人教A版数学高二必修5课时作业4正、余弦定理在三角形中的应用
人教新课标版数学高二人教A版必修5试题 正、余弦定理在实际中的应用
课时跟踪检测(三) 正、余弦定理在实际中的应用一、选择题 1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )A.2a kmB.3a kmC ．a kmD ．2a km3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 34．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时5. 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，则乙船每小时航行( )A ．102海里B ．202海里C ．30海里D ．302海里二、填空题6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.7．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.8．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.三、解答题9．海岛O上有一座海拔1 000米的山，山顶上设有一个观察站A，上午11时，测得一轮船在岛北偏东60°的C处，俯角30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角60°.则该船的速度为每小时多少千米？10．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．答案课时跟踪检测(三)1.解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.2．选A△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝2a.3.选C如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，由正弦定理，得BB′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)．∴坡底延伸10 2 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．选A如图所示，在△PMN中，PMsin 45°＝MNsin 120°，∴MN＝68×32＝346，∴v＝MN4＝1726(海里/小时)．5．选D如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝302×13＝102＝A2B2，∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°，∴B 1B 22＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里．6．解析：如右图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.答案：77．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)． 答案：1063cm 8.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°，∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ，AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ，则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ，则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile.答案：10 39.解：如图所示，设观察站A 在水平面上的射影为O ，依题意OB ＝OA ·tan 30°＝33(千米)， OC ＝OA ·tan 60°＝ 3(千米)，则BC ＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC ·cos 120°＝133(千米)． ∴船速v ＝133÷1060＝239(千米/小时)． 10．解：设甲沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成一个△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C 处用时为t .由题意BC ＝v t ，AC ＝3v t ，∠ABC ＝120°.在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋a v t .∴2v 2t 2－a v t －a 2＝0，解得v t ＝－a 2(舍)或v t ＝a . ∴BC ＝a ，在△ABC 中AB ＝BC ＝a ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°.答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a 海里．。
高中数学人教A版5精题精练：正、余弦定理在三角形中的应用含解析
正、余弦定理在三角形中的应用【知识梳理】三角形的面积公式（1）S＝错误!a·h a(h a表示a边上的高)．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B.【常考题型】题型一、三角形的面积计算【例1】在△ABC中，已知C＝120°，AB＝2错误!，AC＝2，求△ABC的面积．［解］由正弦定理知ABsin C＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin B＝错误!，由于AB＞AC，所以C＞B，故B＝30°。
从而A＝180°－120°－30°＝30°。
所以△ABC的面积S＝12 AB·AC·sin A＝错误!·2错误!·2·sin30°＝ 3.【类题通法】1．求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．2．事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝错误!ab sin C ＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解）求三角形面积,反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．【对点训练】1．(1）在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64错误!，则c ＝________。
(2）在△ABC中，若a＝3,b＝2,c＝4，则其面积等于________．解析：(1）由已知得S△ABC＝错误!·bc·sin A，即643＝错误!×16×c×sin60°，解得c＝16。
（2）由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝错误!，所以sin A＝错误!＝错误!，于是S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×2×4×错误!＝错误!.答案：（1)16 （2）错误!题型二、三角形中的恒等式证明问题【例2】在△ABC中，求证:错误!＝错误!。
人教A版高中数学必修五《正余弦定理的综合应用(4)》作业.docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A ＝60°，则cos B ＝ ( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.632．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则∠A ＝ A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° ( )3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝ ( )A.1627B.23C.33D.34 4．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．6．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b . (1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 10.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是对应的三边，且(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若sin A cos C ＝34，试判断△ABC 的形状；(3)若b ＝2，△ABC 的面积等于3，求a ，c 的值． 11. 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且ac b A C -=2cos cos (1)求角A 的大小(2)求函数)6sin(sin 3π-+=C B y 的值域(3)求B B B B cos sin cos -sin +的取值范围。
人教版高二数学上册必修5第一章余弦定理应用
人教版高二数学上册必修5 第一章余弦定理应用大家想要获得更好的成绩必定要仔细掌握知识点。
查词典数学网为大家整理了第一章余弦定理应用，让我们一同学习，一同进步吧 !余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
当已知三角形的三边，能够由余弦定理获得三角形的三个内角。
[3]求边余弦定理公式可变换为以下形式：所以，假如知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
[3]三角函数如上图所示，△ABC ，在 c 上做高，将 c 边写：将等式同乘以 c 获得：运用相同的方式能够获得：将两式相加：向量中，求角余弦定理公式可变换为以下形式：由于余弦函数在上的单一性，能够获得：所以，假如已知三角形的三条边，能够由余弦定理获得三角形的三个内角。
察看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。
随机察看也是不行少的，是相当风趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边察看，一边发问，兴趣很浓。
我供给的察看对象，注意形象传神，色彩鲜亮，大小适中，指引少儿多角度多层面地进行察看，保证每个少儿看获得，看得清。
看得清才能说得正确。
在察看过程中指导。
我注意帮助少儿学习正确的察看方法，即按次序察看和抓住事物的不一样特点重点察看，察看与说话相联合，在察看中累积词汇，理解词汇，如一次我抓住机遇，指引少儿察看雷雨，雷雨前天空急巨变化，乌云密布，我问少儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像海洋的波涛。
有的孩子说“乌云跑得飞速。
”我加以必定说“这是乌云滔滔。
”当少儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着少儿听到雷声惊叫起来，我抓住机遇说：“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何 ?”第2页/共4页儿掌握“滂沱大雨”这个词。
雨后，我又带少儿察看明朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教新课标版数学高二-人教A版必修5课时作业 4 正、余弦定理在三角形中的应用
C．18 D．32
解析：
如右图，设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，
则
即
解得 或
∴cos∠BAD＝ ＝ ，
∴sin∠BAD＝ ，从而S▱ABCD＝4×5× ＝16.
答案：A
12．若三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足等式 ＋ ＝b，则B＝________.
解析：∵ ＋ ＝b，
＝(2RsinA)2·2sinBcosB＋(2RsinB)2·2sinAcosA
＝8R2sinAsinB(sinAcosB＋cosAsinB)
＝8R2sinAsinBsin(A＋B)
＝8R2sinAsinBsinC
＝2·2RsinA·2RsinB·sinC
＝2absinC.
所以原式得证．
即
解得b＝7，∴边AC的长为7.
答案：C
6．在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝ BD，BC＝2BD，则sinC的值为()
A. B.
C. D.
解析：设AB＝AD＝ ，
则BD＝ AB＝2，BC＝2BD＝4，
在△ABD中利用余弦定理得
cosA＝ ＝ ，
∴sinA＝ ＝ .
在△ABC中利用正弦定理得 ＝ ，
∴sinC＝ ＝ ＝ ，故选D.
答案：D
7．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．
解析：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝ ，x2＝－2(舍去)．
∴cosC＝ .
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3× ＝16.
人教版A版高中数学必修5：余弦定理
④坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝hl ＝tanα(i 为坡比，α 为坡角)．
7．解斜三角形在实际中的应用 解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、 物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是： (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理 解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．
归纳拓展：在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的 个数
a＜ bsinA
无解
a＝ bsinA＜ bsinA a＜b
一解 两解
a≥b 一解
a＞b 一解
a≤b 无解
3．余弦定理：三角形中任何一边的 平方 等于其他两边
的 平方的和 减去这两边与它们的 夹角 的 余弦 的 积 的
正三角 形与其 他知识 的综合 应用
考纲要求
考查角度
掌握正弦定理、余 正(余)弦定理及其
弦定理，解决一些 变形，解斜三角
简单的三角变换问 形，判断三角形的
题
形状
能解决一些与测 量、几何计算有关 的实际问题
三角函数式的化简 求值，与平面向量 的基本运算相结合 的综合题，求最值
(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要 算法简练，计算正确，并作答．
(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．
1.△ABC 中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则 b 等于( )
A．3 3
B. 3
3 C. 2
解析：由正弦定理，得sianA＝sibnB，
人教新课标版数学高二-人教A必修5练习 正、余弦定理在实际中的应用
1.2 应用举例【选题明细表】知识点、方法题号测量距离问题1、2、3测量高度问题7、8测量角度问题4、6、9、11其他问题5、10基础达标1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,A=30°,则其跨度AB的长为( D )(A)12 m (B)8 m (C)3 m (D)4 m解析:由正弦定理得=,由题意得C=120°,B=30°,∴AB===4(m).故选D.2.如图,为了测量A、B两点间的距离,在地面上选择适当的点C,测得AC=100 m,BC=120 m,∠ACB=60°,那么A、B的距离为( B )(A)20 m (B)20 m(C)500 m (D)60 m解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=1002+1202-2×100×120×=12400,∴AB=20(m),故选B.3.(2014濮阳高二期末)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( B )(A)a km (B) a km(C) a km (D)2a km解析:由题意得∠ACB=120°,AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,∴AB= a.故选B.4.在静水中划船的速度是每分钟40 m,水流的速度是每分钟20 m,如果船从岸边A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( B )(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°解析:如图,∵sin∠CAB==,∴∠CAB=30°,故选B.5.(2014临沂质量抽测)一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,则货轮的速度为( B )(A)20(+)海里/时(B)20(-)海里/时(C)20(+)海里/时(D)20(-)海里/时解析:由题意得∠SNM=105°,∠NSM=30°,∴=,MN==,货轮速度v===20(-).故选B.6.张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ.继续前进10 m至D点,测得顶端A的仰角为4θ,则θ等于.解析:画出示意图,在△ABE中,AC=BC=30 m,CD=DA=10 m,∴cos∠ACD=cos 2θ==⇒θ=15°.答案:15°7.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB= .解析:由题意可知在△BCD中,∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,则∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°.由正弦定理可得BC===15.又在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan∠ACB=15×=15(米).答案:15米能力提升8.如图,某城市的电视台发射塔CD建在市郊的小山上,小山的高BC为35米,在地面上有一点A,测得A,C间的距离为91米,从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°,则这座电视台发射塔的高度CD为.解析:AB==84,tan∠CAB===.由=tan(45°+∠CAB)==.得CD=169.答案:169米9.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?解:设甲船沿直线行驶与乙船同时到C点,则A、B、C构成△ABC,如图.设乙船速度为v,则甲船速度为v,设到达C处用时为t.由题意,BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°,∴3v2t2=a2+v2t2+avt.∴2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-(舍去)或vt=a.∴BC=a,在△ABC中AB=BC=a,∴∠BAC=∠ACB=30°,60°-30°=30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船,此时乙船行驶了a海里.10.如图,A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B、D两点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B、D两点的仰角分别为60°,60°,AC=0.1 km,试探究图中哪两点间距离与BD相等,并求BD(计算结果精确到0.01 km,≈1.414,≈2.449)解:在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC,又∵∠BCD=180°-60°-60°=60°=∠ACB,∴△ACB≌△DCB,∴AB=DB.在△ABC中,∠ABC=75°-∠ACB=15°.由正弦定理得AB=·sin 60°=(km).∴BD=≈0.33(km).即A、B两点距离与BD相等,BD约为0.33 km.探究创新11.(2013年高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.由正弦定理=,得AB=·sin C=×=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=·sin A=×=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.。
人教新课标版数学高二人教A必修5试题正弦定理、余弦定理的应用
双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin Aa ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形．解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝53.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3. (3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．。
人教A版高中数学必修五暑期学案余弦定理的应用新
1.1.4余弦定理的应用（一）教学目标运用余弦定理解决解三角形问题。
（二）教学重、难点重点：余弦定理的基本应用；难点：利用勾股定理证明余弦定理。
（三）教学过程提出问题：1、如何利用勾股定理证明余弦定理？2、正弦定理、余弦定理体现了三角形中的边角的什么关系？3、总结利用正余弦定理解三角形的类型。
课堂讨论：得出结论：1、 正余弦定理从分体现了三角形中边角的互化，利用三角恒等式变换解三角形。
2、 解三角形常见类型：例题讲解： 例1、在∆ABC 中，设角A,B,C 的对边分别为a.b,c 。
且41cos =A ，若6,4=+=c b a且c b <，求边b,c 的值。
例2、在ABC 中，2π=-A C ， 31sin =B 。
（I ）求sinA 的值； (II)设AC=，求ABC 的面积。
例3、在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b.解三角形的习题课例1、ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A =。
(Ⅰ)求AC AB ⋅；(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。
例2、在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例3、ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD例4、已知ABC ∆的内角A ，B 及其对边a ，b 满足Bb A a b a tan 1tan 1+=+，求内角C ．例5、在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.例6、在∆ABC 中，cos cos AC B AB C=。
人教新课标版数学高二-人教A必修5练习 正、余弦定理在三角形中的应用
【选题明细表】知识点、方法题号三角形面积公式的应用1、2、3、6、7 三角恒等式的证明9三角形中的综合问题4、5、8、10、11基础达标1.在△ABC中,已知BC=3,AC=4,∠ACB=135°,则△ABC面积等于( B )(A)6(B)3(C)3 (D)3解析:S△ABC=·BC·AC·sin∠ACB=×3×4×=3,故选B.2.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积为220,则AB的长度为( C )(A)49(B)51 (C)55 (D)49解析:S△ABC=AC×AB×sin 60°=×16×AB×=220,解得AB=55.故选C.3.(2014洛阳高二期末)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=120°,则△ABC的面积为( C )(A)(B) (C) (D)2解析:∵(a+b)2-c2=4,∴a2+b2-c2=4-2ab,∴cos C===-.∴ab=4,∴S △ABC=absin C=.故选C.4.如图,已知锐角三角形ABC中,||=3,||=2,△ABC的面积为,则·的值为( A )(A)3 (B)-3(C)2 (D)-2解析:由已知可得=·||·||×sin A,所以sin A==,又因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°,于是·=||||cos A=3×2×cos 60°=3,故选A.5.(2014南阳高二期末)已知锐角△ABC中,A=2B,AC=2,则BC的范围为( A )(A)(2,2) (B)(,)(C)(,) (D)[2,2]解析:由正弦定理得=,∴=,∴BC=4cos B,又△ABC是锐角三角形,∴90°<A+B<180°且A<90°,∴30°<B<45°,∴<cos B<,∴2<BC<2.故选A.6.(2014清远高二期末)在△ABC中,已知A=135°,AB=1,AC=,则△ABC的面积为.解析:S△ABC=AB·AC·sin A=×1××sin 135°=.答案:7.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析:由题意设△ABC三边长分别为a-4,a,a+4,则cos 120°=,解得a=10或a=0(舍),则S △ABC=×6×10×sin 120°=15.答案:15能力提升8.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则该三角形的周长为.解析:∵a-b=4,∴a>b,又∵a+c=2b,∴b+4+c=2b,∴b=4+c,∴a>b>c.∴最大角为A,∴A=120°,∴cos A==-,∴b2+c2-a2=-bc,∴b2+(b-4)2-(b+4)2=-b(b-4),即b2+b2+16-8b-b2-16-8b=-b2+4b,∴b=10,∴a=14,c=6.故周长为30.答案:309.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,求证:-=-.证明:左边=-=-=--+=--+=-=右边,所以等式成立.10.(2013年高考湖北卷)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2 A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0.解得cos A=或cos A=-2(舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc×=bc=5,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理,得sin Bsin C=sin A·sin A=·sin2 A=×=.探究创新11.(2014宿州质检)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,△ABC 的面积S满足S=bccos A.(1)求角A的值;(2)若a=,设角B的大小为x,用x表示c,并求c的取值范围.解:(1)在△ABC中,由S=bccos A=bcsin A,得tan A=,∵0<A<π,∴A=.(2)由a=,A=及正弦定理得===2,∴c=2sin C=2sin(π-A-B)=2sin(-x), ∵A=,∴0<x<,∴0<-x<,∴0<sin(-x)≤1,0<2sin(-x)≤2,即c∈(0,2].。
人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习
正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。
高中数学人教A版必修5课件 1-2 应用举例 第4课时《正、余弦定理在三角形中的应用》
变式探究 3 在△ABC 中，求证：ab－－cc··ccoossBA＝ssiinnBA.
证明：证法一：化角为边
左
边
＝
a－ca2＋2acc2－b2 b－cb2＋2bcc2－a2
＝
a2－c2＋b2 2a
2b ·b2－c2＋a2
＝
b a
＝
2RsinB 2RsinA
＝
ssiinnBA＝右边．
证法二：化边为角
3．三角形中有关长度问题求解方法 (1)要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计 算的定理． 4．与三角形有关的三角恒等式证明方法 利用正、余弦定理证明与三角形有关的三角恒等式，要紧紧把握 正、余弦定理中所反映的三角形中的边角关系来处理．正弦定理常用 来把边转化为角，余弦定理常用来把角转化为边．另外还要运用三角 形及三角函数的其他运算性质． 微课：与三角形有关的三角恒等式的证明方法
答案：B
3．在△ABC 中，AB＝2，BC＝5，△ABC 的面积为 4，则 cos∠
ABC 等于( )
3 A.5
B．±35
C．－35 D．±25
解析：由 S＝12AB·BC·sin∠ABC，得 4＝12×2×5×sin∠ABC，∴sin ∠ABC＝45，从而 cos∠ABC＝±35.
答案：B
4．一角槽的断面如右图，四边形 ADEB 是矩形，若 α＝50°，β＝ 70°，AC＝90 mm，BC＝150 mm，则 DE 的长度为________mm.
变式探究 1
在△ABC 中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3312，且 AD＝BD，求 △ABC 的面积．
人教版高中数学高二版必修5课时检测(四) 正、余弦定理在三角形中的应用
课时达标检测（四） 正、余弦定理在三角形中的应用一、选择题1．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ是( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4， ∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2 θ＝±35.2．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3解析：选D 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝83×128＝32，又b ＞a ，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当B ＝120°时，C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1， 由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3. 即BC ＝ 3.4．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20， ①12bc sin 60°＝103， ②a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°. ③由②得bc ＝40，由③得a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.5．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°， ∴x ＝ 3. 由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B＝3＋9－9＝ 3 (m)．二 、填空题6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.答案：9287．一艘船以4 km /h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，该船实际航程为________km.解析：如图所示，在△ACD 中， AC ＝23，CD ＝43，∠ACD ＝60°，∴AD 2＝12＋48－2×23×43×12＝36，∴AD ＝6，即该船实际航程为6 km. 答案：68．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32， ∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，a ＝2(舍去)，a ＝7. ∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝3 三、解答题9．在△ABC 中，若c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a .解：∵AD 是BC 边上的中线，∴可设CD ＝DB ＝x ，则CB ＝a ＝2x . ∵c ＝4，b ＝7，AD ＝72，在△ACD 中，有cos C ＝72＋x 2－⎝⎛⎭⎫7222×7×x ，在△ABC 中，有cos C ＝72＋(2x )2－422×7×2x ，∴49＋x 2－49414x ＝49＋4x 2－1628x ，解得x ＝92.∴a ＝2x ＝9.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .证明：法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2－b 2＝b 2－a 2＋2c (a cos B －b cos A )， 即a 2－b 2＝c (a cos B －b cos A )，变形得a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ＝a c cos B －bc cos A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C ， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －sin B cos A sin C＝sin (A －B )sin C.法二：sin (A －B )sin C ＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C cos B －sin Bsin Ccos A ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得：sin A sin C ＝a c ，sin B sin C ＝b c ，由余弦定理推论得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得sin (A －B )sin C ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝2(a 2－b 2)2c 2＝a 2－b 2c 2.∴原等式成立．11. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求 cos A 与 a 的值．解：由三角形面积公式，得12×3×1×sin A ＝2，故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×⎝⎛⎭⎫－13＝12， 所以a ＝2 3.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以cos A －2cos C cos B ＝2c －ab ＝2sin C －sin Asin B，即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ，即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 即sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2.(2)由(1)知：c a ＝sin Csin A＝2，即c ＝2a ，又因为b ＝2，所以由余弦定理得：b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即22＝4a 2＋a 2－2a ×2a ×14，解得a ＝1，所以c ＝2.又因为cos B＝14，所以sin B ＝154.故△ABC 的面积为12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.。
北京名校数学(人教A)必修5正弦、余弦定理在三角形中的应用
1.2.1 正弦、余弦定理在三角形中的应用【学习目标】1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识. 【要点梳理】要点一、正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式：2sin sin sin a b cR A B C===（其中R 表示三角形的外接圆半径）②余弦定理公式： 第一形式：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-第二形式：222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab+-=+-=+-=要点二、三角形的面积公式 ① 111222ABC a b c S a h b h c h ∆=⋅=⋅=⋅； ②111sin sin sin 222ABCS bc A ab C ac B ∆===； 要点三、利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在ABC∆中，已知,a b和A时，解的情况主要有以下几类：①若A为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b()a b()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角Aba sin=ba≥一解一解baAb<<sin sina b A<两解无解②若A为直角或钝角时：a ba b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角要点四、三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：222a b c+=，互余关系：090A B+=，cos0C=，sin1C=；（2）等腰三角形a b=，A B=；用余弦定理判定三角形的形状（最大角A的余弦值的符号）（1）在ABC∆中，22200222090cos02b c aA A b c abc+-<<⇔=>⇔+>；（2）在ABC∆中，222022290cos02b c aA A b c abc+-=⇔==⇔+=；（3）在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-<⇔=<⇔+<； 要点五、解三角形时的常用结论 在ABC ∆中，0180A B C ++=，0902A B C++= （1）在ABC ∆中sin sin cos cos ;A B a b A B A B >⇔>⇔>⇔< （2）互补关系：0sin(A+B)=sin(180)sinC C -=，0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-， 0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；（3）互余关系：0sinsin (90)cos 222A B C C+=-=， 0cos cos(90)sin 222A B C C +=-=，0tan tan (90)cot 222A B C C +=-=.【典型例题】类型一：利用正、余弦定理解三角形 例1. 在ABC ∆中，已知下列条件，解三角形.（1）10a =, b =, 45A =︒；（2）=a c 45B =︒. 【思路点拨】（1）题中利用正弦定理先求B ，再求C 和c ；（2）题中利用余弦定理求b ；求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理。
【精编】人教A版高中数学必修五课件1.2正余弦定理在三角形中的应用(四)课件-精心整理
c2 a2 b2 2ab cos C
2ac cos C a2 b2 c2
三、角形的面积公式：
2ab
1
1
1
SABC 2 aha 2 bhb 2 chc
c
SABC
1 2
ab sin C
1 2
bc sin
A
1 2
ac sin
B
B
A
b
ha
aC
3、三角形常用结论： 在 ABC 中：
例２：已知 ABC 的角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ， 且 a cosC 1 c b . （1）求角 A 的大小； 2
（2）若 a=7，S=10 3 ，求 b, c ； *（3）若 a ＝1，求 ABC 的周长 l 的取值范围．
(则3()l1由＝)正由a（＋弦ab定＋２c理ocs＝）得C1＋，＋由b12＝2c题a(＝sssiiinb意nnABB和＝＋可s正2i3n得s弦Ci)n＝定B，1＋理c＝得2as[si，sininAnCB＝＋2s3isni(nAC＋，B)] ＝1＋又2(ssi2i3n１２snAiBcnb＝Bo＋cssC12sic＋inons(312BAA)s＋＝in1C＋C1)＝2＝0ssisini(3nBnB＋A，cπ6o)s．C3＋cosAsinC， ∵ ∴ ∴△As＝ i∴ ∵nAπ(B3BC120， ＋的s<∴ πiA周6an<B)长Cπ2∈ ∈＝bc((l，012的c， ，b∴ o取212s85π3]值AA，或s＝)范，icnπ围23∴C为bc， .B＋(22∵π,6b５８3∈sci(cnπ6oC，s≠5A0π6 ，)，∴cosA＝12，
2(b b2 c·左显cb22边然2=kacb≠22c)a02a，(c2a2所2bc以2ac·2a2kb222c)cs2ain(bkb2222Asaian2bk2·b2Cc2s2)i2naa22bBc2
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答案：C
5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是()
A．2 B．2或4
C．1或2 D．5
解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.
因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，
所以 ×3×AD× ＋ ×6×AD× ＝ ×3×6× ，
解得AD＝2.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在△ABC中，已知a＝3 ，cosC＝ ，S△ABC＝4 ，则b＝________.
解析：因为cosC＝ ，C∈(0，π)，所以sinC＝ ，
所以 absinC＝4 ，所以b＝2 .
答案：2
由余弦定理得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ＝1＋ －2× × ＝ ，
故CD＝ .
又AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝ ＋ ＝ ，
故边AB的长为 .
即sin(A＋B)＝sin2C，
因为sinC≠0，所以sinC＝1，
故C＝90°，
又S＝ bcsinA＝ (b2＋c2－a2)，
所以sinA＝ ＝cosA，
所以tanA＝1，
故A＝45°，所以B＝45°，故选C.
答案：C
12．在△ABC中，AB＝ ，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解析：(1)因为cosB＝ >0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝ .
由正弦定理 ＝ 可得 ＝ ，
所以a＝ .
(2)因为△ABC的面积S＝ ac·sinB，
sinB＝ ，所以 ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
即4＝a2＋c2－ ac＝a2＋c2－16，
a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边长为7.
答案：C
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝ ，则△ABC的面积是()
A．3 B.
C. D．3
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，
解析：因为AB＝ ，AD＝1，∠BAD＝30°，
所以S△ABD＝ × ×1×sin30°＝ .
又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝ .
答案：
13．(淄博六中期末)在△ABC中， cos2A＝cos2A－cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.
即a2＋c2＝20.
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
因为a＋c>0，所以a＋c＝2 .
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证： － ＝c .
证明：由余弦定理的推论得cosB＝ ，cosA＝ － ＝c .
课时作业
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在△ABC中，已知A＝60°，b＝1，其面积为 ，则 的值为()
A. B.
C. D．2
解析：由 bcsinA＝ ，得c＝4.
由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，
故a＝ .
所以 ＝ ＝ .
答案：B
2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()
(1)若DC＝ ，求角A的大小；
(2)若△BCD的面积为 ，求边AB的长．
解析：(1)在△BCD中，B＝ ，
BC＝1，DC＝ ，
由正弦定理得 ＝ ，
解得sin∠BDC＝ ＝ ，因为A∈(0，π)，则∠BDC＝ 或 .
又由DA＝DC，则A＝ 或 .
(2)由于B＝ ，BC＝1，△BCD的面积为 ，
则 BC·BD·sin ＝ ，解得BD＝ .
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11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝ (b2＋c2－a2)，则B的度数为()
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：因为acosB＋bcosA＝csinC，
由正弦定理可得
sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，
7．已知a，b，c是锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，若a＝3，b＝4，△ABC的面积为3 ，则c＝________.
解析：由S＝ absinC，得sinC＝ ，
∴cosC＝ ，再由余弦定理得c＝ .
答案：
8．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A＝________.
解析：(1)由已知得 (2cos2A－1)＝cos2A－cosA，
所以cosA＝ .
因为0<A<π，所以A＝ .
(2)由 ＝ 可得 ＝ ＝2，
所以b＝2c.
因为cosA＝ ＝ ＝ ，
所以c＝ ，b＝2 ，
所以S△ABC＝ bcsinA＝ ×2 × × ＝ .
14．在△ABC中，D为边AB上一点，DA＝DC.已知B＝ ，BC＝1.
A．40 B．20
C．40 D．20
解析：设另两边长为8x,5x，则
cos60°＝ ，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是 ×16×10×sin60°＝40 .
答案：A
3．已知△ABC周长为20，面积为10 ，A＝60°，则BC边长为()
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题设a＋b＋c＝20， bcsin60°＝10 ，所以bc＝40.
解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，
∵4· bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，
又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.
答案：45°
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝ ，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；