 动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于 矩心，与矩心的位置有关。
2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。
3、力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使 物体绕某点转动效应的度量。
4、力偶矩与力矩量纲相同。
14
第三节 平面力偶系的合成与平衡
M M 1 M 2 M n M i
二、平面力偶系的平衡
力偶系平衡的充要条件是：
合力偶矩等于零, 即力偶系各力偶矩的代数和等于零
M i0
平面力偶系的平衡方程
16
例 3-4 已知梁长 l 5 m，M100kN m ；若不计梁的自
重，试求支座 A 、B 的约束力。
M
A
B
M
A
B
l
FA
l
FB
解：（1）选梁 AB为研究对象
例 3-2 简支刚架如图所示，已知 F 、a 、b 和 。
试计算 F 对 A点的矩。
解：（1）根据定义求MA(F)
Fy
F
dAEsin(ADED)sin
(abcot)sin
A
E
C Fx b
BD
asinbcos
d
a
M A ( F ) F d F a s in F b c o s
（2）利用合力矩定理求 MA(F)
MOFMOF
F
F(xd)FxFdM
由于矩心O是任取的，因此， O x
d
力偶矩与矩心的位置无关。
F
12
3、平面力偶等效定理:作用于刚体同一平面内两 个力偶等效的充分且必要条件为其力偶矩相等。
推论 (1) 力偶可以在其作用面内任意移转， 而不改变它对刚体的作用效应。 推论 (2) 只要保持力偶矩大小和转向不变， 可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
一、力偶
力偶 —— 由两个等值、反向、不共线的平行力
组成的力系，记作 F,F
dd F
F
力偶作用面——力偶中两力所在平面。 力偶臂——力偶中两力作用线之间的垂直距离。
10
二、力偶矩 力偶矩—— 力偶对其作用面内任一点之矩，
以 M(F，F)表示，一般简记为M。 M Fd2 ABC
正负：逆时针转向为正，反之则为负。
qx
xq l
q 因此分布载荷的合力大小
Bx
F R
0lqxdx
1ql
2
8
设合力F 的作用线距A端的距离为h，
根据合力矩定理，有
l
FRh 0qxxdx
FR
qx
A
x
dx
将qx 和 FR的值代入上式，得
h
l
h 2l 3
合力大小等于三角形分布荷载的面积; 合力作用线通过三角形的几何中心。
q Bx
9
第二节 力偶和力偶矩
M A (F )M A (F x)M A (F y)
F xbF yaF asinF bcos
6
例 3-3 如图所示，已知大圆轮半径为 R ，小圆轮半径为
r ，在小圆轮最右侧 B 点处受一力F 的作用。试计算力F
对大圆轮与地面接触 A点的矩。
解：由于 F 对点 A的力臂不易确定，
Fy
F
故先将力F 分解为两个正交分力Fx 与Fy ，然后利用合力矩定理来求出 F 对点 A 的矩
M O ( F R ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F n ) M O ( F i )
力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
x
A
y
O
F
Fx x
MO(F)MO(Fy)MO(Fx)
xFsinyFcosxFyyFx
M O (F R )(x iF y i y iF x i)
一、平面力偶系的合成
F1 d1
F2
d2 F 2 F1
F3
F 4
Ad B
F4
F 3
F
A dB F
F3dF1d1M1 F4dF2d2M 2
F F4 F3 F F4 F3
M F d (F 4 F 3 )d M 2 M 1
15
平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和，即
O
B
Fx
A
M A(F )M A(F x)M A(F y)
F yrF xRF (rsinRcos)
7
补充例题，水平梁AB 受三角形分布的载荷作用，如图所示。 已知：q，l；试求合力及合力作用线的位置。
A l
qx
A
l
解：在距A端为x的微段dx的
q
B x 梁上，作用力的大小为qx， 由相似三角形关系可知
4
例 3-1 如图所示，F1 50kN，F2 100kN，AB6m。
试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
B
30
A
解：力F1使杆 AB 绕 A 点逆时针转动
MA(F1)F1AB
F2
506kNm300kNm
C
力F2 将使AB杆绕 A 点顺时针转动
MA(F2)F2AC 1003kNm300kNm
5
力矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
2
2、力矩的性质 （1）力沿作用线移动时，对某点的矩不变; （2）力作用过线矩心时，此力对矩心之矩等于零; （３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
3、力矩的两个要素 （1）大小：力与力臂的乘积 （2）方向：转动方向
3
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系合力对于平面内任一点之矩 等于其各分力对于该点之矩的代数和。
力矩力偶与平面力 偶系
精品
第一节 力对点的矩
一、平面力对点的矩（力矩）
力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。
BF
1、力矩的定义
MO(F)Fd
A O —— 矩心 d —— 力臂
d
M O (F ) 2AO A B
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； MO（F）——代数量 “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
（2）画受力图 （3）列平衡方程
M i 0 , F A l M 0
解得：
M100
F BF Al
kN20kN 5
FA 、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。
17
例 3-5 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力
偶的矩分别为 M 1M 210Nm 、M3 20Nm；固定 螺柱 A 和 B 的距离 l200mm。若不计摩擦，试求两个
力偶矩的两个要素 （1）大小：力与力偶臂的乘积 （2）方向：转动方向
力偶矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
11
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。
力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应; 力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和均为零； 力与力偶是静力学的二基本要素。
2、力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代 数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。
M
13
力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转 动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于 矩心，与矩心的位置有关。
2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。
3、力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使 物体绕某点转动效应的度量。
4、力偶矩与力矩量纲相同。
14
第三节 平面力偶系的合成与平衡
M M 1 M 2 M n M i
二、平面力偶系的平衡
力偶系平衡的充要条件是：
合力偶矩等于零, 即力偶系各力偶矩的代数和等于零
M i0
平面力偶系的平衡方程
16
例 3-4 已知梁长 l 5 m，M100kN m ；若不计梁的自
重，试求支座 A 、B 的约束力。
M
A
B
M
A
B
l
FA
l
FB
解：（1）选梁 AB为研究对象
例 3-2 简支刚架如图所示，已知 F 、a 、b 和 。
试计算 F 对 A点的矩。
解：（1）根据定义求MA(F)
Fy
F
dAEsin(ADED)sin
(abcot)sin
A
E
C Fx b
BD
asinbcos
d
a
M A ( F ) F d F a s in F b c o s
（2）利用合力矩定理求 MA(F)
MOFMOF
F
F(xd)FxFdM
由于矩心O是任取的，因此， O x
d
力偶矩与矩心的位置无关。
F
12
3、平面力偶等效定理:作用于刚体同一平面内两 个力偶等效的充分且必要条件为其力偶矩相等。
推论 (1) 力偶可以在其作用面内任意移转， 而不改变它对刚体的作用效应。 推论 (2) 只要保持力偶矩大小和转向不变， 可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
一、力偶
力偶 —— 由两个等值、反向、不共线的平行力
组成的力系，记作 F,F
dd F
F
力偶作用面——力偶中两力所在平面。 力偶臂——力偶中两力作用线之间的垂直距离。
10
二、力偶矩 力偶矩—— 力偶对其作用面内任一点之矩，
以 M(F，F)表示，一般简记为M。 M Fd2 ABC
正负：逆时针转向为正，反之则为负。
qx
xq l
q 因此分布载荷的合力大小
Bx
F R
0lqxdx
1ql
2
8
设合力F 的作用线距A端的距离为h，
根据合力矩定理，有
l
FRh 0qxxdx
FR
qx
A
x
dx
将qx 和 FR的值代入上式，得
h
l
h 2l 3
合力大小等于三角形分布荷载的面积; 合力作用线通过三角形的几何中心。
q Bx
9
第二节 力偶和力偶矩
M A (F )M A (F x)M A (F y)
F xbF yaF asinF bcos
6
例 3-3 如图所示，已知大圆轮半径为 R ，小圆轮半径为
r ，在小圆轮最右侧 B 点处受一力F 的作用。试计算力F
对大圆轮与地面接触 A点的矩。
解：由于 F 对点 A的力臂不易确定，
Fy
F
故先将力F 分解为两个正交分力Fx 与Fy ，然后利用合力矩定理来求出 F 对点 A 的矩
M O ( F R ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F n ) M O ( F i )
力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
x
A
y
O
F
Fx x
MO(F)MO(Fy)MO(Fx)
xFsinyFcosxFyyFx
M O (F R )(x iF y i y iF x i)