应力与应变

y ) 4 xy sin 2
交
x
通 大
Q
sin 2o
2xy (x y )2 4xy2
学
代入上式得到：
cos 2o
x y (x y )2 4xy2
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
例题1
-2.71
y
13.3o 10.71
d2 x' d 2
y xy
y
y
xy x x
大
o
x x
o
x
学
正
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
解析法
3.1 解析法－转换方程
y
y
y
上 海
xy x
x
xy
x
x
xy x
x
x
面积 dA
交
xy
通
y
大
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
2.67MPa
-2.15
交
x
-2.67
通 大
y'
10 2
2
10 2
2
cos(50o
)
(3)sin(50o
)
2.15MPa
y’
学
2.67 10.15
25o x’
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
例题1
2，求主应力
I,II x y 2
(
x
大
学
x xcos2 ysin2 2 xysincos
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
解析法
楔形分离体的平衡－转换方程
y
xy d Acos
x d Acos
上
海
交
x
xd A xy d A
xy d Asin
Fy 0 :
xydA= - ( xydAsin )sin +( ydAsin )cos +( xydAcos )cos - ( xdAcos )sin
(
x
xy
y
)
/
2
tan 2s
( x y ) / xy
2
上 由于 2与S 的2正0 切成负倒数关系，所以
海
交 通
2S 20 2
S
0
4
大 学
表明面内最大切应力作用面与主平面成 夹角。
xy
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
上
将 x对y 微 分，并令其等于零得：
海
交 通 大
tan
2s
( x
xy
y
)/
2
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
应力状态
面内最大切应力 (Maximum In-Plane Shear Stress) 及作用面
tg20
通
大 学
sin 202
xy
(x
2
y
)2
2 xy
cos 201
x y
2
(x
2
y
)2
2 xy
( x y ) / 2 xy
cos 202
x y
2
(x
y 2
)2
2 xy
(x
y 2
)2
xy2
2 02
xy
2 01
( x y )/ 2
SJTU
主应力、主平面
材料力学 Mechanics of Materials
o
2cos 2o ( x
y
4 xy2 x y
)
x
上 海
2 2o 2 时，或者 4 o 4 时
交
通
cos 20 0
大
学 如果x y ,上式的值小于零。相应的主应力取极大值。
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
面内最大切应力
面内最大切应力 (Maximum In-Plane Shear Stress) 及作用面
新、老坐标系里的分量有如 下的转换关系：
上
X’
海
Y’ Y
X ' X cos Y sin
x’
交
Y ' Y cos X sin
通 大 学
o
x
事实上，矢量是一阶张量
X Y
'
'
cos sin
sin X
cos
Y
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
2
y
)2
2＝10－2
xy
2
(10＋2 )2
(3)2
10.71 MPa
2
2.71
上 海 交 通y 大 学
-2.71
tan 20
2(3) (10 2)
,
20 26.6, 153.4,
0 13.3, 76.7
13.3o
10.71 x
面内主应力为 I＝10.71 MPa， II
＝－2.71 MPa。
第三章 应力与应变
应力的符号，切应力互等
相互垂直两微分面上的切应力（ ij 与 j）i
大小相等，且同时指向或背向两面的交线。
称为切应力互等定理。即 ij ji 。
y
yx
上 如此，一点的应力状态由6个 海 独立分量描述： 交
通 x , y , z , xy , yz , zx
大
学
xy
x z
第三章 应力与应变
解析法
楔形分离体的平衡－转换方程
y
Fx 0 :
xy d Acos
x d Acos
上
海
x
xd A xy d A
x'dA ( xydAsin )cos +( ydAsin )sin +( xydAcos )sin
交
xy d Asin
+( xdAcosα)cos
通
y d Asin
平面应力状态分析
3 平面应力状态分析
物体上o点处于平面应力状态。沿 x, y 方向取
单元体，其上应力由 x , y , xy 描述。
若过该点取沿任意方x位, y
的单
元体，其上 应x ,力则y由, xy
上
描述目。的是建立 x , y , xy 与 x , y , xy 之间
的转换关系。
海 交 通
y
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
xy
上
x
2
y
sin 2
xy
cos
2
海 交
x , 的xy方程表明，给定 ，x ,任y ,意xy 斜截面上的应力由
通 其方位角 决定。工程实际中，重要的是确定最大、 大 最小正应力和最大切应力以及它们作用平面的方位。
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
应力的符号，切应力互等
应力正、负规定 (Sign Convention)
正面上沿坐标正向、负面上沿坐标负向的应力为正
的应力；
反之为负的应力。 （图上所示均为正应力） 上 海
y
y
yx
yz
xy
交
zy
x
通 大
zx xz
x
学
z z
SJTU
切应力互等定理
材料力学 Mechanics of Materials
x
xy 表示作用方向
表示作用面
o x
z
F1
海
d xd ydz y y
交 单元体各边长度可无限小，通常认为：
yx
yz
通 大
1 各面上应力均布；
学 2 对面上相同性质应力相等、方向
xy
zy
x
zx xz
x
相反。
z z
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
第三章 应力与应变
主应力、主平面
x
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
xy
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
d x d
x
2
y
(2sin 2 ) 2 xy
cos 2
0
上 海
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
0
交 通 大
上式左边即 x，y 可见正应力取极值的方位面上的切应 力为零。设其方位角为 ，上0 式成为
第三章 应力与应变
解析法
矩阵形式
x' y'
T
x y
上
x
'
y
'
xy
海 交 通
l2 m2 2ml
T
m2
来自百度文库
l2
2ml
大
ml ml l 2 m2
学
l cos , m cos(90o ) sin
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
平面应力状态
2 平面应力状态（Plane Stress）
y y
yx
yz
当含有z方向分量的应力都等于零时 ，称为平面应力状态， 此时的应力状态由三个分量描述：
zy zx
xy
x
xz
x
上 海
x , y , xy
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
应力分析目的 应力分析
目的
推导受力体内一点各方位面上应力间的关系（平面应力状态）。 即，建立一点不同坐标系下应力分量间的变换关系。 获得一点正应力和剪应力的最大值以及作用方位。
静定应力问题的求解。
上
基本要求
海
交
明确一点应力状态相关概念；掌握从受力体内取单元体的方法。
x y x y constant
上 y ’面事实上是转角为 的 x ’ 面。
海
2
交 通
用 替2 代第一式式中的 ，得
单元体的面上的三个 应力分量完全决定了一 点的应力状态。
大 学
y
/2
x
y 2
x
y 2
cos 2 xy
sin 2
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
例题1
例题 1
已知某点应力： x 10MPa y 2MPa xy 3MPa
-2
1，求-25斜截面上的应力
3 -3
10
x'
10 2
2
10 2
2
cos(50o
)
(3)sin(50o
)
10.15MPa
上y 海
x'y'
10 2
2
sin(50o
)
(3)cos(50o
)
通
熟练掌握平面应力状态分析方法－解析法与图解法（莫尔圆）。
大
熟练平面应力状态下一点面内主应力、主平面及方位的确定。
学
了解三向应力圆的作法；熟练一点最大切应力及方位的确定。
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
一般应力状态
应力表达的是一点附近的受力状态
dz
F1
解析法
y
y' y
上
y
xy x
x
xy
x
y ' y'x'
x
xy x
海
x
x
交
通
大
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
主应力、主平面
主应力、主平面 (Principal Stresses and Principal Planes)
x
x
y
2
通
y d Asin
大
学
xy ( y x )sincos xy (cos2 sin2)
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
解析法
x
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
xy
x
2
y
sin2
xycos2
应力不变量：两相 互垂直微分面上的 正应力之和为常量 。
力：
I x y
II
2
(x
y
2
)2
2 xy
SJTU
主应力、主平面
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
主应力、主平面
y
II
y
I
o
x 0
上
xy x
海
交
通 大
I x y
II
2
( x
2
y
)2
2 xy
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
应力的符号，切应力互等
mz 0, (xy d yd z)d x ( yx d xd z)d y 0
上
*其他应力分量对z轴合力矩为零，图上未标出
y
yx
海 交
yx xy
xy
通
大 同理 yz zy , zx xz
z
x
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
z z
yx y
交
通 大 学
平面应力状态
o
x
xy
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
平面应力状态
2 矢量是一阶张量（Tensor）矢量A ，在x－y坐标系里可
以用坐标（X，Y）表示，在
x’－y’坐标系里可以用坐
y
y
X
A
标 （ X’，Y’） 表 示 。 它 在
学
tg20
(
x
xy y
)
/
2
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
主应力、主平面
主应力、主平面
上式有两个根，记为 01 和
02
01
2
，对应的极值记为
I
和 II。
tg20
(
x
xy y
)
/
2
上 海 交
sin 201
xy
(x
2
y
)2
2 xy
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
例题1
o 有两个解，如何判断那一个角度对应于最大正应力，那 一个角度对应的是最小正应力？
-2.71
d x d
x
y
2
(2sin 2 ) 2 xy
cos 2
上y 海
13.3o 10.71
d2 x' d 2
2cos 2 ( x
xy=py p
dx
F1
dy
上
y
xz=pz o
x=px
海
y
交 通z 大
Fi
x
Fi
z
x
学
SJTU
材料力学 Mechanics of Materials
第三章 应力与应变
一般应力状态
过受力构件内一点o ，取平行于坐
Fi y
标面的 6 个微面组成正六面体
d x d y d z ，称为该点的单元体。
xx
上
第三章 应力与应变
主应力、主平面
cos 201
x y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
sin 201
xy
(
x
2
y
)2
2 xy
( x y ) / 2
(x
y 2
)2
xy2
2 02
xy
2 01
上 海
x
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
xy
( x y )/ 2
交 通 大 学
将以上三角关系代入 x的' 表达式得面内的最大、最小正应